tổng hợp lời đề thi giải tích 1 đại học giao thông vận tải. Tài liệu sau đây giúp các em hiểu các hướng giải bài tập ,phương pháp làm. Chúc các em một mùa thi thành công. tài liệu tham khảo cho sinh viên.
Trang 1TÍCH PHÂN SUY RỘNG
1 Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân với cận vô hạn)
1.1 Các định nghĩa:
Định nghĩa 1.1 Cho hàm f (x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b], với b > a Ta gọi
giới hạn
I = lim b→+∞
Z b a
f (x)dx
là tích phân suy rộng loại 1 của f (x) trên [a, +∞) và kí hiệu là
Z +∞
a
f (x)dx := lim
b→+∞
Z b a
f (x)dx = I
Nếu I hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
Z +∞
a
f (x)dxhội tụ, còn trong trường hợp ngược lại (hoặc không tồn tại
lim
b→+∞
Z b
a
f (x)dxhoặc lim
b→+∞
Z b a
f (x)dx = ∞) thì ta nói tích phân suy rộng
Z +∞
a
f (x)dxlà phân kỳ.
Nhận xét 1.1 Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a Khi đó
với mọi số thực a0> a, ta có
Z b a
f (x)dx =
Z a0 a
f (x)dx +
Z b
a 0
f (x)dx
Do đó lim
b→+∞
Z b
a
f (x)dxtồn tại (hữu hạn hoặc vô cùng) khi và chỉ khi lim
b→+∞
Z b
a 0
f (x)dxtồn tại và ta có
Z +∞
a
f (x)dxhội tụ khi và chỉ khi
Z +∞
a 0
f (x)dxhội tụ.
Nếu một trong hai tích phân suy rộng nói trên tồn tại thì
Z +∞
a
f (x)dx =
Z a0 a
f (x)dx +
Z +∞
a 0
f (x)dx
Ý nghĩa: Khi nghiên cứu sự hội tụ của
Z +∞
a
f (x)dxta có thể cắt bỏ đi một đoạn [a, a0]tùy ý của [a, +∞) mà chỉ cần xét
Z +∞
a 0
f (x)dxlà đủ.
Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau
Định lý 1.1 a) Nếu các tích phân suy rộng
Z +∞
a
f (x)dxvà
Z +∞
a g(x)dxhội tụ thì tích phân suy rộng
Z +∞ a [f (x)+ g(x)]dxvà
Z +∞
a [f (x) + g(x)]dx =
Z +∞
a
f (x)dx +
Z +∞
a g(x)dx
b) Nếu tích phân
Z +∞
a
f (x)dxvà k là một hằng số thực thì tích phân
Z +∞
a
kf (x)dxhội tụ và
Z +∞
a
kf (x)dx = k
Z +∞
f (x)dx.
Trang 2c) Nếu trong mọi đoạn [a, b] ta áp dụng được công thức Newton-Leibnitz
Z b a
f (x)dx = F (x) ba = F (b) − F (a)
và tồn tại lim
b→+∞F (b) = F (+∞)thì
Z +∞
a
f (x)dx = F (+∞) − F (a) (d) (Công thức tích phân từng phần) Nếu u(x), v(x) là những hàm khả vi liên tục trên [a, +∞) và giới hạn
lim
x→+∞u(x)v(x)tồn tại hữu hạn thì
Z +∞
a udv = uv +∞a −
Z +∞
a vdu
trong đó
uv +∞
x→+∞[u(x)v(x) − u(a)v(a)]
Tương tự, ta định nghĩa tích phân trên các khoảng (−∞, b] và (−∞, +∞).
Định nghĩa 1.2 Cho hàm f : (−∞, b] → R là hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b], với a < b Tích phân suy rộng của
f trên (−∞, b] là giới hạn
Z b
−∞
f (x)dxdn= lim
a→−∞
Z b a
f (x)dx
Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói rằng
Z b
−∞
f (x)dxhội tụ Tích phân không hội tụ gọi là phân kỳ.
