Rèn luyện khả năng đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11

Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao độ và có tính thực tiễn phổ dụng lớn. Toán học đang phát triển như vũ bão và ngày càng thâm nhập vào các lĩnh vực khoa học, công nghệ và đời sống. Vì vậy việc dạy học môn toán ở trường phổ thông phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn toán. Trong thư gửi bạn trẻ yêu toán tháng 10 năm 1967 thủ tướng Phạm Văn Đồng đã chỉ rõ: “Trong các môn khoa học và kĩ thuật, Toán học giữ vị trí nổi bật. Nó có tác dụng lớn đối với nhiều khoa học khác nhau như đối với kĩ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ; phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh, sáng tạo, nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quí báu như: Cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lí. Dù bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và các phương pháp toán học cũng rất cần cho các bạn”. Luật giáo dục nước ta qui định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ tổ quốc ”. Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống loa động, tham gia bảo vệ tổ quốc. Do vậy việc dạy và học môn toán ở trường phổ thông càng có ý nghĩa quan trọng. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay là hướng vào tổ chức cho người học học tập trong hoạt động bằng hoạt động. Việc áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để phát huy năng lực tư duy sáng tạo, năng 2 lực giải quyết vấn đề cho học sinh, đặc biệt là đối với hoạt động bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán cần phải được quan tâm trong suốt quá trình dạy học. Nội dung hình học không gian là chủ đề thuộc chương trình toán lớp 11. Đây là học phần khá mới lạ mà học sinh khó có thể tiếp cận ngay khi học vì nó đòi hỏi ta phải có khả năng tưởng tượng không gian, suy nghĩ sáng tạo và tinh tế. Chính vì vậy học sinh rất e ngại khi học phần hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Tuy nhiên kiến thức chủ đề này lại có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Hiện nay nội dung, phương pháp dạy học Toán ở trường THPT đã có những đổi mới, đặc biệt là gắn người học vào những hoạt động cụ thể. Song việc vận dụng phương pháp dạy học Toán vẫn chưa bắt kịp với xu thế đổi mới nội dung, việc truyền thụ kiến thức cho học sinh còn gặp không ít khó khăn. Căn cứ vào chương trình Hình học không gian ở trường THPT và yêu cầu đào tạo học sinh trong giai đoạn hiện nay, xuất phát từ những khó khăn trong việc học tập các kiến thức về hình học không gian của học sinh, cũng như vướng mắc của giáo viên trong việc dạy học phần hình học không gian, với mong muốn được góp một phần nhỏ tháo gỡ những khó khăn đó, nâng cao chất lượng dạy học hình học không gian cho học sinh THPT, tôi chọn và nghiên cứu khóa luận “Rèn luyện khả năng đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11”.

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Hùng Vương

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo ThS Nguyễn Huyền Trang – Giảng viên Bộ môn Toán ứng dụng – Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Hùng Vương Cô đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời cô còn là người giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán – Tin, tới gia đình, bạn bè là những người luôn sát cánh bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như khi tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận này

Mặc dù, đã rất cố gắng xong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót

Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Việt Trì, tháng…năm 2018

Sinh viên

ĐINH XUÂN HÙNG

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Ý nghĩa khoa học 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

CHƯƠNG 1 4

VAI TRÒ CỦA ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC 4

HÌNH HỌC PHỔ THÔNG 4

1.1 Khái niệm đặc biệt hoá và tương tự 4

1.1.1 Đặc biệt hóa 4

1.1.2 Tương tự 7

1.2 Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong toán học 9

1.3 Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11 11

1.4 Thực trạng rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11 trường THPT Hương Cần - Thanh Sơn - Phú Thọ 11

1.4.1 Mục đích và đối tượng điều tra 12

1.4.2 Đối tượng điều tra 12

1.4.3 Nội dung điều tra 12

1.4.4 Phương pháp điều tra 13

1.4.5 Phân tích kết quả điều tra 14

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 18

CHƯƠNG 2 19

RÈN LUYỆN ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC 19

CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 19

2.1 Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học khái niệm, định nghĩa toán học 19

2.1.1 Dạy học khái niệm toán học 19

2.2 Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học định lí toán học về hình học

không gian lớp 11 28

2.2.1 Dạy học định lí toán học 28

2.3 Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào giải bài tập của một số chủ đề hình học không gian lớp 11 33

2.3.1 Vị trí và vai trò của bài tập hình học không gian 33

2.3.2 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán 34

2.3.3 Vận dụng đặc biệt hóa và tương tự vào giải một số dạng bài tập chủ đề Hình học không gian 36

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 54

CHƯƠNG 3 55

THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 55

3.1 Một số biện pháp nhằm rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh lớp 11 55

3.1.1 Rèn luyện phẩm chất đạo đức cho học sinh 55

3.1.2 Giúp học sinh nắm vững những kiến thức và kĩ năng cơ bản, đó là cơ sở cho việc phát triển trí tuệ, hình thành các phương pháp 55

3.2 Thử nghiệm sư phạm 59

3.2.1 Mục tiêu thử nghiệm sư phạm 59

3.2.2 Nội dung thử nghiệm sư phạm 59

3.2.3 Tổ chức dạy học thử nghiệm 59

3.2.4 Đánh giá kết quả thử nghiệm 61

3.2.5 Kết luận về thử nghiệm sư phạm 63

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 64

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 65

1 Kết luận 65

2 Kiến nghị 65

2.1 Đối với giáo viên 65

2.2 Đối với học sinh 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

NHỮNG CHỮ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

DANH MỤC BẢNG, BIỂU

Bảng 1.1: Mức độ sử dụng một số phương pháp dạy học các chủ đề kiến thức hình

học không gian lớp 11 ( Đơn vị:%) 14

Bảng 1.2: Quan niệm của giáo viên về tầm quan trọng của mỗi phương pháp dạy học các chủ đề kiến thức hình học 11 ( Đơn vị:%) 15

Bảng 1.3: Đánh giá của giáo viên về số lượng các bài tập có nội dung nhằm phát triển kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh trong SGK lớp11 16

Bảng 1.4: Tầm quan trọng của việc rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh lớp 11 ( Đơn vị: %) 16

