Sáng kiến kinh nghiệm giải bài toán về góc va đường thẳng

Để giải quyết được loại toán này, khôngnhững các em phải nắm chắc lý thuyết về xác định góc giữa hai đường thẳng,gócgiữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từm

I Thông tin chung về sáng kiến

1 Tên sáng kiến:

“Phân loại và giải một số bài toán về góc và khoảng cách trong hình học không gian”.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo

3 Tác giả: Lê Thúy Hòa

Sinh ngày 28 tháng 3 năm 1965

Chức vụ, đơn vị công tác: Tổ trưởng tổ Toán- Tin- Thể dục trường THPT DânTộc Nội Trú Tỉnh Lạng Sơn

Điện thoại di động: 0915 705 575

4 Đồng tác giả: Không có.

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THPT Dân tộc nội trú

Tỉnh Lạng Sơn

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến.

- Giáo viên Toán THPT

- Đối tượng học sinh: Lớp 11, 12 THPT

8 Thời gian áp dụng sáng kiến: Năm học 2016-2017

II Tình trạng giải pháp đã biết

Trong chương trình THPT, bài toán về góc và khoảng cách là bài toánkhông hề dễ đối với các em học sinh Để giải quyết được loại toán này, khôngnhững các em phải nắm chắc lý thuyết về xác định góc giữa hai đường thẳng,gócgiữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từmột điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa haiđường thẳng chéo nhau…mà các em còn phải có khả năng tư duy tốt Phải biếtkhai thác nhuần nhuyễn những vấn đề đã biết để áp dụng giải quyết những vấn

đề chưa biết.Nếu các em không được học vấn đề này một cách bài bản thì các

em khó có thể giải quyết được dạng toán này

Thực tế giảng dạy trong những năm qua là giáo viên chưa hệ thống mộtcách đầy đủ phương pháp giải quyết dạng toán này, chưa khai thác triệt để cáccách giải khác nhau của cùng một bài toán Vì thế học sinh còn lúng túng trongviệc tìm đường lối để giải quyết bài toán

Các vấn đề nghiên cứu sau đây giúp cho học sinh nắm được các dạngtoán tính góc và khoảng cách.Nhận dạng nhanh được các dạng toán, từ đó địnhhướng được cách giải và tự tin hơn khi gặp phải bài toán dạng tương tự.Nhằmgiúp các em thấy được bài toán hình học cũng lý thú và nhẹ nhàng như bao bài

toán khác Từ đó tạo động lực học tập để các em giành được kết quả cao trông

3.2 Khả năng áp dụng của giải pháp

Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu và áp dụng cho việc giảngdạy và học tập môn hình học cho học sinh lớp 11, 12, học sinh ôn thi THPTQG,

ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh ở tất cả các trường Trung học phổ thông trên toàntỉnh

3.3 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến

1.Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc

giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a

và b

b

a'

b' O

Chú ý:

+ Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộcmột trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song vớihai đường thẳng còn lại

+Nếu a song song với b hoặc a trùng với b thì góc giữa a và b bằng 00

+Nếu a⟘b thì góc giữa a và b bằng 900

+ Gọi là góc giữa a và b thi 00900

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P)

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằnggóc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 900

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc d

và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng (P) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặtphẳng (P)

P O H

A d

d'

Chú ý:

+ Nếu d nằm trong mặt phẳng (P) hoặc d//(P) thì góc giữa d và mặt phẳng(P) bằng 00

+ Nếu (P) //(Q) hoặc (P) trùng với (Q) thì = 00

+ Giả sử (P) cắt (Q) theo giao tuyến d

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng a Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trênđường thẳng a, ta có MH = d(M,a)

M

H a

3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) M là một điểm bất kỳ trên đườngthẳng a, ta có d(a,(P) = d(M,(P)

P

M

H

a

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) M là một điểm bất kỳ trên mặtphẳng (P), ta có d((P),(Q)) = d(M,(Q))

Q

H

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, để tìm khoảng cách giữa haiđường thẳng a và b ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau

a) Nếu MN là đoạn vuông góc chung của đường thẳng a và đường thẳng

b thì d(a,b) = MN

c) Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng a,b vàsong song với nhau, ta có d(a,b) = d((P),(Q))

