HÀM SÓNGBài 1: Tính bước sóng De Broglie của một quả bóng tennis có khối lượng 1g và chuyển động với vận tốc 0,5m/s nhiễu xạ qua một cửa sổ có kích thước1×1.5 m2 để thấy rằng các hiện tư
Trang 1BÀI TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Trang 3LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ
Bài 1: Tính:
a) bán kính Borh (cm)
b) năng lượng liên kết của hydro (eV)
Bài 2: Tính:
a) bốn bước sóng đầu tiên của dãy Balmer để thấy nó nằm trong vùng khả kiến
b) bốn bước sóng đầu tiên của dãy Lyman để thấy nó nằm trong miền tử ngoại
c) bốn bước sóng đầu tiên của dãy Paschen để thấy nó nằm trong miền hồng ngoại
Bài 3: Xác định bước sóng Compton.
Bài 4: Trong thí nghiệm tán xạ Compton, người ta thấy bước sóng tia X thay đổi 1% với góc tán xạ
là θ =120◦ Hãy tìm ra giá trị bước sóng dùng trong thí nghiệm này
Trang 4HÀM SÓNG
Bài 1: Tính bước sóng De Broglie của một quả bóng tennis có khối lượng 1g và chuyển động với vận
tốc 0,5m/s nhiễu xạ qua một cửa sổ có kích thước1×1.5 m2 để thấy rằng các hiện tượng lượng tửthường được bỏ qua trong thế giới vĩ mô
Bài 2: Hạt chuyển động trong hố thế vuông góc thành cao vô hạn có bề rộng là a(0 <x<a)sẽ cócác trạng thái với năng lượng gián đoạn:
ψ(x) = 1
√2asin
b) Tính năng lượng trung bình của hạt
c) Cho biết hàm sóng trên mô tả trạng thái tại thời điểm t =0 hãy viết hàm sóng tại thời điểm t bất
kỳ ψ(x, t)
d) Chứng tỏ năng lượng trung bình không phụ thuộc thời gian
Bài 3: Tính bước sóng de Broglie cho: (i) một hạt có khối lượng 0.1 kg chuyển động với vận tốc
1m/s; (ii) elctron tự do có năng lượng 10 eV, 100 eV; (iii) hạt alpha tự do có năng lượng 2 MeV; (iv)hạt neutron tự do có năng lượng 0.02 eV; (v) electron tự do có động năng 1 MeV
Trang 5b) x∆ và ∆x, với ∆ là toán tử Laplace.
Bài 6: Cho bL là một toan tử tuyến tính bất kỳ Chứng minh:a) bL++ =bL
b) Các toán tử bLbL+ và bL+bL là Hermitic
c) Các toán tử bL+bL và ibL−bL+là Hermitic
Trang 6Bài 7: Chứng minh rằng bC là Hermitic thì toán tử bG =A bbC bA+cũng là Hermitic.
Bài 8: Chứng tỏ toán tử bất kỳ bF cp1 thể viết dưới dạng bF = Ab+i bB trong đó bA, bB là toán tửHermitic
Bài 9: Cho bA, bB là toán tử Hermitic, chứng minh rằng bA bB+B bbA và iA bbB+B bbAlà Hermitic
Bài 10: Toán tử bF không Hermitic, trong trường hợp nào thì bF2là Hermitic
∂r với r là biến số trong tọa độ cầu
Bài 12: Xét các toán tử sau đây(−∞ <x < +∞):
a) Toán tử nghịch đảo bI: bI f(x) = f(−x)
b) Toán tử dịch chuyển bTa: bTaf(x) = f(x+a)
c) Toán tử thay đổi kích thước cMc: cMcf(x) = √
c f(cx).tìm toán tử chuyển vị, liên hợp phức, liên hợp, nghịch đảo của các toán tử trên Trong đó, toán tử nào
là tuyến tính, toán tử nào là Hermitic?
