HƯỚNG GIẢI OXY : CÂU 10 (HÌNH VUÔNG – P2) CÂU 1 (TAM GIÁC – P4)

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , gọi I là một điểm trên cạnh BD , E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AD,AB , đường thẳng qua E vuông góc EF , lần lượt cắt CD,BC tại K ; ,M ; 1 2 0 3    . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết E ; 3 0 và C có hoành độ dương. (Trích đề TTL2, Bamabel 2016) ■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác) Tính chất hình học mà ta cần lưu ý chính là: “ IC EF EFK  , vuông cân tại E và FK luôn đi qua tâm của hình vuông ABCD khi I di động trên cạnh BD.” Để chứng minh các tính chất hình học trên, ta dựng hệ trục Dxy như hình vẽ, đặt cạnh hình vuông DK a KC a    , 1, 0   . Khi đó ta có tọa độ các điểm là:             0; 1 , 1; 1 , ; 0 , 1; 1 1 1 A 0; 1 , 1; 0 , ; 2 2 E F a K a I a a a C a H                 Gọi Q là trung điểm FK 1 1 ; 2 2 a a Q H            FK luôn đi qua tâm hình vuông ABCD. Mặt khác dễ thấy EF EK EFK    vuông cân E  H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp EFK. Ngoài ra ta lại có     ; 1 . 0 . 1; IC a IC EF IC EF EF a             ■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải.  Ta có             ; ; E,K ?; ? ?; ? ; R F EF E EK trung diem FK viet pt EF qua E EK F H viet pt E EK              Gọi J là điểm đối xứng của E qua H J BC   ?; ? .   Viết pt đường thẳng         0 ; : ?; ? ?; ? ; C C BC CD H x BC qua M vtcp JC C A CD qua K BC BC            THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI HÌNH HỌC PHẲNG OXY MR.LAFO  Viết pt đương tròn H có tâm           ; ?; ? ?; ? C D CD H H R HC D B      ■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết. Ta có: EF qua E3; 0 nhận EK   2; 2 2 1; 1    làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: EF x y : 3 0    . Đồng thời, phương trình đường tròn tâm E3; 0 bán kính EK  2 2 có phương trình là:     2 2 E x y : 3 8.    Khi đó F thỏa hệ phương trình:       2 2 3 0 2, 5 5; 2 3 8 2, 1 1; 2 x y y x F x y y x F                               Với F H    5; 2 3; 2    là tọa độ tâm hình vuông ABCD    J BC  3; 4 là điểm đối xứng của E qua H. Khi đó phương trình   3 BC : 3 9 0 3 16 3 1 ; 5 5 : 3 x y 5 0 x y x y C ktm CD                       Với F H     1; 2 1; 0    là tọa độ tâm hình vuông ABCD   J BC 1; 0 là điểm đối xứng của E qua H. Khi đó phương trình   3 BC : 3 3 0 1 12 1 3 ; 5 5 : x 3 y 7 0 x y x y C tm CD                       11 12 ; 5 5 A          và     2 6 12 6 36 2 ; : 1 5 5 5 5 HC HC H x y              Khi đó tọa độ C D; thỏa hệ   2 2 12 1 36 , 1 5 5 17 6 7 6 5 ; ; 6 17 5 5 5 5 3 7 0 , 5 5 y x x y D B x y y x                                        Vậy tọa độ các điểm cần tìm là 11 12 7 6 1 12 17 6 ; , ; , ; , ; 5 5 5 5 5 5 5 5 A B C D                             . ■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy).

HƯỚNG GIẢI OXY :

CÂU 10 (HÌNH VUÔNG – P2) & CÂU 1 (TAM GIÁC – P4) Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , gọi I là một điểm trên cạnh BD , E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AD, AB , đường thẳng qua E vuông góc EF , lần lượt cắt CD,BC tại K1 2;   ,M 0 3; Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

ABCD biết E3 0;  vàC có hoành độ dương

(Trích đề TTL2, Bamabel 2016)

■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)

Tính chất hình học mà ta cần lưu ý chính là:

“ ICEF,EFK vuông cân tại E và FK luôn đi qua tâm của hình vuông ABCD khi I di động trên cạnh

BD ”

Để chứng minh các tính chất hình học trên, ta dựng

hệ trục Dxy như hình vẽ, đặt cạnh hình vuông

DK a KC  a Khi đó ta có tọa độ các điểm là:

0; 1 , 1; 1 , ; 0 , 1; 1

A 0; 1 , 1; 0 , ;





Gọi Q là trung điểm FK 1; 1

Q    H

  FK luôn đi qua tâm hình vuông ABCD

Mặt khác dễ thấy EFEK EFK vuông cân E H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp EFK.