Bảng 1.5: Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn luyện và phát triển kỹ năng đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh (Đơn vị: %) 17

Bảng 3.1: Kết quả trước khi thử nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 1) 60

Biểu đồ 3.1 Đánh giá kết quả trước khi thử nghiệm 60

Bảng 3.2: Kết quả sau khi thử nghiệm ( Kết quả bài kiểm tra số 2) 62

Biểu đồ 3.2 Kết quả kiểm tra sau thi thử nghiệm 62

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao độ và có tính thực tiễn

phổ dụng lớn Toán học đang phát triển như vũ bão và ngày càng thâm nhập vào các lĩnh vực khoa học, công nghệ và đời sống Vì vậy việc dạy học môn toán ở trường phổ thông phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn toán

Trong thư gửi bạn trẻ yêu toán tháng 10 năm 1967 thủ tướng Phạm Văn Đồng đã chỉ rõ: “Trong các môn khoa học và kĩ thuật, Toán học giữ vị trí nổi bật

Nó có tác dụng lớn đối với nhiều khoa học khác nhau như đối với kĩ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu Nó là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ; phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh, sáng tạo, nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quí báu như: Cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lí Dù bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và các phương pháp toán học cũng rất cần cho các bạn”

Luật giáo dục nước ta qui định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mĩ và nghề nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng

và bảo vệ tổ quốc ”

Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân chuẩn

bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống loa động, tham gia bảo vệ tổ quốc

Do vậy việc dạy và học môn toán ở trường phổ thông càng có ý nghĩa quan trọng Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay là hướng vào tổ chức cho người học học tập trong hoạt động bằng hoạt động Việc áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để phát huy năng lực tư duy sáng tạo, năng

lực giải quyết vấn đề cho học sinh, đặc biệt là đối với hoạt động bồi dưỡng học sinh

có năng khiếu toán cần phải được quan tâm trong suốt quá trình dạy học

Nội dung hình học không gian là chủ đề thuộc chương trình toán lớp 11 Đây

là học phần khá mới lạ mà học sinh khó có thể tiếp cận ngay khi học vì nó đòi hỏi ta phải có khả năng tưởng tượng không gian, suy nghĩ sáng tạo và tinh tế Chính vì vậy học sinh rất e ngại khi học phần hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Tuy nhiên kiến thức chủ đề này lại có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Hiện nay nội dung, phương pháp dạy học Toán ở trường THPT đã có những đổi mới, đặc biệt là gắn người học vào những hoạt động cụ thể Song việc vận dụng phương pháp dạy học Toán vẫn chưa bắt kịp với xu thế đổi mới nội dung, việc truyền thụ kiến thức cho học sinh còn gặp không ít khó khăn Căn cứ vào chương trình Hình học không gian ở trường THPT và yêu cầu đào tạo học sinh trong giai đoạn hiện nay, xuất phát từ những khó khăn trong việc học tập các kiến thức về hình học không gian của học sinh, cũng như vướng mắc của giáo viên trong việc dạy học phần hình học không gian, với mong muốn được góp một phần nhỏ tháo gỡ những khó khăn đó, nâng cao chất lượng dạy học hình học không gian cho học sinh

THPT, tôi chọn và nghiên cứu khóa luận “Rèn luyện khả năng đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11”

2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận được triển khai một cách thuận lợi sẽ là tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo

Học sinh THPT được trang bị khả năng đặc biệt hóa và tương tự thì các em sẽ vận dụng tốt hơn trong việc giải toán ngoài ra các em còn có thể mở rộng bài toán và

có những sáng tạo toán học

3 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng hệ thống ví dụ và đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khả năng đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học chủ đề hình học không gian cho học sinh lớp 11

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Làm sáng tỏ các khái niệm: Đặc biệt hoá và tương tự

+ Xây dựng hệ thống ví dụ và bài tập minh họa theo định hướng rèn luyện khả đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh lớp 11

+ Đề xuất một số biện pháp để rèn luyện khả năng đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh lớp 11 khi học hình học không gian

+ Thử nghiệm sư phạm

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu luận: Nghiên cứu sách báo, tạp chí, các công trình nghiên cứu có liên quan tới đề tài Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo ở trường THPT

+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các giảng viên dạy môn phương pháp dạy học toán và giáo viên dạy toán THPT có nhiều kinh nghiệm giảng dạy

- Phương pháp thử nghiệm

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Khả năng đặc biệt hóa và tương tự

+ Phạm vi nghiên cứu: Phần hình học không gian lớp 11

CHƯƠNG 1 VAI TRÒ CỦA ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC

HÌNH HỌC PHỔ THÔNG

Toán học ngày càng phát triển, mỗi ngày trôi qua đều ghi nhận được rất nhiều những thành tựu, những công trình của toán học, do đó việc học toán rất được chú trọng, ngày càng có nhiều phương pháp học, trong các cách dạy và học đó chúng ta không thể không nhắc tới những phương pháp dạy học tích cực như: dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học dự án, dạy học hợp tác…Trong quá trình vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào thực tiễn giảng dạy thì giáo viên cần có những biện pháp rèn luyện cho học sinh phát triển khả năng tư duy sáng tạo Một trong những biến pháp đó là rèn luyện cho học sinh khả năng đặc biệt hóa

Theo G.Pôlya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho”.([10],tr.22)

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu tứ giác sang nghiên cứu hình chữ nhật và tiếp tục đặc biệt hóa khi chuyển sang nghiên cứu hình vuông Trong hai bước chuyển nói trên đặc biệt hóa được thực hiện theo hai hướng khác nhau Trong bước chuyển thứ nhất, từ tứ giác đến hình chữ nhật chúng ta có sự hạn chế, cụ thể là yêu cầu các cạnh đối diện song song bằng nhau và các góc phải

bằng nhau Trong bước chuyển thứ hai, chúng ta thay đổi đối tượng cụ thể, đặc biệt hơn: Bốn cạnh bằng nhau và bốn góc đều vuông

Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Sơ đồ 1: Những dạng đặc biệt hóa thường gặp

Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, kết luận tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ cụ thể Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các bài tập,

Ví dụ 1.1 Ta có định lý sau đây: Trong tam giác vuông ABC với BCa,

ABc , CA b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

Chứng minh Xét đường tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC Kéo dài AO cắt đường tròn (O, R) tại A Ta có :

Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ cái tổng

quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái riêng

lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái riêng

lẻ chưa biết

(*)

Do đó trong mọi tam giác bất kì ta có: 2

R

Kết quả này chính là định lí sin trong tam giác

Ví dụ 1.2 Gọi 2 đường tròn là (O R và 1, 1) (O R và điểm M nằm ngoài hai 2, 2)đường tròn trên Gọi T , 1 T lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M tới 2

số không đổi là đường tròn tâm I, với I là trung điểm O ,1 O 2

Từ đó ta dự đoán rằng quỹ tích phải tìm cũng là đường tròn tâm I Dự đoán

đó gợi cho ta hướng biến đổi:

R K O O với K2 R12R22 k2 O O1 22.