Bài 13: Hãy biểu diễn toán tử bT(δa)của phép dịch chuyển vô cùng bé đối với toạ độ của hệ N hạt:
rk →rk0 = rk+δa (k =1, 2, N)qua toán tử xung lượng toàn phần của hệ Trên cơ sở đó, giảithích ý nghĩa động học của sự giao hoán giữa các toán tử thành phần xung lượng
Bài 14: Chứng minh hệ thức sau:
A, bA bBi+
Trang 7HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG, TRỊ TRUNG BÌNH
Bài 1: Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử:
Bài 2: Tìm các trị riêng của toán tử bL2tương ứng với hàm riêng:
Y(θ , ϕ) = A(cos θ+2 sin θ cos ϕ), A=const
Bài 3: Xác định toán tử tọa độ, toán tử xung lượng, toán tử moment động lượng, toán tử động năng
trong biểu diễn tọa độ Chứng minh các toán tử này tuyến tính hermit Xác định hàm riêng, trị riêngcủa chúng
Bài 4: Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng có dạng
ψ(x) =C exp ip0x
¯h
ϕ(x)
trong đó ϕ(x)là hàm số thực Chứng tỏ p0là xung lượng trung bình của hạt trong trạng thái nói trên
Bài 5: Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng có dạng
ψ(x) = A exp
ikx− x
2
2a2
; A, k, a=consta) Chuẩn hóa hàm sóng trên
b) Tìm vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy điện tử là lớn nhất
c) Tìm phân bố xác suất những giá trị khác nhau của xung lượng của điện tử ở trạng thái cơ bản.d) Tính các giá trị trung bìnhr2, r
Trang 8NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH
Bài 1: Cho bA, bB, bC là toán tử tuyến tính và Hermitic
a) Chứng minh nếu bA, bB có chung hệ hàm riêng thìhA, bb Bi =0
b) NếuhA, bb Bi =0 thì bA, bB có chung hệ hàm riêng không ?
A−A2.Bb−B2 ≥ (C)
2
4Trong đó các trị trung bình đều được lấy theo cùng một trạng thái Xét trường hợp bA =x và bb B = p.bHãy tìm hàm sóng mô tả trạng thái trong đó tích các độ bất định của toạ độ và xung lượng đạt giá trịnhỏ nhất
Bài 3: Hạt chuyển động trong giếng thế chữ nhật một chiều có thành cao vô hạn được mô tả bằng
hàm sóng đã được chuẩn hoá:
ψn(x) =
r2
dsin
nπx
d
Trong đó d là bề rộng của giếng thế và n = 1,2,3,
a) Dùng hệ thức bất định ước tính mức năng lượng thấp nhất có thể có của hạt
b) Tính giá trị trung bìnhx,(x−x)2và động năng trung bình T của hạt
Bài tập làm thêm:
Bài 4: Cho dao động tử điều hoà một chiều.
a) Xuất phát từ hệ thức bất định, tính mức năng lượng thấp nhất thể có của dao động tử điều hoà.b) Tính các trị trung bình x, x2, x3, x4, của dao động từ điều hoà ở trạng thái cơ bản (trạng thái có
mức năng lượng thấp nhất): ψ0(x) = r a4
πeax22 , a= mω
¯h .c) Các hệ thứcx2 =x2, x4 =x2 có đúng không ?
Trang 9PHƯƠNG TRÌNH SCHR ¨ ODINGER
Bài 1: Viết phương trình Schrodinger của:
1 Hạt mang điện chuyển động trong điện trường đều và từ trường đều vuông góc nhau
2 Hạt chuyển động trong trọng trường của TĐ Mặt đất xem như đàn hồi tuyệt đối
3 Điện tử trong nguyên tử hydro
4 Nguyên tử hydro trong điện trường đều
5 Nguyên tử hydro trong từ trường đều
Bài 2: Xét một hạt liên kết một chiều.
a) Hãy chứng minh rằng
ddt
+ ∞
Z
− ∞
ψ∗(x, t)ψ(x, t)dx =0
với ψ không nhất thiết là một trạng thái dừng.
