Bồi dưỡng năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự cho học sinh thông qua giải bài tập hình học nâng cao lớp 11 (thể hiện qua chương i và chương II)

Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học toán và dạy học giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10.. - Nghiên cứu việc

2

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Giả thuyết khoa học 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 3

6 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 Một số khái niệm 4

1.1.1.Khái quát hoá 4

1.1.2 Đặc biệt hoá 9

1.2.3 Tương tự 12

1.2 Cơ sở toán học của chủ đề vectơ và toạ độ trong Hình học nâng

cao lớp 10 14

1.2.1 Vectơ 14

1.2.2 Tọa độ 21

1.3 Vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông 25

1.3.1 Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự trong việc hình thành khái niệm và các tri thức lý thuyết 25

1.3.2 Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự là phương pháp suy nghĩ, mò mẫm giúp ta tìm lời giải cho bài toán 26

1.3.3 Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và hệ thống hoá kiến thức 28

1.4 Kết luận chương 1 33

3

Chương 2: BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA VÀ TƯƠNG TỰ CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP

HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 10 ( CHƯƠNG I VÀ CHƯƠNG II) 34

2.1 Vị trí và chức năng của bài tập Toán học 34

2.2 Vai trò của việc giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 35

2.3 Dạy học phương pháp giải bài tập Toán 35

2.4 Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự để tìm lời giải của bài tập Toán 36

2.5 Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự vào nghiên cứu lời giải của bài tập Toán 41

2.6 Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự để sáng tạo bài toán 43

2.7 Bồi dưỡng năng lực giải bài tập Toán trong Hình học nâng cao lớp 10 46

2.7.1 Suy luận trong chứng minh Toán học 46

2.7.2 Một số phương pháp giải bài tập toán trong Hình học nâng cao lớp 10 48

2.8 Xây dựng hệ thống bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chương I; II) theo phương pháp khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự 53

2.8.1 Hệ thống bài tập về vectơ và các phép toán 53

2.8.2 Hệ thống bài tập về hệ thức lượng trong tam giác 62

2.8.3 Hệ thống bài tập trong giải tích dùng vectơ và toạ độ 68

2.9 Một số biện pháp rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh 73

2.9.1 Tìm nhiều lời giải cho một bài toán, khai thác lời giải của từng cách giải để dẫn đến bài toán tổng quát 73

2.9.2 Giải quyết một lớp các bài tập tương tự để tìm ra đặc điểm, bản chất của bài toán 76

4

2.9.3 Thường xuyên rèn luyện năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự

cho học sinh trong quá trình dạy học 78

2.10 Kết luận chương 2 79

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 80

3.1 Điều tra năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự của học sinh lớp 10 trường THPT Nguyễn Khuyến T.P Nam Định 80

3.2 Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sư phạm 83

3.2.1 Mục đích thực nghiệm 83

3.2.2 Tổ chức thực nghiệm 84

3.2.3 Đánh giá sư phạm 85

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 89

3.3.1 Đánh giá định tính 89

3.3.2 Đánh giá định lượng 90

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

PHỤ LỤC……… 97

Một số giáo án được dạy trong đợt thử nghiệm theo các biện pháp sư phạm đã đề xuất trong luận văn……… 97

1 Giáo án 1: Ôn tập vectơ và các phép toán về vectơ……… 97

2 Giáo án 2: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác……… 112

ở nước ta còn nhiều nhược điểm: tri thức được người thầy truyền thụ dưới dạng có sẵn, thầy thuyết trình, trò ghi nhớ, thầy áp đặt, trò thụ động Điều đó dẫn đến thực trạng học sinh tiếp nhận kiến thức một cách máy móc ít yếu tố

tìm tòi, phát hiện, sáng tạo trong quá trình học

Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học Việc sử dụng rộng rãi khái niệm vectơ và toạ độ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học,

cơ học cũng như kỹ thuật đã làm cho khái niệm này ngày càng phát triển Cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX, phép tính vectơ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông Việc nghiên cứu vectơ góp phần mởi rộng nhãn quan toán học cho học sinh, chẳng hạn, tạo cho học sinh khả năng làm quen với những phép toán trên những đối tượng không phải là số nhưng lại có tính chất tương tự Điều đó dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về phép toán đại số, cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm quan trọng của Toán học hiện đại

Trong chương trình hình học ở bậc trung học phổ thông, học sinh được học về vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phương tiện trung

2

gian để chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số Giải bài toán bằng phương pháp vectơ cho phép học sinh tiếp cận những kiến thức hình học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa và có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng quát, đôi khi không cần đến hình vẽ Nó có tác dụng tích cực trong việc phát triển tư duy sáng tạo, trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp, đặc biệt là khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự

Với các lý do nêu trên, tôi chọn tên đề tài là: Bồi dưỡng năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự cho học sinh thông qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10 (Thể hiện qua chương I và chương II)

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu vai trò của khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học toán và dạy học giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10

- Nghiên cứu việc vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự thông qua các bài toán vectơ, hệ thức lượng trong tam giác, bài toán trong giải tích dùng phương pháp vectơ và tọa độ để giải

- Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự cho học sinh

- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra các bài học thực tế, tính khả thi