Việc xét trường hợp đặc biệt: (O ),(1 O ) là các đường tròn – điểm, không 2

những giúp chúng ta dự đoán đúng quỹ tích, tìm được lời giải bài toán mà còn trả lời được câu hỏi đặt ra ở đầu bài Qũy tích tổng bình phương là quỹ tích đặc biệt hóa của quỹ tích này

Nếu đối tượng A có các dấu hiệu a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính chất có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau:

Việc Ơ-le(1707-1783) phát minh ra tổng của chuỗi các nghịch đảo của các

nhiều nhưng vẫn không tìm ra Ai tìm được và cho tôi biết thì tôi xin cảm ơn vô cùng”

Ơ-le đã chú ý tới bài toán đó Ông thấy nhiều biểu thức của tổng cần tìm, nhưng không biểu thức nào là ông vừa lòng Ông dùng một trong những biểu thức

đó để tính tổng trên chính xác đến 7 chữ số (1,644934) Nhưng đó chỉ là giá trị gần đúng mà mục đích của ông là tìm giá trị đúng Sau đó bằng tương tự ông đã đi đến một giả thuyết cực kỳ táo bạo: Đi từ phương trình bậc hữu hạn (Phương trình đại số) đến phương trình vô hạn, bằng cách ứng dụng vào trường hợp vô hạn qui tắc được thiết lập cho trường hợp hữu hạn

Từ đó không những ông tìm được tổng của chuỗi nói trên mà còn tìm ra tổng của nhiều chuỗi vô hạn khác: Chuỗi số nghịch đảo của lũy thừa bậc bốn, chuỗi nổi tiếng của Lep-nit,…

Ơ-le biết rõ rằng kết luận của mình rất táo bạo Mười năm về sau ông viết:

“Đây là một phương pháp mới và chưa được dùng vào mục đích như vậy”

Chính ông đã bị một số ý kiến phản đối, trong đó có một số ý kiến của bạn ông đưa ra, khi họ đã chấn tĩnh lại sau những phút khâm phục và kinh ngạc đầu tiên

Theo ([1],tr.12,13) phép suy luận tương tự trong toán học thường được đề cập trên các khía cạnh sau đây:

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh của chúng giống nhau

- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau trong hai vấn

đề nào đó, hoặc giữa các phần tử của chúng có quan hệ giống nhau

- Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự

Chẳng hạn, trong hình học phẳng ta có bài toán sau “Cho tam giác ABC có

O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng” Ta có bài toán tương tự trong không gian

“Cho tứ diện trực tâm ABCD có O, G, H lần lượt là tâm hình cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thẳng hàng”

Ví dụ 1.3 Sau khi giải bài toán cơ bản: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là

trọng tâm hai tam giác ABC, A’B’C’ thì 3GG' AA'BB'CC'

Giáo viên có thể đặt câu hỏi “ Nếu G trùng với G’ thì sao ?” qua đó hướng cho học sinh tìm lời giải và có nhận xét là nếu hai tam giác có cùng trọng tâm thì

“AA'BB'CC'O” (1) Như vậy, từ đó dễ dàng chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (1) là được Khi đó có thể hướng dẫn cho học sinh làm các bài toán sau:

Bài toán 1.3a (Bài toán tương tự): Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R lần

lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm

Bài toán 1.3b (Bài toán tương tự): Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có

chung đỉnh A Chứng minh rằng hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

Cũng giống như cách chứng minh tương tự như trên ví dụ 1.3, ở bài 1 ta coi

G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác MPE và NQR, để chứng minh được bài toán ta cần chứng minh MNPQER O Đối với bài toán 2 nếu vẫn coi G

và G’ là trọng tâm của hai tam giác BC’D và B’CD’ thì để chứng minh được G trùng G’ ta cũng cần chỉ ra BB'C C' DD'O

1.2 Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong toán học

Các phương pháp đặc biệt hóa, tương tự có ý nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học Đây là những phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc của nhiều phát hiện mới trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp Đặc biệt hóa và tương tự có thể vận dụng để giải bài toán đã cho, để mở rộng, đào

sâu và hệ thống hóa kiến thức

G.pôlya khẳng định: “ Đặc biệt hóa, tương tự thường hợp tác với nhau trong việc giải quyết những vấn đề toán học” và “Các phép đặc biệt hóa và tương tự thường kết hợp với nhau một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm lời giải của bài toán”([10],tr.25,28)

Khi giải một bài toán, một phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toán phải giải về một bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn, sao cho nếu giải được bài toán này thì sẽ giải được bài toán đã cho (Nhờ áp dụng kết quả hoặc phương pháp giải của bài toán đơn giản đó) Đặc biệt hóa và tương tự có nhiều tác dụng về mặt này

Nhiều khi việc giải toán tương tự trong trường hợp đặc biệt chưa giúp chúng

ta giải được bài toán đã cho Điều đó vẫn cứ tốt, vì như vậy chúng ta đã giải một

phần của bài toán Đối với một bài toán khó việc giải một được một phần của bài toán cũng rất có giá trị