b) Chứng minh rằng nếu hạt ở trạng thái dừng tại một thời điểm cho trước thì nó sẽ luôn ở trạng tháidừng
c) Nếu tạit = 0, hàm sóng là không đổi trong khoảng−a < x < a và bằng 0 ở những nơi khác.Hãy mô tả hàm sóng đầy đủ tại một thời điểm sau đó dưới dạng các trạng thái riêng của hệ
Bài 3: Một hạt có khối lượng m bị giới hạn trong một vùng một chiều0 ≤ x ≤ a Tại t = 0, hàmsóng chuẩn hoá của nó là
ψ(x, t =0) =
r85a
h
1+cosπx
a
isinπxa
a) Hãy xác định dạng hàm sóng tại thời điểmt=t0sau đó
b) Tính năng lượng trung bình của hệ tạit =0 và t=t0
c) Tìm xác suất để tìm thấy hạt ở nửa bên trái của hộp (tức là trong vùng0≤x ≤a) tại t =t0
Trang 10GIẾNG THẾ MỘT CHIỀU
Bài 1: Khi xét hạt chuyển động trong hố thế vuông góc thành cao vô hạn, ta có hiệu ứng lượng tử là
năng lượng của hạt bao giờ cũng cao hơn đáy của hố thế một giá trị:
En = π
2¯h28ma2
a) Hãy tính các giá trị trung bình:x, x2, px, p2
xcho trạng thái cơ bản
b) Hãy giải thích cận dưới của năng lượng sử dụng hệ thức bất định Heisenberg
a) Tính năng lượng trung bình của hệ
b) Tìm hàm sóng của hạt ở thời điểm bất kì
c) Tính xác suất tìm thấy hạt trong vùng0<x < a
2.
Trang 11b) Hãy tìm giá trịx0sao cho xác suất tìm thấy hạt trong vùng|x| < x0đúng bằng 1
Trang 12Bài 10: Hạt nằm trong giếng thế sâu vô cùng Tính lực trung bình mà hạt tác dụng lên từng thành
giếng trong các trạng thái dừng So sánh kết quả với cơ học cổ điển
Trang 13DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU
Bài 1: Viết phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa một chiều Đưa phương trình về dạng
không thứ nguyên
Bài 2: Giải theo phương pháp giải tích.
Bài 3: Giải theo phương pháp toán tử.
• Kí hiệu Dirac
• Tại sao trạng thái chân không được định nghĩa theo toán tử hủy mà không theo toán tử sinh?
• Toán tử sinh có thể tác dụng một số thực lần lên vector trạng thái không?
Bài 4: Tại sao mức năng lượng thấp nhất lớn hơn 0? Hãy chỉ ra rằng năng lượng cực tiểu của một dao
Bài 7:
a) Đối với hạt khối lượng m trong thế dao động tử điều hoàV = 1
2mω
2x2, hãy viết nghiệm tổng
quát nhất của phương trình Schr¨odinger ψ(x, t)qua các trạng thái riêng của dao động tử điều hoà
mb2 ¯hω, nghĩa là một thế năng dao động tử điều hoà với một hàng rào thế mỏng
cao và hầu như không thể đi xuyên qua được tạix=0
Trang 14a) Xác định phổ năng lượng nằm thấp trong gần đúng hàng rào thế không thể xuyên qua được.b) Mô tả định tính hiệu ứng tác động lên phổ khi hàng rào thế có thể xuyên qua được một phần.
Trang 16Bài 4: Chứng minh hệ thức R(E) +D(E) = 1 Trong đó R và D là hệ số phản xạ và hệ số truyềnqua thỏa mãn một cách tự động đối với rào thế dạng bậc thang:
rào thế hợp lý để tính gần đúng thế năng thực của hạt α.
