LÝ THUYẾT THÔNG TIN CHƯƠNG III: TÍN HIỆU VÀ NHIỄU

Tương tự, tín hiệu ở đầu ra của một nguồn sinh thông tin được đặc trưng như một tín hiệu ngẫu nhiên biến đổi theo thời gian.. Ta đã định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên như tất cả các mẫu

CHƯƠNG III: TÍN HIỆU VÀ NHIỄU 3.1 Tín hiệu xác định và các đặc trưng vật lý của tín hiệu xác định

3.1.1 Tín hiệu xác định

Tín hiệu xác định (Deterministic signal) thường được xem là một hàm xác định của biến thời gian t Hàm này có thể được mô tả bằng một biểu thức giải tích hoặc được mô tả bằng đồ thị, nhờ vậy có thể dự báo giá trị của tín hiệu trong tương lai

3.1.1.1 Tín hiệu xác định cơ bản

Tín hiệu cơ bản đó là những tín hiệu có thể biểu diễn đơn giản, số lượng các thông số ít nhất Đó là các loại tín hiệu:

- Tín hiệu một chiều

- Xung đơn vị lý tưởng

- Tín hiệu hình sin

a Tín hiệu một chiều

Hình 3.1 Tín hiệu một chiều

Tín hiệu một chiều không thay đổi theo thời gian, phương trình của nó:

(3-1) x: là thông số duy nhất có thể mang thông tin

b Xung đơn vị lý tưởng

Hình 3.2 Xung đơn vị lý tưởng

Đó là hàm delta

(3-2) Trong đó:

: hàm delta : thời gian chạy : thời điểm tác động của xung

( )

x t  x const

0

u

u

t t

t t

t t

   ���� �

�

(t t u)

 

t

u

t

Như vậy một xung đơn vị lý tưởng có 3 thông số: độ rộng xung , biên độ xung , thời điểm xuất hiện xung Thời điểm xuất hiện xung là thông số duy nhất đặc trưng cho tín hiệu có thể mang thông tin

c Tín hiệu xoay chiều hình sin

(3-3) Tín hiệu xoay chiều hình sin được xác định bởi 3 thông số:

- Biên độ X

- Chu kỳ T hay tần số

- Góc pha

Bất kỳ thông số nào trong đó cũng có thể mang thông tin Tín hiệu hình sin là tín hiệu phổ biến

Hình 3.3 Tín hiệu hình sin

3.1.1.2 Tín hiệu xác định phức tạp

Tín hiệu xác định phức tap bao gồm tín hiệu đa hài, tín hiệu xung c và nhiều dạng khác

Ta lần lượt xét các loại chính

a Tín hiệu đa hài

Tín hiệu đa hài còn gọi là tín hiệu có chu kỳ được viết dưới dạng:

(3-4) Tín hiệu này lặp lại giá trị của nó sau khoảng thời gian T gọi là chu kỳ Tín hiệu đa hài

có thể viết dưới dạng một dãy Fourier

(3-5) Như vậy tín hiệu đa hài có chu kỳ bao gồm thành phần không đổi , số sóng hài (vô hạn) và dịch pha ban đầu Bất kỳ thông số nào của tín hiệu đều có thể mang thông tin

b Tín hiệu xung có chu kỳ

Tín hiệu xung có chu kỳ là tín hiệu có dạng:

0

 

m

2

x t  X ft  X  t

2

2 f T





x t  x t kT� k 

0 1

2 cos

n

x t x �C nft 



0

n



(3-6)

Hình 3.4 Tín hiệu xung vuông

Các thông số của tín hiệu xung:

- Biên độ xung

- Chu kỳ nhắc lại T

- Độ rộng xung

Bất kỳ thông số nào của tín hiệu đều có thể mang thông tin

0 0

x t

t T





�

m

X



3.1.2 Các đặc trưng vật lý của tín hiệu xác định

Một số đặc trưng vật lý của tín hiệu xác định như sau

- Thời hạn của tín hiệu (T): Thời hạn của tín hiệu là khoảng thời gian tồn tại của tín hiệu, trong khoảng này giá trị của tín hiệu không đồng nhất bằng 0

