Luận văn Toán Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán

Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể. Bài tập môn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực.Là một giáo viên dạy toán trong tương lai, thấy được tác dụng tích cực của việc dạy học giải bài tập toán nên em quyết định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán”. Đồng thời, qua đó giúp bản thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập, nghiên cứu phát triển bài toán, tìm cách giải khác,… Nhằm giúp nâng cao hiệu quả của việc dạy học sau này.

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành thí nghiệm Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể Bài tập môn toán không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới Tuy nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực

Là một giáo viên dạy toán trong tương lai, thấy được tác dụng tích cực của việc dạy học giải bài tập toán nên em quyết định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán” Đồng thời, qua đó giúp bản thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập, nghiên cứu phát triển bài toán, tìm cách giải khác,… Nhằm giúp nâng cao hiệu quả của việc dạy học sau này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và cơ sở lí thuyết của dạy học giải bài tập toán học

Tìm ví dụ để minh hoạ cho cơ sở lý thuyết

Vận dụng các phương pháp dạy học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán

Thực nghiệm sư phạm nhằm rút kinh nghiệm để vận dụng vào việc dạy học sau này

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập toán

Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 và tham khảo các sách bài tập khác

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lí luận

So sánh, phân tích, tổng hợp các tài liệu liên quan

Thực hành giải các bài tập

5.2 Nghiên cứu thực tiễn

Tìm hiểu quá trình phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán bằng thực nghiệm giảng dạy và thăm dò ý kiến học sinh để nhằm kiểm nghiệm vấn đề nghiên cứu

6 Cấu trúc nội dung

Luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Chương 2: Dạy học giải bài tập

Chương 3: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán

Chương 4: Thực nghiệm sư phạm

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

1 Phát triển trí tuệ và bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh

1.1 Phát triển các thao tác tư duy

Khi học tập toán học học sinh luôn thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… Vì vậy trong dạy học toán, giáo viên phải chú ý phát triển cho học sinh những thao tác này

1.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp

Phân tích là chia cái toàn thể ra thành từng thành phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay từng khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để nhận thức sâu vào từng phần, từng khía cạnh

Ngược lại với phân tích, tổng hợp là hợp lại các phần riêng lẻ của cái toàn thể, hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau của cái toàn thể

Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất Nếu không tiến hành tổng hợp mà chỉ dừng lại ở phân tích thì sự nhận thức sự vật và hiện tượng sẽ phiến diện, không nắm được các sự vật và hiện tượng đó một cách đầy đủ và chính xác được Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tư duy Những thao tác tư duy khác có thể coi là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp

Năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức toán học

Ví dụ: Khi học tập khái niệm, học sinh phải biết phân tích các dấu hiệu bản chất của khái niệm, phát hiện những mối liên hệ (tổng hợp) giữa các khái niệm với nhau Khi học định lí, học sinh phải biết phân tích giả thiết và kết luận của định lí, mối liên

hệ giữa giả thiết và kết luận,… mối liên hệ giữa định lí này với các định lí khác,… Khi giải bài tập, học sinh phải nhìn bao quát (tổng hợp) để nhận được dạng bài toán (biết bài toán loại nào); phải biết phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa chúng; phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ khác nhau (xét riêng các trường hợp góc nhọn, vuông, tù,…), giải các bài toán đơn giản đó, rồi tổng hợp lại để được lời giải bài toán đã cho

1.1.2 Phát triển năng lực so sánh

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau

Giáo viên nên chú ý hướng dẫn học sinh so sánh những khái niệm định lí, quy tắc mới học với những khái niệm, định lí, quy tắc đã biết Nhờ thấy được sự giống nhau và khác nhau giữa chúng nên học sinh nắm vững, hiểu biết sâu sắc hơn và có hệ thống hơn về kiến thức toán học

1.1.3 Phát triển năng lực trừu tượng hoá và khái quát hoá

Trừu tượng hoá là sự trừu xuất (lãng quên) những dấu hiệu không bản chất và tách riêng những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng và hiện tượng

Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hoá Trừu tượng hóa cho phép ta đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng cần nhận thức Vì vậy, trong dạy học toán, phải luôn chú ý phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh

Để phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh, cần nắm vững mối liên hệ chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng: từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn

Ví dụ: Khi dạy học về khái niệm góc, giáo viên cần đi theo con đường

cụ thể (1) – trừu tượng (2) – cụ thể (3)

Cụ thể (1)

- Hình tạo bởi kim phút và kim giờ trong đồng hồ

- Hình tạo bởi hai cạnh của ê-ke

- Hình tạo bởi hai cạnh bàn

Trừu tượng (2) Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc

mà hình thức bên ngoài rất đa dạng Khi tổ chức cho học sinh thực hiện khái quát hoá, giáo viên cần chú ý nguyên tắc: “biến thiên dấu hiệu không bản chất và giữ nguyên dấu hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng”

Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, đặc biệt hoá,… Do

đó, khi có điều kiện giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những thao tác trí tuệ này Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh họa qua ví dụ tìm công thức tính sin 3x theo những hàm số lượng giác của đối số x

Trước tiên, thao tác phân tích làm biến đổi sin 3x thành sin(2xx) Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin 3x với công thức sin(a b )sin cosa bsin cosb a Việc khớp trường hợp riêng sin(2xx) vào biểu thức tổng quát sin(a b )là một sự khái quát hóa; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật các đặc điểm bản chất “Hàm số sin”, “Đối số có dạng tổng hai số” và tách chúng khỏi những đặc điểm không bản chất như: “Một số hạng của tổng gấp đôi số hạng kia” Tiếp theo việc khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức sin(a b )sin cosa bsin cosb a cho trường hợp a2 , x bx để đi đến công thức sin(2xx)sin 2 cosx xsin cos 2x x Thao tác phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin 2x

và cos 2xtrong công thức trên để biến đổi thành:

sin 2x2sin cos ; cos 2x x xcos xsin x

Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 2 3

3sin cosx xsin x.Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phát sin 3x với kết quả biến đổi

3sin cosx xsin x là một sự tổng hợp dẫn tới:

sin 3x3sin cosx xsin x

Sơ đồ sau đây minh họa quá trình tư duy vừa trình bày:

Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới chỉ ở dạng tiềm năng Nếu giáo viên có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp

có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như:

- Hãy viết sin 3x dưới dạng thích hợp với công thức biến đổi lượng giác nào đó? (kích thích phân tích, khái quát hóa);

- Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức sin(2xx) ?(khuyến khích đặc biệt hóa)

1.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác

Vì toán học là một khoa học suy diễn nên môn toán có nhiều khả năng to lớn để dạy cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp logic Nhưng tư duy không tách rời ngôn ngữ, tư duy diễn ra dưới hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người và ngược lại ngôn ngữ được hình thành và phát triển nhờ tư duy Vì vậy, rèn luyện tư duy logic không thể tách rời việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác cho học sinh

sin cosa b sin cosb a

sin 2 cosx x sin cos 2x x

Khái quát hóa

Việc rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác qua dạy học môn toán được thực hiện theo ba hướng liên hệ chặt chẽ với nhau:

- Nắm vững các thuật ngữ toán học và các kí hiệu toán học (ngôn ngữ toán học)

- Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia các khái niệm

- Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, hợp logic

Để rèn luyện tư duy logic cho học sinh có hiệu quả, giáo viên phải không ngừng bồi dưỡng cho học sinh các quy tắc suy luận, giúp học sinh hiểu được các cấu trúc logic của chứng minh mỗi định lí khi giáo viên dạy chúng, yêu cầu học sinh biết trình bày đúng đắn các chứng minh định lí, bài toán toán học

Giáo viên luôn coi trọng việc giáo dục học sinh sử dụng chính xác ngôn ngữ trong môn toán Đặc biệt là biết sử dụng đúng các phép toán logic: và, hoặc, nếu… thì…, khi và chỉ khi, có ít nhất một, với mỗi,…

Giáo viên cần thường xuyên uốn nắn những sai lầm của học sinh về mặt thiếu chính xác trong sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học Cần chống thói quen không tốt

là sử dụng các kí hiệu toán học một cách tuỳ tiện, chẳng hạn như: “Đây là hai việc nhau”; hay “Anh có  lòng không?” (Hoàng Chúng, 1995)