Trong lịch sử toán học, có nhiều bài toán mà hàng chục năm, có khi hàng trăm năm, công sức của bao nhiêu thế hệ các nhà toán học cũng chỉ mới giải được bài toán trong một số trường hợp đặc biệt Chẳng hạn: Trước khi phát biểu định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng, có thể cho học sinh giải quyết bài toán sau: “Chứng minh rằng một đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và nếu d không nằm trong (P) thì đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung” Sau đó đi đến định nghĩa “ Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nếu d song song với một đường thẳng nằm trong (P) và d không nằm trong mặt phẳng (P)”

Đặc biệt hóa, tương tự còn là con đường giúp học sinh hình thành các tri thức

lí thuyết khác nhau như khái niệm, tính chất,

Trong toán học, cũng như trong các môn khoa học khác, cũng cần có thí nghiệm, có mò mẫm để dự đoán các kết quả, quy luật trước khi chứng minh chúng Trong không gian, đối với loại toán tìm kiếm – toán quỹ tích, tìm một điểm, một hình có tính chất nào đó, tìm biểu thức tổng quát của một đại lượng nào đó,…thì cái khó khăn đầu tiên, nhiều khi là khó khăn chủ yếu đó là dự đoán được hình phải tìm,

dự đoán được kết quả phải chứng minh Trong những trường hợp này phải biết mò mẫm, thường là bằng cách xét một số trường hợp đặc điểm của bài toán, so sánh để tìm thấy sự tương tự của các trường hợp đó, rồi tổng quát hóa và đề ra dự đoán, sau

đó nếu cần lại đặc biệt hóa để kiểm tra dự đoán

Khi giải các bài toán quỹ tích thì trừ những trường hợp thật đơn giản, còn bao giờ cũng phải tìm cách dự đoán hình dạng, vị trí của quỹ tích Để dự đoán quỹ tích ta thường xét một vị trí đặc biệt của điểm (Đường thuộc quỹ tích Thông thường việc tìm quỹ tích khó hơn việc chứng minh quỹ tích là hình gì)

Trong “Tập luyện cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học”, tác giả Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Chẳng hạn trong một kì thi học sinh giỏi, có một câu về quỹ tích không ai làm được vì đầu bài chỉ ra: “ Tìm quỹ tích của…” mà không cho biết rõ quỹ tích đó là hình gì, nhất là ở bậc học phổ thông, quỹ tích nếu không là đoạn thẳng thì đường tròn, cung tròn”

1.3 Vai trò của đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11

Trong quá trình tìm hiểu tác giả nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian

Hình học không gian là một phần rất quan trọng trong nội dung thi THPT Quốc gia, nếu học sinh không nắm chắc kiến thức thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng khi làm bài tập trong về hình học không gian trong đề thi THPT Quốc gia

Qua thời gian tìm hiểu kiến thức về Hình học không gian, tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó

mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng

Đặc biệt hóa và tương tự có vai trò nhất định trong việc học và giải quyết các vấn đề về hình học không gian, nếu hiểu và áp dụng tốt các kiến thức của đặc biệt hóa và tương tự vào việc học hình học không gian lớp 11, các em sẽ có một nền tảng kiến thức về hình học không gian khá chắc chắn, tự tin khi làm các bài tập, mang lại hiệu quả trong việc học hình học lớp 11

1.4 Thực trạng rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không gian lớp 11 trường THPT Hương Cần - Thanh Sơn - Phú Thọ

Tại trường THPT Hương Cần, phần hình học không gian lớp 11 là một lượng kiến thức tuy không lớn nhưng lại là phần kiến thức khó, đòi hỏi tính tư duy, trừu tượng cao, các thầy cô khi giảng dạy phần kiến thức này chưa chú trọng rèn luyện cho các em đặc biệt hóa và tương tự, bên cạnh đó các em cũng rất e ngại lượng kiến

thức này, chỉ học về các dạng và các cách giải các dạng bài tập đó, học theo kiểu thầy đọc trò chép mà chưa chú trọng đến việc sáng tạo, tìm ra lời giải nhanh, chính xác

1.4.1 Mục đích và đối tượng điều tra

Bước đầu tìm hiểu thực trạng việc dạy học theo chủ đề hình học không gian

và việc rèn luyện các kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học hình học không gian cho học sinh lớp 11 của trường THPT Hương Cần – Thanh Sơn – Phú Thọ

1.4.2 Đối tượng điều tra

Giáo viên đang giảng dạy trực tiếp và học sinh lớp 11 trường THPT Hương Cần – Thanh Sơn – Phú Thọ

1.4.3 Nội dung điều tra

 Đối với giáo viên tôi tiến hành điều tra các vấn đề sau:

- Các phương pháp dạy học được giáo viên sử dụng khi giảng dạy phần hình học không gian cho học sinh lớp 11

- Mức độ sử dụng một số phương pháp dạy học tích cực trong quá trình giảng dạy hình học

- Nhận thức của giáo viên về tầm quan trọng của mỗi phương pháp dạy học trong dạy học hình học không gian lớp 11

- Đánh giá của giáo viên về số lượng có nội dung hình học trong SGK toán

11 giúp học sinh rèn luyện khả năng đặc biệt hóa và tương tự

- Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự của học sinh lớp 11 khi học hình học không gian

 Nội dung phiếu điều tra xem trong phần phụ lục

* Ý định sư phạm của các câu hỏi trong phiếu điều tra

Câu 1: Điều tra các phương pháp dạy học trong quá trình dạy học

Câu 2: Điều tra mức độ sử dụng các phương pháp đã nêu ở câu 1

Câu 3: Điều tra về số lượng các bài tập hình học trong SGK lớp 11 có nội dung đặc biệt hóa và tương tự

Câu 4: Điều tra tầm quan trọng của đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học phần hình học không gian lớp 11

Câu 5: Điều tra mức độ rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh trong phần hình học không gian lớp 11

 Đối với học sinh: Thông qua bài kiểm tra số 1 chúng tôi điều tra mức độ sử dụng các kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự của học sinh lớp 11

* Ý định sư phạm của đề kiểm tra

Câu 1: Kiểm tra kiến thức về hình chóp tứ giác, hình chóp đều Kiểm tra kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, kĩ năng

vẽ hình, đọc bài tập hình học, khả năng vận dụng đặc biệt hóa và tương tự để giải bài tập về