Ta nhận thấy để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảngcách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song, khoảng cách giữa haimặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hầu như đềuquy về việc tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Để tính khoảngcách từ một điểm M tới mặt phẳng (P) ta có thể sử dụng một trong các phươngpháp sau

Phương pháp 2: Nếu MN//(P) thì d(M,(P) = d(N,(P)

P

M N

Phương pháp 3: Nếu M,N,O thẳng hàng thì =

( Nếu biết và d(N,(P) ta dễ dàng tính được d(M,(P))

Để tích khoảng cách bằng phương pháp này ta thường dựa vào công thứcsau: h=

Ở đây V,h,S lần lượt là thể tích,chiều cao và diện tích đáy của một hìnhchóp nào đó( hoặc h= đối với hình lăng trụ)

Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp sau: Giả sử ta có thểquy bài toán này về tìm chiều cao của hình chóp (hay hình lăng trụ) nào đó Dĩ

nhiên các chiều cao này thường không xác định được, hoặc không tính trực tiếpđược Tuy nhiên các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diệntích đáy Như vậy chiều cao của nó sẽ được xác định dễ dàng bởi công thức trên

Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng hệ trục tọa độ trong không gian

Để sử dụng phương pháp này ta cần nhớ một số kiến thức cơ bản sau

a.Cho các véc tơ , ,

⟘ <=> = 0

và cùng phương <=> [, ] =

, , đồng phẳng <=> [, ] = 0

b Diện tích tam giác ABC là: SABC =

c Thể tích khối tứ diện ABCD là: VABCD =

c Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: VABCD.A’B’C’D’ =

d Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có véc tơ chỉ phương là và ’ Gọi

là góc giữa d và d’, ta có cos =

e Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là và ’ Gọi

là góc giữa (P) và (Q), ta có cos =

f Cho mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là và và đường thẳng d có vtcp

là Gọi là góc giữa (P) và d, ta có sin =

g Cho điểm M( và mặt phẳng (P): Ax+By +Cz + D = 0 ( A2 +B2 +C2 0),

ta có

d(M, (P) =

h Cho điểm M và đường thẳng d qua điểm N và có véc tơ chỉ phương là ,

ta có d(M,d) =

i Cho hai đường thẳng chéo nhau và’ Biết đường thẳng qua điểm M và

có véc tơ chỉ phương là , đường thẳng ’ qua điểm M’ và có véc tơ chỉ phương là ,

ta có d(,’) =

* Bài tập

Dạng 1: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

.SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (SBC) hợp với mặtphẳng đáy một góc 600

a) Tính góc hợp bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB)

M

H K

Ta có (SBC)(ABCD) = BC

Vì ABCD là hình vuông => BCAB

Vì SAmp(ABCD) => BC

Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600

a) Tính góc hợp bởi SC với mặt phẳng (SAB)

Vì BC⟘(SAB) =>SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng(SAB) => = =

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA cot600 = a, SB = 2a

Tam giác SBC vuông tại B => tan = = => = arctan hay = arctan

Tam giác SAO vuông tại O => tan = = => = arctan hay = arctan

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, tính khoảng cách từ điểm

Vì ABCD là hình vuông => BDAC

Vì SAmp(ABCD) => BD

Từ đó => BD⟘(SAC) Dựng OM ⟘SC Vì BD⟘(SAC) => OM⟘DB Vậy OM

là đoạn vuông góc chung của BD và SC hay OM = d(BD,SC)

Tam giác SAC vuông tại A => SC =

=> = => OM = SA =

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ

(Mục tiêu của phương pháp là giúp các em làm quen với phương pháp tọa

độ, phương pháp này thường kết hợp với phương pháp tổng hợp dùng để tínhgóc, khoảng cách)

S

A

B C

D O

M H

x

y z

Ta có (SBC)(ABCD) = BC

Vì ABCD là hình vuông => BCAB

Vì SAmp(ABCD) => BC

Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA cot600 = a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( a;0;0),D(0;a;0) Khi đó C(a;a;0)

a) Mặt phẳng (SAB) có vtpt là = ( 0;a;0) Đường thẳng SC có vtcp là

d) Vì H là trung điểm của SD => H(0; ;), mp(SBC) có phương trình +z

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật SA = a

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng đáymột góc 600 Cạnh bên SD hợp với đáy một góc 300

a) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD)

b) Gọi M là điểm nằm trên đoạn SB sao cho SM = 2MB, tính khoảng cách

từ điểm M tới mặt phẳng (SDC)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA cot600 = a

