Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo

B ài viết đề cập cách vận dụng đơn vị ảo trong máy tính cầm tay nhằm tìm nhanh họ nghiệm phương trình (pt) lượng giác cơ bản trên cơ sở nhận dạng đặc điểm chung của các họ nghiệm đều là hàm bậc nhất theo một số nguyên. 1 Mở đầu Xét các pt lượng giác cosu = cos v ⇔ u = ±v +k2π, sinu = sinv ⇔ · u = v +k2π, u = π− v +k2π; tanu = tanv ⇔ u = v +kπ, cotu = cotv ⇔ u = v +kπ (trong đó k ∈ Z). Dễ thấy tất cả các pt trên đều là pt bậc nhất theo k. Do đó, nếu gán k = i trongw2 ta dễ dàng có được họ nghiệm tương ứng ở dạng rút gọn . Tất nhiên, cũng cần thêm một bước nữa để xử lí hệ số của ẩn nếu nó khác 1. 2 Dạng vế phải là hằng số 2.1 Lý thuyết Xét các pt ở mục 1 với u = ax + b và vế phải là số m sao cho các pt ấy luôn có nghiệm. Khi đó cos(ax +b) = m ⇔x + b ∓ ¡ cos−1 (m)+k ×2π ¢ a = 0, sin(ax +b) = m ⇔     x + b − ¡ sin−1 (m)+k ×2π ¢ a , x + b − ¡ π−sin−1 (m)+k ×2π ¢ a ; tan(ax +b) = m ⇔x + b − ¡ tan−1 (m)+k ×π ¢ a , cot(ax +b) = m ⇔x + b − ¡ tan−1 ¡ 1 m ¢ +k ×π ¢ a . Như vậy, để tìm nhanh họ nghiệm của pt cos (ax +b) = m, ta thao tác trongw2như sau (các pt khác được thực hiện tương tự) Phương trình lượng giác cơ bản và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo 1. Nhập vào màn hình† ¡ ax +b − ¡ cos−1 (m)+Y ×2π ¢¢÷ a 2. Bấm r X = 0 và Y = i, máy hiện số phức α + βi. Kết luận họ nghiệm thứ nhất của pt đã cho là x = −α−kβ ‡ . 3. Sửa màn hình thành ¡ ax +b − ¡ −cos−1 (m)+Y ×2π ¢¢÷ a 4. Bấm r X = 0 và Y = i, máy hiện số phức γ +δi. Kết luận họ nghiệm thứ hai của pt đã cho là x = −γ−kδ. 2.2 Ví dụ Ví dụ 1. Giải pt cosμ 4πx − 11π 12 ¶ = p 3 2 . (1) Lời giải. Thực hiện ngoài nháp • Nhập vào màn hình à 4πX − 11π 12 − à cos−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 13 48 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 13 48 + k 2 . • Sửa màn hình thành à 4πX − 11π 12 − à −cos−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 3 16 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 3 16 + k 2 . Ghi trong bài làm Ta có (1) ⇔     x = 13 48 + k 2 , x = 3 16 + k 2 . (k ∈ Z) †Đọc là: (Cái liên quan x trong vế trái trừ đi (cos−1 của vế phải rồi cộng cho Y nhân 2π)), tất cả chia cho hệ số của x. ‡Đổi dấu kết quả của máy và thay chữ i bởi chữ k. Ví dụ 2. Giải pt sinμ 4πx − 11π 12 ¶ = p 3 2 . (2) Lời giải. Thực hiện ngoài nháp • Nhập vào màn hình à 4πX − 11π 12 − à sin−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 5 16 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 5 16 + k 2 . • Sửa màn hình thành à 4πX − 11π 12 − à π−sin−1 Ãp 3 2 +Y ×2π ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 19 48 − 1 2 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 19 48 + k 2 . Ghi trong bài làm Ta có (2) ⇔     x = 5 16 + k 2 , x = 19 48 + k 2 . (k ∈ Z) Ví dụ 3. Giải pt tanμ 4πx − 11π 12 ¶ = p 3. (3) Lời giải. Thực hiện ngoài nháp • Nhập vào màn hình μ 4πX − 11π 12 − 3 tan−1 3p 3 ́ +Y ×π ́ ¶ ÷(4π) • Bấmr X = 0 và Y = i, máy hiện − 5 16 − 1 4 i. Vậy ta có họ nghiệm x = 5 16 + k 4 . Ghi trong bài làm Trang 2 trong

Phương trình lượng giác cơ bản

và cách xác định nhanh chóng các họ nghiệm bằng đơn vị ảo

Dương Trác Việt **

**h Nhóm Thủ thuật Casio Khối A, h Nhóm Casio Tư duy.

B ài viết đề cập cách vận dụng đơn vị ảo

trong máy tính cầm tay nhằm tìm nhanh

họ nghiệm phương trình (pt) lượng giác

cơ bản trên cơ sở nhận dạng đặc điểm chung

của các họ nghiệm đều là hàm bậc nhất theo

một số nguyên.

1 Mở đầu

Xét các pt lượng giác

cos u = cos v ⇔ u = ±v + k2π,

sin u = sin v ⇔

·

u = v + k2π,

u = π − v + k2π;

tan u = tan v ⇔ u = v + kπ,

cot u = cot v ⇔ u = v + kπ

(trong đók ∈ Z)

Dễ thấy tất cả các pt trên đều là pt bậc nhất

theok Do đó, nếu gánk = i trong w2 ta dễ

dàng có được họ nghiệm tương ứng ở dạng rút

gọn*

* Tất nhiên, cũng cần thêm một bước nữa để xử lí hệ số

của ẩn nếu nó khác 1

2 Dạng vế phải là hằng số 2.1 Lý thuyết

Xét các pt ở mục1vớiu = ax + bvà vế phải là

sốmsao cho các pt ấy luôn có nghiệm Khi đó

cos(ax + b) = m

⇔x + b ∓¡cos−1(m) + k × 2π¢

sin(ax + b) = m

⇔







x + b −¡sin

−1(m) + k × 2π¢

x + b −

¡

π − sin−1(m) + k × 2π¢

tan(ax + b) = m

⇔x + b −¡tan−1(m) + k × π¢

cot(ax + b) = m

⇔x + b −¡tan−1¡1

m ¢ + k × π¢

Như vậy, để tìm nhanh họ nghiệm của pt

cos (ax +b) = m, ta thao tác trong w2 như sau (các pt khác được thực hiện tương tự)

1 Nhập vào màn hình†

¡ax + b − ¡cos−1(m) + Y × 2π¢¢ ÷ a

2 Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện số phức

α + βi Kết luận họ nghiệm thứ nhất của pt

đã cho làx = −α − kβ‡

3 Sửa màn hình thành

¡ax + b − ¡−cos−1(m) + Y × 2π¢¢ ÷ a

4 Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện số phức

γ + δi Kết luận họ nghiệm thứ hai của pt đã

cho làx = −γ − kδ

2.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Giải pt

cos

µ

4πx −11π

12

¶

=

p 3

Lời giải.

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình

Ã

4πX −11π

12 −

à cos−1

Ãp 3 2

!

+ Y × 2π

!!

÷ (4π)

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện−13

48−1

2i Vậy ta có họ nghiệmx =13

48+k

2

• Sửa màn hình thành

Ã

4πX −11π

12 −

Ã

−cos−1

Ãp 3 2

!

+ Y × 2π

!!

÷ (4π)

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện− 3

16−1

2i Vậy ta có họ nghiệmx = 3

16+k

2

Ghi trong bài làm

Ta có

(1)⇔







x =13

48+k

2,

x = 3

16+k

2.

(k ∈ Z)

† Đọc là: (Cái liên quanxtrong vế trái trừ đi ( cos−1của vế

phải rồi cộng choY nhân 2π)), tất cả chia cho hệ số củax.

‡ Đổi dấu kết quả của máy và thay chữibởi chữk.

