Lí thuyết và trắc nghiệm giải nhanh về khoảng cách

Bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng - Cấp độ 1: Mặt phẳng chứa đường cao  Dựng đường vuông góc với cạnh đối diện Xem lại bài giảng cấp độ 1 - Cấp độ 2: Điểm là chân đường

A LÍ THUYẾT

Bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

- Cấp độ 1: Mặt phẳng chứa đường cao  Dựng đường vuông góc với cạnh đối diện (Xem lại bài giảng cấp

độ 1)

- Cấp độ 2: Điểm là chân đường vuông góc (3 trường hợp)

- Cấp độ 3: Từ 1 điểm bất kì đến 1 mặt phẳng bất kì (Ap dụng phương pháp đổi điểm)

B BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC Có SAABC Đáy là tam giác đều cạnh a Góc giữa đường thẳng SB và đáy bằng 60o

a) Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng:

A a 3

2 B.a 3 C.2 3a D 2a

b) Gọi khoảng cách từ điểm A đến (SBC) là X Tỉ số X

a là

A 3

3

3

5

3

Hướng dẫn giải

a) Ta có: góc giữa đường thẳng SB và đáy là góc giữa đường thẳng SB và

SBA60 Mặt phẳng (SAC) có chứa đường cao SA  Cấp độ 1

Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại H d B,SAC BH

BH là đường cao của tam giác đều ABC cạnh a

BÀI GIẢNG: GIẢI TRẮC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH HÌNH KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ

 Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng a 3

 Đáp án B

b) Điểm A là chân vuông góc  Cấp độ 2

Từ A kẻ AIBC I BC , AK SI K SI

Ta có: SAAB.tan SBAa.tan 0a , AI a 3

2

 

a

2

2

3 3

2

3

 Đáp án C

Bài 2: Cho hình chóp SABCD với SAABCD  Đáy là hình vuông cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến mặt

phẳng (SCD) là 2a

5 Thể tích của khối chóp này là

A.2a3 B. a

3 2

a3

3

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Mặt phẳng (SCD) không chứa đường cao  Không phải

cấp độ 1

Mặt khác điểm A là chân vuông góc  Cấp độ 2

Kẻ AHSA H SD ta có:











2 5

Trong tam giác vuông SADcó:

AH12 SA12 AD12

S.ABCD ABCD

a

 

 

 

2

3 2

2 5

2

 Đáp án B

Bài 3: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Sau khi rút gọn tối giản thì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) có giá trị của mẫu

số là

Hướng dẫn giải

+) H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt đáy (ABCD)

+) Từ H kẻ HICD I CD , HK SI K SI

+) Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a SHa 3

2











+) Trong tam giác vuông SHI:

a

2 2 2

3 2

21 7

 Đáp án B

Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O Với AB = a, BC = 2a Gọi I là trung điểm của

AO, SIABCD ,SI a Nếu ta có khoảng cách từ B đến mặt (SCD) là 4a

13 thì khoảng cách từ I đến (SCD)

có giá trị bằng:

A a

a 3

a 2

13

Hướng dẫn giải

a

4 13

 Đáp án B

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AA’ =a, AC = 2a Tính khoảng cách từ A’ đến (ACD’)

A a 3

3

Hướng dẫn giải

+) Từ D kẻ DMAC M AC , DH D 'M H D 'M

+) Ta có:













+) Trong tam giác vuông ACD có:







+) Trong tam giác vuông DD’M:

d D, ACD ' DI

7

 Đáp án A

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

(1) Mặt phẳng chứa đường cao

=> Dựng đường vuông góc với cạnh đối diện

(2) Xét xem thấy điểm đó là chân đường vuông góc

(3) Khoảng cách từ điểm bất kì đến mặt phẳng

Bài 1 Cho hình chóp SABC có SA ⊥ (ABC) Đáy là tam giác đều cạnh a Góc giữa đường thẳng SB và đáy bằng 600

a) Hai lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) có giá trị bằng:

A. √ B. √ C. 2 √ D. 2a

b) Gọi khoảng cách từ điểm A đến (SBC) là x Tỉ số là:

A. √ B. √ C.√

√

Giải:

a) SB ABC;  SB AB; SBA600

Gọi H là trung điểm của AC ta có

BH AC

BH SAC d B SAC BH

BH SA SA ABC



BH  d B SAC   d B SAC a

Chọn B

b) Gọi E là trung điểm của BC, trong SAE kẻ  AK SE K SE ta có:

BC AE

BC SAE BC AK

BC SA SA ABC

AK SE

AK SBC d A SBC AK x

AK BC











Ta có : 3

2

a

AE

Xét tam giác vuông SAB có : 0

SAAB a

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có :

a

AK x

AK SA AE a a a

x

a

Chọn C

Bài 2. Cho hình chóp SABCD với SA ⊥ (ABCD) Đáy là hình vuông cạnh a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là

√ Thể tích của khối chóp này là:

3

Giải:

Kẻ AHSD ta có:

;

5

CD AD

CD SAD CD AH

CD SA

AH SCD d A SCD AH

AH SD













Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAD có

2

AH  SA  AD  a  SA a  

Vậy

3 2

a

V  SA S  a a 

Chọn B

>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa

Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Sau khi rút gọn tối giản thì khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) có giá trị của mẫu số là:

Giải

Gọi H là trung điểm của AB SH  ABSH ABCD

Ta có: AB/ /CDAB/ /SCDd A SCD ;  d H SCD ;  

Gọi E là trung điểm của CD, trong mặt phẳng (SHE) kẻ

HK SE ta có:

CD HE

CD SHE CD HK

CD SH

HK CD

HK SCD

HK SE

d H SCD HK













2

a

SH 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE có:

a HK

HK  SH HE  a a  

;

7

a

d A SCD 

Chọn B

Bài 4. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = a, BC = 2a Gọi I là trung điểm của AO, SI ⊥ (ABCD), SI = a Nếu ta có khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là

√ thì khoảng cách từ I đến (SCD) có giá trị bằng

A

√ B

√ C

√ D √

√

Giải:

Ta có AB/ /CD ABSCDd B SCD ;  d A SCD ;  

Ta có:

3

;

d A SCD AC

AI SCD C

IC

d I SCD

d I SCD d A SCD d B SCD

a a

d I SCD

Chọn B

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AA’ = a, AC = 2a Tính khoảng cách từ

A’ đến (ACD’)

A 3

7

a

3

a

7

a

D 7

3

a

Bài 5:

Giải:

Ta có:

d A ACD A O

A D ACD O

DO

d D ACD

d A ACD d D ACD

Kẻ HDAC, trong mặt phẳng (DD’H) kẻ DKD H' ,

ta chứng minh được

DK  ACD d D ACD DK

DA a a a

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACD ta có:

a DH

DH  AD CD  a a  

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DD’H có:

a DK

DK  DH DD  a a  

7

a

d A ACD 

Chọn A