1.3 Phát triển tư duy độc lập và tư duy sáng tạo

Tư duy độc lập biểu hiện ở khả năng tự mình phát hiện được vấn đề cần phải giải quyết, và tự bản thân có thể đề ra phương án giải quyết khi gặp một trở ngại hay tìm ra được lời giải đáp cho các vấn đề gặp phải; không đi tìm lời giải sẵn Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy, luôn đề cao sự đánh giá mọi tư tưởng và ý kiến của người khác, có tinh thần hoài nghi khoa học, luôn tự vấn: “vì đâu?”, “tại sao?”,… Tư duy sáng tạo luôn suy nghĩ tìm tòi những điều mới, nó luôn gắn liền tính độc lập, tính phê phán và tính linh hoạt của tư duy Tính linh hoạt của tư duy biểu hiện ở các mặt chính yếu sau đây:

Khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để nghiên cứu và giải quyết vấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khắc phục thái

độ rập khuôn theo mẫu định sẵn, máy móc, suy nghĩ theo lối mòn

Khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược với cách đã biết

Khả năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau

Để rèn luyện cho học sinh tư duy độc lập và sáng tạo, trong dạy học toán cần chú ý thường tập dượt cho học sinh “suy luận có lí”, dự đoán thông qua quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự,… Chú ý đến mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung; cái cụ thể và cái trừu tượng; qui nạp và suy diễn trong khi giảng dạy toán học

Đặc biệt là trang bị cho các em phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng trong toán học

1.4 Bồi dưỡng khả năng vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng trong toán học

Thông qua quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý giúp học sinh từng bước nhận biết được và nắm được hai phương pháp thường dùng trong nghiên cứu toán học là: phương pháp cụ thể – trừu tượng, phương pháp qui nạp – suy diễn

1.4.1 Phương pháp cụ thể – trừu tượng

Toán học là một khoa học có tính trừu tượng cao độ Tuy nhiên, sự hình thành

và sự phát triển của toán học thường được xuất phát từ mối quan hệ giữa cụ thể và trừu tượng: không có cái cụ thể cảm tính thì không thể có cái trừu tượng; và không có cái trừu tượng thì không thể có cái cụ thể trong tư duy (cái đến sau những cái trừu tượng) Như giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Trong quá trình giải quyết một đề tài, những khái quát có tính chất lí luận thường ra đời một cách không đơn giản, có khi phải xét rất nhiều trường hợp đặc biệt, cụ thể để rồi từ đó lần mò ra cái trừu tượng, khái quát Tôi đã xây dựng nên lí thuyết tổng quát về “các không gian có tuyệt đối động” bằng cách phân tích, mổ xẻ một trường hợp đặc biệt trước; có nhiều trừu tượng tôi khó nghĩ

ra nếu như không có những gợi ý của những phát hiện cụ thể đi trước

Ngược lại, trong quá trình giải quyết một đề tài thì càng nắm vững những lí luận trừu tượng, hiện đại, khái quát bao nhiêu thì có nhiều công cụ sắc bén để phát hiện ra cái cụ thể bấy nhiêu Đối với toán học thì rõ ràng những lí luận và khái quát chung quanh khái niệm “tập hợp, ánh xạ, cấu trúc, mô hình” đã từng cung cấp những công cụ hiệu lực của những người nghiên cứu, trong đó có tôi”

Trong dạy học toán trong nhà trường phổ thông, “việc tăng cường khả năng cho học sinh vận dụng kiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn là biện pháp phù hợp với qui luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và cái trừu tượng” (Đavưđốp, 1973) Nhưng giáo viên cũng không thể nào không quan tâm khía cạnh: từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, giáo viên phải chú ý dùng phép tổng quát hoá, khái quát hóa để trình bày nhiều vấn đề toán học như: từ một tính chất trong tam giác vuông đặt vấn đề mở rộng sang tam giác bất kỳ; từ nhiều vấn đề cụ thể dường như rất khác nhau như bài toán tìm vận tốc tức thời và bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm mà khái quát lên thành khái niệm đạo hàm Từ một số bài toán cụ thể trong chương trình giáo viên gợi ý học sinh mở rộng và khái quát hoá thành những bài toán tổng quát hơn với những cách giải tổng quát hơn

1.4.2 Phương pháp qui nạp – suy diễn

Toán học khác với các khoa học khác ở phương pháp của nó Trong khi các nhà vật lý, hoá học, sinh học,… cần có phòng thí nghiệm với rất nhiều máy móc, dụng cụ,

có khi rất phức tạp thì nhà toán học, trong đại đa số trường hợp, hầu như chỉ cần sách báo, bút với tờ giấy hay một viên phấn với cái bảng Toán học dùng phương pháp suy diễn logic mà không dùng phương pháp thí nghiệm để chứng minh các định lí vì hai lí do:

- Có khả năng áp dụng suy diễn logic vào những đối tượng đã được trừu tượng hoá thành thuần tuý số lượng và hình dạng không gian

- Không có khả năng làm thí nghiệm để trực tiếp xem các định lí hình học trong không gian n chiều (n 3) là đúng hay không, vì không gian thực tế chỉ có ba chiều

Văn phong của toán học hiện đại là phương pháp tiên đề Nội dung của phương pháp đó là lập ra cho bằng được một bảng khái niệm cơ bản (gồm đối tượng cơ bản và quan hệ cơ bản) và các “tiên đề” để rồi sau đó hoàn toàn dùng logic để định nghĩa bất

cứ khái niệm mới nào và chứng minh bất cứ định lí nào Các “khái niệm cơ bản” trong

hệ tiên đề không được định nghĩa, mô tả gì hết Điều này đưa đến một thuận lợi lớn là các “khái niệm cơ bản” ta tuỳ ý gán cho cái gì cụ thể cũng được, miễn sao các tiên đề của hệ đều nghiệm đúng, như vậy ta có một “mô hình” của hệ tiên đề đã cho Đối với các hệ tiên đề, có ba yêu cầu: tính đầy đủ, tính độc lập, tính không mâu thuẫn Điều này mở ra một khả năng sáng tạo ra các bộ môn toán học mới

Tư duy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của qui nạp cũng không phải là không quan trọng Qui nạp lại liên hệ mật thiết với suy diễn: qui nạp giúp xây dựng giả thuyết toán học, tri thức thu được bằng qui nạp thì không đầy đủ, không hoàn chỉnh, có tính chất dự đoán; các kiến thức ấy biến thành tri thức chân thực cần phải chứng minh bằng suy diễn

Trong dạy học toán ở trường phổ thông, giáo viên phải dạy học sinh biết trình bày lời giải một bài toán hay chứng minh một mệnh đề toán học một cách chặt chẽ bằng suy luận diễn dịch, nhưng cũng phải chú ý bồi dưỡng khả năng tìm tòi sáng tạo, khả năng dự đoán, biết vận dụng các phép suy luận qui nạp để phát hiện ra cách giải một bài toán, để dự đoán một qui tắc, một kết quả

2 Sáng tạo và tư duy sáng tạo

2.1 Các khái niệm

2.1.1 Sáng tạo là gì?

Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không phụ thuộc vào cái đã có Theo Solso R.L (1991) định nghĩa: “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem lại một cách nhìn nhận, hay cách giải quyết mới mẽ đối với một vấn đề hay một tình huống”, hay cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nói: “Nghề dạy học là nghề sáng tạo nhất

vì nó sáng tạo ra những con người sáng tạo, cho nên nhà trường phải vũ trang cho học sinh cái khả năng sáng tạo vô tận”

Như vậy sáng tạo là một phẩm chất của tư duy, sáng tạo cần thiết cho bất kỳ lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người Thực chất sáng tạo không chỉ là một đặc trưng chỉ sự khác biệt giữa loài người và sinh vật mà còn là một đặc trưng chỉ sự khác biệt về sự đóng góp cho tiến bộ xã hội giữa người này với người khác

Xét về bản chất, nguồn gốc của sự sáng tạo là năng lực độc đáo riêng, là sản phẩm vô thức Để đánh giá cũng như đo lường năng lực sáng tạo của mỗi cá nhân, thường người ta đưa ra một tình huống với một số điều kiện rồi yêu cầu đề ra càng nhiều giải pháp càng tốt