Trang 17Bài 6: Hãy tìm hệ số phản xạ và truyền qua đối với một thế nhảy bậc một chiều nếu các hạt đến từ
Trang 18PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN
Bài 1: Tìm năng lượng, hàm sóng và bậc suy biến của:
a) Một hạt tự do chuyển động trong không gian ba chiều
b) Một hạt bị giam trong hộp thế hình lập phương có cạnh L
c) Một dao động tử điều hòa ba chiều
MOMENT XUNG LƯỢNG
Bài 1: Biến đổi bL, bL2, bLx, cLy, bLztừ tọa độ Descart sang toạ độ cầu
Bài 2: VIết biểu thức của bL, bL2, bLx, cLy, bLz trong biểu diễn của toán tử sinh huỷ ba chiều Xác địnhhàm riêng, trị riêng của bLz, bL2bằng phương pháp toán tử
Bài 3: Cho bA, bB, bC là toán tử tuyến tính và Hermitic
a) Chứng minh nếu bA, bB có chung hệ hàm riêng thìhA, bb Bi =0
b) hA, bb Bi 6=0,hA, bb Ci =0,hB, bb Ci =0 Chứng minh bA, bB, bC không có chung hệ hàm riêng hoặc bC
sẽ có chung hệ hàm riêng với bA, bB nếu phổ trị riêng của bC bị suy biến
c) Liên hệ các tính chất trên với các toán tử bL2, bLx, bLy, bLz
Bài 4: Chứng minh rằng đối với toán tử bl± =blx±iblyta có các hệ thức sau đây:
Bài 5: Chứng minh rằng các hàm thu được sau khi tác dụng tóan tử lên các hàm riêng ψm của toán
tử blz (blzψm =mψm)cũng chính là hàm riêng của toán tử blzứng với trị riêngm+1 và m−1
Bài 6: Sử dụng kết quả của các bài tập trước, chứng minh bL2 = `(` +1)
Bài 7: Chứng minh các hệ thức sau đây:
Bài 9: Tính các trị trung bìnhl2x, l2ytrong các trạng thái ψl,m với l, m hoàn toàn xác định
Bài 10: Có hai hệ con 1 và 2 tương tác yếu với nhau Các trạng thái của chúng được đặc trưng bởi
các số lượng tử(l1, m1)và (l2, m2) Hãy xác định các giá trị khả dĩ của mômen toàn phần L và tínhgiá trị trung bình bL2, L trong các trạng thái đang xét Tính xác suất các giá trị khả dĩ của moment toànphần L cho trường hợp:m =l , m2 =l2−1
Trang 19CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG ĐỐI XỨNG XUYÊN TÂM
Đối xứng trục:
Bài 1: Tìm các mức năng lượng và hàm sóng mô tả các trạng thái dừng của dao động tử điều hoà hai
chiều với thế năng:U(x, y) = k
2(x
2+y2) Tính bậc suy biến của các mức năng lượng
Bài 2: Trong trạng thái dừng ψ11 của dao động tử diều hoà hai chiều Hãy xác định các giá trị khả dĩcủa hình chiếu moment trên trục z vuông góc với mặt phẳng dao động (x,y)
Bài 3: Tìm các mức năng lượng thuộc phổ gián đoạn của hạt trong trường thế hai chiều với thế năng:
U(ρ) = −α
ρ,(α = const) Tính bậc suy biến của các mức năng lượng Hãy so sánh với trường hợphạt chuyển động trong trường Coulomb với thế năngU(r) = −α
r,(α =const).
Đối xứng xuyên tâm:
Bài 4: Giải bài toán nguyên tử Hidro.
