HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB1, CD, A1D1. Tính góc giữa C1N và MP. A1 P D1 z x y B1 C1 N A B C D 2. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Tính góc giữa 2 mp (A1BC) và (A1DC). A1 P D1 z x y B1 C1 A B C D 3. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tính khoảng cách giữa A1C và MN. ⃝c Hồ Phạm Thanh Ngôn Composed with TEXMaker on MiKTEX version 2.7 Biên soạn: Hồ Phạm Thanh Ngôn Hình giải tích không gian Trang số – 2 A1 P D1 z x y B1 C1 N A B C D M 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a √ 2, SA = a và SA⊥(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC. Gọi K = BM ∩ AC. Chứng minh rằng (SAC)⊥(SMB).

soạn:

Hồ

Phạm

Thanh

Ngôn

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1 Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 Gọi 𝑀, 𝑁, 𝑃 lần lượt là trung điểm của

𝐵𝐵1, 𝐶𝐷, 𝐴1𝐷1 Tính góc giữa 𝐶1𝑁 và 𝑀𝑃

𝑧

𝑥

𝑦

𝑁

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

2 Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 Tính góc giữa 2 mp (𝐴1𝐵𝐶) và (𝐴1𝐷𝐶).

𝑧

𝑥

𝑦

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

3 Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 Tính khoảng cách giữa 𝐴1𝐶 và 𝑀𝑁

soạn:

Hồ

Phạm

Thanh

Ngôn

𝑧

𝑥

𝑦

𝑁

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷 𝑀

4 Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎 √2,

𝑆𝐴 = 𝑎 và 𝑆𝐴⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷) Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐷 và 𝑆𝐶 Gọi

𝐾 = 𝐵𝑀 ∩ 𝐴𝐶 Chứng minh rằng (𝑆𝐴𝐶)⊥(𝑆𝑀𝐵).

𝑧

𝑥

𝑦 𝐴

𝐵

𝐶 𝐷

𝑀

𝑁 𝑆

5 Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎 Mặt bên 𝑆𝐴𝐷 là tam giác đều và ở trong mp vuông góc với đáy Gọi 𝑀, 𝑁, 𝑃 lần lượt là trung điểm của

𝑆𝐵, 𝑆𝐶, 𝐶𝐷 Chứng minh rằng 𝐴𝑀⊥𝐵𝑃

soạn:

Hồ

Phạm

Thanh

Ngôn

𝐴

𝐵

𝐶 𝐷

𝑁 𝐻

𝑀 𝑧

𝑥

𝑦

𝑃

6 Cho hình chóp tứ giác đều 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh đáy bằng 𝑎 Gọi 𝐸 là điểm đối xứng của

𝐷 qua trung điểm của 𝑆𝐴 Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐸, 𝐵𝐶.

a Chứng minh 𝑀𝑁 ⊥𝐵𝐷.

b Tìm khoảng cách giữa 𝑀𝑁 và 𝐴𝐶 theo 𝑎.

𝑂

𝑆

𝐴

𝐵

𝐶 𝐷

𝑁 𝑧

𝑥

𝑦

7 Cho hình chóp tứ giác 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang trong đó ˆ 𝐴𝐵𝐶 = ˆ 𝐵𝐴𝐷 =

900 Biết 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎 Giả sử 𝑆𝐴 vuông góc với đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 và 𝑆𝐴 = 𝑎 √2

soạn:

Hồ

Phạm

Thanh

Ngôn

Gọi 𝐻 là hình chiếu của 𝐴 lên 𝑆𝐵.

a Chứng minh 𝑆𝐶𝐷 là tam giác vuông.

b Tính khoảng cách từ 𝐻 đến mp (𝑆𝐶𝐷).

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷 𝑧

𝑥

𝑦 𝐻

8 Cho hình chóp 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎 𝐴𝑆 = 𝑎, 𝑆𝐵 = 𝑎 √3 và

(𝑆𝐴𝐵)⊥(𝐴𝐵𝐶𝐷) Gọi 𝑀𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 Tính côsin của góc giữa 𝑆𝑀 và 𝐷𝑁.

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝑀

𝑁

𝑆 𝑧

𝑥

soạn:

Hồ

Phạm

Thanh

Ngôn

9 Cho lăng trụ 𝐴𝐵𝐶𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ có độ dài cạnh bên bằng 2𝑎 Đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴 với 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑎 √ 3 và hình chiếu của 𝐴 ′ lên (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm của cạnh

𝐵𝐶 Tính côsin của góc giữa 𝐴𝐴 ′ và 𝐵 ′ 𝐶 ′

𝐻 𝐵

𝐶 𝐴

𝐴 ′

𝐵 ′

𝐶 ′

10 Cho hình lập phương 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷 ′ có cạnh bằng 𝑎 Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm 𝐴𝐵 và 𝐷𝐷 ′

a Chứng minh rằng 𝑀𝑁//(𝐵𝐷𝐶 ′ ) Tính 𝑀𝑁 và khoảng cách từ 𝑀𝑁 đến mp (𝐵𝐷𝐶 ′)

b Gọi 𝑃 là trung điểm của 𝐶 ′ 𝐷 ′ Tính 𝑉 𝐶.𝑀 𝑁 𝑃 và góc giữa 𝑀𝑁 và 𝐵𝐷.

c Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴 ′ 𝐵𝐷.

11 Cho lăng trụ đứng 𝑂𝐴𝐵.𝑂 ′ 𝐴 ′ 𝐵 ′ đáy 𝑂𝐴𝐵 là tam giác vuông tại 𝑂 Cho 𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 =

𝑏, 𝑂𝑂 ′ = ℎ Mặt phẳng 𝛼 qua 𝑂 và vuông góc với 𝐴𝐵 ′

a Tìm điều kiện 𝑎, 𝑏, ℎ để 𝛼 cắt cạnh 𝐴𝐵, 𝐴𝐴 ′ tại 𝐼, 𝐽 (𝐼, 𝐽 khác 𝐴, 𝐵, 𝐴 ′)

b Với điều kiện trên hãy tính diện tích tam giác 𝑂𝐼𝐽 Và tính tỷ số thể tích 2 phần

do thiết diện chia lăng trụ