2.1.2 Sáng tạo toán học là như thế nào?

Sáng tạo toán học là một khía cạnh của sáng tạo Ở đây sáng tạo toán học chỉ yêu cầu học sinh giải được các bài toán không đòi hỏi những kiến thức vượt quá giới hạn chương trình, nhưng đòi hỏi sự tập trung chú ý nhất định với kỹ năng suy luận hay giải những bài toán vượt ra ngoài tiêu chuẩn thông thường

Biểu hiện sáng tạo toán học của học sinh trong giải toán có thể hiểu như sau: Đó

là khả năng tiếp thu nhanh chóng các kiến thức mới, nắm vững một cách hệ thống sâu sắc và toàn diện kiến thức cũ, biết vận dụng linh hoạt để giải quyết các tình huống vấn

đề của bài toán bằng những phương thức mới Trên cơ sở đó tìm tòi và phát hiện những cái mới hơn, toàn diện hơn để đi đến kết quả bài toán

Theo một số nhà nghiên cứu, những biểu hiện đặc trưng của sự sáng tạo toán học trong giải bài toán bao gồm:

Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện đã biết, dự đoán các sai lầm hướng khắc phục

Nhìn thấy cấu trúc mới của bài toán, kết hợp các phương thức giải đã biết, tạo thành phương thức mới để giải bài toán

Nhìn bài toán ở những góc độ khác nhau để tìm cách giải quyết có thể có, tìm nhiều cách giải, luôn có ý tưởng tìm cách giải mới lạ độc đáo và ngắn gọn

Nhận ra những chức năng mới trong việc mở rộng các bài toán, tìm tòi và xác định hướng giải cho các bài tập mở rộng

Biết kết hợp hoàn thiện các phương pháp đã có, vận dụng vào toán học, toán học hoá các tình huống thực tiễn, sản xuất kỹ thuật

Biết hệ thống hoá tri thức phương pháp khi giải toán, xây dựng các phương pháp, qui tắc cho một bài toán

Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá phương pháp giải cho những bài toán mở rộng

2.1.3 Nguyên nhân của sự sáng tạo

Đã từ lâu, các nhà nghiên cứu muốn đi sâu tìm hiểu bản chất của sự sáng tạo, dưới đây là các ý kiến tổng kết về nguyên nhân của sự sáng tạo:

- Cách giải quyết những nhiệm vụ phức tạp mà trước đó không giải quyết được,

sẽ nảy sinh những người có đầu óc sáng tạo trong bất kì thời gian nào Có người cho rằng sự khám phá của các nhà khoa học là sự khám phá ngẫu nhiên Nhưng khoa học sinh lý học về lao động trí óc quan niệm rằng: “Đó là qui luật quán tính của tư duy” Nghĩa là khi theo đuổi ý tưởng nào đó thì “luồng tư tưởng” sẽ tiếp diễn và đó là qui luật của sự sáng tạo

- Theo Gauss: Các ý nghĩ hay “ưa” xuất hiện trong thời gian đi dạo nhẹ nhàng, trong thời tiết có ánh nắng mặt trời, chỉ cần một ly rượu nhỏ là có thể làm mất hết những ý nghĩ đó

Muốn tư duy sáng tạo cần phải nắm được những qui luật khách quan của sự vật – đây là đối tượng nghiên cứu Một nhà khoa học đã từng khuyên “Hãy suy nghĩ theo những qui luật khách quan về sự phát triển, chắc chắn bạn sẽ có sự cải tiến cao hơn nữa

là sự sáng chế phát minh”

- Newton nói: “Thiên tài là lao động”, ở đây ông nói đến quá trình lao động kiên trì và bền bỉ như việc tích luỹ tri thức, khắc phục khó khăn Còn T.Edison nói: “Trong những công trình của tôi có 99% là kết quả của lao động cực lực chỉ có 1% là cảm hứng, may mắn và tài năng”

- Phương pháp là điều kiện đầu tiên, điều kiện cơ bản nhất để hình thành sự sáng tạo Hegen cho rằng: “Phương pháp là sự vận động của bản thân nội dung, vì vậy phương pháp nghiên cứu không thể tách rời nội dung”

- Phải có những điều kiện để nghiên cứu, nhiều khám phá nổi tiếng đã có thể không bao giờ thực hiện được nếu như các nhà khoa học không có những điều kiện để làm việc

- Phải biết làm việc một cách khoa học Chẳng hạn như:

+ Bắt tay vào làm việc từ từ, nhịp nhàng không hấp tấp;

+ Làm việc theo trình tự theo hệ thống;

+ Có chế độ luân phiên giữa làm việc và nghỉ ngơi;

+ Kết hợp giữa lao động chân tay và lao động trí óc;

+ Rèn luyện chuyên môn thường xuyên và đều đặn

- Phải có lòng nhiệt tình hăng say lao động nghiên cứu Việc sáng tạo là một quá trình sáng tạo công phu và phức tạp, đòi hỏi phải có “lòng hăng say cao độ”, có nhiệt tình công tác Chiến công đòi hỏi toàn bộ năng lực sáng tạo

- Cần có sự ủng hộ của xã hội đối với lao động sáng tạo Trong đó, gia đình là môi trường xã hội ảnh hưởng đến tâm lí trong lao động trí óc Đối với người lao động trí óc, trong nhà cần có góc độ yên tĩnh để đọc, viết, suy nghĩ dễ dàng

Rất tiếc trong trường học hiện nay, xu hướng dạy học cho thế hệ trẻ biết tư duy sáng tạo vẫn chưa thực hiện rõ nét

2.2 Cơ sở tâm lí của tư duy sáng tạo

2.2.1 Tư duy sáng tạo

Theo tâm lí học người Đức Mehlhorn cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Còn theo J.Danton (1995) cho rằng: “Tư duy sáng tạo là những năng lực tìm những ý nghĩ mới, tìm những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình” Theo ông, một cách dạy và học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh bao gồm một chuỗi chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát minh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”

Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả cao trong quyết định vấn đề”

2.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo các nhà nghiên cứu, tư duy sáng tạo bao gồm năm thành phần sau đây:

+ Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt

+ Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động,

phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

+ Tính nhạy cảm vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu

thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic,… Do đó, nảy ra ý muốn cấu trúc lại hợp lí, hài hoà, tạo

ra cái mới

2.2.3 Các giai đoạn của sự sáng tạo

a) Giai đoạn chuẩn bị

Ở giai đoạn này cần nghiên cứu có ý thức những vấn đề đặt ra, thu thập tư liệu, củng cố và tìm hiểu những thông tin có liên quan đến vấn đề cần giải quyết Poncaré kể rằng: “Trong hai tuần liền tôi cố gắng chứng minh rằng không thể tồn tại một hàm số nào mà sau này tôi gọi là hàm số tự đẳng cấu Tuy nhiên tôi đã không đúng, mỗi ngày làm việc ở bàn làm việc, tôi theo đuổi ý định đó một hoặc hai giờ đồng hồ, tôi nghiên cứu một số lớn kết hợp, nhưng tôi đã không đi đến một kết quả nào”

b) Giai đoạn ấp ủ

Ở giai đoạn quá trình suy nghĩ ít bị sự kiểm soát của ý thức hơn giai đoạn trước

Từ ấp ủ đặt cho giai đoạn này gợi cho ta quá trình con gà mái ấp trứng: giữ cho trứng một nhiệt độ không đổi cần thiết và “chờ đợi” con gà nở Đối với nhà toán học thì tư tưởng đã manh nha trong đầu óc không rời bỏ ông ta nữa, nó được lật đi lật lại mà

dường như không cần có sự cố gắng nào của nhà toán học Poncaré viết: “Có một buổi tối trái với thường lệ, tôi uống một cốc café đen, tôi đã không thể nào chợp mắt được Những ý tưởng chen chúc nhau, tôi cảm thấy hình như chúng va chạm nhau, không có hai tư tưởng nào móc nối với nhau để được một kết nối vững chắc”

c) Giai đoạn bừng sáng

Đây là giai đoạn đột nhiên ta tìm được lời giải đáp cho vấn đề đặt ra Poncaré kể: “Đến sáng thì tôi thiết lập được sự tồn tại một lớp các hàm ấy, loại hàm số tương ứng với một dãy siêu bội; tôi chỉ việc viết lại kết quả, và việc đó chỉ chiếm một vài giờ”