để áp dụng vào giảng dạy

3 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh được rèn luyện khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong dạy học thông qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10 thì sẽ có khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự trong học môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung, khắc phục được thực trạng dạy học ở nước ta hiện nay

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này tôi chủ yếu sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

3

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, lý luận dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo viên, tạp chí giáo dục,…

- Phương pháp điều tra - quan sát: Tìm hiểu khả năng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự của học sinh thông qua giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, qua trao đổi với những giáo viên dạy giỏi toán ở trường phổ thông

5 Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Trên cơ sở lý luận của khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, áp dụng vào dạy nội dung dạy học giải bài tập Hình học nâng cao lớp 10, từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập vectơ và hệ thức lượng trong tam giác

- Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận của khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương

tự, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dung luận văn

- Khách thể và phạm vi nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy toán THPT của trường : THPT Nguyễn Khuyến, Thành phố Nam Định

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3

chương

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Bồi dưỡng năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự

cho học sinh thông qua giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 (chương I

và chương II)

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Một số khái niệm

1.1.1 Khái quát hoá

Theo G Polya, “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” 13, tr.21

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy đã nêu rõ: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát” 9, tr.31 Chẳng hạn, chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam giác sang việc nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý Chúng ta cũng khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm lượng giác của một góc tùy ý

Có thể nhận thấy rằng trong hai ví dụ trên, sự khái quát hóa đã được thể hiện theo hai hướng có tính chất khác nhau Ở ví dụ đầu, trong việc chuyển từ

tam giác sang đa giác n cạnh chúng ta đã thay hằng bởi biến; ở ví dụ sau, khi

chuyển từ góc nhọn sang góc tuỳ ý, ta bỏ đi hạn chế 0o    90o

Chúng ta thường khái quát hóa bằng cách chuyển từ chỗ chỉ xét một đối tượng sang việc xét toàn thể một lớp bao gồm cả đối tượng đó Tổng quát hóa một bài toán thông thường là mở rộng bài toán đó, nhưng không phải tất cả đều như vậy

Nhiều khi, phát biểu lại bài toán dưới dạng tổng quát sẽ giúp ta dễ hiểu hơn và có khả năng tìm được hướng giải dễ dàng hơn; bởi vì, lúc đó ta sẽ chú trọng đến các yếu tố bản chất của bài toán và bỏ qua những yếu tố

không bản chất Chẳng hạn, với Bài toán: "Giải phương trình (x + 1) (x + 5) (x + 7) (x + 11) = 8", nếu để dạng như trên, nhiều học sinh khó biết được

5

cần nhóm (x + 1) với (x + 11); (x + 5) với (x + 7) Ta tổng quát Bài toán trên, đưa về Bài toán: "Giải phương trình: (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = e với a, b, c, d, e  R; a + d = b + c" thì bản chất của Bài toán được bộc lộ rõ

ràng hơn Nhu cầu sử dụng giả thiết a + d = b + c sẽ gợi cho học sinh rằng, nên nhóm (x + a) với (x + d); (x + b) với (x + c) "Khái quát hóa có mối liên

hệ mật thiết với trừu tượng hóa Trừu tượng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất Trừu tượng hóa là điều kiện ắt có nhưng chưa đủ để khái quát hóa" 8, tr.10

Những dạng khái quát hóa thường gặp trong môn toán có thể biểu diễn theo sơ đồ sau:

Như vậy có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên cơ sở

so sánh những trường hợp riêng lẻ, con đường thứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau

Ví dụ 1 Xuất phát từ bài toán: "Cho hai điểm A, B Tìm điểm M sao cho

 

+ = 0 " HS dễ dàng tìm được M là trung điểm của AB (còn gọi là trọng

Khái quát hóa từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát

Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng

Sơ đồ 1.1: Những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn toán

6

tâm 2 điểm A, B), đến đây GV có thể gợi động cơ để xây dựng bài toán cho

trọng tâm của hệ những điểm trong mặt phẳng ( Điểm G gọi là trọng tâm hệ n

điểm A1, A2, ,A n ( n  2 ) nếu 1+ 2 + + = 0

n

Chẳng hạn, có thể gọi HS khái quát bài theo theo các hướng sau:

- Hướng 1: Dựa vào cấu trúc bài toán cơ bản phát triển dần lên bài toán tổng

Từ kết quả (1) và (2) HS sẽ dự đoán: G là trọng tâm hệ 4

điểm khi và chỉ khi G1 là trọng tâm 3 điểm A, B, C và

1 = -1

3

 

GV tiếp tục gợi động cơ cho HS đề xuất bài toán tổng quát với hệ n điểm

HS dự đoán bài toán tổng quát: cho n điểm A1, A2, ,A n (n  2) luôn tồn tại

duy nhất điểm G thoả mãn 1 + 2 + + = 0

CG

A

MB

G

Hình 1.2

- 

MA MB ứng với trọng tâm hệ 1 điểm A

1

= 2

- 

GG GD ứng với G1 là trọng tâm hệ 3 điểm A, B, C

- Hướng 2: Nếu khai thác trọng tâm hệ điểm theo hướng khác, ta cũng có

thể cho HS khái quát hóa như sau:

 Nếu điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì với mọi điểm O ta

 Từ các trường hợp riêng lẻ trên, ta tìm được công thức chung là bài

toán tổng quát sau: Điểm G là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2, , A n

thì với mọi điểm O ta có:

- Hướng 3: Đối với HS khá giỏi, GV có thể hướng dẫn cho các em theo

hướng thay các hệ số của vectơ từ hằng suy biến

Đối với hai điểm A, B và 2 số thực ,  sao cho   0 ta có điểm I

duy nhất thỏa mãn IA+IB= 0 Khi đó điểm I gọi là tâm tỉ cự của hai điểm 

A, B với bộ số ( , )

8

Với 3 điểm A, B, C và 3 số thực    , , sao cho     0 Khi đó ta

cũng có điểm I duy nhất thỏa mãn IA+IB+ IC= 0 Ta gọi điểm I gọi là tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C với bộ số (   , , )

Khái quát lên cho hệ n điểm: cho n điểm A1, A2, , A n và n số  1, 2, ,n

sao cho 1  2 n 0 Khi đó tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn

9

có thể khẳng định là định lí đã được chứng minh hoàn toàn, vì ba trường hợp trên đã vét hết các khả năng có thể xảy ra Như vậy, trong ví dụ trên kết luận được rút ra nhờ quy nạp hoàn toàn

1.1.2 Đặc biệt hóa

Theo G Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” 13,tr.22

Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn theo sơ đồ sau:

Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác sang việc nghiên cứu đa giác đều Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệt hóa để nghiên cứu tam giác đều Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn

Đặc biệt hóa là quá trình đi từ cái chung đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí bằng những trường hợp riêng lẻ,

10

Đặc biệt hóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh các định lí, bài tập…Trong bài toán quỹ tích hoặc tìm điểm cố định đặc biệt hóa thường được sử dụng để mò mẫm, dự đoán quỹ tích, dự đoán điểm cố định trên cơ sở đó để tìm lời giải của bài toán

Chúng ta sử dụng đặc biệt hóa trong dự đoán, suy luận có lý như thế nào?

Để giải bài toán, trước hết ta giải chúng cho một trường hợp đặc biệt, rồi thử dùng trường hợp đặc biệt này xem có giải được trong trường hợp đặc biệt khác hay trong bài toán tổng quát không Ví dụ trước khi học sinh được học

Trước khi chứng minh dự đoán trên, ta thử các trường hợp đặc biệt khi

tam giác ABC là tam giác đều, tam giác cân Khi thấy đúng ta mới tiến hành

chứng minh

Chứng minh Xét đường tròn tâm O bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC

Kéo dài AO cắt đường tròn (O, R) tại A’ Ta có ACB AA C' ( hai góc

nội tiếp cùng chắn bởi cung AB)

c

R C

Do đó, trong mọi tam giác bất kỳ ta có: = = 2

R

Kết quả này chính là Định lí sin trong tam giác

Trong ví dụ trên từ việc nghiên cứu tam giác ABC bất kì ta chuyển sang

nghiên cứu tam giác đều, tam giác cân Đó là đặc biệt hóa từ cái tổng quát đến cái riêng lẻ và trong trường hợp này đó là đặc biệt hóa đến cái riêng lẻ chưa biết Sau khi đã chứng minh được hệ thức (*) đúng với mọi tam giác bất

kì ta thử đặc biệt hóa khi tam giác ABC vuông Đó là đặc biệt hóa tới cái

riêng lẻ đã biết

Ví dụ 3 Gọi hai đường tròn là (O1, R1) và (O2, R2) và điểm M nằm ngoài hai đường tròn trên Gọi T1, T2 lần lượt là các tiếp điểm của tiếp tuyến kể từ M tới (O1, R1) và (O2, R2) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: MT12MT22k2

Ta hãy xét một trường hợp đặc biệt hơn của Bài toán: Khi (O1) và (O2) suy

biến thành các điểm O1, O2 Quỹ tích những điểm có tổng bình phương

khoảng cách đến hai điểm O1, O2 bằng một số không đổi là đường tròn tâm I, với I là trung điểm O1O2

Từ đó, ta dự đoán rằng, quỹ tích phải tìm cũng là đường tròn tâm I Dự đoán

đó gợi cho ta hướng biến đổi:

12

Việc xét trường hợp đặc biệt: (O1), (O2) là các đường tròn - điểm không những giúp chúng ta dự đoán đúng quỹ tích, tìm được lời giải bài toán, mà còn trả lời được câu hỏi đặt ra ở đầu bài: Quỹ tích tổng bình phương là đặc biệt hóa của quỹ tích này

Người ta thường xét sự tương tự trong toán học trên các khía cạnh sau:

- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau

- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau

- Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự Chẳng hạn:

Tam giác trong hình học phẳng được xem tương tự với tứ diện trong hình học không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn được giới hạn bởi một số đường thẳng tối thiểu, còn tứ diện là hình có thể tích hữu hạn được giới hạn bởi một số mặt phẳng tối thiểu

Tính chất đường cao của tam giác tương tự với tính chất các đường cao của hình tứ diện Với ý nghĩa đó từ các đường cao, đường trung tuyến, đường

Vai trò của tương tự trong nghiên cứu khoa học đã đưa G Polya nhận định:

"Phép tương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh" 14, tr.28 Trong quá trình nghiên cứu khoa học; nhiều khi ý tưởng, giả thuyết có được nhờ sự tương tự với một kết quả đã được công nhận trước đó Đối với học sinh, tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo của người học Để giải một bài toán, chúng ta thường nghĩ về một bài toán tương tự dễ hơn

và tìm cách giải bài toán ấy Sau đó, để giải bài toán ban đầu, ta lại dùng bài toán tương tự dễ hơn đó làm mô hình

Ví dụ 4 Sau khi giải bài toán cơ bản: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt

là trọng tâm hai tam giác ABC, A’B’C’ thì 3GG'AA' BB'  CC'

Giáo viên có thể đặt câu hỏi “nếu G trùng với G’ thì sao?” qua đó hướng

cho học sinh tìm tòi lời giải và có nhận xét khá quan trọng là nếu hai tam giác

có cùng trọng tâm thì “AA'BB'CC'O” (1) Như vậy, từ đó để chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (1) là được Khi đó có thể hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán tương tự khác

Bài 1 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các

cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có

cùng trọng tâm

Bài 2 Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng

minh rằng hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

Bài 3 Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' có cùng trọng tâm G Gọi G1, G2,

G3 lần lượt là trọng tâm của tam giác BCA’, CAB’, ABC’ Chứng minh rằng

Để tìm hiểu về chủ đề vectơ trong môn toán lớp 10 THPT, chúng tôi sẽ đưa

ra một số nội dung liên quan đến không gian vectơ trên trường K , định nghĩa

không gian vectơ Ơclit, không gian Ơclit Dựa vào 19

1.2.1.1 Không gian vectơ trên trường K

a) Định nghĩa không gian vectơ trên trường K

Cho tập hợp V khác rỗng mà các phần tử được kí hiệu ,,, .và trường K mà

các phần tử được kí hiệu x, y, z, Giả sử trên V đã xác định hai phép toán:

- Phép toán trong, kí hiệu: +: V x V  V

   ,     

- Phép toán ngoài, kí hiệu: : K x V  V

(x ,)  x 

Tập hợp V với hai phép toán đó gọi là không gian vectơ trên trường K hoặc

không gian vectơ nếu 8 tiên đề sau thỏa mãn ,,  V, x, y  K

15

7) x.(y ) = (x.y)  ;

8) 1 = , trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Các phần tử của V gọi là các vectơ, các phần tử của K gọi là các vô hướng

- Phần tử 0 nói trong tiên đề 3 gọi là vectơ - không

- Phần tử ' nói trong tiên đề 4 gọi là vectơ đối của 

- Phép toán “+’’ gọi là phép cộng vectơ, phép toán “.” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng Để cho gọn, dấu “.” nhiều khi lược bỏ

b) Tính chất suy từ định nghĩa không gian vectơ trên trường K

 Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phép

Cho K – không gian vectơ V Vì V là một nhóm giao hoán đối với phép cộng

vectơ nên ta có ngay các tính chất sau:

1) Phần tử trung hoà 0 của phép cộng vectơ nói trong tiên đề 2 là duy nhất và được gọi là vectơ không

2) Phần tử đối ' nói trong tiên đề 3 là duy nhất gọi là vectơ đối của vectơ  Từ đây ta sẽ ký hiệu vectơ đối của vectơ  là - 3) Từ đó có định nghĩa   =  ( )gọi là hiệu của  và  4) Qui tắc chuyển vế:   suy ra   

5) Luật giản ước    suy ra  

16

Đối với phép nhân vô hướng ta còn có tính chất sau:

6) 0. 0, ở đây 0 là phần tử không của trường K

1

 thì  được gọi là biểu thị tuyến tính theo hệ (i ), i = 1, n

- Hệ vectơ (i ), i = 1, n, gọi là độc lập tuyến tính nếu 



n i i i x

 Hệ vectơ (i ), i = 1, n, phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có họ các hệ

số (x i ), i = 1, 2, , n, không đồng thời bằng không sao cho 



n i i i x

1

 = 0

 Nếu hệ (i ), i = 1, n, độc lập tuyến tính thì hệ (1,2 , n , ) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi  biểu thị tuyến tính theo hệ (i ), i = 1, n Ngoài ra cách biểu thị đó là duy nhất

1.2.1.3 Cơ sở, số chiều của không gian vectơ

17

a) Định nghĩa

Giả sử V là một K – không gian vectơ

1) Một hệ vectơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V

đều biểu thị tuyến tính theo hệ đó

2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K –

không gian hữu hạn sinh

3) Một hệ vectơ trong V gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V

đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó

4) V là không gian hữu hạn sinh thì V có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong V như nhau gọi là số chiều của không gian vectơ V

vectơ  V viết được một cách duy nhất dưới dạng  = 



n i i i x

   có toạ độ (x i +y i ),

 b có toạ độ (bx i)

c) Công thức đổi toạ độ

 (1), j =1, n , c ij K Nếu vectơ  có toạ độ (x i) trong cơ sở  , có tọa độ (x’ i ) trong cơ sở ' thì:

i j n j

ij x ' ) c (

j

ij x ' c

1

, i =1, n (2)

Công thức (2) gọi là công thức đổi toạ độ ứng với công thức đổi cơ sở (1)

