De cuong on tap hoc ki 1 toan 9 chuan

Cách xác định một đường tròn - Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó - Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường trò

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP 9

Phần A- Đại số

A - LÝ THUYẾT

Chương I CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA

1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai

a) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.

x

0

2 2

a) Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b (a, b Î R và a ¹ 0)

b) Hàm số bậc nhất xác định với mọi giá trị xÎ R.

Hàm số đồng biến trên R khi a > 0 Nghịch biến trên R khi a < 0.

4) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ¹ 0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b (a:

'

'

b b

a a

'

'

b b

a a

6) Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox thì:

Khi a > 0 ta có góc a là góc nhọn Khi a < 0 ta có góc a là góc tù

Chương III GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 4 Cho biểu thức: A x x x

Phương pháp: Tìm giao điểm với Ox: Ta cho y =0 để tìm x rồi suy ra giao điểm

Tìm giao điểm với Oy: Ta cho x =0 để tìm y rồi suy ra giao điểm

Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: y = x -3

Giải:

* y= x-3:

Cho y=0, suy ra x-3=0 => x=3 Vậy đồ thị cắt Ox tại A(3;0)

Cho x =0, suy ra y = 0-3=-3 Vậy đồ thị cắt Oy tại B(0;-3)

Nối hai điểm A và B ta được đồ thị hàm số y =x-3

Bài 2: Cho 3 hàm số: y = x+2 có đồ thị d1

y= - 3x – 2 có đồ thị là d2

y = -2x + 2 có đồ thị là d3

Vẽ đồ thị của 3 hàm số đã cho trong cùng 1 hệ trục tọa độ

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng theo các điều kiện cho trước.

a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(x 1 , y 1 ); B(x 2 , y 2 )

- Phương pháp: giả sử phương trình đường thẳng là y=a.x+b (1)

Thay tọa độ của A(x1, y1); B(x2, y2) vào (1) ta được hệ phương trình:

từ hệ phương trình trên tìm được a,b thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng

Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -1) và B(2;1)

Giải: Gọi phương trình đường thẳng AB là y=ax+b Thay tọa độ A(1; -1) và B(2;1) vào đường

Suy ra : a=2; b=-3 Vậy đường thẳng AB là: y=2x-3

Bài 2: Tìm đường thẳng y=ax+b biết đường thẳng cắt trục tung tại 4 và cắt trục hoành

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).

Bài 4: Tìm m và n biết y =(m-1)x+2n đi qua điểm A(1;3) và B(-3; -1).

ĐS: m = 2; n = 1

b) Lập phương trình đường thẳng qua A(x 1 , y 1 ) và có hệ số góc là k

Phương pháp: Gọi đường thẳng là y=ax+b Vì hệ số góc là k nên a=k Vì đường thẳng qua

A(x 1 , y 1 ) nên thay tọa độ A vào đường thẳng để tìm b.

Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua A(2; 1) có hệ số góc là 3.

Giải : Gọi phương trình đường thẳng là y=ax+b Vì hệ số góc là 3 nên a=3

Điểm A(2;1) thuộc đường thẳng nên thay x=2; y=1 vào đường thẳng ta được: 1=2.a+b

mà a=3 suy ra b=-5 Vậy đường thẳng cần tìm là: y=3x-5

Bài 2: Cho đường thẳng y =(m-1)x +2n-3 Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc

là 3 và đi qua A( 2;1)

ĐS: m =4 nên n= -1 => y = 3x – 5

c Lập phương trình đường thẳng qua A(x 1 , y 1 ) và song song với y=a.x+b

Phương pháp:

- Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: y=k.x+c (d) Vì (d)// y=ax+b nên k=a Thay

tọa độ điểm A(x 1 , y 1 ) vào đường thẳng ta được : y1 = 𝑘 X1 + c, từ đó tính được c

Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng

y=-4x+3

Giải: Gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b (d) Vì (d)//y= - 4x+3 nên a= - 4

(d) qua M(1;3) nên thay x=1; y=3 vào đường thẳng ta được: 3=a.1+b mà a= -4 nên b=7 Vậy đường thẳng cần tìm là y= -4x+7

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua N(2; -1) và vuông góc với y= 4x+5.