Định nghĩa 1.3 Cho hàm f : (−∞, +∞) → R là hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn Nếu với một số thực a nào
đó, hai tích phân suy rộng
Z a
−∞
f (x)dxvà
Z +∞
a
f (x)dxtồn tại và tổng
Z a
−∞
f (x)dx +
Z +∞
a
f (x)dx
có nghĩa (tức là không có dạng ∞ − ∞) thì ta gọi tổng này là tích phân của f trên (−∞, +∞) và ký hiệu là
Z +∞
−∞
f (x)dx Như vậy
Z +∞
−∞
f (x)dxdn=
Z a
−∞
f (x)dx +
Z +∞
a
f (x)dx
Tích phân
Z +∞
−∞
f (x)dxđược gọi là hội tụ nếu tổng ở vế phải hữu hạn.
Nhận xét 1.2 (i) Dễ thấy rằng sự phân kỳ hay hội tụ của
+∞
Z
−∞
f (x)dxvà giá trị của nó không phụ thuộc vào a.
(ii) Với cách xác định như trên ta có ngay
+∞
Z
−∞
f (x)dx = lim
b→+∞
a→−∞
Z b a
f (x)dx
Ví dụ 1.1 Tính
Z +∞
e−xdx.
Trang 3Với mọi số thực b > 0, ta có
I(b) =
Z b 0
e−xdx = (−e−x)
b 0
= 1 − e−b,
I = lim b→+∞I(b) = lim
b→+∞(1 − e−b) = 1
Do đó
Z +∞
0
e−xdxhội tụ và
Z +∞
0
e−xdx = 1
Ví dụ 1.1 Tính
I =
Z +∞
−∞
dx
x2+ 2x + 5
Ta phân tích
I =
Z 0
−∞
dx
x2+ 2x + 5
I1
+
Z +∞
0
dx
x2+ 2x + 5
I2
I1= lim a→−∞
Z 0 a
d(x + 1) (x + 1)2+ 22 = 1
2a→−∞lim arctanx + 1
2
0 a
=1
2a→−∞lim arctan1
2 − arctana + 1
2
=1
2(
π
2 + arctan
1
2).
I2= lim b→+∞
Z b 0
d(x + 1) (x + 1)2+ 22 = 1
2b→+∞lim arctanx + 1
2
b 0
=1
2(
π
2 − arctan1
2),
I = I1+ I2= π
2.
Vậy tích phân đã cho hội tụ và
Z +∞
−∞
dx
x2+ 2x + 5 =
π
2.
Ví dụ 1.2 Xét sự hội tụ của tích phân
Z +∞
a cos xdx.
Ta có
Z +∞
a
cos xdx = lim
b→+∞
Z b a cos xdx
= lim b→+∞sin x|ba= lim
b→+∞(sin b − sin a)
Giới hạn này không tồn tại, vì lấy hai dãy bn= 2nπ −→
n→+∞+∞, b0n= π
2 + 2nπ −→n→+∞+∞, trong khi đó
lim n→∞(sin 2nπ − sin a) = − sin a, lim
n→∞[(π
2 + 2nπ) − sin a] = 1 − sin a 6= − sin a.
Vậy tích phân đã cho phân kỳ.
Ví dụ quan trọng sau đây được sử dụng nhiều trong thực hành.
Trang 4Ví dụ 1.3 Xét sự hội tụ của tích phân
Z +∞
a
dx
xα, a > 0 Nếu α = 1 thì
Z +∞
a
dx
x = limb→+∞
Z b a
dx x
= lim b→+∞ln x|ba= lim
b→+∞(ln b − ln a) = +∞
Vậy trong trường hợp này tích phân phân kỳ.