Tam giác SAD vuông tại A => AD= SA cot300 = 3a

Tam giác ABD vuông tại A => <=> =

Vậy AE = Tam giác SAE vuông tại A => tan = =

d x

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA cot600 = a

Tam giác SAD vuông tại A => AD= SA cot300 = 3a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( 0;a;0),D(3a,;0;0) Khi đó C(3a;a;0) M(0;

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và D SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (SBC) hợp với mặtphẳng đáy một góc 600 Biết AB =2a, AD = DC = a Gọi M là trung điểm củaAB

a) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SCB)

b) Tính góc hợp bới đường thẳng SD với mặt phẳng (SCB)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Vì

=> AMCD là hình vuông = CM = AB => tam giác ACB vuông tại C =>

CB, vì SA⟘(ABCD) => SA⟘BC Từ đó => BC⟘(SAC) => = = = 600

AMCD là hình vuông cạnh a => AC = a

Tam giác SAC vuông tại A => SA = AC.tan600 = a

a)Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (SCB)

Vì A, M, B thẳng hàng và MB = AB => => = = => d(M,(SBC) = d(A,(SBC)

Vì BC(SAC) => (SAC) ⟘(SBC) Dựng AH ⟘SC => AH⟘(SBC)

Tam giác SKD vuông tại K có SD = a =>sin = =

Vậy = arcsin

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

Dựng đường thẳng d qua C và d// BD => BD //(SC,d) => d(BD,SC) =d(BD,(SC,d).Dựng AF⟘d Vì d//BD => A,E,F thẳng hàng và EF = AF=>d(BD,SC) = d(BD,(SC,d)= d(E,(SC,d) = d(A,(SC,d)

x

y z

Vì

=> AMCD là hình vuông = CM = AB => tam giác ACB vuông tại C =>

CB, vì SA⟘(ABCD) => SA⟘BC Từ đó => BC⟘(SAC) => = = = 600

AMCD là hình vuông cạnh a => AC = a

Tam giác SAC vuông tại A => SA = AC.tan600 = a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( 0;2a;0),D(a,;0;0) Khi đó C(a;a;0) M(0;

a) M(0;mp(SBC) có phương trình -y +2z = 0

d(M, (SBC) = =

b) Mặt phẳng( SBC) có vtpt là = (; ; 2) = (a;0;-a),

Gọi là góc giữa mp(SBC) và đường thẳng SD, ta có sin = =

Vậy = arcsin

c) = ( a;a; -a),= ( a; 2a; 0), = ( a;0; -a)

[= (2a2 -3a2;3a2)

d(BD) = =

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, =

1200, cạnh SD vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (SBC) hợp với mặtphẳng(SAB) một góc 600 Gọi K là trung điểm của SC

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BK

Giải:

S

A

B C

Ta có SDC = SDA ( c.g.c) => SC = SA => SBC = SBA ( c.c.c)

Dựng CM⟘SB => AM⟘SB => SB⟘(CMA) => = = = 600

Gọi O = AC BD Vì ABCD là hình thoi cạnh a có = 1200 => AC =a, DB

= a

a) Vì ABCD là hình thoi => AC⟘BD

Vì SD⟘(ABCD) => AC⟘SD Từ đó => CA⟘(SDB) => CA⟘OM(1)

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, =

600, biết AB = a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SB hợpvới mặt phẳng đáy một góc 600

a) Gọi E là trung điểm của AB tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB

d

Vì SA⟘(ABC) => AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC) =>

= = = 600.Tam giác SAB vuông tại A => SA =AB.tan600 = a, SB = 2a Tamgiác ABC vuông tại B => BC =AB.tan600 = a, AC = 2a

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và EC

Dựng đường thẳng d qua B và d// CE => CE //(SB,d) => d(BS,EC) =d(CE,(SB,d)) = d(E,(SB,d)) A,E,B thẳng hàng và EB = AB=> d(SB,EC) = d(E,(SB,d)) = d(A,(SB,d))