Ví dụ 2 Giải pt

sin

µ

4πx −11π

12

¶

=

p 3

Lời giải.

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình Ã

4πX −11π

12 −

à sin−1

Ãp 3 2

!

+ Y × 2π

!!

÷ (4π)

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện− 5

16−1

2i Vậy ta có họ nghiệmx = 5

16+k

2

• Sửa màn hình thành Ã

4πX −11π

12 −

Ã

π−sin−1

Ãp 3 2

!

+ Y × 2π

!!

÷ (4π)

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện−19

48−1

2i Vậy ta có họ nghiệmx =19

48+k

2

Ghi trong bài làm

Ta có

(2)⇔







x = 5

16+k

2,

x =19

48+k

2.

(k ∈ Z)

Ví dụ 3 Giải pt

tan

µ

4πx −11π

12

¶

Lời giải.

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình µ

4πX −11π

12 −³tan−1³p

3´+ Y × π´

¶

÷ (4π)

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện− 5

16−1

4i Vậy ta có họ nghiệmx = 5

16+k

4

Ghi trong bài làm

Ta có

(3)⇔ x = 5

16+k

4. (k ∈ Z)

Ví dụ 4 Giải pt

cot

µ

4πx −11π

12

¶

Lời giải Ta cócot u =p3 ⇔ tanu =p1

3

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình

µ

4πX −11π

12 −

µ tan−1

µ 1 p 3

¶

+ Y × π

¶¶

÷ (4π)

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện−13

48−1

4i Vậy ta có họ nghiệmx =13

48+k

4

Ghi trong bài làm

Ta có

(4)⇔ x =13

48+k

4. (k ∈ Z)

3 Dạng vế phải là hàm lượng giác

có chứa ẩn số bậc nhất

3.1 Lý thuyết

Tương tự như 2.1, ta sẽ tối ưu hóa cách giải

những pt ở mục1trong trường hợpu = ax + bvà

v = cx + d Tuy nhiên, trong giới hạn khuôn khổ

bài viết, chúng tôi chỉ trình bày ý tưởng tối ưu

hóa cách giải với máy tính cầm tay và đơn vị ảo

cho ptcos(ax + b) = cos(cx + d), các pt còn lại như

sin(ax + b) = sin(cx + d), tan(ax + b) = tan(cx + d),

cot(ax + b) = cot(cx +d)đều được thực hiện tương

tự

Xét

cos(ax + b) = cos(cx + d) (5)

Để tìm họ nghiệm thứ nhất, ta thấy rằng

(5)⇒ ax + b − (cx + d + Y × 2π) = 0 (6)

Rõ ràng, vế trái (6) là phương trình bậc nhất theox Do đó, nếu nhập

a X + b − (cx + d + Y × 2π)

rồi rX = ivàY = 0, máy sẽ hiện số phứcα+βi

với phần ảoβchính là hệ số củaxmà ta cần chia bớt§

Đến đây ta chỉ cần sửa màn hình thành

(a X + b − (cx + d + Y × 2π)) ÷ β

rồi rX = 0vàY = i, máy sẽ hiện số phứcγ + δi

mà đổi dấu số này giúp ta có được họ nghiệm của phương trình

Các thao tác để tìm họ nghiệm thứ hai cũng hoàn toàn tương tự như khi xác định họ nghiệm thứ nhất

3.2 Ví dụ

Ví dụ 5 Giải pt

cos³3x − π

5

´

= cos³x + π

10

´

Lời giải.

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình

³

3x − π

5−³x + π

10+ Y × 2π´´

• Bấm rX = i vàY = 0, máy hiện− 3

10π + 2i

suy ra hệ số cần chia là2¶

• Sửa màn hình thành

³

3x − π

5−³x + π

10+ Y × 2π´´÷ 2

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện−3

20π−πi Vậy ta có họ nghiệmx =3π

20+ kπ

• Sửa màn hình thành

³

3x − π

5−³−x−π

10+ Y × 2π´´

§ Nếu tinh ý ta có thể nhẩm nhanh hệ sốβcủaxvà bỏ qua bước này Thao tác với máy chỉ hữu ích khi hệ sốβcần chia là phức tạp, khó nhẩm hoặc dễ nhầm lẫn.