Đối với học sinh, khi giải bài tập đôi lúc nảy ra trong óc chúng hoàn toàn bất ngờ Chúng đã mày mò thật lâu mà không tìm được tia sáng nào, nhưng bỗng trong óc chúng loé ra một ý tưởng hay, nhen lên một niềm cổ vũ như bỗng thấy như ấnh sáng bùng lên trong đêm tối mịt mù Nảy ra ý hay chính là ánh sáng bừng lên bất thình lình, chiếu rọi vào những chi tiết trước đó, tưởng chừng như mơ hồ lộn xộn không tài nào nắm được, khiến chúng trở nên sáng tỏ, có trật tự có mạch lạc và hợp lí

d) Giai đoạn kiểm chứng

Đây là giai đoạn có sự tham gia tích cực của ý thức để xét lại kết quả, khái quát hoá kết quả Poncaré viết: “ Tôi muốn biểu thị những hàm số ấy dưới dạng một quan

hệ giữa hai dãy số; tôi hoàn toàn có ý thức về tư tưởng này và đó là tư tưởng mà tôi suy nghĩ kĩ Phép tương tự đối với hàm eliptic đã hướng dẫn tôi Tôi tự hỏi những dãy số trên có tính chất gì nếu chúng tồn tại và tôi đã không vất vả lắm để xây dựng được những dãy số ấy”

3 Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

3.1 Biện pháp 1: Chú trọng bồi dưỡng các thao tác tư duy và trang bị cho học sinh những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức

Quan điểm này cho rằng, để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nap, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Trong đó, phân tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm

Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lí, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất các khái niệm, các mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các kiến thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được

3.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo cho học sinh Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính nhạy cảm vấn đề

Trên cơ sở đó, để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo Có thể khai thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: Những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; những bài

có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận,…

3.3 Biện pháp 3: Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh

Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới Nói cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các giờ lên lớp

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, bài tập “mở”, học sinh phải tự lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quả mới từ các bài toán đã giải

3.4 Biện pháp 4: Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học

Phát triển năng lực tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tự sáng tác, những cách giải mới khai thác từ các bài toán đã giải

CHƯƠNG 2: DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC

1 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

Quá trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã học

và phát huy tính tích cực sáng tạo Do vậy, dạy học giải các bài tập toán có tầm quan trọng đặc biệt trong dạy học toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ học tập, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra kiến thức,… Tất nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một ý đơn thuần nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu Giải bài tập là hình thức chủ yếu tập dượt cho học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời sống và lao động sản xuất Đồng thời, việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giải quyết những vấn đề cụ thể Giải bài tập có tác dụng giáo dục cho học sinh đức tính của người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm tòi sáng tạo,…

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Trong môn Toán, các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy 1980):

Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao động mới

Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai Hiệu quả của công việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị Người giáo viên chỉ

có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình

độ nghệ thuật dạy học của mình

Ta hãy minh hoạ điều vừa trình bày bằng một ví dụ: “Cho tam giác ABC với trọng tâm G Hãy dựng vectơ tổng GA GB GC   

Từ đó suy ra GA GB GC     0

” Bài tập này trước hết nhằm củng cố kỹ năng dựng vectơ tổng theo quy tắc hình bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tính chất tâm của hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng Điều đó thể hiện tường minh chức năng dạy học của bài tập này

Khi dạy giải bài tập này, giáo viên hướng dẫn học sinh liên tưởng đến kết quả một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì OA OB   0

), biết thay thế tổng GA GB 

ở đẳng thức phải chứng minh bằng GD

để đưa về đẳng thức mới phải chứng minh là GD GC   0

, tức là biết vận dụng kĩ thuật chứng minh, đồng thời thấy được sự thống nhất giữa tính chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng tâm tam giác Như vậy là khai thác được chức năng giáo dục của bài toán trên

Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung điểm của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm) gợi lên một ý tưởng khái quát đối với một tứ giác ABCD (bốn điểm), một ngũ giác hay một đa giác nói chung: có hay không một điểm O sao cho:

0

OA OB OC      OD

Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó Như thế chức năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng: luyện tập cho học sinh kĩ năng vận dụng tương tự hoá, khái quát hoá, phát triển ở học sinh tư duy biện chứng, khả năng dự đoán khoa học

Qua ví dụ trên ta thấy rằng các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội dung cũng như phương pháp khai thác lời giải của nó Điều đó định hướng việc lựa chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập cho học sinh một cách tuỳ tiện hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần tuý

2 Yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học, giáo viên và học sinh cần nắm vững các yêu cầu của một lời giải

2.1 Lời giải không có sai lầm

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm

về ngôn ngữ diễn đạt Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề tài, xét tính hợp lí của đáp số với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sánh các kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm

Chẳng hạn khi giải phương trình 2 2

x  mx m  (m là tham số) nếu học sinh tìm được hai nghiệm là m và 4m thì bằng cách áp dụng định lí Vi-ét, phải thấy ngay là sai, vì phương trình này các hệ số a 1 và 2

Ví dụ, với bài toán “Giải phương trình tan 5 0

Những sai lầm về mặt suy luận học sinh thường khó thấy hơn Chẳng hạn bài toán “Chứng minh rằng với những số thực không âm bất kì a b c, , ta có bất đẳng thức

Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến (phép phân tích đi xuống) là một phép chứng minh

Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sai sót trong tính toán, không ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài,…

2.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác

Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức,… đã học Đặc biệt phải chú ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí

Chẳng hạn, khi giải bất phương trình sau:

2

(x1)(x2) (x3)Một số học sinh mắc sai lầm khi lập luận rằng theo quy tắc so sánh hai phân số

có cùng tử số, từ bất phương trình đã cho suy ra 2

(x1)(x2)(x3) Nguyên nhân sai lầm là do học sinh không biết rằng quy tắc so sánh hai phân số nói trên chỉ thực hiện với các phân số mà tử số và mẫu số đều là số tự nhiên và mẫu số đương nhiên phải khác không

Một sai lầm loại khác là đánh tráo luận đề, tức thực chất đã thay đổi mục tiêu của lời giải Ví dụ, với bài toán “Tìm các giá trị của m để phương trình 2

sin xmsinx m  1 0 có nghiệm”, có học sinh giải như sau: “Đặt t sinx, bài toán đưa về tìm các giá trị của m để phương trình: 2

1 0

t mtm  có nghiệm Đó là các giá trị của m sao cho: 2

2.3 Lời giải phải đầy đủ

Điều kiện này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết nào Nó cũng có ý nghĩa là lời giải vừa không thừa, vừa không thiếu Muốn vậy, cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn suy xét và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còn trường hợp nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?

Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham số, những bài toán đòi hỏi phải biện luận,…

Ví dụ, với bài toán sau: “Cho vectơ AB

và một điểm C, hãy dựng điểm D sao cho  ABCD

”, học sinh thường quên không xét đến trường hợp điểm C thuộc đường thẳng AB nên lời giải không đầy đủ

Một ví dụ khác, chẳng hạn bài toán: “Các số 10, 11, 12 có thể là các số hạng của một cấp số nhân được không?” Có học sinh giải như sau: “Nếu 10, 11, 12 tạo thành

một cấp số nhân thì công bội phải bằng 11

10 và 12

11 Nhưng 11 12

10 11 (vì 121 120  ) nên

ba số này không thể là các số hạng của một cấp số nhân”

Lời giải này không đầy đủ vì mới chỉ xét đến khả năng ba số 10, 11, 12 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân Đúng ra phải xét trường hợp ba số này là ba số hạng nào đó của cùng một cấp số nhân có cùng công bội q tức là 11 10. q k và

12 10 m

q

 (k m, là số tự nhiên) rồi từ đó mới tiếp tục lập luận

Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (Pôlya 1975)

Nói chung dạy giải bài tập bao gồm nhiều vấn đề phong phú, ở đây sẽ đề cập ba vấn đề sau:

- Dạy học giải các bài tập có phương pháp giải nhất định (dạy học các algorit giải toán)

- Dạy học giải các bài tập không thuộc những loại bài có cách giải nhất định (dạy học tìm tòi lời giải toán)