Câu 2: Kiểm tra kiến thức về hình lăng trụ, kiến thức về khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, cách vẽ và cách xác định về đường vuông góc chung đó

Thang điểm:

 Phần trắc nghiệm : 4 điểm

 Phần tự luận: 6 điểm

1.4.4 Phương pháp điều tra

 Phương pháp điều tra bằng phiếu trưng cầu ý kiến

 Phương pháp quan sát

 Phương pháp phỏng vấn

 Phương pháp thống kê toán học

1.4.5 Phân tích kết quả điều tra

Sau khi nghiên cứu lí luận có liên quan đến đề tài, tôi tiến hành sử dụng các phương pháp như: Phương pháp quan sát, phương pháp điều tra bằng trao đổi, đàm thoại….đối với một số giáo viên và học sinh trường THPT Hương Cần về việc giảng dạy và rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự trong dạy học hình học không gian cho học sinh lớp 11

Tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra cho 12 giáo viên dạy môn toán và 32 phiếu điều tra cho học sinh, sau đó thu lại và toàn bộ số phiếu phát ra, sử dụng phương pháp thống kê và đưa ra kết quả như sau:

Bảng 1.1: Mức độ sử dụng một số phương pháp dạy học các chủ đề kiến thức

hình học không gian lớp 11 ( Đơn vị:%)

STT Tên phương pháp dạy học

Mức độ sử dụng Thường

xuyên

Bình thường

Hiếm khi

Không

sử dụng

5 PPDH phát hiện và giải quyết

pháp giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động trong việc lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được nhiều mục đích khác Song trong quá trình dạy học các chủ đề kiến thức hình học của giáo viên chưa tổ chức được nhiều tình huống có vấn đề, chưa phát huy hết khả năng sáng tạo, tưởng tượng hình học không gian của học sinh, điều này làm ảnh hưởng đến chất lượng học tập của học sinh

Bảng 1.2: Quan niệm của giáo viên về tầm quan trọng của mỗi phương pháp

dạy học các chủ đề kiến thức hình học 11 ( Đơn vị:%)

STT Tên phương pháp dạy học

Mức độ sử dụng Quan

trọng

Bình thường

Không quan trọng

5 PPDH phát hiện và giải quyết

Bảng số liệu 1.2 đã phản ánh được quan niệm của giáo viên về tầm quan trọng của các phương pháp dạy học trong việc truyền thụ các tri thức cho học sinh Cho thấy giáo viên coi trọng việc luyện tập tri thức cho học sinh thông qua các bài tập nhiều hơn là sử dụng các phương pháp khác, vì vậy chưa đi sâu vào khai thác các nội dung kiến thức, chưa phát huy hết khả năng của học sinh trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề

Bảng 1.3: Đánh giá của giáo viên về số lượng các bài tập có nội dung nhằm phát triển kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh trong SGK lớp11

STT

Số lượng bài tập có nội dung giúp học sinh rèn luyện kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự

Số lượng ý kiến

Tỷ lệ (%)

Bảng 1.4: Tầm quan trọng của việc rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học

sinh lớp 11 ( Đơn vị: %)

STT

Tầm quan trọng của việc rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh lớp 11

Số lượng ý kiến Tỷ lệ (%)

cho học sinh năng lực học tập, đồng thời chủ động tạo ra các hoạt động phát triển nhận thức cho học sinh

Bảng 1.5: Nhận thức của giáo viên về mức độ rèn luyện và phát triển kỹ năng

đặc biệt hóa và tương tự cho học sinh (Đơn vị: %)

Bảng số liệu 1.5 cho thấy có 83,3% giáo viên thường xuyên dạy học các chủ

đề hình học cho học sinh theo hướng rèn luyện kĩ năng đặc biệt hóa và tương tự, 16,7% giáo viên còn lại chỉ thỉnh thoảng cho học sinh tham gia các hoạt động rèn luyện về đặc biệt hóa và tương tự Như vậy, ngoài việc nhận thức tầm quan trọng của việc rèn luyện các kỹ năng, năng lực học tập cho học sinh, giáo viên cần thường xuyên tạo ra các hoạt động để học sinh tự rèn luyện và phát triển tư duy Học sinh không chỉ dừng lại ở mức độ nắm vững các kiến thức, mà còn sáng tạo, chủ động trong việc tìm hiểu các kiến thức liên quan và thực hiện các hoạt động ở mức độ cao

Qua kết quả đạt được ở cả hai lớp thử nghiệm và lớp đối chứng sau khi tiến hành kiểm tra (Kết quả cụ thể có trong phần thử nghiệm ở chương 3) cho thấy: Đa

số học sinh ở cả hai lớp chưa chú trọng đến các yếu tố đặc biệt hóa và tương tự khi làm bài kiểm tra, số lượng đạt điểm giỏi thấp, điểm trung bình và điểm yếu còn nhiều, đa số học sinh đạt điểm khá

Từ những thực trạng này đòi hỏi giáo viên cần có phương pháp dạy học hiệu quả, cần rèn luyện cho học sinh khả năng đặc biệt hóa và tương tự nhiều hơn

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương 1 của đề tài đã bao gồm những vấn đề then chốt về lí luận của đặc biệt hóa và tương tự Đây là những kiến thức rất quan trọng cho giáo viên lựa chọn con đường dạy học toán ở THPT có hiệu quả, nâng cao chất lượng đào tạo và khả năng phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ của học sinh trong dạy học Toán nói chung, dạy học hình học không gian nói riêng Bên cạnh đó, trên cơ sở điều tra thực tiễn, đề tài đã bước đầu điều tra được tình hình học tập các chủ đề kiến thức Hình học không gian của học sinh 11 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học theo xu hướng đổi mới và thực trạng việc vận dụng các phương pháp dạy học truyền thống và phương pháp dạy học đổi mới trong quá trình giảng dạy Hình học không gian của giáo viên trường THPT Hương Cần - Thanh Sơn - Phú thọ Đây là những vấn đề hết sức cần thiết, đặt nền móng cho việc lựa chọn các nội dung, phương pháp dạy học các chủ đề kiến thức hình học không gian