Dựng AK⟘d

Vì SAmp(ABC) => d

Từ đó => d⟘(SAK) hay (d,SB) ⟘(SAK) Dựng AH⟘SK=> AH⟘(SB,d)

=> AH = d(A, (SB,d))

Gọi F= AK Ta có vì AB = 2EC => AK = 2KF =2d(B,CE) =

Tam giác SAK vuông tại K

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ

(Bài này nếu sử dụng phương pháp tọa độ dường như sẽ “nhẹ nhàng” hơn)

E

Vì SA⟘(ABC) => AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mp(ABC) =>

= = = 600.Tam giác SAB vuông tại A => SA =AB.tan600 = a, SB = 2a Tamgiác ABC vuông tại B => BC =AB.tan600 = a, AC = 2a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), C( 0;2a;0).Khi đó B(;0) E(;0

[= ( ;)d(BD) = =

b) Mặt phẳng( SBC) có vtpt là = (;; 2) Mặt phẳng( SAC) có vtpt là = (;;0) Gọi là góc giữa mp(SBC) và mp(SAC), ta có cos = =

Vậy = arccos

Dạng 2: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,

mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặtphẳng đáy (ABCD)

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD

P

D M

Gọi H là trung điểm của AB Vì tam giác SAB đều => SHAB

Vì (SAB)=> SH(ABCD).Tam giác SAB đều cạnh 2a => SH = a

Dựng HI⟘SP => HI⟘(SCD) => HI = d(H, (SCD))= d(AB,SD)

Tam giác SHP vuông tại H

=> <=> = => AI =

Tam giác SBC vuông cân tại B => tam giác MNC vuông cân tại M

=> MC = MN = => NP = Tam giác NCB vuông tại C => NP =

Áp dụng định lý cosin vào tam giác MPN ta có:

PN2 = MN2 + PM2 – 2MN PM.cos => cos =

Vậy = arccos

d) Tính khoảng cách giữa DB và SC

Dựng đường thẳng d qua C và d// BD => BD //(SC,d) => d(SC,BD) =d(BD,(SC,d) = d(B;(d,SC))

Gọi Q = dAB Vì H,B,Q thẳng hàng và BQ= HQ => d(BD,SC) = d(B,(SC,d) = d(H,(SC,d)

=> SHAB.Vì

(SAB)=>

SH(ABCD).Tamgiác SAB đềucạnh 2a => SH =a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0), S(0;0;a), P( 0;2a;0),B(a;0;0) Khi đó C(a;0), D(;0,A(-a;0;0)

a) Tính khoảng cách giữa AB và SD

= (2a;;0),= (-a;; ), = ( 0;2a; 0)

[= ()d(ABSD) = =

b) Tính góc hợp bởi SB và mặt phẳng (SCD)

Mặt phẳng( SDC) có vtpt là = (;; 4) Đường thẳng SB có vtcp là = (;; -) Gọi là góc giữa mp(SDC) và đường thẳng SB, ta có sin = =

x

y P

Vậy = arcsin

c) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (SBC)

Mặt phẳng( SDC) có vtpt là = (;; 4) Mặt phẳng (SBC) có vtpt là = (2;;2)

Gọi là góc giữa mp(SDC) và mp(SBC), ta có cos = =

Vậy = arccos

d)Tính khoảng cách giữa DB và SC

= (),= (; 0), = ( a;2a; a)

[= (2a2 )d(BD) = =

Bài tập2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, mặt bên

(SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD)

Biết BD = 2a, AC=2a

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

C N

Vì AD// BC => AD//(SBC) => d(AD,SC) = d(AD,(SBC)) = d((A,(SBC)) =2d(H,(SDC)) ( Vì A,H,B thẳng hàng và H là trung điểm của AB)

Dựng HK⟘BC

Vì SHmp(ABCD) => BCSH

Từ đó => DC⟘(SHK) hay (SHK) ⟘(SBC)

Dựng HI⟘SK => HI⟘(SCB) => HI = d(H, (SCB))= d(AD,SC)

Tam giác SHK vuông tại H có HK=

Vì AD//BC => AD//(SBC)) =>DE= d(D,(SBC)) =d(A,(SBC) =

Tam giác SED vuông tại E có SD = a =>sin = =

Vì (SAB)=>SH(ABCD)