Bài 5: Các mức năng lượngEn,l thuộc phổ gián đoạn của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm sẽthay đổi thế nào khi:
a) Cố địnhl và tăng nr
b) Cố địnhnr và tăngl
Bài 6: Tìm các mức năng lượng và hàm sóng chuẩn hoá mô tả các trạng thái dừng của dao động tử
điều hoà ba chiều với thế năng:
Giải lại bài toán trên trong toạ độ cầu
Bài 7: Tìm các mức năng lượng thuộc phổ gián đoạn và các hàm sóng tương ứng của hạt chuyển động
Bài 8: Tìm các mức năng lượngEn,lvà các hàm sóng ψn,l,m ứng với các trạng thái dừng của hạt trong
hố thế sâu vô cùng có đối xứng cầu:
Bài 1: Sử dụng hệ thức giao hoán giữa các toán tử hình chiếu spin, xác định dạng của ma trận tương
ứng với các toán tử hình chiếu trongSz– biểu diễn đối với hạt có spin 1
2.
Bài 2: Đối với các hạt có spin 1/2, từ phương trình hàm riêng trị riêng, hãy tìm các hàm spin ψsi(i =1,2,3) mô tả các trạng thái với hình chiếu spin có giá trị xác định
Bài 3: Tìm dạng của các toán tử hình chiếu spin điện tử bSx, bSy, bSztrongSx– biểu diễn
Bài 4: Trạng thái của hạt với spins = 1
2 được đặc trưng bởi giá trị xác định của các số lượng tử l, m,
sz Hãy tính xác suất các giá trị khả dĩ của mômen toàn phần j = l+s của hạt trong trạng thái nóitrên
Trang 20CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG
Bài 1: Viết Hamiltonian của một hạt tự do chuyển động trong trường điện từ.
Bài 2: Đưa về hệ tọa độ không thứ nguyên.
Bài 3: Chứng minh rằng hạt có thể chọn thế vectơ sao cho Hamiltonian của hạt tích điện trong từ
e
µcAbp+ e2
µc2A2
Bài 4: Tìm biểu thức của vectơ mật độ dòng đối với hạt tích điện trong trường điện từ.
Bài 5: Tìm các mức năng lượng của hạt tích điện có spin bằng 0 trong từ trường đồng nhất với thế
vectơ A(r) được chọn như sau: Ax =0, Ay =H0x, Az =0
Bài 6: Tìm các mức năng lượng của hạt tích điện có spin bằng 0 trong từ trường đồng nhất với thế
vectơ A(r) được chọn như sau: Ax = −H0x, Ay =0, Az =0
Bài 7: Tìm các mức năng lượng của hạt tích điện có spin bằng 0 trong từ trường đồng nhất với thế
vectơ A(r) được chọn như sau: A = 1
2[H0, r] Bậc suy biến của các mức năng luợng ứng với chuyểnđộng ngang của hạt bằng bao nhiêu?
Bài tập làm thêm:
Bài 8: Tìm các mức năng lượng và hàm sóng chuẩn hóa của một hạt tích điện có spin bằng 0 chuyển
động trong trường của một từ trường và một điện trường đều có hướng vuông góc nhau
Trang 21LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN
Bài 1: Đối với hạt nằm trong hố thế sâu vồ cùng có bề rộng bằng a(0< x<a)hãy tính ở gần đúngbậc nhất của LTNL độ dịch chuyển của các mức năng lượng dưới tác dụng của nhiễu loạn có dạngnhư sau:
Bài 3: Dao động tử điều hoà tích điện đặt trong một điện trường đồng nhất, có hướng dọc theo trục
dao động Xet tác dụng của điện trường như một nhiễu loạn, hãy tính độ dịch chuyển của các mứcnăng lượng ở hai bậc đầu tiên của LTNL So sánh với lời giải chính xác (xem bài 2.4 sách thầy HoàngDũng)
Trang 22Bài 4: Viết hamilton của dao động tử điều hoà dưới dạng:
b
H = pb22m+
kx2
2 +
ax22
và xét số hạngax2/2 một cách hình thức như một nhiễu loạn Hãy tính độ dịch chuyển các mức nănglượng của dao động tử điều hoà đến gần đúng bậc 2 của LTNL So sánh kết quả thu được với lời giảichính xác Nêu điều kiện hội tụ của chuỗi LTNL
Bài 5: Một dao động tử phi điều hòa được mô tả bởi toán tử Hamilton sau: