Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân B.. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng D.. Hỏi b
Trang 1Cấp số cộng cấp số nhân
Câu 1: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số nhân ( )un có u1 = −1, công bội 1
10
= − Hỏi 12017
10 là số hạng thứ mấy của ( )un ?
A Số hạng thứ 2018 B Số hạng thứ 2017 C Số hạng thứ 2019 D Số hạng thứ
2016
Đáp án A
Gọi n 2017 ( ) n 1 ( )n 1n
1
−
−
−
Câu 2: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
Cho cấp số cộng ( )un cóu4 = −12, u14 =18 Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này
A S16 = −24 B S16 =26 C S16 = −25 D S16 =24
Đáp án D
16
14 1
Câu 3: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Cho cấp số cộng ( )un biết u5 =18 và
n 2n
4S =S Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng
A u1=2, d=4 B u1=2, d=3 C u1=2, d=2 D u1=3, d=2
Đáp án A
Giả sử un = + −u1 (n 1 d) u5= +u1 4d 18 1 = ( )
Do
S =4S 2n 2u + 2n 1 d− =4n 2u + n 1 d− 2u + 2n 1 d− =4u + 2n−2 d
( )
1
2u d 2
= Từ (1) và (2) suy ra u1=2, d=4
Câu 4: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
Trang 2Dãy số nào sau đây giảm?
n
n 5
4n 1
−
n
5 3n
2n 3
−
+
n
n
u =cos 2n 1 n+
Đáp án B
Câu 5: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Trong các dãy số u ncho dưới đây, dãy số nào có
giới hạn khác 1?
2017
2018 2018 2018
n
n n
u
n
−
=
2020 4 2017
n
n
−
C
n
u
1
1
2018 1
1 , 1 2
u
=
Đáp án C
2017
2018
2018 1
2018
1
n
n
n
n
u
1
1
2018
1
1 , 1 2
u
=
2
n
v
v + =u + − v+ =v v + = v = v là cấp số nhân với
1 2017
1
2
v
q
=
Câu 6: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Cho cấp số cộng ( )un biết u2 =3 và u4 =7
Gía trị của u15 bằng
Đáp án
Trang 3Ta có 4 1 15 1
1
2 1
Câu 7: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân
B Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng
C Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng
D Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương
A Đúng Dãy số là cấp số nhân với công bội q=1
B Đúng Dãy số là cấp số cộng với công sai d= 0
C Đúng Vì dãy số là cấp số cộng nên: un 1+ −un = d 0 un 1+ un
D Sai Ví dụ dãy − −5; 2;1;3; là dãy có d= nhưng không phải là dãy số 3 0 dương
Câu 8: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Cho dãy số ( )an xác định bởi
a =5, a + =q.a +3 với mọi n1, trong đó q là hằng số, a0, q1 Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng
n 1
n 1 n
1 q
1 q
−
− Tính + 2 ?
Đáp án C
Ta có: n 1 ( n )
3
1 q
−
v =a − k v + =q.v =q v − = = q v
3
1 q
−
Vậy
n 1
n n
−
Do dó: = = + = +5; 3 2 5 2.3 11=
Cách 2
Theo giả thiết ta có a1=5, a2 =5q 3.+ Áp dụng công thức tổng quát, ta được
1 1
1 1
1
2 1
2 1
2
1 q
1 q
,
1 q
1 q
−
−
−
−
−
5q 3 q
=
+ = +
5 3
=
=
2 5 2.3 11
+ = + =
Câu 9 (Chuyên Thái Bình- 2018)Tổng 1 3 5 2017
2017 2017 2017 2017
A 22017 −1 B 22016 C 22017 D 22016−1
Đáp án là B
Trang 4Ta có:
2017 2017 2017 2017 2017
2017 2017 2017 2017 2017
2017 2017 2017 2016
2
T
Câu 10: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
1
+
=
−
n
n
u
3 1
= −
n
Đáp án A
Phương pháp:
- Định nghĩa dãy số giảm: Dãy ( )u n được gọi là dãy số giảm nếu ( *)
1
- Có thể giải bài toán bằng cách xét các hàm số ở từng đáp án trên tập * (Dãy số cũng
là một hàm số)
- Hàm số nào nghịch biến trên *thì dãy số đó là dãy số giảm
Cách giải:
Đáp án A: ( )
3
1
−
−
n nên dãy ( )u n là dãy số giảm
' =3 0,
u n n n nên dãy ( )u n là dãy số tăng
' =2 0, ,
u n n n nên dãy ( )u n là dãy số tăng
' = 2 0, ,
u n n nên dãy ( )u n là dãy số tăng
Câu 11: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2) Cho u n là cấp số cộng có công sai là d, v n là cấp số nhân có công bội là q và các khẳng định
1
2
n
) n n= n 2,
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
Đáp án B
Phương pháp: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của các số cộng và cấp số nhân Cách giải:
Khẳng định I) đúng theo định nghĩa
Khẳng định II) sai vì v n =q n−1v1 n 2,n
Khẳng định III) đúng theo tính chất của cấp số cộng
Khẳng định IV) sai Ta có:
Trang 52 1 2 2 3
1 1 n 1 n 1 n
n n
( )2
1 1 n 1 n
n
n n n
Khẳng định V) sai vì:
( 1)
1
1 2
1
1
n
n
q
−
− + + + =
−
1
1 2
2
n n
Vậy có hai khẳng định đúng
Câu 12: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Cho dãy số ( )u n thỏa mãn
1
1
2
2
n
u
+ =
=
Số hạng tổng quát của dãy là:
A u = n 2n B u n =2n−1 C u n =2n D u n =2n+1
Đáp án A
Phương pháp:
+) Nhận xét dãy số trên là cấp số nhân, tìm số hạng đầu tiên u1và công bội q
+) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân n 1
1 1
u =u q − Cách giải:
Dễ thấy dãy số ( )un là 1 cấp số nhân có số hạng đầu tiên u1=2và công bội q=2
=>Số hạng tổng quát un =u q1 n 1− =2.2n 1− =2n
Câu 13: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.)
Một cấp số cộng có số hạng đầu u1 =2018công sai d= − Hỏi bắt đầu từ số hạng nào 5 của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm
Đáp án C
Số hạng tổng quát là:
n 1
u = + −u n 1 d=2018+ −n 1 − = − +5 5n 2023 0 n 404,6 bắt đầu từ số hạng thứ 405 thì nhận giá trị âm
Câu 14 (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.)
Một cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu Sntính theo công thức
n
S =5n +3n, n Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó
Đáp án C
Trang 6Ta có: ( ) 2 2
1 1
d 5
d 10
u 8 d
2
=
= + − = + − = +
=
Câu 15: (Chuyên Hùng Vương-Bình Dương.)
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng
B. Một cấp số nhân có công bội q1 là một dãy tăng
C. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng
Đáp án B
Đáp án B sai vì nếu u1 0 chẳng hạn u1 = −1 thì cấp số nhân đó là dãy số giảm
Câu 16: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho dãy số ( )un gồm 89 số hạng thỏa mãn 0
n
u =n n N,1 n 89 Gọi P là tích của tất cả 89 số hạng của dãy số Giá trị của biểu thứclog P là
Đáp án C
Phương pháp : Áp dụng công thức : tan cot = 1 tan(tan 90 − =) 1
Cách giải : Ta có : P=u u u u1 2 3 89
P tan1 tan 2 tan 3 tan 89
P tan1 tan 89 tan 2 tan 88 tan 3 tan 87 tan 45
P tan1 cot1 tan 2 cot 2 tan 3 cot 3 tan 44 cot 44 tan 45
P 1.1.1 1 1 log P log1 0
=
=
=
Câu 17: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Cho dãy số ( )un với
1
n 1 n
u + u 2, n 1
=
u u u u u u +
= + + + Tính limSn
A. limSn =1 B. lim Sn 1
6
= C. limSn =0 D. lim Sn 1
2
=
Đáp án
Phương pháp:
+) Dãy số ( )un : 1
n 1 n
u + u 2, n 1
=
là dãy cấp số cộng, với u1 =1 công sai d= 2
Số hạng tổng quát của dãy un =un 1− + −(n 1 d, n 1)
+
Cách giải
Trang 7Dãy số ( )un : 1
n 1 n
u + u 2, n 1
=
là dãy cấp số cộng, với u1=1 công sai d= 2
n 1
n
2 1 1 2n 1 2n
Câu 18 : ( Chuyên Tiền Giang-2018)
Cho cấp số cộng ( )un có u5 = −15, u20=60 Tổng S20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A S20=600 B S20=60 C S20=250 D S20=500
Đáp án C
Gọi số hạng đầu và công sai của CSC ( )un là u , d,1 ta có
1
20
2
Câu 19: (Cụm 5 trường chuyên)Cho 3 số a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân
với công bội khác 1 Biết cũng theo thứtự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là
s Tính a0
s
4
Đáp án D
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát của CSC un = +u1 (n 1 d− ) và tính chất của CSN
2
n 1 n 1 n
u −u + =u
Cách giải:
a, b, c lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là s 0
nên ta có b a 3s
c a 7s
= +
= +
a, b, c theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân với công bội khác 1 nên ta có
ac b a a 7s a 3s a 7as a 6as 9s 9s a s 9s a 9
s
Câu 20: (Chuyên Chu Văn An-2018)Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật:
Trang 8ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ỏ hàng thứ 3 có 3 cây,… ở hàng thứ n
có n cây Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây Hỏi số hàng cây được trồng theo cách
trên là nbao nhiêu?
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng tổng n n 1( )
1 2 3 n
2
+
Cách giải: Giả sử trồng được n hàng cây với quy luật trên thì số cây trồng được là:
n n 1
2
+
Câu 21: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Cho cấp số cộng ( )un có u2013+u6 =1000 Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:
Đáp án A
Phương pháp:
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: un = +u1 (n 1 d− ) và công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSC: 1 n 1 ( )
n
n 2u n 1 d
n u u S
Cách giải:
1
1 2018
u u 1000 u 2012d u 5d 1000
2u 2017d 1000
2018 2u 2017d 2018.1000
+
Câu 22: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,… Số
hạng thứ 10 của dãy số đó là
Đáp án B
Dãy số là CSN với số hạng đầu là 4 và công bội là 3, suy ra 9
10
u = 4.3 = 78732
Câu 23: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Cho dãy số 4, 12, 36, 108, 324,… Số
hạng thứ 10 của dãy số đó là
Đáp án B
Dãy số là CSN với số hạng đầu là 4 và công bội là 3, suy ra u10 =4.39 =78732