Giải: Gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b (d) Vì (d) vuông góc y= 4x+5

Phương pháp: Xét hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x)

ta tìm được x; y và suy ra giao điểm

Chú ý:

Tìm giao điểm của đồ thị với Ox: cho y=0 suy ra x

Tìm giao điểm của đồ thị với Oy: cho x=0 suy ra y

Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau: y=3x-1 và y=x+5.

HD: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn: 3x-1=x+5  x = 3 suy ra y= 8 ( bằng cách thay x=3 vào y=3x-1 hoặc y=x+5) Vậy hai đồ thị giao nhau tại A(3;8)

Bài 2: Tìm giao điểm của đồ thị y=2x-4 với Ox và Oy:

B

a

bc

HD: Đồ thị giao Ox : y=0 suy ra 2x-4=0 x=2 Vậy đồ thị cắt Ox tại A(2;0)  x=2 Vậy đồ thị cắt Ox tại A(2;0)

Đồ thị giao Oy : x=0 suy ra y= -4 Vậy đồ thị cắt Oy tại B(0; -4)

Bài 3: Tìm m biết đường thẳng y = (2m-1)x-2m+2

a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1

ĐS: a, m =1/4 b, m = 3/2

Chương III GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bµi 1 Giải hệ phương trình:

1 2

7

y x

y x

e, c)

y x y x

8 2

y x y x

Phần B - HÌNH HỌC

A LÝ THUYẾT

Chương I HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 Các hệ thức về cạnh và đường cao lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A (h.vẽ)

Khi đó ta có

1) b 2 = ab / ; c 2 = ac / => a 2 = b 2 + c 2 2) h 2 = b / c /

3) bc = ah

c b

h  

2 Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn

tga = Cạnh đối cotga = Cạnh kề

3 Một số tính chất của các tỉ số lượng giác

* Cho hai góc a và  phụ nhau Khi đó

* Cho góc nhọn a Ta có: 0< sina <1 ; 0< cosa <1 ; sin 2 a + cos 2  = 1

tana =

a

a cos

sin

; cota =

a

a sin

cos

; tana.cota = 1

4 Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông tại A

Chương II ĐƯỜNG TRÒN:

5x + 6y = 17 9x y = 7

Aa

1 Định nghĩa : Đường tròn tâm O bán kính R ( với R > 0 ) là hình gồm các điểm cách

O một khoảng bằng R

Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là ( O; R), ta cũng có thể kí hiệu là (O) khi không cần chú ý đến bán kính

2 Cách xác định một đường tròn

- Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó

- Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó

- Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Chú ý : Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng

3 Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn :

Xét đường tròn (O;R) và điểm M , OM = d

M thuộc đường tròn (O;R) M nằm trong đường tròn (O;R) M nằm ngoài đường tròn (O;R)

d = R d < R d > R

4 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ( tam giác nội tiếp đường tròn ) :

- Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ( khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn )

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn nằm trong tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tù nằm ngoài tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

- Trong tam giác đều, mỗi đường trung tuyến cũng là đường trung trực, đường phân giác, đường cao nên trọng tâm, điểm cách đều ba cạnh, điểm cách đều ba đỉnh, trực tâm trùng nhau nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều chính là điểm cách đều ba đỉnh ( hoặc điểm cách đều ba cạnh hoặc trực tâm hoặc trọng tâm )

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh bằng a là

- Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó

5 Đường kính và dây của đường tròn

+ So sánh độ dài của đường kính và dây:

Định lý1 : Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

+ Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:

Định lý2 : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

Định lý3 : Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không

đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

6 Liên hệ giữa dây và khoảng cánh từ tâm đến dây

Định lý1 : Trong một đường tròn : a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

A

C

25

16B

A

C

Định lý2 : Trong một đường tròn : a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

7 Ba vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một đường tròn :

+ Đường thẳng không cắt đường tròn ÛKhông có điểm chung Û d > R (d là khoảng cách

từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn)

+ Đường thẳng cắt đường tròn Û Có 2 điểm chung Ûd < R

+ Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Û Có 1 điểm chung Û d = R

8 Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn :

8.1 Tính chất về tiếp tuyến của một đường tròn :

Định lý : Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

8.2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn :

8.2.a) Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường

thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

8.2.b) Nếu khỏang cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Định lý : Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

8.3 Tính chất về 2 tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn :

Định lý : Nếu 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì :

- Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi 2 bán kính đi qua các tiếp điểm

B BÀI TẬP

Chương I HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: Cho ABC (Aˆ = 1v), AH ^ BC ; AB = 6, AC = 8

=

10

8 6

Cho ABC( Aˆ= 1v) ; AH ^ BC

Bài 3: Cho  ABC ( Aˆ = 1v) ; AB = 3 ; AC = 4

a) Tính tỉ số lượng giác của Cˆ

b) Từ KQ ( a)  các tỉ số lượng giác của góc B

Bài 4: Cho tam giác ABC có góc B bằng 1200, BC = 12cm, AB = 6cm đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D

a) Tính độ dài đường phân giác BD

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM⊥BD

Suy ra tam giác ABE đều

Từ (1) và (2) suy ra: BM=AB⇒ ∆ABM cân tại B

Tam giác cân ABM có BD là đường phân giác nên đồng thời nó cũng là đường cao (tính chất tam giác cân) Vậy BD⊥AM

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông ở A, C =300, BC=10cm

a Trong tam giác vuông ABC, ta có:

Suy ra: MN // BC (có cặp góc so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN

Chương II ĐƯỜNG TRÒN:

BÀI 1 :

Cho tam giác ABC Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D BD

và CE cắt nhau tại H chứng minh :

1 AH vuông góc BC (tại F thuộc BC)

BD AC (cmt) => BD đường cao thứ hai

hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)

= > H là trực tâm của tam giác ABC

= > AH là đường cao thứ ba

= > AH BC tại F

2 FA.FH = FB.FC :

Xét 𝛥 FAB và 𝛥 FCH, ta có :

(cmt) (𝛥 FAB vuông tại F) (𝛥 FAC vuông tại F)

=> (1)

=> 𝛥 FAB đồng dạng 𝛥 FCH(1)

=>

=> FA.FH = FB.FC

3.A, E, H, D nằm trên đường tròn

Xét ΔAEH vuông tại E (gt)AEH vuông tại E (gt)

= > ΔAEH vuông tại E (gt)AEH nội tiếp đường tròn đường kính AH

Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1)

Xét ΔAEH vuông tại E (gt)ADH vuông tại D (gt)

= > ΔAEH vuông tại E (gt)ADH nội tiếp đường tròn đường kính AH

Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2)

Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH

Suy ra : tâm I là trung điểm AH

4 IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xét ΔAEH vuông tại E (gt) AEI, ta có : IA = IE (bán kính)

=> ΔAEH vuông tại E (gt) AEI cân tại I

1 Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

2 Cho OM = 2R chứng minh : tam giác ABC đều tính độ dài và các cạnh và diện tíchcủa tam giác AMB theo R

3 Vẽ đường kính BE của (O) chứng minh : AE // OM

Giải.