- Bồi dưỡng cho học sinh một số phương pháp tìm tòi sáng tạo qua việc giải toán

3 Dạy học các thuật toán

3.1 Thuật toán

3.1.1 Khái niệm về thuật toán

Thuật toán (algorithm) được hiểu như một qui tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng

và chính xác để người hay máy thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt

ra hay giải quyết một lớp bài toán nhất định

Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác

Thuật toán dẫn từ dữ kiện ban đầu đến kết quả cần tìm qua một số hữu hạn bước (phép toán)

Ở nhà trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật toán cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước số chung lớn nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, thuật toán giải phương trình bậc hai,…

3.1.2 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán

- Tính tổng quát: Thuật toán không đề cập chỉ bài toán riêng lẻ mà bao hàm một lớp bài toán cùng một kiểu, hay phải dùng được để giải một loại xác định các bài toán

- Tính xác định: Toàn bộ quá trình biến đổi cũng như trật tự thực hiện phải được xác định và là duy nhất

Như vậy khi dùng thuật toán cùng một tin tức ban đầu phải cho cùng một kết quả Trong thuật toán ở mỗi giai đoạn phải nêu chính xác các bước tiếp theo, có nghĩa

là thứ tự thực hiện, các thao tác phải được qui định rõ ràng

- Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra thì nhất định giải được bài toán thuộc loại đã cho

3.1.3 Tư duy thuật toán

Khái niệm thuật toán là một yếu tố của phương thức tư duy được gọi là tư duy thuật toán Trong thời đại ngày nay, người giáo viên phải có ý thức thông qua việc dạy học các qui tắc, phương pháp mà rèn luyện cho học sinh loại hình tư duy quan trọng này

3.1.4 Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán

Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý

do sau đây:

Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người Góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hoá Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của việc tự động hoá Cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần tuý máy móc của quá trình thực hiện thuật toán Đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện

Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải bài toán bằng máy tính điện tử Do thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ bản của việc lập trình

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…

Thứ tư, tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỹ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra,…

3.1.5 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán

Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên

Do đó phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau:

- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước

- Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

- Khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng

- So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một việc và phát hiện thuật toán tối ưu

Thành phần thứ nhất thể hiện khả năng thực hiện thuật toán Bốn thành phần còn lại thể hiện khả năng xây dựng thuật toán

Hiện nay định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn thuật toán,… đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong nhà trường phổ thông Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán và việc học tập về máy tính điện tử và làm việc với công cụ này Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa ra một cách tường minh vào trong chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương hướng rèn luyện cho các em những khả năng đã liệt kê như những thành tố của phương thức

tư duy này

Chúng ta biết rằng, các nội dung dạy học cụ thể vừa là mục đích, vừa là phương tiện để phát triển tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy thuật toán

Từ năm phương thức thể hiện tư duy thuật toán được trình bày vắn tắt như sau:

3.1.5.1 Thực hiện thuật toán

Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với thuật toán cho trước có thể phát biểu một số qui tắc toán học, một số dạng toán có phương pháp giải như giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn,… thành những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ thể hiện rõ các bước tiến hành, rồi yêu cầu học sinh thực hiện các qui tắc ấy, thông qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi qui tắc

3.1.5.2 Phân tích một hoạt động

Cách làm như trên nhằm tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần theo một trình tự xác định, qua đó cũng đồng thời giúp học sinh dễ dàng hơn trong giải toán Cần rèn luyện cho học sinh hoạt động này ngay cả đối với những qui tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học

Ví dụ 1: Qui tắc xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:

Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng

Bước 2: Xác định góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó

Qui tắc này tỏ ra có hiệu quả, ví dụ như đối với bài toán:

“Cho hình chóp S ABCcó hai mặt bên SABvà SACvuông góc với đáy, đáy

ABC là tam giác cân đỉnh A, trung tuyến AD  a Cạnh SB tạo với đáy một góc  và tạo với mặt phẳng SAD một góc  Xác định góc  và ”

Theo các bước trên thì việc xác định góc  không có gì khó khăn, còn với góc

, chắc chắn xác định được hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAD) chính là SD, do

đó SBD 

Ví dụ 2: Qui tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng theo các bước:

Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm

Bước 3: Xác định góc giữa hai đường thẳng này, đó là góc cần tìm

Cần chú ý rằng, tùy theo dữ kiện của bài toán cụ thể mà bước này hoặc bước kia

đã quá rõ ràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức được việc xác định góc theo trình tự trên là cần thiết và sẽ luôn đạt được kết quả Hơn nữa cũng theo trình tự ấy giúp học sinh biết lập luận xác định góc một cách rõ ràng, ngắn gọn, góp phần khắc phục nhược điểm về cách diễn đạt vốn vẫn là một trong những khó khăn đáng kể của học sinh trong học tập môn toán

3.1.5.3 Mô tả thuật toán (tường minh hóa thuật toán)

Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình, cần yêu cầu học sinh phát biểu những qui tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của mình Giáo viên theo dõi phân tích tính chính xác, xác định của những phát biểu như vậy

Chẳng hạn yêu cầu học sinh nêu cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

“Để tính đạo hàm f'(x0) của hàm số y  f (x) bằng định nghĩa cần thực hiện các bước sau:

1) Giả sử x là số gia của đối số tại x0, tính y f(x0x) f(x0)

Những đề bài dạng này muốn nhấn mạnh yêu cầu mô tả chính xác các bước và trình tự tiến hành, nhờ đó góp phần rèn luyện cho học sinh khả năng mô tả một quá trình hoạt động

3.1.5.4 Khái quát hóa một hoạt động

Để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn các

em đi từ việc giải những bài toán cụ thể sang giải những bài toán dạng tổng quát, từ việc giải phương trình bậc hai cụ thể sang giải phương trình bậc hai tổng quát dạng

)0(02

cos(sin

cos

sinx xb x x c

09.615

5

25x x x  sang giải phương trình đẳng cấp bậc hai tổng quát dạng:

0))(()()())

(

(f x 2bf x g x c g x 2 

3.1.5.5 Chọn thuật toán tối ưu

Để tập cho học sinh biết so sánh những thuật toán khác nhau (thực hiện cùng một công việc) và phát hiện thuật toán tối ưu, ta cần rèn luyện cho các em ý thức tiết kiệm thao tác khi xây dựng thuật toán, chẳng hạn để giải bất phương trình:

3

21

Phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất là về phương diện tiết kiệm thao tác đó là yếu

tố của tư duy thuật toán, một trong những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính điện tử

Thông qua việc dạy học toán ở trường phổ thông, trong mọi trường hợp có thể, giáo viên cần phát triển cho học sinh tư duy thuật toán theo năm phương hướng như đã trình bày trên

3.1.6 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán

Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đề cập và có vẻ

xa lạ Tuy nhiên, sự bắt chước hay học hỏi của con người từ thời xưa đến nay chính là thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một phương pháp tổng quát cho trước nhằm đem lại sự thành công trong công việc Người ta đã dạy nhau nấu một món ăn ngon hay cắm một lọ hoa đẹp bằng cách chỉ cụ thể bước 1 làm gì, bước 2 phải làm như thế nào,… chính là thực hiện thuật toán, sự thành thạo có được là do làm

nhiều lần theo một công thức có sẵn Từ đó cho thấy sự cần thiết phải có thuật toán và rèn luyện việc thực hiện thuật toán trong đời sống

Trong toán học, thuật toán còn có một vị trí và ý nghĩa sâu sắc hơn, quan trọng hơn Nhờ có thuật toán mà học sinh có thể giải được những bài toán tương tự nhau, nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn diện, việc truyền thụ tri thức của giáo viên trở nên có hệ thống Học tập với thuật toán giúp người học rèn luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương; phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành những kỹ năng, kỹ xảo, linh hoạt, nhạy bén và giải quyết triệt để mọi tình huống xảy ra trong học tập môn toán và cả trong đời sống

3.2 Qui trình tựa thuật toán

3.2.1 Khái niệm về qui trình tựa thuật toán

Những qui tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi là qui trình tựa thuật toán