- Bề rộng phổ của tín hiệu (F): Đây là miền xác định bởi tần số khác 0 cao nhất của tín hiệu

- Năng lượng của tín hiệu (E): Năng lượng của tín hiệu có thể tính theo miền thời gian hay miền tần số

[J] (3.1)

- Công suất của tín hiệu

(3.2)

3.2 Tính ngẫu nhiên của tín hiệu và nhiễu

3.2.1 Bản chất ngẫu nhiên của tín hiệu và nhiễu

Như đã xét ở trên, chúng ta coi tín hiệu là biểu diễn vật lý của tin (trong thông tin vô tuyến: dạng vật lý cuối cùng của tin là sóng điện từ) Quá trình vật lý mang tin diễn ra theo thời gian, do đó về mặt toán học thì khi có thể được, cách biểu diễn trực tiếp nhất cho tín hiệu

là viết biểu thức của nó theo thời gian hay vẽ đồ thị thời gian của nó

Với cách coi tín hiệu là biểu hiện vật lý của tin, nếu chúng ta hoàn toàn biết trước nó thì

về mặt thông tin, việc nhận tín hiệu đó không có ý nghĩa gì Nhưng nếu ta hoàn toàn không biết gì về tín hiệu truyền đi, thì ta không thể thực hiện nhận tin được Bởi vì khi đó không có cái gì làm căn cứ để phân biệt tín hiệu với những cái không phải nó, đặc biệt là với các nhiễu Như vậy, quan niệm hợp lý nhất là phải kể đến các đặc tính thống kê của tín hiệu, tức là phải coi tín hiệu là một quá trình ngẫu nhiên Chúng ta sẽ gọi các tín hiệu xét theo quan điểm thống

kê này là các tín hiệu ngẫu nhiên

3.2.2 Định nghĩa và phân loại nhiễu

Nhiễu là tất cả những tín hiệu vô ích có ảnh hưởng xấu đến việc thu tin Nguồn nhiễu có thể ở ngoài hoặc trong hệ Nếu nhiễu xác định thì việc chống nó không có khó khăn gì về mặt nguyên tắc

Định nghĩa: Nhiễu là tất cả nhưng tín hiệu không mong muốn gây ảnh hưởng xấu đến quá trình truyền và nhận tin

Cần phân biệt nhiễu với sự méo gây ra bởi đặc tính tần số và đặc tính thời gian của các thiết bị, kênh truyền (méo tuyến tính và méo phi tuyến) Về mặt nguyên tắc, ta có thể khắc phục được chúng bằng cách hiệu chỉnh

Nhiễu đáng lo ngại nhất vẫn là các nhiễu ngẫu nhiên Cho đến nay, việc chống các nhiễu ngẫu nhiên vẫn gặp những khó khăn lớn cả về mặt lý luận lẫn về mặt thực hiện kỹ thuật Do

đó, trong giáo trình này ta chỉ đề cập đến một dạng nào đó của nhiễu ngẫu nhiên, mà thường xét nhất là nhiễu cộng

Việc chia thành các loại nhiễu khác nhau có thể theo các dấu hiệu sau:

1 Theo bề rộng phổ của nhiễu: có nhiễu giải rộng (phổ rộng như phổ của ánh sáng trắng gọi là tạp âm trắng), nhiễu giải hẹp (gọi là tạp âm màu)