Nếu α 6= 1 thì
Z +∞
a
dx
xα = lim b→+∞
Z b a
x−αdx
= lim b→+∞
x1−α
1 − α
b a
1 − αb→+∞lim (b1−α− a1−α)
=
+∞ nếu α < 1,
a1−α
α − 1 nếu α > 1.
Các kết quả được phát biểu trong định lý sau:
Định lý 1.2 Tích phân suy rộng
Z +∞
a
dx
xα, a > 0
hội tụ nếu α > 1, phân kỳ nếu α 6 1.
1.2 Tích phân suy rộng của các hàm số không âm
Khi nói đến tích phân suy rộng, trước hết ta quan tâm xem nó có hội tụ hay không? Vì nhiều khi hàm dưới dấu tích phân không có nguyên hàm biểu diễn qua các hàm sơ cấp hoặc ta không cần tính giá trị của tích phân suy rộng Vậy ta chỉ cần quan tâm tích phân suy rộng đã cho hội tụ hay phân kỳ Ta đưa ra một số tiêu chuẩn sau đây:
Định lý 1.3 Giả sử f (x) là hàm số xác định trên [a, +∞), khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a Nếu f (x) ≥ 0
với mọi x ∈ [a, +∞) thì tích phân
Z +∞
a
f (x)dxluôn luôn tồn tại (hữu hạn hoặc bằng +∞).
Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho hai hàm f (x), g(x) xác định trên khoảng [a, +∞), khả tích trên mọi đoạn
hữu hạn [a, b] với b > a Nếu
0 6 f (x) 6 g(x), ∀x ∈ [a, +∞)
Khi đó
+ Nếu
Z +∞
a
g(x)dxhội tụ thì
Z +∞
a
f (x)dxcũng hội tụ,
+ Nếu
Z +∞
a
f (x)dxphân kỳ thì
Z +∞
a g(x)dxcũng phân kỳ.
Ta thường dùng tiêu chuẩn so sánh dưới dạng sau:
Trang 5Hệ quả 1.1 Cho f (x), g(x) là những hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b], với b > a và là những hàm không âm trên
[a, +∞) Giả sử tồn tại giới hạn
lim x→+∞
f (x) g(x) = k.
Khi đó
(a) Nếu 0 < k < +∞ thì hai tích phân
Z +∞
a
f (x)dxvà
Z +∞
a g(x)dxcùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ,
(b) k = 0: Nếu
Z +∞
a g(x)dxhội tụ thì
Z +∞
a
f (x)dxcũng hội tụ,
(c) k = +∞: Nếu
Z +∞
a g(x)dxphân kỳ thì
Z +∞
a
f (x)dxcũng phân kỳ.
Nhận xét 1.3 (i) Từ hệ quả trên ta thấy ngay rằng nếu f (x) và g(x) là hai VCB tương đương khi x → +∞, tức
là nếu
f (x) ∼ g(x) khi x → +∞
thì các tích phân
Z +∞
a
f (x)dxvà
Z +∞
a g(x)dxcùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Có lẽ vì vậy mà một số tài liệu gọi hệ quả trên là tiêu chuẩn tương đương.
(ii) Hàm so sánh đơn giản thường được chọn là hàm dạng g(x) = 1
xα, α > 0 và kết hợp sử dụng kết quả của Định
lý 1.4.
(iii) Nếu f (x) 6 0 thì chỉ việc khảo sát tích phân
−
Z +∞
a
f (x)dx =
Z +∞
a
−f (x)dx
Nếu f (x) đổi dấu một số lần trong [a, a0]và trong [a0, +∞)giữ nguyên một dấu thì để khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của tích phân
Z +∞
a
f (x)dx, ta chỉ việc cắt bỏ đi đoạn [a, a0]và khảo sát tích phân trong khoảng còn lại
Z +∞
a 0
f (x)dx.
