Đột phá tư duy giải nhanh trắc nghiệm hình học không gian – lục trí tuyên

Tài liệu gồm 117 trang tổng hợp lý thuyết, phân dạng toán và hướng dẫn giải nhanh các bài tập tự luận và trắc nghiệm hình học không gian là tài liệu cho các thầy cố và sinh ôn tập nắm vững kiến thức trắc nghiệm hình học trong kỳ thi 2018 2019

Đ T P H Á T D U Y G I Ả I

N H A N H T R ẮC N G H I M

H N H H C K H N G G I A N

N H À X UẤT BẢ N DÂ N T R

:// /

Đi u khoản bản quy n theo luật s h u tr tu s 50/2005/QH11; bạn kh ng đ c ph p sao ch p tài li u này ngoại tr s cho ph p c a tác giả Bạn c th t m hi u th m v luật bản quy n tại http://www.cov gov.vn Ngoại tr s cho ph p c a tác giả, m i hành vi , , đ u

vi phạm bản quy n theo luật bản quy n.

Xuất bản lần đầu, Tháng 10 năm 2018

1 KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N 9

1.1 Đại c ng v kh i đa di n 9

1.1.1 Kh i đa di n 9

1.1.2 C bản v ph p bi n h nh trong kh ng gian 11

1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u 14

1.1.4 Bài tập áp d ng 17

1.2 Th t ch kh i đa di n 18

1.2.1 Làm ch h nh v kh i ch p và lăng tr 18

1.2.2 T nh th t ch kh i ch p 24

1.2.3 Bài tập áp d ng 38

1.2.4 Th t ch kh i lăng tr 39

1.2.5 Bài tập áp d ng 43

1.2.6 Ph ng pháp t s th t ch 44

1.2.7 Bài tập áp d ng 51

1.2.8 Bài toán c c tr và bài toán th c t 52

1.2.9 Bài tập áp d ng 61

1.3 Khoảng cách và g c 62

1.3.1 Khoảng cách 62

1.3.2 Bài tập áp d ng 71

1.3.3 G c 72

1.3.4 Bài tập áp d ng 89

2 Kh i tr n xoay 90 2.1 Kh i n n và kh i tr 90

2.1.1 Đ nh ngh a và m t s thi t di n c bản 90

2.1.2 Th t ch và di n t ch 93

2.1.3 Bài tập áp d ng 100

2.2 Mặt cầu và kh i cầu 101

2.2.1 Đ nh ngh a và các v tr t ng đ i 101

2.2.2 Th t ch kh i cầu và di n t ch mặt cầu 104

2.2.3 Xác đ nh tâm và bán k nh kh i cầu ngoại ti p 105

2.2.4 Bài tập áp d ng 110

2.3 Th t ch l n nhất nh nhất và toán th c t đ i v i kh i tr n xoay 111

2.3.1 Ph ng pháp chung cho bào toán c c tr h nh h c 111

2.3.2 M t s v d v trải h nh và t nh toán th c t 114

2.3.3 Bài tập áp d ng 117

• M i cạnh c a đa giác nào c ng là cạnh chung c a đ ng hai đa giác.

• V i hai mặt S, S′ bất k lu n t n tại m t dãy các mặt S0, S1, , Sn sao cho S0 ≡ S,

Sn≡ S′ và bất k hai mặt li n ti p nào trong dãy này đ u c m t cạnh chung

M i đa giác nh th đ c g i là m t mặt c a h nh đa di n (H ) Các đ nh, cạnh c a các

đa giác ấy theo th t g i là các đ nh, cạnh c a h nh đa di n (H )

M i đa di n (H ) chia các đi m c n lại c a kh ng gian thành hai mi n kh ng giao nhau:

mi n trong và mi n ngoài c a (H ) Trong đ ch c duy nhất mi n ngoài là ch a hoàn toàn

H nh a) kh ng là kh i đa di n do c m t cạnh (tr n c ng) kh ng là cạnh chung c a hai mặt.

Đi u này vi phạm đi u ki n th hai trongĐ nh ngh a 1.1.1

H nh b) kh ng là kh i đa di n do c m t mặt phẳng ch a m t đ nh c a các mặt khác Khi đ ,mặt phẳng này giao v i mặt phẳng khác nh ng lại kh ng c đ nh chung c ng kh ng c cạnhchung Đi u này vi phạm đi u ki n m t trongĐ nh ngh a 1.1.1

H nh c) kh ng là kh i đa di n do c m t cạnh là cạnh chung c a b n mặt Đi u này vi phạm

đi u ki n hai trongĐ nh ngh a 1.1.1

H nh d) kh ng là kh i đa di n do vi phạm đi u ki n th ba trongĐ nh ngh a 1.1.1

1.1.2 C bản v ph p bi n h nh trong kh ng gian

Đ nh ngh a 1.1.3: Ph p bi n h nh

Ph p bi n h nh trong kh ng gian là m t quy tắc F mà v i m i đi m M trong kh ng gian,

th c hi n theo quy tắc F , d ng đ c m t và ch m t đi m M′ Đi m M′đ c g i là ảnh

Ph p t nh ti n vect −→v bi n đa di n (H ) thành đa di n H′, ph p đ i x ng tâm O bi n

đa di n (H′)thành đa di n (H′′) Khi đ , ph p d i h nh c đ c bằng cách th c hi n

li n ti p ph p t nh ti n vect −→v và ph p đ i x ng tâm O bi n đa di n (H ) thành đa di n(H′′) Do đ , các đa di n (H ), (H ′)và (H′′)bằng nhau

V d : Ph p v t tâm O t s k ̸= 0 là ph p đ ng dạng t s |k|.

C : Ph p đ ng dạng t s k > 0 bi n kh i đa di n (H ) thành kh i đa di n (H′)th t s

th t ch c a (H′)và (H ) bằng k3(lập ph ng t s đ ng dạng) Ch này rất h u ch cho cácbài toán v t l th t ch các phần sau

V d 1.1.8

Cho t di n ABCD G i A′ là tr ng tâm c a tam giác BCD Các đ ng thẳng qua A′

lần l t song song v i AB, AC, AD lần l t cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC)tại B′, C′, D′ Ch ng minh rằng t di n ABCD và A′B′C′D′đ ng dạng

tam giác ABD và tam giác ABC

Trong tam giác ABM, g i G = AA′ ∩

1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u

kh ng gian là các kh i đa di n l i và đi t nh các y u t li n quan

c a n nh th t ch, g c hay khoảng cách Nh ng tr c khi đi

vào các kh i h nh c th , ta cần phân bi t đ c kh i đa di n l i

v i các kh i kh ng l i và nắm đ c c bản các đặc đi m c a các

kh i đa di n đ u

Đ nh ngh a 1.1.6: Kh i đa di n l i

Kh i đa di n (H ) đ c g i là kh i đa di n l i n u

đoạn thẳng n i hai đi m bất k c a (H ) lu n thu c

(H ) Khi đ h nh đa di n t ng ng đ c g i là đa

di n l i

V d : Các kh i ch p tam giác (t di n), kh i ch p

đa giác l i, kh i h p là nh ng kh i đa di n l i

Ch : Kh i da di n là l i khi và ch khi mi n trong

L , ta c th t nh s đ nh và s cạnh c a kh i đa di n đ u n mặt loại {p; q} nh sau

S cạnh = n× p

2 ; S đ nh = n× p

q

N , m t s đặc đi m khác c a kh i đa di n đ u c ng đ c quan tâm nh s tr c đ i

x ng, g c nh di n gi a hai mặt k , g c tâm mặt cầu ngoại ti p chắn b i m t cạnh, th t ch, bán

k nh kh i cầu ngoại ti p Chẳng hạn, kh i t di n đ u c 3 tr c đ i x ng là các đ ng đi quatrung đi m c a hai cạnh đ i di n; kh i lập ph ng c 9 tr c đ i x ng bao g m: 3 đ ng đi quatâm hai mặt đ i di n, 6 đ ng đi qua trung đi m c a hai cạnh đ i di n; kh i bát di n đ u c ng

c 9 tr c đ i x ng bao g m: 3 đ ng đi qua hai đ nh đ i di n, 6 đ ng đi qua trung đi m c ahai cạnh đ i di n Vi c đ m s tr c đ i x ng c a kh i m i hai (thập nh ) mặt đ u và hai m i(nh thập) mặt đ u ph c tạp và kh h nh dung h n nhi u n n cu n sách này kh ng đ cập đây

Đ nh ngh a 1.1.8: Nh di n và g c nh di n

Nh di n là h nh h p b i hai n a mặt phẳng c chung b là gia tuy n c a ch ng

Cho nh di n (P ) và (Q) c giao tuy n d T I ∈ (P) và J ∈ (Q) v i I, J /∈ d hạ

c a các kh i đa di n đ u bao g m s đo các g c α và

B

O

α

β RR

√2

3 cos β = −13

2 cos β = −13Bát di n đ u

√34

√2

3 cos α = −1

π2

√

3 +√

5)cos α = −

√5cos β =

√5

1.1.4 Bài tập áp d ng

đ ng cao đ ng trung tuy n, n a chu

vi lần l t là a, b, c, h a , m a , p nh th ng

l

Đ , đ i v i h nh th c thi và làm bài trắc nghi m th ngoài

y u t nắm r ph ng pháp giải toán h c sinh cần phải t nh toán

nhanh ra đáp s Ch nh v vậy, nh ng y u t c t nh chất quen

thu c, lặp lại nhi u lần trong quá tr nh giải bài n n đ c h c

2 a

Di n t ch:

√3

4 a

2.Bán k nh đ ng

Tâm ngoại ti p c ng là tr ng tâm

Tam giác vu ng cân cạnh b n bằng a

Cạnh huy n: √2a

Di n t ch: 1

2a

2.Bán k nh đ ng

tr n ngoại ti p:

Rđ=

√2

Tam giác cân g c 120◦ đ nh

a 2

√3a

120 ◦

Rđ= a; đ ng cao = a

2; di n t ch:

√3

4 a

2

Đáy là t giác đặc bi t: T m tắt đặc đi m c bản

AH2 = 1

AB2 + 1

AC2.AH.BC = AB.AC = 2S(ABC)

sin A =

bsin B =

csin C = 2Rđ.S(ABC) = 1

2bcsin A = 1

2a.ha

=√p(p− a)(p − b)(p − c) = pr

N , trong m t s t tr ng h p ta gặp phải đáy là h nh b nh hành hoặc n a l c giác đ u.Khi đ , m t s đặc đi m quan tr ng c a các h nh này c ng cần đ c ghi nh

Đáy là h nh b nh hành hoặc n a l c giác đ u

H nh b nh hành bi t g c-cạnh-g c

a

bα

là đ đ t nh toán m i th ng s c a h nh lăng tr ABC.A′B′C′ Do đ , h c sinh ch cần nắmchắc các tr ng h p xác đ nh đ ng cao đ i v i h nh ch p (xem H nh1.2)

A ′

A

B

C H

H nh 1.2: Quy h nh lăng tr v h nh ch p

M , bài toán kh ng cho ch nh xác v tr chân đ ng cao H ngay t đầu,

ta ch cần g i H là m t v tr nào đ d i đáy đ t đ khai thác các th ng tin v H d a vào cácgiả thi t Nh ng bài toán dạng này đ c x p vào bài toán m c đ vận d ng tr l n

Đ bài toán cho th ng tin v đ ng cao c a kh i ch p (lăng tr ) mà đ u c

th r i vào m t trong b n tr ng h p d i đây

đ n AB c a tam giác SAB

Đặc bi t: N u ∆SAB cân tại S th H là

trung đi m AB

G trong kh ng gian s đ c tr nh bày sâu h n trong m c1.3 Tuy nhi n,

đ h tr các t nh toán li n quan trong các bài toán t nh th t ch kh i đa di n, m c này s tr nhbày nh ng khái ni m c bản và cách xác đ nh g c c ng nh khoảng cách trong tr ng h p đ ngiản nhất

HI

gi a hai mặt phẳng nh h nh b n thay cho

Đ trong các bài toán t nh th t ch, tr c h t h c sinh cần

nắm v ng hai loại g c c bản: g c gi a cạnh b n và đáy và g c gi a mặt b n và đáy. m c

tr n, h c sinh đã làm ch đ c b n tr ng h p c bản xảy ra c a đ ng cao trong m t h nh

ch p (t ng t đ i v i h nh lăng tr ) Đi u đ c ngh a rằng ch ng ta đã làm ch đ c v trchân đ ng cao H nằm tr n mặt phẳng đáy V vậy, áp d ngĐ nh ngh a 1.2.1ta d dàng xác

đ nh đ c hai loại g c c bản này

Đ ta c ng gặp phải m t s bài toán li n quan đ n khoảng cách m c đ c bản Khi đ ,

đ ch đ ng trong t nh toán h c sinh cần nắm đ c cách xác đ nh khoảng cách c bản nhất

T chân đ ng cao H n i v i giao c a cạnh

T chân đ ng cao H k HI vu ng g c v igiao tuy n c a mặt b n (mặt xi n) v i đáy.Chẳng hạn, g c ((SAB), (đáy)) = [SIH

KA

S đáy và đ ng cao c a m t kh i ch p hay lăng

tr th vi c t nh th t ch c a kh i ch p hay lăng tr đ tr n n

h t s c đ n giản Đ i v i bài toán cho bi t g c gi a cạnh b n và

đáy hoặc mặt b n và đáy lần l t là φ = [SAHhoặc φ = [SIHth

chi u cao h c a kh i ch p (hoặc lăng tr ) th ng đ c t nh theo

các giá tr l ng giác c a φ Chẳng hạn

D i đây, cu n sách s minh h a chi ti t cho các dạng toán

th ng gặp trong các k thi THPT Qu c gia

1.2.2 T nh th t ch kh i ch p

T c a m t kh i đa di n là đại l ng d ng đ đo phần

kh ng gian b n trong kh i đa di n đ , th ng k hi u là V

Sđáy

V d 1.2.1: Cạnh b n vu ng đáy bi t g c c a cạnh b n v i đáy

Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh ch nhật, AB = a, BC = 2a, SA⊥(ABCD) Bi t

g c gi a SC và đáy là 60◦, t nh theo a th t ch c a kh i ch p S.ABCD

(SBC)và (ABC) Vậy dSIA= 60◦

Tam giác ABC đ u cạnh a n n I là trung

đi m c a BC, do đ AI =

√3

2 a

Tam giác SAI vu ng tại A n n

SA= AI.tan 60◦=

√3

2 a.

√

3 = 3

2aVậy

60◦

V d 1.2.3: Hai mặt b n c ng vu ng v i đáy

Cho h nh ch p S.ABC c ABC là tam giác vu ng tại B v i AB = a, \BAC = 60◦ Hai mặtphẳng (SAB) và (SAC) c ng vu ng g c v i mặt phẳng (ABC) Bi t g c gi a (SBC) vàđáy bằng 45◦, t nh theo a th t ch c a kh i ch p S.ABC

2 a

2.Vậy

V = 1

3.

√3

2 .1a

3=

√3

Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh thoi cạnh a, \ABC = 60◦ G i H là trung đi m c a

AB, hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) c ng vu ng g c v i (ABCD) Bi t khoảng cách t

2 a

2.Theo quy tắc chuy n khoảng cách:

8 a

3

AS

D

aH

K

Tam giác SAB đ u và nằm trong mặt phẳng vu ng v i đáy n n chân đ ng cao H c a

h nh ch p là trung đi m AB

2 a

3

=

√3

4 a

3

11

√32

S

A

DH

Mặt phẳng (SAC) vu ng v i đáy n n chân

đ ng cao H c a h nh ch p thu c AC

4 a.

Vậy SH = AH tan 60◦=

√6

4 a

⇒ V = 13Sđáy.SH =

√6

60◦

4 a

2.Theo Pi-ta-go ta c

4 .