2 Theo quy luật biến thiên thời gian của nhiễu: có nhiễu rời rạc và nhiễu liên tục

3 Theo phương thức mà nhiễu tác động lên tín hiệu: có nhiễu cộng và nhiễu nhân

2



 �  �

E

P

T



Nhiễu cộng sinh ra một tín hiệu ngẫu nhiên không mong muốn và tác động cộng thêm vào tín hiệu ở đầu ra Nhiễu cộng là do các nguồn nhiễu công nghiệp và vũ trụ tạo ra, luôn luôn tồn tại trong các môi trường truyền lan của tín hiệu Dải phổ của nhiễu cộng rất rộng, cho nên với bất kỳ tìn hiệu có phổ ở đoạn tần số nào, chúng cũng tạo thành một nền trùm lên tín hiệu Vể mặt toán học, tác động của nhiễu cộng lên tín hiệu được biểu diễn bởi hệ thức sau:

là tín hiệu gửi đi

là tín hiệu thu được

là nhiễu cộng Nhiễu nhân, tác động nhân vào tín hiệu, gây ra do phương thức truyền lan của tín hiệu, hay là sự thay đổi thông số vật lý của bộ phận môi trường truyền lan khi tín hiệu đi qua Trong trường hợp đầu nhiễu sẽ tác động nhanh lên tín hiệu, và tác động chậm trong trường hợp thứ hai vì các biến động của môi trường thường xảy ra với những chu kỳ vài phút đến vài giờ hoặc hơn nữa Hiện tượng này thường gặp trong khi thu các tín hiệu vô tuyến ở dải sóng ngắn, bằng nhiều con đường truyền lan khác nhau, tùy theo sai trình (dài ngắn khác nhau) của các đường

đó thay đổi làm cho tổng cường độ điện trường ở đầu thu biến đổi, gây ra biên độ tín hiệu thu khi lớn khi bé và đôi khi mất hẳn, chúng ta gọi là hiện tượng fading Về mặt toán học nhiễu nhân được biểu diễn bởi:

là nhiễu nhân Khi tín hiệu chịu tác động đồng thời của cả nhiễu cộng và nhiễu nhân thì:

4 Theo cách bức xạ của nhiễu: có nhiễu thụ động và nhiễu tích cực

Nhiễu thụ động là các tia phản xạ từ các mục tiêu giả hoặc từ mặt đất trở về nguồn thu khi các tín hiệu truyền đi va đập vào chúng Nhiễu tích cực (chủ động) do một nguồn bức xạ năng lượng (các đài hoặc các hệ thống lân cận) hoặc máy phát nhiễu của đối phương chĩa vào đài hoặc hệ thống đang xét

5 Theo nguồn gốc phát sinh: có nhiễu công nghiệp, nhiễu khí quyển, nhiễu vũ trụ

S t S t N t

 

v

S t

 

r

S t

 

c

N t

S t N t S t

 

n

N t

S t N t S t N t

3.3 Các đặc trưng thống kê của tín hiệu ngẫu nhiên và nhiễu

3.3.1 Các đặc trưng thống kê

Có rất nhiều hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra trong thực tế là các hàm của thời gian Ví dụ các vấn đề về khí tượng trong khí tượng học như các hiện tượng lên xuống ngẫu nhiên của nhiệt độ và áp suất không khí là những hàm theo thời gian Sự dao động của điện áp do nhiễu điện sinh ra trong những điện trở của một thiết bị điện tử cũng là một hàm của thời gian Tương tự, tín hiệu ở đầu ra của một nguồn sinh thông tin được đặc trưng như một tín hiệu ngẫu nhiên biến đổi theo thời gian Tín hiệu truyền trên kênh điện thoại là một ví dụ của một tín hiệu như vậy Tất cả những ví dụ này đều là những quá trình ngẫu nhiên

Tại một thời điểm nào đó, giá trị của một quá trình ngẫu nhiên là một biến ngẫu nhiên Xem một quá trình ngẫu nhiên như là một biến ngẫu nhiên theo tham số thời gian

Ký hiệu các quá trình như thế là Một cách tổng quát, tham số t là liên tục, trong khi X có thể là liên tục hoặc rời rạc phụ thuộc vào đặc điểm của nguồn phát tạo ra quá trình ngẫu nhiên