Ví dụ 1.4 Xét sự hội tụ của tích phân
1)
Z +∞
0
e−x2dx 2)
Z +∞
1
ln(1 + x)
1) Ta có 0 < e−x 2
6 e−x với mọi x ≥ 1 Ta biết rằng
Z +∞
0
e−xdxhội tụ Do đó theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân
Z +∞
0
e−x2dxhội tụ.
2) Ta có
ln(1 + x)
x >
1
x với mọi x ≥ 2.
Ta biết rằng
Z +∞
1
dx
x phân kỳ (α = 1) Do đó theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân đã cho phân kỳ.
Ví dụ 1.5 Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng loại 1 sau:
1)
Z +∞
1
√
x3+ 2
Z +∞
1
1 − cos2 x
dx
3)
Z +∞
2x
√
Z +∞
1
cos1 x
x dx
Trang 6Giải: 1) Hàm số dưới dấu tích phân dương và liên tục trên [1, +∞) Ta có
√
x3+ 2 2x2+ x − 1 ∼x
3/2 2x2 =1
2.
1
x1/2 khi x → +∞.
Vì tích phân
Z +∞
1
dx
x1/2 phân kỳ (α = 1/2 < 1) nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân đã cho phân kỳ 2) Hàm số dưới dấu tích phân dương và liên tục trên [1, +∞) Ta có
1 − cos2
x ∼ 2
x2 khi x → +∞.
Vì tích phân
Z +∞
1
dx
x2 hội tụ (α = 2 > 1), nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân đã cho hội tụ.
2) Hàm số dưới dấu tích phân dương và liên tục trên [1, +∞) Ta có
2x
√
x5+ x + 1 ∼ 2x
x5/2 = 2
x3/2 khi x → +∞.
Vì tích phân
Z +∞
1
dx
x3/2 hội tụ (α = 3/2 > 1), nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân đã cho hội tụ 3) Với x > 2
π, ta có cos1
x > 0 Vì vậy khi xét tính hội tụ hoặc phân kỳ của tích phân, ta có thể xem hàm số dưới dấu tích phân của tích phân đã cho là một hàm số dương.
cos1 x
x khi x → +∞.
Vì tích phân
Z +∞
1
dx
x phân kỳ (α = 1), nên theo tiêu chuẩn so sánh ta suy ra tích phân đã cho phân kỳ.
Ví dụ 1.6 Chứng minh rằng tích phân suy rộng
Z +∞
0
x4+ 1
x6+ 1dxhội tụ, sau đó tính giá trị của chúng.
Giải Ta có
Z +∞
0
x4+ 1
x6+ 1dx =
Z 1 0
x4+ 1
x6+ 1dx +
Z +∞
1
x4+ 1
x6+ 1dx = I1+ I2.
Tích phân I1là tích phân xác định thông thường nên hội tụ Dễ dàng thấy rằng I2hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Vậy tích phân đã cho hội tụ
I =
Z +∞
0
x4+ 1
x6+ 1dx =
Z +∞
0
(x4− x2+ 1) + x2 (x2+ 1)(x4− x2+ 1)dx
=
Z +∞
0
x2+ 1+
x2
x6+ 1
dx
=
arctan x +1
3arctan x
3
+∞
0
=2π
3 .
Nhận xét 1.4 Định lý 1.4 và Hệ quả 1.1 chỉ áp dụng được cho trường hợp hàm dưới dấu tích phân không âm (với
giá trị đủ lớn của a).
Định lý sau đây được áp dụng cho cả các hàm số dưới dấu tích phân có dấu bất kỳ
Định lý 1.5 (Tiêu chuẩn Côsi)
Giả sử f là một hàm số xác định trên [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b] với b > a Khi đó tích phân
Z +∞
a
f (x)dxhội tụ khi và chỉ khi với mọi > 0 bé tuỳ ý, tồn tại B = B() ≥ a sao cho với mọi b, b0≥ B() ta có
Z b0
f (x)dx <
Trang 71.3 Tích phân suy rộng của hàm có dấu bất kỳ
Định nghĩa 1.4 Ta nói rằng tích phân
Z +∞
a
f (x)dxhội tụ tuyệt đối nếu tích phân
Z +∞
a
|f (x)|dx hội tụ.
