Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học không gian lớp 11 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤCPHẠM VIẾT SƠN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG P

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM VIẾT SƠN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2013

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM VIẾT SƠN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

MÃ SỐ: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Hồng Minh

HÀ NỘI – 2013

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

LỜI CẢM ƠN

Với tất cả tình cảm của mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo và đặc biệt là các thầy cô giáo là cán bộ của trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà nội đã nhiệt tình, tận tâm giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS NGUYỄN THỊ HỒNG MINH, cô đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình tác giả trong suốt quá trình làm luận văn Xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo trong tổ Toán và các em học sinh lớp 11B2, 11B3, 11B4, 11B5 trường THPT Thụy Hương, Hải Phòng đã giúp đỡ tác giả thực hiện các thực nghiệm sư phạm của mình

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện tốt nhất để giúp tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù rất cố gắng song bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả rất mong được sự chỉ dẫn, đóng góp ý kiến quý báu của các thấy cô giáo, các nhà khoa học, các bạn đồng nghiệp và những người quan tâm đến vấn đề nêu trong luận văn này để luận văn được hoàn thiện và có giá trị thực tiễn hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hải Phòng, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Phạm Viết Sơn

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục bảng, sơ đồ v

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU……….5

1.1 Năng lực 5

1.2 Các nhóm năng lực cá nhân 5

1.3 Các thành phần cấu trúc của năng lực 8

1.4 Nội dung và PPDH theo quan điểm phát triển năng lực 10

1.5 Kết luận chương 1 11

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH………13

2.1 Phát triển năng lực thông qua kỹ năng giải các dạng toán 14

2.1.1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 15

2.1.2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 16

2.1.3 Chứng minh hai đường thẳng song song 19

2.1.4 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng 21

2.1.5 Chứng minh hai mặt phẳng song song 24

2.1.6 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 27

2.1.7 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 28

2.1.8 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau 29

2.1.9 Xác định góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng 31

2.1.11 Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 34

2.1.12 Xác định khoảng cách 37

2.1.13 Xác định thể tích khối đa diện 39

2.1.14 Xác định diện tích hình tròn xoay – Thể tích khối tròn xoay 41

2.2 Biện pháp để phát triển năng lực giải toán hình học không gian cho học sinh 43 2.2.1 Phát triển kỹ năng thông qua các dạng toán cơ bản 43

2.2.2 Xây dựng hệ thống bài tập 44

2.2.3 Tổ chức hoạt động cho học sinh tham gia thảo luận nhóm, làm bài tập nhóm

51

2.3 Kết luận chương 2 52

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 53

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 53

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 53

3.3 Nội dung thực nghiệm 53

3.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm 53

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm, phân tích, đánh giá 54

3.6 Kết luận chương 3 63

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 64

1 Kết luận 64

2 Khuyến nghị 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 66

PHỤ LỤC……….68

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: So sánh kết quả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng qua lần

kiểm tra thứ nhất trong thực nghiệm 57 Bảng 3.2: So sánh kết quả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng qua lần

kiểm tra thứ 2 trong thực nghiệm: 59 Bảng 3.3: So sánh kết quả lớp thực nghiệm và lớp đối chứng qua lần

kiểm tra thứ 3 trong thực nghiệm: 62

DANH MỤC SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1 Các thành phần cấu trúc năng lực 9

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Với nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong từng tình huống công việc Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát triển năng lực học tập cho học sinh ở các trường phổ thông của người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và phát triển cho họ năng lực, kỹ năng học tập Thế nhưng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay cho thấy chất lượng nắm vững kiến thức của học sinh không cao, đặc biệt kỹ năng, năng lực giải quyết vấn đề không được chú ý rèn luyện đúng mức Từ thực tế đó, nhiệm vụ cấp thiết đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, sử dụng các phương pháp dạy học tích cực để bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng, năng lực giải quyết vấn đề

Để làm được điều này, với lượng kiến thức và thời gian được phân phối cho môn Toán bậc trung học phổ thông, mỗi giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp thì mới có thể truyền tải được tối đa kiến thức cho học sinh , không những đáp ứng cho môn học mà còn áp dụng được kiến thức đã học vào khoa học khác và chuyển tiếp lên bậc học cao hơn sau này

Trong toán học, hình học vốn đã hấp dẫn học sinh bởi tính trực quan của nó Chúng ta không thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của hình học trong việc rèn luyện tư duy toán học, một phẩm chất rất cần thiết cho hoạt động sáng tạo của con người Tuy nhiên học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó khăn riêng của mình, nguyên nhân của những khó khăn đó là:

- Học sinh chưa nẵm vững các khái niệm cơ bản, các định lý, tính chất của hình đã học Một số học sinh không biết cách vận dụng các kiến thức ấy như thế nào vào việc giải bài tập