Điện áp nhiễu sinh ra từ một điện trở hoặc một nguồn thông tin cho ta thấy việc tạo ra một thể hiện của quá trình ngẫu nhiên, được gọi là một mẫu của quá trình ngẫu nhiên Tập hợp tất cả các mẫu, nghĩa là tập hợp tất cả điện áp nhiễu phát ra từ điện trở, tạo nên một quá trình ngẫu nhiên Một cách tổng quát, số các mẫu trong tập hợp các mẫu có thể là vô hạn, nhưng thường thì hữu hạn

Ta đã định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên như tất cả các mẫu có thể xuất hiện, như vậy

ta sẽ quan tâm tới các giá trị của quá trình tại các thời điểm , ở đây n là số nguyên dương

Một tín hiệu ngẫu nhiên được ký hiệu là X(t), ta hãy xét n thể hiện

Đối với mỗi thời điểm t (ví dụ ) giá trị ( ) là đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng bởi phân bố của nó P( ) Những luật phân bố này được gọi là luật phân bố cấp một, nó phụ thuộc vào các thời điểm của đối số t

Giả thiết chúng ta đã có biến , và sự kiện để cho biến ngẫu nhiên nhỏ hơn một

giá trị , , với là một giá trị thực bất kỳ Sự kiện này sẽ có một xác suất xuất hiện nhất định và chúng ta ký hiệu xác suất của sự kiên này là

Hàm được gọi là hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên Vì là xác suất uất hiện nên giá trị của nó cũng nằm trong dải [0,1], , ở đây và

Hàm này là một hàm không giảm

Đạo hàm của hàm phần bố xác suất được gọi là hàm mật độ xác suất của biến

ngẫu nhiên Vậy chúng ta sẽ có

 

X t

 

X t

1 2 n

 , 1 2, , ,

1

t t X t X t1

1

t

X

1

t

X

1

t

X

1

t

x  X t1 �x t1

1

t

x

 � �

1

( )t

F x

F x P X �x  � x �

1

( )t

F x

1

t

X

1

( )t

F x

1

0�F x( )t �1 F( �) 0 1

( )

F �

1

( )t

p x

1

t

X

và

Vì là hàm không giảm nên

Các hàm và là các đặc tính thống kê đơn giản nhất của tín hiệu ngẫu nhiên

và phụ thuộc thời gian Các đặc tính này cho ta khái niệm về tín hiệu ngẫu nhiên chỉ ở tại các thời điểm cố định riêng biệt nhưng không hoàn hảo bởi vì chúng không cho biết về sự biến thiên của tín hiệu ngẫu nhiên X(t)

Đặc tính thống kê của tín hiệu ngẫu nhiên sẽ hoàn hảo khi mà nó cho phép đánh giá xác suất xuất hiện của các thể hiện khác nhau của tín hiệu ngẫu nhiên X(t) Một đặc tính như vậy

có thể tìm ra bằng cách xét n thời điểm: , các biến ngẫu nhiên

thu được từ X(t) được đặc trưng bằng hàm mật độ xác suất đồng

thời Tuy nhiên nếu số các khoảng n là hữu hạn thì hàm chỉ đặc trưng cho sự phân bố xác suất của n giá trị của tín hiệu ngẫu nhiên X(t) tại các thời điểm

mà thôi, tức là chưa đủ để hoàn toàn xác định cả tín hiệu ngẫu nhiên X(t) Trong thực tế thì có một số loại tín hiệu ngẫu nhiên mà đặc tính xác suất của nó có thể hoàn toàn được xác định bởi hàm mật độ xác suất đồng thời ngay cả khi n hữu hạn

Hình 3.5 Hàm phân bố xác suất

Hình 3.6 Hàm mật độ xác suất

Trong những đặc trưng thống kê của tín hiệu ngẫu nhiên, có 3 đặc trưng thống kê quan trọng cần quan tâm, đó là:

1

1

( )

t

dF x

dx

1

t

x

�

1

( )t

F x

1 0 ( )t

p x �

1

( )t

F x

1

( )t

p x

1 2 n

 , 1 2, , ,

 t1, , ,t2 t 

n

n

1, , ,2 n

t t t

- Kỳ vọng toán học

- Phương sai

- Hàm tương quan

a Kỳ vọng toán học

Bây giờ ta thử xét một số thể hiện của tín hiệu ngẫu nhiên X(t) Nếu ta cố định một thời điểm nào đó thì có thể coi giá trị của tín hiệu ngẫu nhiên tại thời điểm ấy là một đại

lượng ngẫu nhiên bình thường Đối với đại lượng ngẫu nhiên ấy có thể xác định kỳ vọng toán học tại

Hình 3.7 Kỳ vọng toán học của tín hiệu ngẫu nhiên

Trong trườn hợp tổng quát kỳ vọng toán học là một đại lượng phụ thuộc thời gian t Nếu cho tất cả các thời điểm có thể thì ta nhận được một hàm số được gọi là kỳ vọng toán học của tín hiệu ngẫu nhiên X(t) Nó được viết theo công thức:

Ký hiệu là lấy trung bình thống kê tín hiệu ngẫu nhiên X(t) và p(x) là hàm mật

độ xác suất

Như vậy kỳ vọng toán học là một đường cong trung bình nào đó mà xung quanh nó bao phủ các thể hiện của tín hiệu ngẫu nhiên X(t) dao động

Rõ ràng là nếu ta chỉ xét kỳ vọng toán học không thôi thì chưa đủ vì rằng nó không thể hiện được độ lệch ngẫu nhiên của các thể hiện của X(t) xung quanh giá trị trung bình của chúng

b Phương sai

Để có đặc trưng tốt hơn cho tín hiệu ngẫu nhiên, ta xét một đặc tính nữa đó là phương sai của tín hiệu ngẫu nhiên đặc trưng cho độ lệch của các thể hiện X(t) xung quanh kỳ vọng

toán học của nó

Phương sai của tín hiệu ngẫu nhiên là một hàm số mà giá trị của nó ở tại mỗi giá trị cho trước của đối số bằng phương sai của các thể hiện của tín hiệu ngẫu nhiên ở tại giá trị của đối

số Phương sai của tín hiệu ngẫu nhiên có thể viết thông qua hàm mật độ xác suất như sau:

c Hàm tương quan

Kỳ vọng toán học và phương sai của tín hiệu ngẫu nhiên xác định như một “hành lang” trong đó xếp đặt các thể hiện của tín hiệu ngẫu nhiên; tuy nhiên nó không làm rõ mức độ thay đổi của tín hiệu ngẫu nhiên bên trong hành lang đó

1

t t

( )

x

m t t1

( )

x

m t

[ ( )] x( ) ( ( ))

E X t m t x p x t dx

�

�

( ( ))

E X t

2( ) [{X(t)-m } ]( )2 { ( ) ( ( ))}2

�

Ví dụ: Ta có hai tín hiệu ngẫu nhiên và có cùng và nhưng đặc tính thay đổi của các thể hiện hoàn toàn khác nhau

Hình 3.8 a) Tín hiệu ngẫu nhiên thay đổi nhanh

b) Tín hiệu ngẫu nhiên thay đổi chậm

Nếu như trong các phép đo đo cùng các phép biến đổi tín hiệu ngẫu nhiên và

có chứa các phép tính vi phân và tích phân, thì dẫu rằng chúng có cùng kỳ vọng và phương sai thì kết quả của các phép biến đổi ấy vẫn khác nhau Như thế để đặc trưng tốt hơn cho tín hiệu ngẫu nhiên cần thiết phải biết đến mức độ thay đổi của tín hiệu ngẫu nhiên ấy tại những thời điểm khác nhau của đối số t

Mức độ thay đổi của tín hiệu ngẫu nhiên theo đối số t được xác định bởi hàm tự tương quan của tín hiệu ngẫu nhiên theo công thức sau:

Hàm tương quan chéo giữa và biểu thị bằng , được định nghĩa như

là mô men đồng thời :