Định lý 1.6 Tích phân hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
Proof. Vì
Z +∞
a
|f (x)|dx hội tụ nên theo tiêu chuẩn Côsi, với mọi > 0 tuỳ ý, tồn tại B = B() ≥ a sao cho với mọi b, b0 ≥ B() ta có
Z b0 b
|f (x)|dx <
Nhưng ta lại có bất đẳng thức
Z b0 b
f (x)dx 6
Z b0 b
|f (x)|dx <
Vậy tích phân
Z +∞
a
Ví dụ 1.7 Xét sự hội tụ của tích phân
Z +∞
0
cos kx
a2+ x2dx, a, k ∈ R, a 6= 0.
Giải: Với mọi a 6= 0, hàm số dưới dấu tích phân xác định và liên tục trên [0, +∞) Với mọi x ≥ 1, ta có
cos kx
a2+ x2
6 1
x2
Vì tích phân
Z +∞
1
dx
x2dxhội tụ (α = 2 > 1) nên tích phân
Z +∞
0
cos kx
a2+ x2
dxhội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh), tức là tích phân được xét hội tụ tuyệt đối (do đó hội tụ)
Ví dụ 1.8 Xét sự hội tụ của tích phân
Z +∞
0
e−xcos αxdx, α ∈ R.
Giải: Vì |e−xcos αx| 6 e−xvới mọi x ∈ R và
Z +∞
0
e−xdxhội tụ nên tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối
Nhận xét 1.5 Chiều ngược lại của Định lý 1.6 không đúng Ví dụ sau đây chứng tỏ điều đó.
Ví dụ 1.9 Chứng minh rằng tích phân I =
Z +∞
1
sin x
x dxhội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh: Trước hết ta chỉ ra tích phân đã cho hội tụ Thật vậy, tích phân từng phần ta có
I = −cos x
x
+∞
1
−
Z +∞
1
cos x
x2 dx
= cos 1 −
Z +∞
1
cos x
x2 dx (vì | cos b| 6 1 nên lim
b→+∞
cos b
b = 0) Mặt khác vì
cos x
x2
6 x12 với mọi x ≥ 1 và
Z +∞
1
1
x2dxhội tụ nên tích phân
Z +∞
1
cos x
x2 dxhội tụ tuyệt đối Do
đó tích phân đã cho hội tụ
Hơn nữa, nếu
Z +∞
1
sin x x
dxhội tụ thì vì
sin2x
sin x x với mọi x ≥ 1
Trang 8Z +∞
1
sin2x
x dx =
Z +∞
1
1 − cos 2x
hội tụ Bằng cách tương tự như I =
Z +∞
1
sin x
x dxta cũng chỉ ra được tích phân
Z +∞
1
cos 2x 2x dxhội tụ Do vậy
Z +∞
1
1 − cos 2x
cos 2x 2x
dx =
Z +∞
1
dx 2x hội tụ Đây là điều mâu thuẫn Vậy tích phân đã cho không hội tụ tuyệt đối
Định nghĩa 1.5 Một tích phân suy rộng hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối ta gọi nó là bán hội tụ (hay còn gọi
là hội tụ tương đối).
Khi xét sự hội tụ của các tích phân không hội tụ tuyệt đối ta thường cần tới hai tiêu chuẩn hội tụ: Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel
Định lý 1.7 (Tiêu chuẩn Dirichlet)
Cho f, g : [a, +∞) → R là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b], b ≥ a Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
a) Hàm g(x) đơn điệu dần đến 0 khi x → +∞ và có đạo hàm g0(x)liên tục trên [a, +∞);
b) Hàm f (x) có nguyên hàm F (x) bị chặn trên [a, +∞), tức là ∃ C > 0 sao cho |F (x)| 6 C, ∀x ≥ a;
thì tích phân
Z +∞
a
g(x)f (x)dxhội tụ.