Đặc biệt hóa và tương tự có quan hệ mật thiết với nhau trở thành một phương pháp suy nghĩ sáng tạo và là nguồn gốc phong phú của nhiều phát minh trong toán học

sơ cấp cũng như trong toán học cao cấp

Đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp học sinh mò mẫm, dự đoán để tìm ra lời giải của bài toán, hoặc mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức Từ những kiến thức, bài toán đã có chúng ta có thể vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự để hình thành những tri thức mới Trên cơ sở đó chúng ta

sẽ đào sâu và hiểu kĩ các khái niệm, định lí,xác lập mối liên hệ và sự thống nhất giữa những tri thức mà chúng ta thu nhận được góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ TRONG DẠY HỌC

CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 2.1 Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học khái niệm, định nghĩa toán học

2.1.1 Dạy học khái niệm toán học

Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ môn khoa học nào ở nhà trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần hình thành thế giới quan cho học sinh Việc dạy học khái niệm toán học về hình học không gian ở lớp 11 phải làm cho học sinh dần đạt được các yêu cầu sau:

a/ Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

b/ Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

c/ Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

d/ Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tiễn

e/ Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong hệ thống khái niệm

2.1.2 Các con đường hình thành khái niệm Toán học

Hình thành khái niệm toán học là quá trình bao gồm tiếp cận khái niệm và vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề khác nhau trong khoa học và đời sống Trong đó, tiếp cận khái niệm là khâu đầu tiên và được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn đến sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, giải thích hay chỉ thông qua trực giác ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không được gọi là con đường hình thành khái niệm Trong dạy học, có ba con đường tiếp cận khái niệm chủ yếu là:

a) Con đường quy nạp

Theo con đường quy nạp, xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ (Như vật thật, mô hình, hình vẽ,…) dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hóa hoặc khái quát để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết trực giác

về khái niệm đó tùy theo yêu cầu của chương trình

Con đường quy nạp thường diễn ra trong những điều kiện sau:

+ Chưa phát hiện được một khái niệm loại nào làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

+ Đã định hình một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó có đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp

b) Con đường suy diễn

Hình thành khái niệm theo con đường suy diễn là đi ngay vào khái niệm mới như một trường hợp riêng lẻ của khái niệm nào đó mà học sinh đã được học Con đường này thường được sử dụng khi có thể gợi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định nghĩa một khái niệm hẹp hơn

c) Con đường kiến thiết

Trong khi con đường quy nạp và con đường suy diễn được trình bày trong các tài liệu liên quan đến giáo dục thì con đường kiến thiết mới chỉ được đề cập trong những bài giảng của Pietzscr Con đường tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết mang cả những yếu tố quy nạp và suy diễn Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ, xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ, khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc điểm tổng quát, đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của học sinh và rèn luyện cho học sinh khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái niệm Tuy nhiên, con đường này nói chung dài, tốn nhiều thời gian

Con đường kiến thiết thường được sử dụng trong các điều kiện sau:

+ Học sinh chưa định nghĩa được những đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm , do đó con đường quy nạp không thích hợp

+ Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với khái niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

2.1.3 Hoạt động củng cố khái niệm toán học

a) Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm

Nhận dạng và thể hiện khái niệm và hai hoạt động theo chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vận dụng khái niệm Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong học tập môn toán học là một số học sinh thuộc các phát biểu, định nghĩa ấy, nhưng không tự mình tạo

ra những đối tượng thỏa mãn định nghĩa Vì vậy, cần cho học sinh tiến hành những hoạt động nhận dạng, thể hiện để khắc phục chủ nghĩa hình thức, củng cố khái niệm Khi tập dượt cho học sinh hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm cần lưu

ý sử dụng những đối tượng thuộc ngoại diên lẫn những đối tượng không thuộc ngoại diên của đối tượng đó Cần thiết có thể đưa ra cả những trường hợp đặc biệt với những đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm, nhằm làm nổi bật bản chất của khái niệm giúp học sinh hiểu sâu sắc về đặc trưng của khái niệm

b) Hoạt động ngôn ngữ

Nhằm giúp học sinh củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ cần chú ý hướng dẫn và khuyến khích, định nghĩa theo lời lẽ của mình, biết thay đổi cách phát biểu hoặc diễn đạt định nghĩa dưới dạng ngôn ngữ khác nhau, biết phân tích, nêu bật những ý quan trọng trong định nghĩa một cách tường minh và ẩn tàng

c) Khái quát hóa, hệ thống hóa, đặc biệt hóa và tương tự

+ Khái quát hóa là mở rộng khái niệm, chẳng hạn từ khái niệm tiếp tuyến của đường tròn tới tiếp tuyến của đường cong

+ Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa

+ Hệ thống hóa chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống các khái niệm đã học, nhận biết những mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái niệm, đặc biệt chú ý quan hệ chủng - loại giữa hai khái niệm

Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm

Khi dạy học khái niệm toán học ta không nên tuyệt đối hóa xem nhẹ con đường nào Khi hình thành khái niệm theo con đường quy nạp cần chú trọng khả năng phát triển các thao tác trí tuệ như trừu tượng hóa, khái quát hóa, so sánh

Ví dụ 2.1 Dạy học khái niệm “Góc giữa hai đường thẳng” trong không gian

Trong mặt phẳng chúng ta có khái niệm về góc giữa hai đường thẳng “Góc

giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong 4 góc tạo thành”

Như vậy nếu  là góc tạo thành bởi hai đường thẳng a và b thì 00   900

Xuất phát từ khái niệm này ta cũng có khái niệm góc giữa hai đường thẳng trong không gian tương tự như sau: Trong không gian cho hai đường thẳng a, b Từ một điểm O bất kì, vẽ a/ /a , / /b b

Khi đó: ( , ) ( , )a b  a b 

Để học sinh nắm được khái niệm này, giáo viên cần chỉ ra cách học sinh vẽ được ,a b , sau đó gọi học sinh lên bảng đo góc với cách làm tương tự như đo góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng

a

b

α

b' a' b

a

O

Ví dụ 2.2 Dạy học khái niệm “Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng”

Từ khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng trong mặt phẳng “Đường thẳng d được gọi là đường trung trực của AB khi d vuông góc với AB tại trung điểm của đoạn thẳng AB” và quan hệ vuông góc trong không gian chúng ta hình thành nên khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian là mặt phẳng đặc

biệt chứa tất cả các đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng và đi qua trung điểm của

đoạn thẳng AB

Với khái niệm này giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng AB trong một mặt phẳng tại một điểm cố định, sau đó vẽ nhiều đường thẳng tương tự trong không gian mà cùng vuông góc với đoạn thẳng

AB cho trước tại trung điểm của đoạn thẳng, sau đó dự đoán quỹ tích của các đường thẳng Từ đó hình thành nên khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Ví dụ 2.3 Dạy học khái niệm “ Hai đường thẳng vuông góc” trong không gian

d

A

B

A

B

Trong mặt phẳng ta có khái niệm “Hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi chúng cắt nhau tại một điểm, góc tạo thành giữa chúng là 90°”

Tương tự, trong không gian ta cũng có khái niệm “Hai đường thẳng được gọi

là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°”

Để học sinh hiểu được khái niệm này trong không gian, giáo viên cần lấy dẫn chứng minh học từ thực tế hoặc giáo cụ trực quan, cần chỉ rõ cho học sinh thấy trong không gian hai đường thẳng vuông góc không nhất thiết phải cùng thuộc một mặt phẳng hay cắt nhau tại một điểm, từ đó có thể dẫn học sinh đến với khái niệm hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Ví dụ 2.4 Dạy học khái niệm “Hình tứ diện đều’’

Xuất phát từ khái niệm hình tứ diện: “Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD là hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD Các điểm A, B, C,D được gọi là các đỉnh của tứ diện” giáo viên hướng dẫn cho học sinh hiểu khái niệm “Hình tứ diện đều” bằng cách chỉ ra cho học sinh thấy khi bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD

là các tam giác đều thì tứ diện ABCD là tứ diện đều Qua đó giúp cho học sinh hiểu

rõ khái niệm hình tứ diện đều: “Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều”

Trong hình tứ diện đều tất cả các cạnh đối đều vuông góc với nhau, do đó tứ diện đều còn được gọi là tứ diện trực tâm

Ví dụ 2.5 Dạy học về phép chiếu vuông góc trong không gian

D

A

B

C

Cho mặt phẳng   và đường thẳng cắt   Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với sẽ cắt   tại điểm M xác định Điểm ' M được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên 'mặt phẳng   theo phương của đường thẳng hoặc nói gọn là theo phương  Mặt phẳng   gọi là mặt phẳng chiếu Phương gọi là phương chiếu

Từ ví dụ trên nếu phương chiếu ∆ vuông góc với mặt phẳng α, khi đó MMvuông góc với mặt phẳng α, hay nói cách khác phép chiếu vuông góc là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song được hình thành bằng cách cho phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu



Ví dụ 2.6 Cho hai mặt phẳng song song    và    ' Trên    cho đa giác lồi A A1 2 An Qua các đỉnh A A1, 2, , An ta vẽ các đường thắng song song với nhau và cắt    ' lần lượt tại A A1', ' , ,2 An'

Hình gồm hai đa giác A A1 2 An và A A1' 2' An'và các hình bình hành

+ Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ

' 4

A

' 2

A

' 1

A

' 5

A

' 1

A

' 3

Nhận xét:

 Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau

 Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành

 Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau

Dựa vào ví dụ này, khi cho các mặt bên vuông góc với đáy ta có định nghĩa về hình lăng trụ đứng như sau: “Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy Độ dài cạnh bên chính là chiều cao của hình lăng trụ đứng” Hình lăng trụ đứng có đầy đủ các tính chất của hình lăng trụ, tương tự như các nhận xét đối với hình lăng trụ, ta có nhận xét của hình lăng trụ đứng:

 Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,…được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,

 Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều

Ta có các loại lăng trụ đều như hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều, hình lăng trụ ngũ giác đều,…

 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng

 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật

 Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương

Ta có thể cụ thể một hình lăng trụ đứng bằng hình lập phương qua hình vẽ sau:

2.2 Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào dạy học định lí toán học về hình học không gian lớp 11

2.2.1 Dạy học định lí toán học

2.2.1.1 Hai con đường dạy học định lí

Trong việc dạy học những định lí toán học, người ta phân biệt hai con đường: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn và được minh họa trong bảng

sơ đồ sau:

Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn

Sơ đồ 2: Hai con đường dạy học định lí

a) Con đường có khâu suy đoán

+ Gợi động cơ học tập định lí suốt phát từ một nhu cầu nảy sinh trong nội bộ toán học hay trong thực tiễn

+ Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán quy nạp không hoàn toàn, lật ngược lại vấn đề, khái quát hóa, tổng kết hóa, tương tự hóa,…

+ Chứng minh định lí, trong đó chú ý tới gợi động cơ chứng minh cho học sinh hoạt động ăn khớp với phương pháp suy luận

Suy diễn dẫn tới định lí Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra

Dự đoán và phát biểu định lí

Củng cố định lí

Phát biểu định lí Chứng minh định lí

+ Vận dụng định lí vừa tìm được giải quyết khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động

cơ

+ Củng cố định lí, dùng kết quả thu được áp dụng giải quyết một số bài toán cụ thể

b) Con đường suy diễn

Cũng bao gồm các bước như con đường quy nạp đó là:

Hoạt động ngôn ngữ

Cần chú trọng phân tích cấu trúc logic và phân tích nội dung của định lí, khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lí nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập những ý nghĩ của mình

Khái quát hóa,hệ thống hóa, đặc biệt hóa và tương tự

Trong việc dạy học các định lí toán học cũng như dạy học khái niệm cần cho học sinh hiểu và nằm vững hệ thống kiến thức Sau mỗi phần, mỗi chương cần tiến hành hệ thống hóa các định lí, chủ yếu nêu rõ mối quan hệ giữa chúng

Mối quan hệ giữa các định lí có thể là mối quan hệ riêng, chung hay một định lí có thể là trường hợp mở rộng hay đặc biệt của một định lí nào đó đã biết, cũng có thể là mối liên hệ suy diễn tương tự, định lí này suy ra định lí khác thông qua tính đặc biệt hoặc tương tự