Các tính chất của hàm tự tương quan

- Tính chất 1: Từ định nghĩa của hàm tự tương quan ta có thể suy ra tính chất của hàm tương quan là một hàm đối xứng

- Tính chất 2:

- Tính chất 3: Hàm tự tương quan sẽ không thay đổi khi ta thêm vào tín hiệu ngẫu nhiên X(t) một hàm xác định bất kỳ

- Tính chất 4: Khi nhân một tín hiệu tương quan X(t) với một hàm xác định S(t), hàm tương quan của nó sẽ được nhân với

- Thông thường thay cho hàm tương quan khi xét quan hệ giữa các giá trị của tín hiệu

ngẫu nhiên người ta sử dụng khái niệm hàm tương quan chuẩn, đó là hệ số tương quan giữa

các giá trị của tín hiệu ngẫu nhiên ở hai thời điểm của đối số

1( )

X t X t2( ) m t x( ) x2( )t

1( )

X t

2( )

X t

t1,t2 E X X t1 t2 x x p x t1 t2  t1,x dx x t2 t1 t2

  � �

 

X t Y t  xy t t1,2

xy t t E X Y t t x y p x y dx d t t t t t t

  � �

   t t1,2 t t2,1

2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

( , )t t x( ) ( )t x t ( , ) ( , )t t t t

( )t



1 2

( ) ( )

S t S t

1 2

1 2 2 2

1 2

( , ) ( , )

( ) ( )

x

t t

t t







Hàm tương quan chuẩn cũng có tính chất giống như hàm tương quan bình thường Từ đó

ta có:

Khi giải một số lớp các bài toán thực tế thì tín hiệu ngẫu nhiên dừng đóng một vai trò rất quan trọng

Một tín hiệu ngẫu nhiên gọi là dừng theo nghĩa hẹp nếu như hàm một độ xác suất của nó

với n bất kỳ, không thay đổi khi chuyển dịch các thời điểm dọc trục thời gian, tức là với n và bất kỳ ta luôn có đẳng thức:

Nếu như đặc tính này không thỏa mãn thì tín hiệu ngẫu nhiên được gọi là không dừng theo nghĩa hẹp Từ định nghĩa trên ta suy ra tính chất của tín hiệu ngẫu nhiên dừng

- Hàm mật độ xác suất có cùng dạng ở bất kỳ thời điểm nào

tức là không phụ thuộc thời gian

- Vì hàm mật độ xác suất của tín hiệu ngẫu nhiên dừng không phụ thuộc thời gian; cho nên các mô men của chúng như kỳ vọng toán học và phương sai là những đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào thời gian

Người ta cũng thấy tồn tại các quá trình ngẫu nhiên không dừng với tính chất là trị trung bình của quá trình không phụ thuộc thời gian (là hằng số) và hàm tự tương quan thỏa mãn điều kiện Những quá trình ngẫu nhiên như thế được gọi là dừng theo nghĩa rộng Do đó dừng theo nghĩa rộng là một điều kiện kém chặt chẽ hơn dừng chặt

Lý thuyết tương quan là lý thuyết mà trong đó chỉ xét các tính chất của tín hiệu ngẫu nhiên được xác định bởi các mô men bậc 1 và bậc 2 mà thôi

Như vậy trong khuôn khổ của lý thuyết này tất cả các tín hiệu ngẫu nhiên gọi là dừng theo nghĩa rộng là kỳ vọng toán học và phương sai của chúng không phụ thuộc hàm thời gian, còn hàm tương quan của chúng thì chỉ phụ thuộc vào hiệu giữa các thời điểm

Rõ ràng tín hiệu ngẫu nhiên dừng theo nghĩa hẹp sẽ là dừng theo nghĩa rộng nhưng điều ngược lại nói chung là không đúng

1 2 1 ( , )

x t t

 1, , ,2 

n

p x x x

1, , ,2 n

t t t



 1, , ,2   1 , 2 , , 

p x x x  p x  x  x 

1 1

( )t ( t ) ( )

p x  p x   p x

1 2 1 2

2 1

t t

  