¶ Hoặc dễ thấy3x − x = 2xnên hệ số cần chia là 2

• Bấm rX = i vàY = 0, máy hiện− 1

10π + 4i

suy ra hệ số cần chia là4||

• Sửa màn hình thành

³

3x − π

5−³−x − π

10+ Y × 2π´´÷ 4

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện số phức

−1

40π−1

2πi Vậy ta có họ nghiệmx = π

40+k π

2

Ghi trong bài làm

Ta có

(5)⇔





x =3π

20+ kπ,

x = π

40+ k π

2.

(k ∈ Z)

Ở các ví dụ tiếp theo, chúng tôi sẽ làm tắt bước

xác định hệ số β

Ví dụ 6 Giải pt

sin³3x − π

5

´

= sin

³

x + π

10

´

Lời giải.

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình

³

3x − π

5−³x + π

10+ Y × 2π´´

• Dễ thấy3x − x = 2xnên hệ số cần chia là2

• Sửa màn hình thành

³

3x − π

5−³x + π

10+ Y × 2π´´÷ 2

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện− 3

20π−πi Vậy ta có họ nghiệmx =3π

20+ kπ

• Sửa màn hình thành

³

3x − π

5−³π− x−π

10+ Y × 2π´´

• Dễ thấy3x − −x = 4xnên hệ số cần chia là4

• Sửa màn hình thành

³

3x − π

5−³π − x − π

10+ Y × 2π´´÷ 4

|| Hoặc dễ thấy3x − −x = 4xnên hệ số cần chia là 4

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện số phức

−11

40π −1

2πi Vậy họ nghiệm làx =11π

40 + k π

2

Ghi trong bài làm

Ta có

(6)⇔





x =3π

20+ kπ,

x =11π

40 + k π

2.

(k ∈ Z)

Ví dụ 7 Giải pt

tan³3x − π

5

´

= tanµ 2

3x + π

10

¶

Lời giải.

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình

µ

3x − π

5−µ 2

3x + π

10+ Y × π

¶¶

• Dễ thấy3x −2

3x =7

3xnên ta cần chia cho 7

3

**

• Sửa màn hình thành

µ

3x − π

5−µ 2

3x + π

10+ Y × π

¶¶

÷µ 7 3

¶

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện số phức

−9

70π −3

7πi Vậy họ nghiệm làx =9π

70+ k3π

7

Ghi trong bài làm

Ta có (7)⇔ x =9π

70+ k3π

7 . (k ∈ Z)

Ví dụ 8 Giải pt

cot³7x − π

5

´

= cot³−x + π

10

´

Lời giải.

Thực hiện ngoài nháp

• Nhập vào màn hình

³

7x − π

5−³−x + π

10+ Y × π´´

** Độc giả có thể thực hiện thao tác trừ phân số trên một máy tính khác song song với máy tính thứ nhất.

• Dễ thấy7x − −x = 8xnên hệ số cần chia là8.

• Sửa màn hình thành

³

7x − π

5−³−x + π

10+ Y × π´´÷ 8

• Bấm rX = 0vàY = i, máy hiện số phức

−3

80π −1

8πi Vậy họ nghiệm làx =3π

80+ k π

8

Ghi trong bài làm

Ta có

(8)⇔ x =3π

80+ k π

8. (k ∈ Z)

4 Kết luận

Các ví dụ đã chứng tỏ tính ưu việt của

rbU trong rút gọn họ nghiệm pt lượng

giác Tuy nhiên, rất cần những nghiên cứu tiếp

theo về thái độ của học sinh khối 11 (cũng như

giáo viên) về công cụ này

Tài liệu

[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Đại số và

Giải tích 11 Nâng cao, NXB Giáo dục, Hà

Nội

[2] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Đại số và

Giải tích 11 Nâng cao: Sách giáo viên, NXB.

Giáo dục, Hà Nội