1.2.1.5 Không gian vectơ Ơclit

Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ Ơclit nếu trên V xác định

một phép nhân vô hướng: Với hai vectơ bất kì  ,  có một số thực kí hiệu là

  , sao cho các tiên đề sau đây thoả mãn:

9) . =.;

10) .(  ). . ;

11) (k.).  k (.);

12) .  0,   = 0   = 0

Nếu tích vô hướng . bằng không, ta nói rằng hai vectơ đó vuông góc

với nhau Nếu trong không gian vectơ Ơclit V có thể tìm được nhiều nhất là n

vectơ khác 0 và đôi một vuông góc, thì số nguyên n được gọi là số chiều của

V Khi đó ta gọi V là không gian vectơ Ơclit n chiều

1.2.1.6 Không gian Ơclit

Dựa vào không gian vectơ Ơclit, ta định nghĩa không gian Ơclit

Định nghĩa

Một tập hợp E được gọi là không gian Ơclit n chiều, nếu có

19

không gian vectơ Ơclit n chiều V và một ánh xạ : E x E  V sao cho hai

tiên đề sau đây thoả mãn:

i) Với mỗi phần tử M của E và mỗi vectơ v của V có một và chỉ một

phần tử N của E sao cho (M, N) = v

ii) Với bất kì ba phần tử M, N, P ta đều có: (M, N) + (N, P) = (M, P)

Mỗi phần tử của E gọi là một điểm

Sau đó, người ta định nghĩa các khái niệm như đường thẳng, mặt phẳng, … dựa trên khái niệm không gian vectơ con, định nghĩa độ dài đoạn thẳng hay

số đo góc dựa trên khái niệm tích vô hướng, …

1.2.1.7 Vectơ trong sách giáo khoa Hình học nâng cao lớp 10

Khái niệm vectơ ở hình học 10 được xây dựng cách khác, không giống như định nghĩa không gian vectơ ở trên SGK định nghĩa vectơ là một đoạn thẳng định hướng, trang bị khái niệm hai vectơ bằng nhau để biến các vectơ

“buộc” trong định nghĩa thành các vectơ “tự do”, cuối cùng trang bị phép toán cộng hai vectơ, phép toán nhân vectơ với một số Khi đó, tập hợp các vectơ tự

do này thoả mãn 8 tiên đề của không gian vectơ

Định nghĩa

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn

thẳng, đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối

Tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ avà b Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm B và C sao cho ABa BC , b Khi đó vectơ AC được gọi

là tổng của hai vectơ  ,

c) Các định nghĩa vectơ - không, vectơ đối, hiệu của hai vectơ và các tính

chất của phép toán vectơ làm cho các vectơ trong định nghĩa này có đầy

đủ tính chất của không gian vectơ

Ngoài ra, từ định lí biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương chứng tỏ, hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng là một cơ sở của không gian vectơ kể trên, do đó không gian vectơ trong mặt phẳng là hai chiều Cuối cùng sách giáo khoa đưa ra định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ như sau

Tích vô hướng của hai vectơ a,b 

là một số, kí hiệu là a.b

 , được xác định bởi

a.b  a b cos( a,b )   

Ở đó (a,b  

) là kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b, 0  (a,b

 

)  900 Nhờ đó kiểm nghiệm được (sách giáo khoa có nêu) các vectơ còn thoả mãn thêm 4 tiên đề của không gian vectơ Ơclit (2 chiều) (xem [16])

Như vậy, Hình học nâng cao lớp 10 đã xây dựng cho học sinh một không gian vectơ “cụ thể” hơn không gian vectơ trong lí thuyết ban đầu, gần gũi với vốn hiểu biết của học sinh, giúp các em dễ dàng tiếp thu mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết

1.2.2 Tọa độ

Sách giáo khoa hình học THPT khi nghiên cứu các vấn đề liên quan đến toạ

độ chủ yếu chỉ trình bày một hệ toạ độ là hệ toạ độ Đềcác vuông góc - đặc

21

biệt là hệ toạ độ Đềcác trực chuẩn Tuy nhiên cơ sở khoa học của những vấn

đề đó là hệ toạ độ afin, các kiến thức về không gian afin ( Dựa vào 19 )

1.2.2.1 Không gian afin

a) Định nghĩa không gian afin

Cho một tập A không rỗng (phần tử của A gọi là điểm), một K - không gian vectơ V và một ánh xạ : A x A  V

(A,B)  AB sao cho

 Giữ cố định A thì ánh xạ B A  AB  V là một song ánh

 Với A, B, C  A có AB + BC = AC

Bộ ba (A, V, ) hay tập A gọi là một K - không gian afin liên kết với

không gian vectơ V bởi ánh xạ  b) Tọa độ afin trong A

Cho không gian afin A liên kết với K - không gian vectơ V Khi dim V =

i e x OM

Cho (A, V, ) là một K – không gian afin, P là một điểm thuộc A, W là một

không gian vectơ con của V Tập hợp  = {M A | PMW} gọi là phẳng

đi qua P với (không gian vectơ) chỉ phương W

Ta gọi số chiều của phẳng  là số dim = dimW Khi dim = m, ta nói

rằng  là một m – phẳng

Cho dimA = n, (O; e e 1, , ,2 en

) là hệ tọa độ afin của K – không gian afin A

 Phương trình tham số của m – phẳng 

Giả sử m – phẳng  đi qua điểm P(b 1 ; b 2; ; b n) và có không gian vectơ

chỉ phương W Trong W ta chọn một cơ sở (u u 1; 2; ;um

i ij

Ngược lại, hệ phương trình dạng đó với hạng(a ịj ) = m là phương trình

tham số của một m – phẳng trong hệ toạ độ afin cho trước trong A

 Phương trình tổng quát của m – phẳng 

Mọi m – phẳng trong K – không gian afin n chiều A với phương trình

tham số x i = i

m j j

i (**),  = m + 1, , n,

trong đó ma trận (gi ) là ma trận cỡ (n-m) x n trong K, có hạng tối đại (n-m)