Ngoài ra ta lại có  

 

; 1

1;

IC a

IC EF IC EF

EF a

  





■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải

; R

viet pt EF qua E EK

viet pt E EK





 Gọi J là điểm đối xứng của E qua HJ ?; ? BC

 Viết pt đường thẳng  

?; ? ?; ?

x

BC qua M vtcp JC

CD qua K BC BC







 Viết pt đương tròn  H có tâm     ;      

?; ? ?; ?

R HC   D B

■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: EF qua E3; 0 nhận EK   2; 2 2 1; 1 làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: EF x:   y 3 0

Đồng thời, phương trình đường tròn tâm E3; 0 bán kính EK2 2 có phương trình là:

E x y 

Khi đó F thỏa hệ phương trình:

         

           

Với F5; 2H3; 2 là tọa độ tâm hình vuông ABCD  J 3; 4BC là điểm đối xứng

của E qua H Khi đó phương trình BC : 3 3 9 0 3 16  

;

5 5 : 3 x y 5 0

y x

x y

CD

    



   



Với F  1; 2 H1; 0 là tọa độ tâm hình vuông ABCD J 1; 0 BC là điểm đối xứng

của E qua H Khi đó phương trình BC : 3 3 3 0 1 12  

;

5 5 : x 3 y 7 0

y x

x y

CD

 

    



 

   



11 12

;

   

      

Khi đó tọa độ ;C D thỏa hệ  2 2 12 1

5



      

A   B   C  D 

       

■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy)

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A có H là hình chiếu vuông góc của A lên BC D là điểm thuộc tia đối HA sao cho , HA2HD. Giả sử

2; 2 , ;

   

  và trung điểm AC thuộc đường thẳng x  y 5 0. Tìm tọa độ điểm

,

A C

Trích đề TTL3, Vted.vn – Thầy Đặng Thành Nam, 2016

■ Bước 1: Dựng hình và phát hiện tính chất (hoặc điểm quan trọng cần khai thác)

Ta cần chứng minh BDDI  Dựng hệ trục Axy AC Ax AB, Ay AB, a AC, 2.a0 Khi đó ta có: A       0; 0 ,B 0;a C, 2; 0 , 1; 0 I Ta có

2

4

BH BC BA

BC BC a



2 2

     Lại có:

2

 

Do đó:

2

2

2

BD ID BD ID



     



■ Bước 2: Phân tích – định hướng tìm lời giải

 Viết pt đường thẳng DI qua D ,BDI DI d I ?;?

 Kiểm tra dạng hình của tam giác BDI  phát hiện BDDI BDI vuông cân tại

D Lại có tứ giác ABDI nội tiếp  DAI DBI45o  ABC vuông cân tại A

ABI

B IBI   AB AI BI AB

?

I la trung diem AC

AB AI

AB

 





■ Bước 3: Hướng dẫn giải chi tiết

Đường thẳng DI qua 21; 5

2 2

D  

BD   

  làm vtpt có phương

trình là : 17 21 5 0 17 181 0

       

   

Khi đó, tọa độ I thỏa hệ 17 181 0   1 17 290

x y

x y



DBI

  vuông cân tại I. Do ABDI là tứ giác nội tiếp  BDI BAI 1800

45o

     vuông cân tại A Đặt 0

2

a

AB  a AI 

Xét tam giác ABI vuông tại A có

2

4

a

AB AI BI   a   a  AB

Đặt A b c thỏa mãn  ;      

2

8, 6

,

y x

BA BI

  

      

Nên ta có

6; 8 16; 4





Nhận xét AD BC 0 nên kiểm tra ta chỉ nhận tọa độ A  6; 8 ,C 16; 4

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là A  6; 8 ,C 16; 4

■ Bước 4: Kiểm tra lại kết quả đã tìm được (biểu diễn tọa độ điểm tìm được lên hệ trục Oxy)

Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất trong kì thi sắp tới !

Gmail: windylamphong@gmail.com Facebook: http://facebook.com/lamphong.windy

Group Toán 3[K]

Thầy Hứa Lâm Phong – Mr.Lafo