bài tập he PT tuyen tinh tong quat

Điều kiện có nghiệmĐịnh lý Cronecker - Capelli “Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở Chứng minhgồm hai phần... Như vậy, cột

⋯

⋯

⋯

⋯

++

⋯+

2 Điều kiện có nghiệm

Định lý (Cronecker - Capelli)

“Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở

Chứng minh(gồm hai phần)

⟶B bdtt qua , , … , (mỗi véc tơ còn lại gán hệ số bằng 0). Như vậy, cột số hạng

tự do B bdtt qua các cột của ma trận

hệ số, do đó hệ có nghiệm Định lý được chứng minh.

3 Khảo sát tổng quát hệ pttt

Xét hệ pttt n ẩn số: , , … ,

Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ

số và ma trận mở rộng: , ( )

 Nếu ≠ ( ) ⟹ Hệ vô nghiệm.

 Nếu = = : Hệ có nghiệm.

Để tìm nghiệm, ta chọn một định thức con cơ sở bất kỳ của A Không mất tổng quát ta giả sử:

định thức con cơ sở của Từ đây suy

ra, r dòng đầu của là một cơ sở của

hệ véc tơ dòng của nó.

Suy ra, các dòng từ dòng thứ r+1 đến dòng m bdtt qua r dòng đầu Từ đó ta

có thể biến đổi các dòng r+1,…,m thành các dòng bằng 0 Điều này chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với

hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở):

⋯

⋯

⋯

⋯

++

⋯+

 Nếu < Theo các chỉ số trên của

Ta gọi , , … , là các ẩn chính, các

ẩn còn lại là các ẩn tự do.

Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý ta được một hệ Cramer (với các ẩn chính) Giải hệ Cramer theo quy tắc Cramer ta biểu diễn được ẩn chính qua ẩn tự do Trường hợp này hệ có

Vô số nghiệm.

∎ Giải hệ cơ sở bằng cách: Quy định ẩn chính là , , … , (Các ẩn cùng chỉ

số cột của định thức con cơ sở), các ẩn còn lại là các ẩn tự do.

∎ Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý, chuyển chúng sang vế phải ta được hệ Cramer với các ẩn là ẩn chính Giải hệ này ta thu được nghiệm tổng quát.

Lưu ý: Chỉ bằng 3 số tự nhiên là:

, ( ) và ta có thể biết được số nghiệm của hệ (không cần giải)

∎ ≠ ( ): hệ vô nghiệm

∎ = ( ) < : hệ vô số nghiệm

Giải:

∎ Tìm ,

Ta có:

∎ Chọn một định thức con cơ sở của A

(cấp 2 khác 0): = − = ≠

∎ Từ định thức con cơ sở này ta lập hệ

PT cơ sở (giữ lại 2 PT đầu của hệ đã

∎ Nghiệm tổng quát của hệ đã cho là:

Giải:

∎ Tìm ,

con cơ sở của A

Đây là hệ Cramer, nên theo quy tắc

Cramer ta tìm được nghiệm duy nhất:

, − , −

a) Với giá trị nào của k thì hệ có nghiệm

b) Biện luận theo k số nghiệm của hệ Giải.