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

- Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống đầy đủ các kiến thức

cơ bản nhưng chưa thể chuyền tải các kiến thức đó đến các em một cách sâu đậm nếu không có bàn tay chế biến của người giáo viên Hơn nữa, khi học sinh phải tiếp xúc với các bài toán, các chuyên đề toán nâng cao, mà người giáo viên chưa kịp trang bị đủ các kỹ năng cần thiết để giải toán thì sẽ rất dễ dẫn đến tâm lý chán nản, buông xuôi ở nhiều học sinh

- Đối với môn hình học, ngoài các bài toán về hình học phẳng, còn có các bài toán về hình học không gian Đối với các bài toán hình học không gian có rất nhiều con đường dẫn đến đích, trong đó có những cách giải ngắn gọn, hợp lý, độc đáo và sáng tạo Các bài toán còn gắn toán học với thực tiễn bởi đời sống và trong lao động sản xuất các hình khối của các vật thể xung quanh chúng ta Song việc giải các bài toán hình học không gian thường làm cho học sinh lúng túng, khó khăn, không biết nên bắt đầu từ đâu và giải quyết như thế nào, dẫn đến nảy sinh tâm lý ngại học môn hình học

Xuất phát từ những vấn đề nêu trên và giúp học sinh có những định hướng chung ban đầu khi gặp những bài toán về hình học không gian, chúng tôi đã chọn

nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực giải toán hình học không gian cho học

sinh lớp 11 trung học phổ thông” để dạy và học môn hình học không gian được

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các cơ sở lý luận về năng lực giải toán, quá trình rèn luyện và phát triển các loại năng lực này ở bậc trung học phổ thông

- Hệ thống các bài tập ứng dụng và hướng dẫn để học sinh có cơ hội phát triển năng lực

- Thực hành giảng dạy trên các lớp đã được chọn làm mẫu khảo sát

- Qua thực nghiệm, kiểm tra đánh giá, rút ra bài học thực tế, tính khả thi để

áp dụng vào giảng dạy ở bậc trung học phổ thông

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Học sinh và giáo viên dạy môn toán trường THPT Thụy Hương, Huyện Kiến Thụy, Thành Phố Hải Phòng

- Đối tượng nghiên cứu: Trên cơ sở phân loại về năng lực giải toán, áp dụng vào nội dung hình học không gian lớp 11 trung học phổ thông Từ đó phân loại và phát triển hệ thống bài tập hình học không gian

Đi sâu vào ứng dụng cơ sở lý luận phát triển năng lực giải toán, gợi động

cơ hứng thú học tập cho học sinh qua nội dụng luận văn

5 Vấn đề nghiên cứu

Đề tài tập trung vào nghiên cứu hai vấn đề cơ bản sau:

- Phát triển năng lực giải toán cho học sinh là thế nào?

- Xây dựng hệ thống bài tập về hình học không gian như thế nào để phát triển năng lực giải toán cho học sinh?

6 Giả thuyết khoa học

Với nội dung toán học được lựa chọn và các biện pháp sư phạm đã đề xuất trong luận văn, qua kiểm tra bước đầu trong thực tiễn, có thể tin rằng đề tài góp phần nâng cao trình độ nhận thức của học sinh, khơi dậy hứng thú học tập, phát huy được năng lực giải toán hình học không gian, tích cực học tập của học sinh trung học phổ thông Trang bị cho học sinh trung học phổ thông các dạng năng lực cũng như các phương pháp giải toán hình học không gian một cách hiệu quả

7 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

- Nội dung chương trình sách giáo khoa toán hình học không gian lớp 11 ban cơ bản

- Học sinh lớp 11 và giáo viên dạy môn toán trường trung học phổ thông Thụy Hương – Hải Phòng

8 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Ý nghĩa lý luận:

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Tổng kết thực tiễn việc phát triển năng lực giải toán hình học không gian cho học sinh phổ thông, chỉ ra những thành tựu và mặt hạn chế để xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng

- Ý nghĩa thực tiễn:

Kết quả nghiên cứu về phát triển năng lực giải toán hình học không gian có thể được áp dụng cho các trường trung học phổ thông khác trong cả nước Nó còn

có giá trị tham khảo cho các nghiên cứu sau này

9 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Dựa vào những tài liệu có sẵn,

những văn kiện của Đảng và Nhà nước về các vấn đề liên quan đến giáo dục như: thực trạng giáo dục, chương trình đổi mới sách giáo khoa, cách thức vận dụng và đổi mới các phương pháp dạy học hiện nay…

- Nhóm phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm giảng

dạy với các đồng nghiệp trong trường và các đồng nghiệp ở các trường khác

Tham khảo ý kiến của các giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy toán ở bậc trung học phổ thông

Tiếp thu và nghiên cứu ý kiến của giảng viên hướng dẫn, các chuyên gia về

10 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn dự kiến được trình bày theo 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập hình học không gian lớp 11 trung học phổ thông và biện pháp nhằm phát triển năng lực giải toán của học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Năng lực (Competence) nói lên người đó có thể làm được gì, làm đến mức

nào, làm với chất lượng ra sao Thông thường người ta còn gọi là khả năng hay

“tài” [10, tr 65] Năng lực là một trong 3 thành tố tạo lên cấu trúc nhân cách (cùng với xu hướng, tính cách và khí chất) Do là một thành tố của nhân cách nên năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố: bẩm sinh di truyền, hoàn cảnh sống, sự giáo dục

và hoạt động của cá nhân Như vậy, cũng có thể hiểu năng lực là tổ hợp của các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả Năng lực là một trong những chỉ số cụ

thể để so sánh nhân cách này với nhân cách khác

Năng lực cá nhân là nền tảng cho bất kỳ cá nhân nào trong xã hội Mỗi một

cá nhân tại bất kỳ ngành nghề hay lĩnh vực nào đều cần có kiến thức, thái độ và kỹ năng Mỗi cá nhân sẽ có các yếu tố trên tại các mức độ khác nhau tùy vào trình độ học vấn, nguồn lực cá nhân, hoàn cảnh môi trường và yếu tố quan trọng nhất đó là các năng lực cá nhân

Như vậy năng lực là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện được

một dạng hoạt động nào đó

1.2 Các nhóm năng lực cá nhân

Các năng lực cá nhân được hiểu là những tố chất hay những khả năng thiên phú của mỗi cá nhân có được Các năng lực cá nhân này sẽ giúp cho mỗi cá nhân có được những kiến thức tốt hơn, thái độ tốt hơn và những kỹ năng hoàn thiện hơn

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

trong giai đoạn học tập và làm việc sau này Một cách thực dụng, các cha mẹ có thể quan sát và phân loại những năng lực giúp cho con mình có thể phát triển nghề nghiệp hiệu quả thông qua các nhóm năng lực sau

Nhóm năng lực về kiến thức: Năng lực này giúp cho các em học sinh có thể nắm vững kiến thức một cách nhanh chóng Các em học sinh theo học các ngành tự nhiên cần có năng lực thực hiện tính toán hoặc tư duy logic Năng lực tư duy không gian ba chiều thể hiện qua các trò chơi xếp hình hoặc nặn tượng có thể là chỉ dấu nghề nghiệp nghệ thuật của các em nhỏ từ rất sớm Năng lực ghi nhớ nhanh

có thể tạo điều kiện cho các em theo các ngành như kinh tế, nghệ thuật hay luật sư

Nhóm năng lực về kỹ năng: Năng lực này giúp cho các em học sinh có thể thực hiện các công việc nhanh chóng và hoàn hảo hơn các bạn cùng trang lứa Các

em có thể có khả năng khéo léo bàn tay thường phù hợp với các nghề hơn là các công việc văn phòng Năng lực đối đáp trong hàng ngày tạo điều kiện cho các em trong những ngành liên quan tới hùng biện như bán hàng, luật sư, tư vấn tâm lý Năng lực đọc nhanh có thể giúp các em thăng tiến nhanh trong môi trường khoa học

và kỹ thuật

Nhóm năng lực về thái độ: nhóm năng lực về thái độ trong cuộc sống thường được gọi là tính tình của học sinh Các em học sinh có thái độ cạnh tranh cao trong công việc có thể phù hợp với vị trí lãnh đạo Các em học sinh có thái độ hòa nhã khoan dung có thể trở thành những người giảng viên hoặc chuyên viên kỹ thuật Nhóm năng lực thái độ này bị ảnh hưởng nhiều từ cuộc sống, gia đình, nhà trường và các biến cố trong gia đình

Khi nói tới năng lực cá nhân, các phụ huynh cần chú ý tới tính chất tự nhiên của các năng lực này Một em học sinh có thể học khá về toán nhưng chưa chắc có năng lực cá nhân về toán tốt Lý do em học khá về toán nhờ gia đình cho đi học thêm và đầu tư nhiều hơn các bạn khác Để có thể nhận biết năng lực cá nhân một cách chính xác, các phụ huynh cần quan sát và ghi nhận các biểu hiện trong những hoàn cảnh tự nhiên của các em Một bạn học sinh khi ứng đối nhanh nhẹn với nhóm bạn của mình đang thể hiện tố chất tiềm năng của một quản lý Một bạn học sinh đứng ra sửa chữa rất nhanh chiếc xe đạp hỏng của bạn bè thể hiện năng lực khéo léo chân tay và am hiểu máy móc Các năng lực cá nhân tự nhiên của các em học sinh

có thể được phát hiện qua gia đình, lớp học, các tình huống trong cuộc sống, giao tiếp vui chơi với bạn bè hoặc thông qua các bài test (kiểm tra) về chuyên môn Các năng lực cá nhân này có thể được phát hiện qua các chương trình học hè hoặc bồi dưỡng

Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực có thể coi là một tên gọi khác hay một mô hình cụ thể hoá của chương trình định hướng kết quả đầu ra, một công cụ để thực hiện giáo dục định hướng điều khiển đầu ra

Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, mục tiêu dạy học của chương trình được mô tả thông qua các nhóm năng lực Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng La tinh “competentia” Ngày nay khái niệm năng lực được hiểu nhiều nghĩa khác nhau Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công việc Khái niệm năng lực được dùng ở đây là đối tượng của tâm lý, giáo dục học Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực Năng lực là một thuộc tính tâm lý phức hợp, là điểm hội tụ của nhiều yếu tố như tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kinh nghiệm, sự sẵn sàng hành động và trách nhiệm

a) Khái niệm năng lực gắn liền với khả năng hành động Năng lực hành động

là một loại năng lực, nhưng khi nói phát triển năng lực người ta cũng hiểu đồng thời

là phát triển năng lực hành động Chính vì vậy trong lĩnh vực sư phạm nghề, năng lực còn được hiểu là: khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động

Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm năng lực được sử dụng như sau:

+ Năng lực liên quan đến bình diện mục tiêu của dạy học: mục tiêu dạy học được

mô tả thông qua các năng lực cần hình thành

+ Trong chương trình, những nội dung học tập và hoạt động cơ bản được liên kết với nhau nhằm hình thành các năng lực

+ Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng, mong muốn

+ Mục tiêu hình thành năng lực định hướng cho việc lựa chọn, đánh giá mức độ

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

quan trọng của cấu trúc hóa các nội dung và hoạt động dạy học về mặt phương pháp

+ Năng lực mô tả việc giải quyết những đòi hỏi về nội dung trong các tình huống + Các năng lực chung cùng với các năng lực chuyên môn tạo thành nền tảng chung cho công việc giáo dục và dạy học

+ Mức độ đối với sự phát triển năng lực có thể được xác định trong các tiêu chuẩn nghề Đến một thời điểm nhất định nào đó, học sinh có thể phải đạt được những gì?

b Mô hình cấu trúc năng lực Trước hết năng lực được định nghĩa theo rất nhiều cách khác nhau, tuỳ thuộc vào bối cảnh và mục đích sử dụng những năng lực

đó Các năng lực còn là những đòi hỏi của các công việc, các nhiệm vụ, và các vai trò vị trí công việc Vì vậy, các năng lực được xem như là những phẩm chất tiềm tàng của một cá nhân và những đòi hỏi của công việc Từ hiểu biết về năng lực như vậy, ta có thể thấy các nhà nghiên cứu trên thế giới đã sử dụng những mô hình năng lực khác nhau trong tiếp cận của mình:

+ Mô hình dựa trên cơ sở tính cách và hành vi của cá nhân theo đuổi cách xác định “con người cần phải như thế nào để thực hiện được các vai trò của mình”

+ Mô hình dựa trên cơ sở các kiến thức hiểu biết và các kỹ năng được đòi hỏi theo đuổi việc xác định “con người cần phải có những kiến thức và kỹ năng gì” để thực hiện tốt vai trò của mình

+ Mô hình dựa trên các kết quả và tiêu chuẩn đầu ra theo đuổi việc xác định con người “cần phải đạt được những gì ở nơi làm việc”

Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng Có nhiều loại năng lực khác nhau Việc mô tả cấu trúc và các thành phần năng lực cũng khác nhau

Theo quan điểm của các nhà sư phạm nghề Đức, cấu trúc chung của năng lực hành động được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần sau:

1.3 Các thành phần cấu trúc của năng lực

Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng thực hiện các

nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn Trong đó bao gồm cả khả năng tư duy lôgic, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khả năng nhận biết các

mối quan hệ hệ thống và quá trình Năng lực chuyên môn hiểu theo nghĩa hẹp là năng lực “nội dung chuyên môn”, theo nghĩa rộng bao gồm cả năng lực phương pháp chuyên môn

Năng lực phương pháp (Methodical competency): Là khả năng đối với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chung và phương pháp chuyên môn Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức

Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt được mục đích trong

những tình huống xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau với sự phối hợp chặt chẽ của những thành viên khác

Năng lực cá thể (Induvidual competency): Là khả năng xác định, đánh giá được những cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhân, phát triển năng khiếu

cá nhân, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các ứng xử và hành vi

Mô hình cấu trúc năng lực trên đây có thể cụ thể hoá trong từng lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực nghề nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau Ví dụ năng lực của giáo viên bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học, năng lực giáo dục, năng lực chẩn đoán và tư vấn, năng lực phát triển nghề nghiệp và phát triển trường học

Từ cấu trúc của khái niệm năng lực cho thấy giáo dục định hướng phát triển năng lực không chỉ nhằm mục tiêu phát triển năng lực chuyên môn bao gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn mà còn phát triển năng lực phương pháp, năng lực xã hội

và năng lực cá thể Những năng lực này không tách rời nhau mà có mối quan hệ

Năng lực cá thể Năng lực chuyên

môn

Năng lực phương pháp

Năng lực

xã hội

Sơ đồ 1.1 Các thành phần cấu trúc năng lực Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

chặt chẽ Năng lực hành động được hình thành trên cơ sở có sự kết hợp các năng lực này

OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) – Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế là tổ chức tập hợp các chính phủ từ 30 quốc gia phát triển trên thế giới Mô hình năng lực theo OECD: Trong các chương trình dạy học hiện nay của các nước thuộc OECD, người ta cũng sử dụng mô hình năng lực đơn giản hơn, phân chia năng lực thành hai nhóm chính, đó là các năng lực chung và các năng lực chuyên môn

- Nhóm năng lực chung bao gồm:

+ Khả năng hành động độc lập

+ Khả năng sử dụng các công cụ giao tiếp và công cụ tri thức một cách tự chủ + Khả năng hành động thành công trong các nhóm xã hội không đồng nhất

- Năng lực chuyên môn: Liên quan đến từng môn học riêng biệt Ví dụ nhóm năng

lực chuyên môn trong môn Toán bao gồm các năng lực sau đây:

+ Giải quyết các vấn đề toán học;

+ Lập luận toán học;

+ Mô hình hóa toán học;

+ Giao tiếp toán học;

+ Tranh luận về các nội dung toán học;

+ Vận dụng các cách trình bày toán học;

+ Sử dụng các ký hiệu, công thức, các yêu tố thuật toán

Ở Việt Nam từ năm 2008 trong lĩnh vực dạy nghề đã tiến hành nghiên cứu

và ban hành các tiêu chuẩn năng lực nghề trên cơ sở phân tích nghề, từ đó thiết kế chương trình khung hoặc chương trình đào tạo chi tiết

1.4 Nội dung và PPDH theo quan điểm phát triển năng lực

Nội dung dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ giới hạn

trong tri thức và kỹ năng chuyên môn mà gồm những nhóm nội dung nhằm phát triển các lĩnh vực năng lực

Phương pháp dạy học theo quan điểm phát triển năng lực không chỉ chú ý

tích cực hoá học sinh về hoạt động trí tuệ mà còn chú ý rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề gắn với những tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp, đồng thời

gắn hoạt động trí tuệ với hoạt động thực hành, thực tiễn Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên- học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội Bên cạnh việc học tập những tri thức và

kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề học tập phức hợp nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức hợp

Theo quan điểm phát triển năng lực, việc đánh giá kết quả học tập không lấy việc kiểm tra khả năng tái hiện kiến thức đã học làm trung tâm của việc đánh giá Đánh giá kết quả học tập cần chú trọng khả năng vận dụng sáng tạo tri thức trong những tình huống ứng dụng khác nhau

Năng lực toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là các đặc điểm

của hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc hiểu và vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo toán học một cách nhanh chóng, dễ dàng, chính xác và sáng tạo Năng lực toán học của một cá nhân thường được nhận biết và đánh giá dựa trên các khả năng của cá nhân về: khái quát hóa, trừu tượng hóa, tưởng tượng không gian, tư duy lôgíc và mềm dẻo, trí nhớ, khả năng tập trung chú ý khi tiếp thu các vấn đề mới, khả năng rút gọn quá trình suy luận, Khi giải toán, các năng lực toán học bộc lộ rõ nhất và cũng chính hoạt động này đòi hỏi nhiều nhất các phẩm chất toán học của cá nhân

Như vậy năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học Các kỹ năng của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có) Các hoạt động toán học đó là các thao tác đặc trưng (phân tích, suy luận, lập luận, chứng minh,…) với các đối tượng, nội dung toán học

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương này, luận văn đã làm rõ các khải niệm năng lực, các nhóm năng lực cá nhân, các thành phần của năng lực, nội dung và phương pháp dạy học theo quan điểm phát triển năng lực nhằm bồi dưỡng khả năng giải toán của học sinh Phát triển năng lực giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông thông qua quá trình dạy học giải bài tập hình học là rất cần thiết, qua

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

đó chúng ta giúp cho học sinh chủ động, tích cực hơn trong học tập và trong cuộc sống

Phát triển năng lực giải toán hình học cho học sinh lớp 11 là rất cần thiết vì đây là nội dung vừa khó và vừa đòi hỏi học sinh phải có tư duy trừu tượng, óc quan sát tốt

Như vậy, trong quá trình dạy học, mỗi giáo viên cần tìm ra các biện pháp nhằm rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua kĩ năng giải các dạng toán

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VÀ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG

LỰC GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH

Để học sinh có thể tích cực, chủ động và sáng tạo trong học tập, người giáo viên cần tạo ra không khí giao tiếp thuận lợi giữa thầy và trò, giữa trò và trò bằng cách tổ chức và điều khiển hợp lí các hoạt động của từng cá nhân và tập thể học sinh Tốt nhất là tổ chức những tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược Những tình huống đó cần phù hợp với trình độ học sinh Một nội dung quá dễ hoặc quá khó sẽ không gây được hứng thú Người thầy cần biết dẫn dắt học sinh luôn luôn tìm thấy cái mới, có thể tự dành lấy kiến thức, luôn cảm thấy mình mỗi ngày một trưởng thành Để học tập sáng tạo cần tạo tình huống chứa một số điều kiện xuất phát, từ đó giáo viên yêu cầu học sinh đề xuất càng nhiều giải pháp càng tốt, càng tối ưu càng tốt Kỹ năng giải toán

là cái đích cần đạt được Muốn đạt được điều đó, cần chú trọng để học sinh tự lực khám phá kiến thức mới, dạy cho các em phương pháp học mà cốt lõi là phương pháp tự học Chính qua các hoạt động tự lực, được giao cho từng cá nhân hoặc cho nhóm nhỏ mà kỹ năng giải toán của mỗi học sinh được bộc lộ và phát huy

Phát triển năng lực giải toán của học sinh dựa trên một số đặc điểm sau: + Môn toán là môn có tính trừu tượng cao, tính thực tiễn phổ dụng cùng với tính lôgic và tính thực nghiệm Với tính tò mò, ham hiểu biết của rất nhiều học sinh thì những câu hỏi “vì sao?”, “tại sao?”, “làm thế nào?”, “bằng cách nào?” luôn xuất hiện đòi hỏi người học phải tìm hiểu, khám phá, trinh phục thử thách

+ Việc dạy học và học Toán góp phần phát triển năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khải quát hóa, rèn luyện những đức tính, những phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ, Những đặc điểm này sẽ giúp học sinh huy động và vận dụng được trong quá trình khám phá kiến thức, hình thành kỹ năng

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

+ Môn toán trung học phổ thông cung cấp một cách có hệ thống và tương đối hoàn chỉnh về kiến thức, kỹ năng, phương pháp tư duy Môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học khác Thông qua học Toán, học sinh được phát triển tư duy nhìn nhận sự vật, hiện tượng, các mối quan hệ giữa con người với nhau theo quy luật Hơn nữa thông qua môn Toán học sinh còn biết cách giải quyết các bài toán thực tế bằng những kiến thức, công thức, phương pháp được học Như vậy, môn Toán chứa đựng nhiều tiềm năng để kích thích sự hứng thú học tập của người học

Ngoài những đặc điểm chung của môn Toán, hình học không gian liên quan rất gần gũi với thực tế thông qua các mô hình hay các vật thể không gian mà các em được tiếp xúc hàng ngày

Để phát triển được năng lực giải toán của học sinh thì người thầy phải biết phân loại các dạng toán và phương pháp một cách rõ ràng Do vậy nội dung trong chương trình hình học không gian được phân loại thành nhiều kỹ năng cùng với phương pháp giải tương ứng

2.1 Phát triển năng lực thông qua kỹ năng giải các dạng toán

Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian lớp 11 là phần đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song Ở nội dung này người giáo viên sẽ hình thành cho học sinh các năng lực nhằm giải quyết các bài toán một cách có hệ thống, muốn vậy học sinh trước hết phải hiểu được các khái niệm cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Cách xác định một mặt phẳng là kiến thức cơ bản và đầu tiên mà học sinh cần nhớ:

+ Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng, ví dụ như (ABC)

+ Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng, ví

+ Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng + Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt

Phát triển năng lực của học sinh thông qua kỹ năng giải các dạng toán sau:

2.1.1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó

Để học sinh quen dần với toán hình không gian, giáo viên sẽ hướng dẫn từ những bài tập vận dụng hoặc bài tập tương đương như các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng ( ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S( ) Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)

Như nhận xét ở phần phương pháp thì

để tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD) ta phải chỉ ra được hai điểm chung giữa hai mặt phẳng này

Ta nhận thấy ngay S là điểm chung của (SAC) và (SBD)

Trong (), gọi J=AC BD, ta có:

Trước tiên J AC mà AC(SAC) suy ra J (SAC)

Hơn nữa J BD mà BD(SBD) suy ra J(SBD)

Suy ra J là điểm chung thứ hai của (SAC) và (SBD)

Như Vậy SJ là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), hoặc xác định giao

tuyến của (SAD) và (SBC) hoàn toàn tương tự như cách làm ở phần trên, giáo viên

có thể cho học sinh tự trình bày rồi điều chỉnh cách trình bày sao cho khoa học và

ngắn gọn nhất Như vậy SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD); SO là giao tuyến của (SAD) và (SBC)

C A

J

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Ví dụ 2 Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với

BC Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP)

Cũng như ví dụ trên học sinh phải hiểu là phải

kẻ thêm để tìm giao điểm hay điểm chung của hai

Hơn nữa E MN mà MN(MNP) suy ra E(MNP)

Suy ra E là điểm chung của (BCD) và (MNP)

Vậy PE là giao tuyến của (BCD) và (MNP)

2.1.2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Muốn tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho Ta đi tìm hiểu các ví dụ sau:

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB

a Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC)

b Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng ()

a Như đã nêu ở phần phương pháp là để tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC), ta đi tìm một đường thẳng nào đó nằm trong (SPC) mà cắt nhau với MN, đó chính là đường SP Ta có thể trình bày bài toán theo các cách sau:

Cách 1:

Trong mặt phẳng (SAB), gọi E=SPMN

Ta có ESP mà SP(SPC) suy ra E(SPC),

Hơn nữa EMN

Vậy E=MN(SPC)

Cách 2:

Chọn mặt phẳng (SAB)MN,

Ta có (SAB)(SPC)=SP, Hơn nữa trong mặt phẳng (SAB), gọi E=MNSP

Mà EMN

Mặt khác ESP và SP(SPC)

Vậy E=MN(SPC)

b Đi tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng () cũng chính là đi tìm

giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng đáy (ABC), như vậy ta phải tìm được đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) cắt được đường MN, cụ thể ở đây

là đường AB, giao điểm của MN và AB là giao của MN với (ABC), ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Trong (SAB), MN không song song với AB

Gọi D = AB  MN

AM

DB

P

E

CN

S



Hình 2.3 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Ví dụ 2 Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD) Trên

đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C Tìm giao điểm của đường thẳng

SD với mặt phẳng (ABM)

Hướng dẫn: Cách giải như sau, trước tiên ta chọn mặt

phẳng phụ (SBD)SD, sau đó ta đi tìm giao tuyến của hai

mặt phẳng (SBD) và (ABM) như sau:

Nhận thấy B là điểm chung của (SBD) và (ABM)

Tìm điểm chung thứ hai của (SBD) và (ABM)

Trong (ABCD), gọi O = AC  BD

Trong (SAC), gọi K = AM  SO

Ta có K SO mà SO  (SBD)  K (SBD)

Mà KAM mà AM(ABM)  K(ABM)

Suy ra K là điểm chung của (SBD) và (ABM)

2.1.3 Chứng minh hai đường thẳng song song

Học sinh cần hiểu được các kiến thức cơ bản như về định nghĩa hai đường song song là chúng cùng thuộc một mặt phẳng và không có điểm chung với nhau, được mô tả bằng kí hiệu như sau:

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

Khi học sinh đã hiểu được những tính chất cơ bản trên thì giáo viên cũng hình thành cho các em học sinh những phương pháp để chứng minh hai đường thẳng

song song:

+ Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung

+ Chứng minh hai đường thẳng phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba

+ Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành, định lý talet …)

+ Sử dụng các định lý

+ Chứng minh bằng phản chứng

Chúng ta đi tìm hiểu những ví dụ sau:

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành Gọi A’,B’, C’,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD

a Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành

a b P

Hình 2.5 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

b Gọi M là điểm bất kì trên BC Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD

Hướng dẫn: a Chứng minh A’B’C’D’ là hình

Vậy A’B’C’D’ là hình bình hành

b Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:

Ta có: AB ∕ ∕A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)

Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’ Vậy thiết diện là hình thang A’B’MN

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và

CD (AB CD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB

Hình 2.7

Cách tìm giao tuyến của (SBC) và (ADN)

Ta có N là điểm chung của (SBC) và (ADN)

Trong (ABCD), gọi E=ADBC

Suy ra (SBC)(ADN) = NE

Hơn nữa trong mặt phẳng (SBC), gọi P=SCNE

Xét ASI, ta có: SI //MN (vì cùng song song AB)