√3a3 = 1

2 a

3 =

√2

1

1

1

V d 1.2.9: Bi t v tr chân đ ng cao cho tr c

Cho h nh ch p S.ABCD c AB ∥ CD và AB = 2CD = 2AD = 2a, \BAD = 60◦ G i O

là trung đi m c a AB, h nh chi u vu ng g c c a S tr n mp(ABCD) là trung đi m c a

DO Bi t g c gi a SB và mặt phẳng (SAC) bằng 30◦ T nh th t ch kh i ch p S.ABCD

H ng dẫn

T giả thi t thấy đáy ABCD là h nh thang

cân n a l c giác đ u nh trong m c 1.2.1

Do đ Sđáy = 3

√3

C BC⊥AC mà BC⊥SH (do SH⊥(ABCD))

n n BC⊥(SAC) Vậy C là h nh chi u c a

8 a

3.S

CD

O

H

V d 1.2.10: Chân đ ng cao là tâm đ ng tr n n i ti p đáy

Cho h nh ch p S.ABC c AB = 3, AC = 5, BC = 6 Các mặt b n c a h nh ch p c ngtạo v i đáy m t g c 60◦ T nh th t ch kh i ch p S.ABC bi t chân đ ng cao hạ t đ nh

Snằm mi n trong c a tam giác ABC

8√3

3 S

A

B

CH

I

K

Lr

60◦

5

V d 1.2.11: T nh đ dài đ ng cao bằng lập ph ng tr nh

Cho h nh ch p S.ABC c ABC là tam giác vu ng tại B, BC = 3a, cạnh b n SA⊥(ABC)

Bi t SB và SC tạo v i đáy các g c c s đo lần l t là 45◦ và 30◦ T nh th t ch c a kh i

√6

3 hay OH =

√6

3 ; h =

2√3

27 a

3.S

A

O

DI

Hh

x

2a

√ 6

3 a

βγa

Cho t di n ABCD c \BAC = α;

\BAD= β; \CAD= γ

G i φ là g c nh di n cạnh AB c a hai mặtphẳng (ABC) và ABD th φ đ c t nh b i

( 1.4 ):

D ng E sao cho BCDE là h nh b nh hành, ta c

VABCD = VABDEvà d(AB, CD) = d(D, (ABE))

Iα

( 1.6 ):

X t g c tam di n Axyz v i các s đo α, β, γ khác

90◦nh h nh v

Tr n tia Ax lấy đi m I sao cho AI = 1 T I k

IK, ILc ng vu ng g c v i Ax tại I (xem h nh b n)

φ1

Theo đ nh l hàm s Cosin cho tam giác IKL ta c :

KL2 = IK2+ IL2− 2IK.IL cos φ = tan2α+tan2β− 2 tan α tan β cos φ (2)

T (1) và (2) suy ra 1 −cos α cos βcos γ =−sin α sin β cos φ

cos α cos β .

Do đ cos φ = cos γ − cos α cos β

sin α sin β C ng th c vẫn đ ng khi α hoặc β bằng 90◦.

C ng th c (1.8) đ c suy ra t c ng th c (1.6) và (1.7) bằng cách thay sin x b i√1− cos2x

V d 1.2.13: T di n c đ dài hai cạnh đ i, khoảng cách và g c gi a ch ng

Cho t di n ABCD c AB = 2a, CD = 5a Bi t g c gi a hai đ ng thẳng AB và CDbằng 60◦ và khoảng cách gi a ch ng bằng 3a T nh th t ch t di n ABCD theo a

4

√ 2 2

3.1 a

3 =

√2

3 ⇒ sin φ =

√6

2 a;

DL= DAsin 45◦ = 3

√2

K

L

⇒ DH2 =

(27

a

bbc

c

x

yz

2 ; y =

√10

2 ; z =

3√10

2 ⇒ VABCD= 15

√6

4 .

Lại c SBCD =√

p(p− 4)(p − 5)(p − 6) v i p = 4 + 5 + 62 , suy ra SBCD = 15

√7

4 Vậy d(A, (BCD)) = 3VABCD

SBCD

= 3

√42

• H là h nh chi u c a O l n mp(ABC) khi

và ch khi H là tr c tâm tam giác ABC

O

A

BC

a

b

cHh

V d 1.2.17

Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh ch nhật, SA⊥(ABCD), AB = a, AD = 2a Bi tkhoảng cách t A đ n mặt phẳng (SBD) bằng