Định lý 1.8 (Tiêu chuẩn Abel)
Cho f, g : [a, +∞) → R là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b], b ≥ a Nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
a) Tích phân
Z +∞
a
f (x)dxhội tụ;
b) Hàm g(x) đơn điệu và bị chặn trong khoảng [a, +∞);
thì tích phân
Z +∞
a
g(x)f (x)dxhội tụ.
Ví dụ 1.10 Xét sự hội tụ của các tích phân (với a > 0)
Z +∞
a
sin αx
xp dx,
và
Z +∞
a
cos βx
xp dx,
trong đó α, β, p là các hằng số, α, β 6= 0.
Ta chỉ xét tích phân
Z +∞
a
sin αx
xp dx, tích phân còn lại làm tương tự
• Dễ dàng thấy rằng nếu p > 1 thì tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối
Trang 9• Ta sẽ chứng minh rằng với 0 < p 6 1 thì tích phân được xét là bán hội tụ, tức là hội tụ nhưng không hội
tụ tuyệt đối
Thật vậy, đặt f (x) = sin αx, ta có F (x) = −cos αx
α Do vậy |F (x)| 6 1
|α|; đặt tiếp g(x) =
1
xp, ta có
g(x)giảm trên [0, +∞) và lim
x→+∞g(x) = 0, g0(x) = − p
xp+1 liên tục trên [a, +∞)
Do đó, theo tiêu chuẩn Dirichlet, tích phân được xét hội tụ
Tích phân
Z +∞
a
sin αx
xp dxkhông hội tụ tuyệt đối vì nếu nó hội tụ tuyệt đối, tức là tích phân
Z +∞
a
| sin αx|
xp dx hội tụ thì từ bất đẳng thức sin2αx 6 | sin αx| với mọi x, ta suy ra tích phân
Z +∞
a
sin2αx
xp dx = 1
2
Z +∞
a
1 − cos 2αx
xp dx hội tụ Nhưng tích phân
Z +∞
a
cos 2αx
xp dxvới 0 < p 6 1 hội tụ theo tiêu chuẩn Dirichlet (chứng minh tương tự trên) Do đó tích phân
Z +∞
a
dx
xp =
Z +∞
a
2 sin2αx
xp +cos 2αx
xp
dx
hội tụ Điều này không thể xảy ra vì với p 6 1, tích phân
Z +∞
a
dx
xp phân kỳ
• Nếu p 6 0 thì tích phân
Z +∞
a
sin αx
xp dxphân kỳ Thật vậy, với p = 0 ta được
Z +∞
a sin αxdx, tích phân này phân kỳ (xem Ví dụ 1.2) Giả sử tích phân hội tụ với một p < 0 nào đó Đặt
f (x) = sin αx
xp , g(x) = xp, x ≥ 1
Khi đó
Z +∞
a
f (x)dxhội tụ và hàm g(x) giảm và bị chặn trên [a, +∞) Theo tiêu chuẩn Abel, tích phân
Z +∞
a
f (x)g(x)dx =
Z +∞
a sin αxdx hội tụ Đây là điều vô lý
Ví dụ 1.11 Xét sự hội tụ của các tích phân Fresnel
Z +∞
0 cos(x2)dx và
Z +∞
0 sin(x2)dx
Hàm số x 7→ cos(x2)liên tục trên [0, +∞) Ta chứng minh
Z +∞
0 cos(x2)dxhội tụ Thực hiện phép đổi biến số
t = x2, x =√t Với b ≥ 1, ta có
Z b 1
cos(x2)dx =1
2
Z b 2
1
cos t
√
t dt.