1 MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Mà : điểm B của đường tròn (O; R)

Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

Xét 𝛥ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính

=> 𝛥ABE vuông tại A

=> AE AB (2)

Từ (1) và (2) => AE // OM

———————————————————————————-Bài 3 :

Cho nữa đường tròn (O; R) có đường kính AB tiếp tuyến tại điểm M trên nữa đường tròn lần lượt cắt hai tiếp tuyến tại A và B ở C và D

1 Chứng minh : AC + DB = CD

2 Chứng minh : tam giác COD vuông và AC.BD = R2

3 OC cắt AM tại E và OD cắt BM tại F chứng minh :

a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật

b OE.OC = OF.OD = R2

c EF BD

d Chứng minh : AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD

e AD cắt BC tại N chứng minh : MM // AC

OD là tia phân giác góc BOM (tính chất hai tt cắt nhau)

OC là tia phân giác góc COM (tính chất hai tt cắt nhau)

Mà : góc BOM và góc COM kề bù

=> OC OD tại O

Hay 𝛥COD vuông tại O

Trong 𝛥COD vuông tại O, có đường cao OM hệ thức lượng :

MC.MD = OM2 = R2

Hay : AC.BD= R2 (CA = CM và DB = DM)

3.a Tứ giác OEMF là hình chữ nhật :

d AB là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính CD.

trong 𝛥COD vuông tại O (cmt)

=> 𝛥COD nội tiếp đường tròn (I) đường kính CD

Mà : điểm O thuộc (I)

=> AB là tiếp tuyến của (I) đường kính CD

ĐỀTHAM KHẢO

ĐỀ 1

I TRẮC NGHIỆM (3,0 đ):

Câu 1(2 đ): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước kết quả đúng

1 Căn bậc hai số học của số a không âm là:

2 Hàm số y= (m-1)x –3 đồng biến khi:

3 Cho x là một góc nhọn , trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng:

4 Cho hai đường tròn (O;4cm) , (O’;3cm) và OO’= 5cm Khi đó vị trí tương đối của (O) và(O’) là:

Câu 2(1đ): Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) với R > r ; gọi d là khoảng cách OO’.

Hãy ghép m i v trí t ng đ i gi a hai đ ng tròn (O) và (O’) c t trái v i h th c t ng ư ữa hai đường tròn (O) và (O’) ở cột trái với hệ thức tương ường tròn (O) và (O’) ở cột trái với hệ thức tương ở cột trái với hệ thức tương ột trái với hệ thức tương ới hệ thức tương ệ thức tương ức tương ư

ng c t ph i đ đ c m t kh ng đ nh đúng

ức tương ở cột trái với hệ thức tương ột trái với hệ thức tương ải để được một khẳng định đúng ể được một khẳng định đúng ược một khẳng định đúng ột trái với hệ thức tương ẳng định đúng

4) (O) tiếp xúc ngồi (O’) 8) d = R – r

a Tìm giá trị của m để đường thẳng có phương trình (1) song song với đường thẳng y = 3x + 1

b Vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1,5 Tính góc tạo bởi đường thẳng vẽ được và trục hồnh (kết quả làm tròn đến phút)

Câu 3(3đ) Cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax , By cùng phía với nửa

đường tròn đối với AB Qua điểm E thuộc nửa đường tròn (E khác A và B) kẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax , By theo thứ tự ở C và D

a)Chứng minh rằng : CD = AC + BD b)Tính số đo góc ·COD ? c)Tính : AC.BD ( Biết OA = 6cm)

a Xác định m để hàm số nghịch biến trên R b.Vẽ đồ thị hàm số khi m = 4

c Với m = 4, tìm tọa độ giao điểm M của hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ): y = 2x - 3

Câu 4: ( 1,5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB= 6cm, AC= 4,5cm, BC= 7,5cm.

a Chứng minh tam giác ABC vuông

b Tính góc B, góc C, và đường cao AH

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho ( O,R ), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I Đường thẳng qua O và vuông góc với

OB cắt AC tại K

a Chứng minh: Tam giác OKA cân tại A

b Đường thẳng KI cắt AB tại M Chứng minh: KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

b) Tính giá trị của P khi x = 7 4 3 

c) Tìm x để P có GTLN.