√2

3 =

4√3

A′ 1

Ta thấy AN, BB′, N P đ ng quy theo đ nh l v 3

giao tuy n c a 3 mặt phẳng (hoặc đ ng quy, hoặc

song song) Do đ ABN.MB′P là m t h nh ch p

c t

C SABN = 1

2SABC =

√3

32a

2.Theo c ng th c (1.11) ta c :

)

a3= 7

√3

1.2.3 Bài tập áp d ng

1.2.4 Th t ch kh i lăng tr

làm vi c v i kh i lăng tr t ng đ ng v i giải

bài toán h nh ch p, trong đ đáy ch p là m t đáy

ABCD c a lăng tr c n đ nh ch p là m t trong

các đ nh A′, B′hoặc C′v.v Vi c ch n đ nh này

ph thu c vào th ng tin v đ ng cao c a kh i

lăng tr Chẳng hạn, n u bài cho h nh chi u c a

A′ th ta làm vi c v i kh i ch p A′.ABCD M t

khi xác đ nh đ c đáy và đ ng cao c a kh i lăng

tr , th t ch c a n đ c t nh b i c ng th c

V = Sđáy.h (1.13)

Trong đ Sđáy là di n t ch m t đáy c a kh i lăng

tr , h là đ dài đ ng cao c a lăng tr

A

B

CD

2 .

√3a = 3

2a,vậy h = 3

2a

Áp d ng c ng th c (1.13) th t ch c

V = SACB.h=

√3

2 a

2.Tam giác ABD đ u cạnh a n n AG =

√3

3 a⇒ h =

√3

60◦

45◦

V d 1.2.22

Cho h nh lăng tr ABCD.A′B′C′D′ c đáy là h nh ch nhật v i AB = 2, BC = 5 Bi t

AA′ = 3và g c gi a hai mặt phẳng (AA′B′B), AA′D′Dv i đáy lần l t là 45◦ và 60◦

⇒ h2= 27

7 Vậy h = 3

√21

7 Vậy, th t ch kh i lăng tr bằng

53

Đặc bi t: T nh th t ch lăng tr xi n theo thi t di n vu ng

Cho kh i lăng tr A1A2 An.A′

A1

A2

A′ 1

A′ 2

A1

A2

A′ 1

A′ 2

(P )

B1

B2

B′ 1

B′ 2

3 T nh th

t ch kh i lăng tr

2 Theo h th c l ng trong tam giác

Do đ AA′ =√

A′M2+ AM2 =

√5

3 + 5 =

2√15

3

Áp d ng c ng th c (1.14) ta c Vl.tru = SAB 1 C 1.AA′ = 1.2

√15

2√15

1.2.5 Bài tập áp d ng

1.2.6 Ph ng pháp t s th t ch

K c a m t kh i đa di n mà n ch là m t phần

c a kh i đa di n ban đầu, r ràng ta kh ng th áp d ng tr c ti p

c ng th c t nh th t ch c a ch ng do rất kh khăn trong vi c xác

đ nh đáy và đ ng cao c a n Tuy nhi n, kh i đa di n ban đầu

th lại rất d dàng th c hi n đ c đi u đ Ch nh v vậy, ch ng ta

cần t m m i quan h (t m t l ) c a th t ch cần t nh (kh ng t nh

tr c ti p đ c) v i th t ch c a kh i đa di n ban đầu (d t nh

đ c ngay) Mu n vậy, h c sinh cần ghi nh ba dạng chuy n đ i

H nh 1.3: T s th t ch ch p t giác

Mà sin \A′SB′ = sin [ASB, d(C′,(SA′B′)) = d(C′,(SAB)) do

A′, B′c ng nằm trong tam giác SAB

Theo ti u m c t s khoảng cách trong m c1.2.1,

d(C′,(SAB))

d(C, (SAB)) =

SC′

SC.Mặt khác VS.ABC = 1

SA′.SB′.SC′

SA.SB.SC (1.16):

Ch ng minh hoàn toàn t ng t ta đ c b + d = 2k

Mà VS.ABC = VS.ADC = 1

2VS.ABCD (1.19)

T (1.17), (1.18) và (1.19) ta c VS.A ′ B ′ C ′ D ′ =

(1abc+ 1adc