Một qui trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán mà qui trình đó chỉ tương tự như một thuật toán Tương tự ở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bước để giải quyết một vấn đề, nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta một kết quả duy nhất còn qui trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì vấn đề đặt ra mới được giải quyết Đối với một thuật toán thì cho dù người hay máy thực hiện đều mang lại một kết quả duy nhất Nhưng đối với một qui trình tựa thuật toán thì vấn đề có khác hơn, đó là máy không thực hiện được qui trình này Trong chương trình toán ở trường phổ thông, học sinh đã được học những qui trình tựa thuật toán như: qui trình giải toán bằng cách lập phương trình, qui trình xác định vectơ tổng của hai vectơ cho trước, qui trình khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,…

Ví dụ 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và

b cho trước như sau:

Qui trình 1

Bước 1: Xác định mp(Q) chứa b và song song với a;

Bước 2: Xác định hình chiếu a' của a trên mp(Q);

Bước 3: Xác định giao điểm N của a' với b;

Bước 4: Xác định đường thẳng c qua N và c  (Q)

Qui trình gồm 4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán về xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước Tuy nhiên, khi vận dụng các qui trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt của tư duy thì vấn đề đặt ra mới được giải quyết tốt nhất

Qui trình trên sẽ không có ý nghĩa gì khi giải bài toán: “Cho hình lập phương

' ' '

'

.A B C D

ABCD Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CC'”

Bài toán này chỉ đòi hỏi học sinh hiểu được khái niệm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau mà không cần đến qui trình đã nêu

Thông qua luyện tập giáo viên có thể hướng dẫn học sinh xây dựng những qui trình để giải một lớp các bài toán

Sau đây là một qui trình khác gồm 6 bước để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b cho trước

Qui trình 2

Bước 1: Xác định mp(P) vuông góc với đường thẳng a;

Bước 2: Xác định giao điểm O của a với mp(P);

Bước 3: Xác định hình chiếu b' của b lên mp(P);

Bước 4: Xác định hình chiếu H của O lên b;

Bước 5: Xác định N  b sao cho NH // a;

Bước 6: Xác định M  a sao cho MN // OH

Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b

Nếu sau bước 3 của qui trình 2, giáo viên đặt câu hỏi: Trong trường hợp nào thì

b

b //' ? Khi đó có nhận xét gì về hai đường thẳng a và b? Thì ta có một qui trình khác gồm 3 bước để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau a và b cho trước

Qui trình 3

Bước 1: Xác định mp(P) chứa b và vuông góc với a;

Bước 2: Xác định giao điểm M của a với mp(P);

Bước 3: Xác định hình chiếu N của M trên b

Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b

Từ các qui trình trên có thể nói rằng các bước xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b là khá rõ ràng Tuy nhiên việc áp dụng vào các bài toán cụ thể vẫn xuất hiện nhiều khó khăn: Nên xác định mp(P) chứa b và song song với a hay chứa a và song song với b? Bằng cách nào để tìm hình chiếu của b

trên mp(P)? Trong những trường hợp đó cần sự giúp đỡ của giáo viên, đặc biệt là tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy của người làm toán

Bài tập vận dụng: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 Trong đó d1, d2 là hai đường thẳng chéo nhau lần lượt chứa hai cạnh của hình lập phương

Ví dụ 2: Đối với một số bài toán kết hợp phương pháp dự đoán và qui nạp toán học, với qui trình thực hiện như sau:

Bước 1: Dự đoán kết quả qua xét một số trường hợp cụ thể

Bước 2: Dùng phương pháp qui nạp toán học để khẳng định tính đúng đắn của kết quả đã dự đoán

Bài tập vận dụng:

1) Tính tổng S n 135 (2n1)

2) Tìm đạo hàm cấp n của hàm số ysinx

3.2.2 Các đặc điểm của một qui trình tựa thuật toán

Một qui trình tựa thuật toán bao gồm một dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự xác định Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể, có bước

là một thao tác sơ cấp, có bước chỉ là một gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp Thực hiện xong tất cả các bước cùng với sự mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì kết quả là vấn đề đặt ra chưa được giải quyết

Ví dụ 1: Qui trình giải bất phương trình phân thức

Giải bất phương trình phân thức dạng:

)(

)()(

)(

x G

x H x Q

x P

)(

)()(

)(

x G

x H x Q

x P

 có thể thực hiện theo các bước sau: 1) Đưa bất phương trình về dạng:

0)

()(

)()()()(





x G x Q

x H x Q x G x P

)()(

)()()()(





x G x Q

x H x Q x G x P

Xét dấu biểu thức ở vế trái (xét dấu tử, mẫu, kết hợp bằng một bảng xét dấu) 2) Dựa vào bảng xét dấu để kết luận nghiệm của bất phương trình

Ví dụ 2: Qui trình chứng minh một mệnh đề toán học có chứa tham số

Trong chương trình toán trung học phổ thông có nhiều loại toán có phương pháp giải nhất định, hoặc có thể nêu trình tự các bước giải Đối với những loại toán đó giáo viên cần hướng dẫn để học sinh xây dựng phương pháp giải theo trình tự từng bước có tính chất thuật toán Khi học sinh đã thành thạo phương pháp chung cần chú ý rèn luyện tính linh hoạt, sáng tạo khi vận dụng

4 Dạy học các phương pháp tìm tòi lời giải toán

Trong chương trình toán phổ thông cũng như trong toán học nói chung có nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải và cũng không thuộc một loại nhất định nào mà ta có thể nêu được những nét chung về phương pháp giải như đã làm ở trên Vì rằng không có phương pháp tổng quát để giải các bài toán thuộc loại đã nêu

mà mỗi bài lại đòi hỏi một phương pháp riêng để giải, nên ở đây nói đến phương pháp tìm tòi lời giải chỉ có nghĩa là những điểm cần thiết giáo viên phải chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm lời giải các bài toán và nói chung là trong giải toán

Hướng dẫn học sinh giải bài toán theo 4 bước:

- Tìm hiểu đề toán

- Xây dựng chương trình giải

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được

2 (3 2)( 2) ( 2)(3 2)(5 2)

x  x x  x x x 

Tìm tòi lời giải:

Thông thường, khi giải bất phương trình có chứa phân thức, theo thói quen học sinh sẽ quy đồng mẫu số và tiến hành giải bất phương trình mà không nhìn bài toán một cách khái quát để tìm ra cách giải nhanh hơn Như ở ví dụ này, nếu ta để ý kỹ sẽ thấy mẫu số là tích của những đa thức có dạng ax 2 Khi đó, ta có thể nghĩ đến phép biến đổi làm cho tử số xuất hiện đa thức dạng ax 2 bằng cách: đối với phân thức 2

  ; tương tự đối với phân thức còn lại

Khi đó với điều kiện 2, 2, 2

x  x  x  ta có:

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M N, lần lượt là trọng tâm của các mặt ,

ABD ACD Chứng minh rằng: MN//(BCD)

Tìm tòi lời giải:

I D

Để chứng minh MN//(BCD) ta cần chứng minh MN song song với đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (BCD) Vấn đề này có liên quan như thế nào đến giả thiết ,

M N lần lượt là trọng tâm của các mặt ABD ACD, ? Điều này làm ta nghĩ đến vai trò

của điểm I Điểm I chính là trung điểm của AD Và từ đó ta nhận được kết quả

vẽ cần mang tính tổng quát, ta không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt Hình vẽ phải rõ ràng, vẽ đúng các nét khuất, nét nhìn thấy được Để biểu diễn một hình không nên máy móc ở một cách vẽ cố định mà nên linh hoạt, tùy theo nội dung đang xem xét

mà tìm hình vẽ nào đó có tính trực quan hơn, dễ tưởng tượng hơn Chẳng hạn, hình vẽ biểu diễn một tứ diện vuông, có thể như hình a) hoặc hình b) dưới đây

a)

C

A H

b)

O

B H

Việc chọn kí hiệu cũng cần được lưu ý “Thời gian dành để chọn kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn” (Pôlya 1975) Một kí hiệu phải thuận tiện, dễ nhớ, tránh hiểu nước đôi và không nên cầu kì Cần lưu ý đến thứ tự và mối tương quan giữa các kí hiệu để chúng giúp ta dễ dàng liên tưởng đến các trường hợp tương tự

Chẳng hạn, với hình biểu diễn tứ diện vuông nói trên, ta kí hiệu đỉnh của tam diện vuông là O, chứ không phải là A hay B để dễ dàng nhận thức được một vài tính chất và cách chứng minh tương tự như tính chất liên quan đến hình chiếu H của O

trên mặt phẳng ( ABC):