M là trung điểm AB, Suy ra SI / / 2MN

Mà AB / / 2.MN

Do đó: SI / / AB

Vậy Tứ giác SABI là hình bình hành

2.1.4 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng

Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng ( )  :

Hướng dẫn: a Chứng minh MN//(SBC):

Ta có

( )/ / / /( )

Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)

Ta có: P là điểm chung của (MNP) và (SAD),

Suy ra MN//AD

Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song

MN cắt SD tại Q Suy ra PQ = (MNP)  (SAD)

Xét  SAD, Ta có: PQ//AD,

P là trung điểm SA

Suy ra Q là trung điểm SD

Xét  SCD, Ta có: QN//SC

Ta có:

( )/ / / /( )( )

B

AS

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD M,N là hai điểm trên AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA

a Tìm các giao tuyến của () với (SAB) và (SAC)

b Xác định thiết diện của hình chóp với ()

c Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang

Hướng dẫn: a Tìm các giao tuyến của ()

Tìm các giao tuyến của () với (SAC):

b Xác định thiết diện của hình chóp với ():

Thiết diện là tứ giác MPQN

c Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang:

Vậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC

2.1.5 Chứng minh hai mặt phẳng song song



 M

Hướng dẫn: a Chứng minh rằng (OMN)//(SBC):

Xét tam giác SAC và SDB:

Mà ( )

/ /( )( ) // (SBC)

E F

Tương tự

/ /( ) / /( )

Định nghĩa về mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:

( ) ( )

2.1.6 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp để chứng minh d(P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

+ Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P)

+ Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q)//(P)

+ Chứng minh d//a và a(P)

Ví dụ 1 Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA(ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A Chứng minh rằng AB  (ACCA)

Hướng dẫn: Chứng minh rằng AB  (ACCA):

Ta có AB AC AB,  AA' (do AA'ABC) suy

ra ABACC A' '

Ví dụ 2 Hình chóp S.ABC, với ABC vuông tại A, góc B = 600, AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a Hạ BH  SA (HSA); BKSC (KSC) Chứng minh:

B' C'

a SB  (ABC)

b Mặt phẳng (BHK)  SC

Hướng dẫn: Nhận xét: Hai mặt phẳng cùng vuông

góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng

(nếu có) vuông góc với mặt phẳng đó, tức là:

2.1.7 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp để chứng minh da, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

+ Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a

+ Sử dụng định lí ba đường vuông góc

+ Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước

Ví dụ 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ Chứng minh: MPC N'

Vì (SAD)  (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra SH BP (1)

Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên

ta có     0

CBPDCH CBPHCB BP CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BPSHC (3)

Do HC // AN, MN // SC suy ra SHC / / MAN  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: BPMAN AM BP

2.1.8 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Phương pháp chính để giải các bài toán này là dựa vào định lý quan trọng sau đây:

Hình 2.17

Hình 2.18 H

M

N P

A

C

B

D SKet-noi.com kho tai lieu mien phi

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d Khi đó một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với d thì vuông góc với mặt phẳng còn lại

Ngoài ra, chúng ta cũng dựa vào định nghĩa của hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh tính vuông góc của hai mặt phẳng

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD= a 2, SA=a và SA(ABCD) Gọi M là trung điểm của AD Chứng minh

(SAC)(SMB)

Hướng dẫn: Giả sử I là giao điểm của AC và MB

Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet

Từ (1), (2) suy ra MB(SAC)(SMB)(SAC) suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a,

AA’=b Gọi M là trung điểm của CC’ Xác định tỷ số a

A S

Hướng dẫn: Ta có A’B = A’D suy ra A O' BD (O là tâm cua hình vuông ABCD)

Ta lại có MBMDMO BD

Từ đó A OM là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) '

( 'A BD)(MBD) A OM' 90 , Như vậy A O' 2OM2  A M' 2 (1)

Ví dụ 3 Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau

a

b

C' B'

A'

D

C B

S

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi

Khi đó: ( ),( )P Q a b, 

+ Giả sử (P)(Q)=c Từ Ic, dựng

( ),( ),

BH

a

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là  = 30 0

Ví dụ 2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 5

2

a Tính góc giữa các mặt phẳng:

S

N



Hình 2.23

Trong  SMO ta có: tan 3 2 3

MSN  là góc của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Do tam giác SMN cân tại S và góc đáy  0

2.1.10 Xác định góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp để xác định góc như sau:

+ Nếu a//a, b//b suy ra a b, a b', '

+ Giả sử u

là vectơ chỉ phương của a, v

là vectơ chỉ phương của b, ( , )u v  

Khi đó:   0 0

0 180,

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là high vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA

= a Gọi M là trung điểm của SD Tính góc:

Ket-noi.com kho tai lieu mien phi