Theo tiêu chuẩn Dirichlet, tích phân
Z +∞
0
cos t
√
t dthội tụ Do vậy
lim b→+∞
Z b 2
1
cos t
√
t dt =
Z +∞
1
cos t
√
t dt.
Do đó
Z +∞
0
cos(x2)dx = lim
b→+∞
Z b 1
cos(x2)dx = 1
2b→+∞lim
Z b 2
1
cos t
√
t dt =
1 2
Z +∞
1
cos t
√
t dt.
Vậy tích phân
Z +∞
0 cos(x2)dxhội tụ Tích phân này bán hội tụ vì tích phân
Z +∞
1
cos t
√
t dtbán hội tụ (xem Ví dụ 1.10) Tương tự, tích phân
Z +∞
sin(x2)dxcũng là bán hội tụ
Trang 10Nhận xét 1.6 Trong hai tích phân Fresnel nói trên, hàm số dưới dấu tích phân không dần về 0 khi x → +∞.
2 Tích phân suy rộng loại 2 (tích phân suy rộng của hàm không bị chặn)
Bây giờ ta xét việc suy rộng tích phân
Z b a
f (x)dxtrong đó hàm f không bị chặn trên [a, b] Tích phân suy rộng loại này gọi là tích phân suy rộng loại 2
2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a, b), trong đó
lim x→b−0f (x) = ∞ (điểm b gọi là điểm bất thường của f (x)).
Giả sử f (x) khả tích trên mọi đoạn [a, b − ], với > 0 bé tuỳ ý Ta gọi giới hạn
lim
→0+
Z b−
a
f (x)dx
là tích phân suy rộng loại 2 của f (x) trên [a, b] và ký hiệu là
Z b a
f (x)dx Như vậy
Z b a
f (x)dx = lim
→0+
Z b−
a
f (x)dx
Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói thì ta nói tích phân suy rộng
Z b a
f (x)dxhội tụ, còn trong trường hợp ngược lại (không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn bằng ∞) thì ta nói tích phân suy rộng
Z b a
f (x)dxphân kỳ.
Chẳng hạn các tích phân
Z 1 0
dx
x − 1,
Z 1 0
dx
xα, α > 0
là tích phân suy rộng loại 2 vì
lim x→1−0
1
x − 1 = −∞, limx→0+
1
xα = +∞
Tương tự, khi điểm bất thường của f là x = a hoặc điểm trong c của đoạn [a, b] hoặc cả hai đầu mút a, b, ta định nghĩa như sau
Định nghĩa 2.2 Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b], trong đó lim
x→a+0f (x) = ∞ Giả sử f (x) khả tích trên mọi đoạn [a + , b], với > 0 bé tuỳ ý, ta định nghĩa
Z b a
f (x)dxdn= lim
→0+
Z b a+
f (x)dx
Nếu giới hạn là hữu hạn thì ta nói rằng
Z b a
f (x)dxhội tụ Tích phân không hội tụ gọi là phân kỳ.
Định nghĩa 2.3 Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b), c ∈ (a, b), trong đó lim
x→a+0f (x) = ∞, lim
x→b−0f (x) = ∞ Nếu cả hai tích phân suy rộng
Z c a
f (x)dxvà
Z b c
f (x)dxđều tồn tại và tổng
Z c
f (x)dx +
Z b
f (x)dx
... Vì xét tính hội tụ phân kỳ tích phân, ta xem hàm số dấu tích phân tích phân cho hàm số dương.cos1 x
x khi x → +∞.
Vì tích phân
Z +∞... I1+ I2.
Tích phân I1là tích phân xác định thông thường nên hội tụ Dễ dàng thấy I2hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Vậy tích phân cho hội tụ
I =
Z +∞... data-page="10">
Nhận xét 1.6 Trong hai tích phân Fresnel nói trên, hàm số dấu tích phân khơng dần x → +∞.
2 Tích phân suy rộng loại (tích phân suy rộng hàm không bị chặn)