Việc dạy học quy tắc toán học có thể tiến hành theo hai con đường: con đường suy diễn và con đường có khâu suy đoán Việc đi theo con đường nào không phải là tùy tiện mà tùy theo nội dung quy tắc và tùy điều kiện cụ thể của học sinh

Quá trình dạy học quy tắc có khâu suy đoán chứa đựng nhiều khả năng phát triển những năng lực trí tuệ như khái quát hóa, so sánh, tương tự, nên ta cần chú trọng khai thác khả năng này

Chương trình dạy học toán ở nhà trường phổ thông nói chung và ở trung học phổ thông nói riêng, nhiều quy tắc là khái quát của những quy tắc mà học sinh đã học Chúng ta có thể dạy quy tắc như vậy theo con đường có khâu suy đoán, qua đó vừa góp phần phát triển năng lực trí tuệ lên trên, vừa giúp học sinh liên hệ kiến thức vừa học và kiến thức đã học, từ đó góp phần hệ thống hóa kiến thức

Việc dạy học các định lí toán học nhằm đảm bảo các yêu cầu sau:

* Học sinh nắm được hệ thống định lí và các mối liên hệ giữa chúng, từ đó

có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

* Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lí, thấy được chứng minh định lí là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc, trong lĩnh vực toán học

* Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh, nâng lên mức độ biết suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của trường phổ thông

Con đường suy diễn thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học sinh có thể hiểu được và tự mình thực hiện tới một mức độ nhất định

Mặc dù tốn nhiều thời gian nhưng có nhiều ưu điểm sau:

* Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn

đề, khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn

* Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh

* Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,

Tuy nhiên điều kiện đó không bao giờ được thỏa mãn Vì vậy mà còn phải sử dụng con đường thứ hai khi cần thiết Con đường thứ hai có ưu điểm là ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinh tập dượt tự học theo sách báo toán học Trong quá trình dạy

học, nó thường được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để học sinh có thể tìm tòi, phát hiện định lí hoặc quá trình dẫn tới định lí là đơn giản và ngắn gọn

Để củng cố định lí giáo viên còn cần thiết và thực hiện nhiều hoạt động khác nữa, trước hết là :

 Đặc biệt hóa, chẳng hạn trong hệ thức lượng 2 2 2

a b  c 2bccos đối với

tam giác, thay  90 để được định lí pitago trong tam giác vuông

 Hệ thống hóa chủ yếu là biết sắp xếp định lí mới vào hệ thống định lí đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những định lí khác nhau trong một hệ thống định lí

 Mối liên hệ giữa những định lí có thể là mối liên hệ giữa tổng quát và đặc biệt, cũng có thể là mối liên hệ suy diễn

 Việc vận dụng định lí để giải bài tập toán, kể cả những bài tập chứng minh, và những vấn đề nảy sinh trong toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố định lí mà còn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí

Ví dụ 2.7 Dựa vào tiên đề Ơ-cơ-lit “Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng cho

trước có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm đó và song song với đường thẳng

đã cho”

ta có định lí tương tự trong không gian “Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho”

Khi dạy học định lí này, giáo viên sau khi cho học sinh hiểu được tiên đề trong mặt phẳng cần đưa ra mô hình minh họa khi đưa định lí tương tự vào trong không gian, cần chỉ rõ ra điểm cố định, sau đó chỉ ra đường thẳng duy nhất đi qua điểm

đó và thỏa mãn tiên đề Bên cạnh định lí nêu trên ta còn có định lí sau tương tự sau

“ Trong không gian qua một đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với mặt phẳng đã cho”

a

b

A

Ví dụ 2.8 Trong mặt phẳng đối với tam giác ta có định lí Ta-let “Trong một tam

giác nếu có một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn

lại thì đường thẳng đó vạch trên hai cạnh đã cắt các đoạn thẳng tỉ lệ”

Trong không gian ta cũng có định lí Ta-lét tương tự như sau “Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tỉ lệ tương ứng”

Ví dụ 2.9 Từ định lí Ta-lét trong không gian ở ví dụ 2.5, nếu d và d’ là hai đường

thẳng song song lúc này ta có định lí đặc biệt sau “Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau”

C' B' A'

C B A

d' d

Ví dụ 2.10 Ví dụ về tương tự nhưng khi kiểm kiểm tra không chính xác

Ta có định lí “Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b, đường thẳng

c cũng vuông góc với đường thẳng b thì a song song b” Định lí này có đúng trong không gian?

Định lí này hoàn toàn chính xác khi ta kiểm chứng trong mặt phẳng, tuy nhiên trong không gian, định lí này không đúng, do đó khi dạy học về tương tự giáo viên cần chú ý đến tính đúng sai

2.3 Rèn luyện đặc biệt hóa và tương tự vào giải bài tập của một số chủ đề hình học không gian lớp 11

2.3.1 Vị trí và vai trò của bài tập hình học không gian

Ở trường phổ thông nói chung và ở trường THPT nói riêng, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, có thể coi việc dạy toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán về hình học không gian lớp 11 là phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường THPT Vì vậy việc tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học

có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học về hình học không gian lớp 11 được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát,

để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,

Tất nhiên việc dạy giỏi một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào dụng ý đơn giản nhất mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu

Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng được một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau

a

c

b

Những chức năng này đều hướng tới mục đích dạy học Trong môn toán, các bài tập nói chung và các bài tập về hình học không gian nói riêng có các chức năng sau:

* Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

* Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và đạo đức người lao động mới

* Với chức năng phát triển, bài tập phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học

* Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

* Trên thực tế, chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh hay công khai Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật của mình.([5],tr.201,202)

2.3.2 Dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông nói chung và THPT nói riêng có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật toán để giải Đối với những bài toán ấy, hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải Đây là cơ hội rất tốt để trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán, phương pháp toán học hóa – nhằm rèn luyện và phát triển ở học sinh năng lực

tư duy khoa học Biết đề ra cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong chừng mực nào đó sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của Pôlya là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của giáo viên trong dạy và học toán Đó là những lời khuyên của những người có kinh nghiệm giải toán chứ không phải là bảng chỉ dẫn có tính chất thuật toán