HAB ABC OAB S S

Sau khi chứng minh được đẳng thức này, đối với các trường hợp còn lại chỉ cần viết tương tự (chú ý thay O ở vế trái bằng Hở vế phải) cụ thể là:

HCA ABC OCA

HBC ABC OBC

S S S

S S S

Tránh vẽ những trường hợp đặc biệt như hình thoi, hình vuông,…

Hình vẽ cần rõ ràng, dễ nhìn thấy quan hệ giữa những yếu tố đã cho và phải tìm, cần vẽ tương đối chính xác quan hệ về độ dài, độ lớn của các góc, quan hệ song song, vuông góc,… để dễ đón nhận kết quả và tìm lời giải

b) Đối với các hình không gian

Cần nắm vững một số tính chất của phép chiếu song song để vẽ hình biểu diễn các hình không gian cho đúng (qua phép chiếu song song các tính chất như đồng quy, thẳng hàng, sự song song, tỉ số các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song không thay đổi; các tính chất về bằng nhau, vuông góc, độ dài, độ lớn của góc,… nói chung không được bảo toàn)

Vẽ đúng nét khuất, nét nhìn thấy được

Cần suy nghĩ về sự sắp xếp các yếu tố trên hình vẽ, có nhiều trường hợp phải vận dụng các tính chất về song song, vuông góc, phải tính toán sơ bộ mới vẽ đúng được

Khi cần thiết nên vẽ riêng các hình phẳng để dễ nhận ra quan hệ giữa các yếu tố trên hình vẽ

4.2 Xây dựng chương trình giải

Trong dạy học các bài tập toán, việc hướng dẫn học sinh các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải của bài toán có ý nghĩa rất quan trọng, không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng giải toán mà còn có tác dụng lớn đến rèn luyện năng lực trí tuệ nói chung

Giải toán là một việc khó khăn phức tạp nhất trong học toán Không có một phương pháp (hay một số phương pháp) suy nghĩ nào mà giáo viên có thể cung cấp cho học sinh để từ đó học sinh có thể vận dụng để giải được mọi bài toán Giải mỗi bài toán đều đòi hỏi ít nhiều sự suy nghĩ độc lập và sáng tạo Giáo viên chỉ có thể thông qua giải những bài toán cụ thể mà tập dượt cho học sinh quen dần với cách thức suy nghĩ, phân tích để tìm ra lời giải các bài toán Từ đó dần dần học sinh có kinh nghiệm giải toán

Trong rèn luyện khả năng phân tích bài toán, vấn đề quan trọng nữa là biết xem xét, nghiên cứu bài toán Biết xem xét bài toán dưới dạng chính qui, lại phải xem xét bài toán dưới dạng đặc thù, riêng lẻ Nhìn bài toán trong bối cảnh chung chưa đủ, lại phải biết nhìn bài toán trong các điều kiện cụ thể

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2

tan xcot xtanxcotx4

Tìm tòi lời giải:

Ta nhận thấy điều kiện cho phương trình là ( )

tan xcot x(tanxcot )x 2 Khi đó ta nghĩ đến việc đặt

ẩn phụ: t tanx cotx

Ta có phương trình: 2

6 0

t   t

Giải phương trình tìm t rồi tìm x Chú ý điều kiện của t

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba cạnh a b c, , của một tam giác bất kì thoả mãn bất đẳng thức

a b c  ab bc ca 

Tìm tòi lời giải:

Bài toán đề cập mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Hãy huy động những định lí, tính chất đã biết về quan hệ giữa các cạnh của tam giác:

2

(1)(2)

Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, trước hết ta hãy loại (3) và (4) vì chúng

đề cập mối quan hệ “đẳng thức” chứ không phải “bất đẳng thức” như điều phải chứng minh Hãy chú ý đến (1) và (2) là những quan hệ “bất đẳng thức”: Đối chiếu với điều

phải chứng minh, ta thấy mỗi số hạng phải có bậc hai, trong đó mỗi cạnh được tính bình phương một lần Hãy thử với (1), ta bình phương hai vế:

2

a b2 c2 2ac

Tương tự ta có:

.2

,22 2 2

2 2 2

ab b

a c

ac c

a b

Cộng theo từng vế và giản ước ta sẽ có điều phải chứng minh

Hãy tiếp tục thử với (2), vì nếu được ta sẽ có thêm một cách giải khác, nếu không thì cũng là một bước tập luyện Nếu bình phương hai vế của (2) và xét tương tự hai cạnh còn lại rồi giản ước thì lại được một đẳng thức hiển nhiên (nhưng không phải là điều cần chứng minh) :

2 2 2

ca bc ab c

b

a     Thử chọn phép biến đổi khác: Để xuất hiện bình phương của mỗi cạnh, hãy nhân

hai vế của (2) với a ta được :

a2 abac

Tương tự: 2

b ab bc 2

c ac bcThế là ta đã tìm được một cách chứng minh khác cho bài toán này

Trên đây chỉ là một số ví dụ qua đó đề cập đến một số phương pháp có thể hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải các bài toán loại thường gặp ở trường phổ thông Trong giảng dạy giáo viên cần căn cứ vào nội dung, đặc điểm của từng bài toán

và trình độ của học sinh để có phương pháp hướng dẫn thích hợp Có thể sử dụng các phương pháp đã trình bày ở trên và cả những phương pháp khác nữa, đồng thời chính bản thân của giáo viên cũng cần giải nhiều bài toán thì mới tích luỹ được những phương pháp hay và có kinh nghiệm trong dạy học sinh giải toán Một điểm quan trọng cần chú ý nữa là trong khi hướng dẫn học sinh giải toán, những câu hỏi gợi ý đúng lúc

và vừa sức của giáo viên có ý nghĩa rất lớn Không những giúp học sinh vượt qua khó khăn giải được bài toán đã cho, mà còn có tác dụng nhiều đến việc bồi dưỡng phương pháp suy luận, cách suy nghĩ và kinh nghiệm giải toán cho học sinh

4.3 Thực hiện chương trình giải

Trong giải một bài toán thì khó khăn chủ yếu là xây dựng chương trình giải, còn việc thực hiện chương trình chỉ là sắp xếp trình bày thành lời giải bài toán Tuy khâu này không khó khăn lắm đối với học sinh nhưng giáo viên cũng cần chú ý làm cho học sinh biết cách trình bày lời giải một bài toán bảo đảm được những yêu cầu nhất định Yêu cầu chủ yếu của lời giải một bài toán là đầy đủ, không phạm sau lầm và có cơ sở

lý luận chặt chẽ Về thực hiện yêu cầu này học sinh thường có thiếu sót là hay kết luận không có căn cứ, lập luận thiếu chặt chẽ

Tuỳ từng trường hợp giáo viên cần phân tích rõ nguyên nhân và uốn nắn kịp thời những sai sót của học sinh, thỉnh thoảng cần cho học sinh ghi những lời giải mẫu mực để dần dần các em biết cách trình bày lời giải các bài toán đảm bảo được yêu cầu nói trên

Ngoài ra lời giải các bài toán cần được trình bày một cách ngắn gọn, nếu hay và độc đáo càng tốt

Một điểm nữa là cần tập cho học sinh thói quen kiểm tra lại từng bước khi trình bày lời giải để tránh được những sai sót đáng tiếc, nhất là trong làm bài kiểm tra và thi

cử

4.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được

Phần sau cùng khi giải một bài toán cần tiến hành những việc sau đây:

Xem xét lại toàn bộ lời giải và thử lại kết quả nếu có thể được (thay nghiệm vào phương trình, xét ý nghĩa thực tế của kết quả tìm được, xét các trường hợp đặc biệt, tổng quát, giới hạn, vẽ hình thật chính xác,…) cần chú ý kiểm tra cả kết quả và suy luận trong từng bước

Tìm lời giải khác của bài toán Yêu cầu về mặt sư phạm là lời giải bài toán càng đơn giản, ngắn gọn càng tốt Vì vậy cần tập cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau của bài toán để có thể tìm được lời giải hay nhất Khi ra bài tập cần chọn những bài có thể giải được bằng nhiều cách khác nhau

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp của bài toán cho những bài toán khác, đề xuất bài toán mới trên cơ sở bài toán đã giải