Hệ phương trình g x i h

n i

23

1.2.2.3 Toạ độ trong sách giáo khoa Hình học nâng cao lớp 10

Trong sách giáo khoa hình học 10, chủ đề toạ độ được trình bày theo hướng sau xem [16.tr25] Đưa định nghĩa trục toạ độ, toạ độ của vectơ và của điểm trên trục; sau đó định nghĩa hệ trục toạ độ Đề- các vuông góc, toạ độ của vectơ, điểm đối với hệ trục toạ độ nhằm giúp học sinh thấy rõ sự tương tự

trong các không gian Ơclit một, hai chiều

Hệ trục toạ độ gồm hai trục toạ độ Ox và Oy vuông góc với nhau, vectơ đơn vị trên trục Ox, Oy lần lượt là  ,

i j Điểm O gọi là gốc toạ độ Trục Ox gọi

là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung Hệ trục toạ độ vuông góc như trên còn gọi là hệ trục toạ độ, thường kí hiệu là Oxy hay (O;  i j;

OM = (x; y) Khi đó viết M(x; y) hoặc M = (x; y) Số x gọi là hoành độ của điểm M, số y gọi là tung độ của điểm M

Thông qua vectơ, SGK tiếp tục xây dựng các khái niệm phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng, độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng, … Bằng cách định nghĩa này, tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ là một không gian afin liên kết với không gian vectơ mà học sinh được học trước đó Toạ độ của điểm trong mặt phẳng là toạ độ afin Đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ có phương trình tham số, phương trình

Khi giải một bài toán, một phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toán phải giải về một bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn sao cho nếu giải được bài toán này ta sẽ giải được bài toán đã cho (nhờ áp dụng kết quả hoặc phương pháp giải của bài toán đó) Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự có nhiều tác dụng về mặt này

Nhiều khi việc giải bài toán trong trường hợp đặc biệt chưa giúp ta giải được bài toán đã cho Điều đó vẫn cứ tốt, vì như vậy chúng ta đã giải được một phần của bài toán Đối với những bài toán đã cho, việc giải được một phần của bài toán cũng rất có giá trị

Đối với nhà trường phổ thông khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự đã thâm nhập vào mọi khâu của quá trình dạy học, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết, là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán, mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức

1.3.1 Khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự trong việc hình thành khái niệm và các tri thức lý thuyết

Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết như các định lí, tính chất, hệ thức,… Chẳng hạn,

25

bằng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự có thể đề xuất chứng minh các định lí, tính chất, hệ thức của hình học không gian từ những tính chất tương

tự của hình học phẳng

Ví dụ 5 Từ bài toán trong hình học phẳng: Cho tam giác OBC, trên OB, OC

lấy lần lượt các điểm B1, C1 Chứng minh rằng 1 1 1 1

OB C OBC

S  OB OC

Ta có thể phát triển bài toán này theo hướng: Xem cạnh BC là suy biến của một tam giác ABC có đỉnh A nằm trên cạnh BC, khi đó B1C1 cũng là một

tam giác suy biến với đỉnh A nằm trên cạnh B1C1trong không gian 3 chiều

Từ đó ta có thể mở rộng bài toán cho không gian ba chiều với bài toán sau:

Cho hình chóp tam giác OABC, trên OA, OB, OC lấy lần lượt các điểm A1,

B1, C1 Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1

OA B C OABC

áp dụng kết quả bài toán tương tự đó để giải bài toán ban đầu không?

26

Ví dụ 6 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với x, y, z là 3 số thực tùy ý,

ta có:

x2 y2z2 2xycosB2yzcosC2zxcosA (1)

Trước hết giáo viên có thể gợi ý học sinh xét trường hợp đặc biệt: x = y= z=1

Khi đó ta có (1) cos cos cos 3

2

Từ đó, yêu cầu học sinh chứng minh (2)

Lấy các vectơ đơn vị e1; e2; e3 có gốc đặt lần lượt tạo A; B; C như hình vẽ

Ta có: |e1| | e2| | e3| 1

Khi đó

e e 1; 2   B ; e e 2; 3   C ; e e 3; 1   C Hiển nhiên ta có

 2

e e e 

 3 2  cose e 1; 2 2cose e 2; 3 2cose e 3; 1 0

 3  (  2 )(cosB cosC cosA)  0

2

3 cos cos

Bài toán G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB   GC0

chứng minh cho bài toán sau, qua việc biểu thị một vectơ qua hai vectơ khác

Bài toán 1 Cho ABC, M thuộc miền trong tam giác Gọi S1, S2, S3 lần lƣợt là

diện tích các tam giác MBC, MAC, MAB

A

B

C M

G

Hình 1.9

Thực ra đây là một dạng khác của định lý và tổng quát hơn Khi ta nhìn nó

dưới góc độ “diện tích tam giác” Thế mà rất nhiều học sinh khá, giỏi khi gặp

bài này hầu như không làm được, không biết bắt nguồn từ đâu, cái mấu chốt của

nó, ở đây người giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh để "quy lạ về quen"

29

Nhận xét 2 Ở bài toán 1 kết quả không phụ thuộc vào điểm M, nếu ta thay M bởi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì học sinh có thể sử dụng

bài toán 1 để giải bài toán sau:

Bài toán 2 Cho ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC

Đặt BC = c, BC = a, CA = b Chứng minh rằng aIAbIBcIC0 (2)

Hướng dẫn: Áp dụng bài toán 1, ta có:

Nhận xét 3 Nếu ta nhìn các cạnh dưới "góc độ" góc, thì ta lại có bài toán sau

Bài toán 3 Cho ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Đặt AB = c,

BC = a, CA = b Chứng minh rằng: IAsin AIB sin BIC sinC0

Nhận xét 4 Ta thấy vị trí M thuộc miền trong tam giác, vậy ABC nhọn thì

tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC thuộc miền trong Do đó, ta có bài toán mới

Bài toán 4 Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh rằng:

Nhận xét 5 Từ kết quả bài toán 2, nếu ta bình phương vô hướng (2) khi đó xuất hiện

I

Hình 1.11

30

Bài toán 5 Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Gọi I là tâm đường

tròn nội tiếp ABC Chứng minh rằng: IA2  IB2  IC2 1

( ) (aIA bIB cIC)

a IA b IB c IC cbIA.IB caIC.IA abIA.IB

 (a2 + ab + ac) IA2 + (b2 + ba + bc) IB2 + (c2 + ca + cb) IC2 - abc(a + b + c) = 0

 a(a + b + c) IA2 + b(a + b + c) IB2 + c(a + b + c) IC2 = abc (a + b + c)

 aIA2 + bIB2 + cIC2 = abc

(aMA bMB cMC)  0 và biến đổi hoàn toàn tương tự như bài toán 5, ta

suy ra aMA2 + bMB2 + cMC2 abc (***)

Dễ thấy dấu "=" xảy ra  M  I Từ đó ta có thể vận dụng giải bài toán sau:

Bài toán 6 Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng

tồn tại duy nhất điểm M sao cho aMA2

+ bMB2 + cMC2  abc (6)

Hướng dẫn Từ (***) và (6)  aMA2 + bMB2 + cMC2 = abc  M  I, với I

là tâm đường tròn nội tiếp ABC Vậy M duy nhất

Nhận xét 7 Cũng bài toán 6, ta có thể phát biểu dưới dạng khác Nhằm rèn

luyện tư duy sáng tạo trong Toán học cho học sinh từ đó biết quy lạ về quen sau

31

Bài toán 7 Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c

Tìm vị trí M sao cho P = aMA2

+ bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Nhận xét 8 Qua dạng bài toán trên, nếu biết vận dụng linh hoạt kết hợp các

bài toán lại, thì ta có thể vận dụng giải các bài toán tương tự sau, nhưng ở mức độ cao hơn

Bài toán 8 Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đường tròn

(O; 1) Chứng minh rằng với mọi M ta luôn có

a2(b2 + c2 - a2) MA + b2 (c2 + a2 - b2) MB + c2 (a2 + b2 - c2) MC  a2b2c2

Giải Theo bài toán 4, ta có OAsin A 2 OB sin B 2 OC sin C 2 0.Và

OA = OB = OC = 1, a = 2RsinA = 2sinA, b = 2sinB, c = 2sinC

 MA = OA MA = OA MA   OA.MA  OA(OAOM) (1  OA.OM) (****) Dấu bằng xảy ra của (****) khi và chỉ khi OA, MA cùng hướng  

Ta có: a2 (b2 + c2 - a2) MA = 2abc.sin2A MA  2abc.sin2A(1 -  

tương tự cho 2 trường hợp còn lại Ta suy ra

VT  2abc (sin2A + sin2B + sin2C) - 2abc OM OA ( sin 2AOBsin 2BOCsin 2 )C

= 2abc 4sinA sinB sinC = a2b2c2 Cái mấu chốt của bài toán này, là xuất hiện a2(b2 + c2 - a2) = 2abc cosA.sinA, O là tâm

đường tròn ngoại tiếp ABC nhọn Do đó, ta liên tưởng và vận dụng Bài toán 4

Nhận xét 9 Từ bài toán trên có sự xuất hiện a2

(b2 + c2 - a2) khi đó ta nghĩ ngay

đến cosA … Do vậy, nếu biết kết hợp với cách giải bài toán 1, ta có thể vận

dụng giải bài toán sau

Bài toán 9 Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Gọi H là trực tâm ABC

32

Kéo dài AH, BH cắt BC, AC lần lượt tại A1, B1

Dựng hình bình hành HB'CA', trong đó MB' và MA'

lần lượt nằm trên HA1 và HB1 kéo dài

phát minh trong toán học sơ cấp cũng như toán học cao cấp

Ở nhà trường phổ thông, trong dạy học giải bài tập, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm ra lời giải của bài toán; mở rộng đào sâu, hệ thống hóa kiến thức Với ý nghĩa là các phương pháp suy nghĩ sáng tạo, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh giúp họ làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học, góp phần đào tạo và bồi dưỡng năng khiếu toán học nói chung và lĩnh vực giải các bài toán về vectơ và hệ thức lượng trong tam giác nói riêng