Việc tìm hiểu kĩ phương pháp khi giải từng bài toán là rất cần thiết để học sinh học được kinh nghiệm và phương pháp suy luận trong giải toán

5 Những điểm cần chú ý trong việc dạy học giải bài tập

5.1 Tạo không khí hứng thú trong giờ học giải bài tập

- Học sinh có thời gian suy nghĩ, phân tích, thử nghiệm

- Học sinh có thể tiếp nhận được bài toán

- Hạn chế sự sợ sệt của học sinh

- Hãy kiên nhẫn đối với những học sinh không giải được

5.2 Xây dựng và duy trì động cơ học tập của học sinh

Nhấn mạnh đến tầm quan trọng của việc học tập giải bài tập toán học

Cho một vài bài toán mà mỗi em có thể làm được

Cho các bài tập hợp lí và có đủ thời gian cần thiết

Tập trung vào một vài bài tập, và giải chúng một cách thông thả và triệt để

5.3 Giúp học sinh cách thức làm tăng sự hiểu biết về các tình huống của bài toán

- Yêu cầu các em đọc đề toán nhiều lần

- Giúp học sinh phát biểu lại đề toán sao cho các điều kiện được rõ ràng hơn

- Giúp học sinh nhận ra các ý chính và chia bài toán thành những bài toán con đơn giản hơn

5.4 Chú ý tính linh hoạt trong giải toán

- Khuyến khích giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau

- Chỉ cho học sinh tự đặt ra những câu hỏi như:

+ Điều gì đã cho?

+ Điều gì phải tìm? Phải chứng minh?

+ Những kiến thức nào đã học có liên quan đến bài này?

+ Những bài toán đã biết nào tương tự với bài này?

5.5 Nhấn mạnh phương pháp giải hơn là đáp số

- Phải dành thời gian luyện tập giải toán thích đáng

- Phát triển kỹ năng phân tích, tổ chức, và diễn đạt bằng cách cho học sinh viết

và nói về các cách giải của họ

- Dùng các tình huống của bài toán để khám phá ra những khái niệm, qui tắc toán học mới

CHƯƠNG 3: PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

THÔNG QUA VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN

1 Phương pháp giải toán và hoạt động rèn luyện tư duy sáng tạo

1.1 Mối quan hệ giữa sáng tạo và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán

Điều kiện then chốt quyết định phát triển tư duy sáng tạo là việc nắm tri thức mới bằng con đường phát hiện, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề Chủ thể học sinh phải chủ động tích cực trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề một cách khoa học sáng tạo, biến quá trình “tiêu thụ” kiến thức thành quá trình “sản sinh” kiến thức Như vậy, theo Nguyễn Cảnh Toàn: “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đặt ra”

1.2 Quan niệm về tiến trình giải toán

Tiến trình giải toán gồm một dãy các thao tác cần thực hiện để đạt được mục đích giải toán

Giải toán là thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ toán học, cần có sự lựa chọn sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề Như vậy, giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt mục đích của bài tập Đó là một quá trình tìm tòi, sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho Quá trình đó có được là do học sinh vận dung khéo léo các phương pháp giửi toán và các kiến thức đã học Những phương pháp có tính chất tìm tòi sáng tạo đó chỉ có thể được hình thành và dần dần trở thành thói quen ở học sinh thông qua luyện tập trong giải các bài tập toán

Trong việc rèn luyện học sinh giải toán phải làm cho học sinh thấy rõ từ chỗ tìm được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán đó là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu (từ việc nắm vững kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập để thành thạo các qui trình và thao tác có tính kỹ thuật) Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc và kiên nhẫn của người giáo viên dạy toán và học sinh học toán

Kết quả của một bài toán trước hết biểu hiện ở lời giải đúng, tức là làm một bài toán là phải hoàn thành trọn vẹn mọi khâu chứ không chỉ có vạch phương hướng giải

Có những bài toán, đường lối giải là cái khó chủ yếu, có khi cái khó chủ yếu thuộc về

kỹ thuật giải, do vậy đòi hỏi ở người giải toán không ít sự sáng tạo Tuy nhiên, để có lời giải tốt thì phải có phương hướng tốt và thành thạo trong việc thực hiện các thao tác

và các phép tính, biết cách trình bày lời giải bài toán đảm bảo những yêu cầu nhất định (lời giải phải đầy đủ, không phạm sai lầm và có cơ sở lí luận chặt chẽ)

Cần coi trọng khâu rèn luyện phương pháp tìm tòi lời giải bài toán, đó chính là

cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo

2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập toán

Trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc trưng của

nó và dựa vào quan điểm: bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho các em,

có thể đề xuất những cách để phát triển tư duy sáng tạo sau đây:

2.1 Tìm lời giải khác

Bài tập có nhiều cách giải thường gặp trong chương trình toán phổ thông Những bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích và tổng hợp, phát triển tư duy sáng tạo Sau đây ta xét một số bài tập giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy này

Bài 1: Giải phương trình sin3xcos3x cos3xsin3x sin34x

sin 3a3sina4 sin a, cos 3a4 cos a3cosa

Áp dụng các công thức này ta có cách giải sau:

Cách 1: Ta có phương trình tương đương

3

2

sin (4 cos 3cos ) cos (3sin 4sin ) sin 4

3sin cos (cos sin ) sin 4 3sin 2 cos 2 2 sin 4

sin 4 03sin 4 4sin 4

Kết hợp với công thức biến đổi tích thành tổng, ta có cách giải sau:

Cách 2: Ta có phương trình tương đương:

2sin 2sin cos 3 2 cos 2 cos sin 3 2 sin 4 2 sin 4

(1 cos 2 )(sin 4 sin 2 ) (1 cos 2 )(sin 4 sin 2 ) (1 cos 8 )2 sin 4

3sin 4 2sin 4 2 cos 8 sin 4 sin 4 2 cos 8 sin 4

Cách 3: Ta có phương trình tương đương

3

3

3

3

3sin sin 3 3cos cos 3

cos 3 sin 3 sin 4

(3sin sin 3 ) cos 3 (3cos cos 3 ) sin 3 4 sin 4

3(sin cos 3 sin 3 cos ) 4sin 4

Khi đó f x( ) (x1)  1 (x1) 1, điều này làm ta liên tưởng cách tính

Từ hàm số f x( ), ta nghĩ đến việc tính tổng của hai đoạn thẳng nào đó

Giả sử trong hệ trục toạ độ Oxy: Chọn M x( ;0), A(1;1), B  ( 1; 1)

Mà MOx ( do M x( ;0)) nên M thuộc giao của Ox và AB

Do đó M Ox 0

Vậymin ( )f x 2 2 tại x 0

Khi nhìn bài toán một cách khái quát với nhiều góc độ khác nhau ta sẽ có được những cách giải khác nhau Thông qua bài toán này học sinh có thể tìm cho mình một phương pháp mới để giải các bài toán tương tự

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

0

 4



0

Từ đây học sinh có thể kết luận: miny 1 và maxy  8

Như vậy với cách giải thông thường học sinh đã tìm một lời giải cho bài toán Nếu nhìn bài toán một cách khái quát hơn, học sinh sẽ nhận thấy hàm số đã cho có quá nhiều căn thức Do đó, học sinh nghĩ đến cách giải làm mất căn thức bằng cách bình phương hai vế của hàm số đã cho và nhận được kết quả:

2 cos sin 2 sin cos

Từ bài toán ban đầu ta chuyển về bài toán trung gian là tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2

y , để ý rằng y 0 nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y

chính là căn bậc hai của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2

y Nếu xét mối liên hệ của biểu thức trong căn và ngoài căn ta có hệ thức:

2(cosxsin )x  1 2 sin cosx x

Từ đây ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ t cosx sinx

2( 1)

Z  y  t t  Vấn đề đặt ra là ta tìm điều kiện của t

Ta có cos sin 2 sin



4



2 2

y

Qua cách phân tích trên ta đã tìm ra hai cách giải cho bài toán

Bài 4: Cho A B C, , là 3 góc của một tam giác Chứng minh rằng:

3 cos cos cos

A B C hay C(AB)

Khi đó: cosC cos(AB)

Ta dễ dàng áp dụng công thức nhân đôi và thu được kết quả:

 Ở bài tập này, xuất phát từ vế trái của bất đẳng thức ta có cách giải sau đây:

2 cos cos 1 2 cos