33

CHƯƠNG 2 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC KHÁI QUÁT HÓA, ĐẶC BIỆT HÓA, TƯƠNG TỰ CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TẬP TRONG

HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 10 (chương I và chương II)

2.1 Vị trí và chức năng của bài tập Toán học

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy dạy bài tập toán có vị trí quan trọng trong dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác nhau thể hiện ở các

chức năng:

1) Chức năng dạy học:

- Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề lý thuyết

đã học Qua đó học sinh hiểu sâu hơn và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống cụ thể

- Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì lý do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

2) Chức năng giáo dục:

Qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

3) Chức năng phát triển:

Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tụê, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học 4) Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát trển của học sinh

34

2.2 Vai trò của việc giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10

Hình học nâng cao lớp 10 (Chương I và II), học sinh được học khái niệm vectơ và các phép toán về vectơ Với công cụ vectơ, học sinh sẽ tập làm quen với với việc nghiên cứu hình học phẳng bằng một phương pháp khác, gọn gàng, có hiệu quả và mang tầm khái quát cao Ngoài ra vectơ còn được dùng

để biểu diễn các đại lượng có hướng trong vật lý như lực vận tốc, gia tốc, làm cho Toán học gắn với thực tế đời sống và sản xuất, đồng thời phục vụ

các môn học khác

Việc giải bài tập trong Hình học nâng cao lớp 10 giúp học sinh mở rộng kiến thức của mình, giúp học sinh sớm tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại mang tính khoa học cao, giúp học sinh có thêm những công cụ mới

để suy luận và tư duy một cách chặt chẽ và chính xác, tránh được các hiểu lầm do trực quan mang tới

2.3 Dạy học phương pháp giải bài tập Toán

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với mọi học sinh Có thể chia bài tập toán học ra làm hai

loại:

a) Loại có sẵn thuật toán

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học rèn luyện kỹ

năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn Yêu

cầu cho học sinh là

- Nắm vững quy tắc giải đã học

- Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

b) Loại chưa có sẵn thuật toán

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong

35

học tập của học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn

thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy

nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán

Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập

- Lời giải không có sai lầm Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

2.4 Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự để tìm lời giải của bài tập Toán

Việc giải bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các trường hợp khác nhau của nó, chia bài toán lớn thành nhiều bài toán nhỏ, giải các bài toán nhỏ và kết hợp lại thành bài toán lớn Trong nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rồi

tổng hợp lại để từ đó rút ra cách giải

Về bản chất, hoạt động phân tích các giả thiết của bài toán, kết luận của bài toán nhằm tách bài toán đó thành một chuỗi hữu hạn các bài toán nhỏ đã biết cách giải Hoặc bài toán được chuyển thành bài toán khác đã biết cách giải

Ví dụ 7 Cho trước một mặt cầu Tìm quỹ tích những điểm mà từ đó có thể

kẻ được ba tiếp tuyến đôi một vuông góc với nhau

36

Trước hết yêu cầu học sinh phát biểu và chứng minh bài toán tương tự trong

mặt phẳng: "Cho đường tròn (O, R) Tìm quỹ tích những điểm trong mặt

phẳng mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau".Dễ thấy

kết quả của bài toán sau là đường tròn tâm O, bán kính R 2 Dựa vào sự tương tự với kết quả trong Hình học phẳng, học sinh dễ dàng đưa

ra dự đoán: Quỹ tích là mặt cầu đồng tâm với mặt cầu cho trước Giáo viên

cho học sinh xác minh điều đó:

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vì MA = MB = MC và MA  MB, MB  MC, và MC  MA nên MO vuông

góc với mặt phẳng (ABC) tại I, và AB = BC = CA (AMB = BMC = CMA)

Từ đó ta có AI  MO (vì MO  (ABC)) và AI  BC (vì ABC đều)

Ta giả sử rằng MA = MB = MC = a, OA = R Khi đó:

Trong tam giác vuông cân MAB có: AB = MA 2 a 2;

Trong tam giác đều ABC có: AI = 2 2 3 6

Ví dụ 8 Cho 2 điểm A, B phân biệt

a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm G sao cho GA GB  0b) Với M ta có MA MB2MG

Giải:

a) Từ đẳng thức GA GB  0  GA GB Đẳng thức này chứng tỏ G tồn tại duy nhất, chính là trung điểm AB

Bài toán 1 Cho ABC

a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho GA GB   GC0 b) Với M, MA  MBMC3MG

Bài toán 2 Cho tứ giác ABCD

a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho

0

GA GB    GCGD b) Với M, MA   MBMCMD4MG

Bài toán 3 Ta có bài toán tổng quát sau: Cho n điểm A1, A2, ,A n , n > 2

a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho :

1

0

n i i

MA n MG





 

Bài toán 4 Cho 2 điểm phân biệt A, B và hai số thực , thoả mãn  +  0, thì

a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho IAIB0 b) Với M, MAMB(  )MI