skkn ứng dụng sự đồng biến nghịch biến giải phương trinh

Hiện nay, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong sách giáokhoa đã giảm tải, chỉ ứng dụng vào khảo sát hàm số và vẽ đồ thị, tuy nhiên,phương pháp này lại được ứng dụng được nh

PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học được các nhàtrường, các cấp quản lý giáo dục đào tạo, các giáo viên quan tâm hơn và được xem

là nội lực để phát triển giáo dục Nghị quyết sô 29-NQ/TW ngày 4 tháng 11 năm

2013 của Ban Chấp Hành Trung Ương đã nêu rõ “tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, khắc phục lối truyền thụ

áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy các học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức kỹ năng, phát triển năng lực ” và Nghị quyết sô 05 - NQ/TU ngày 20 tháng 12 năm 2011 của

BCH Đảng Bộ tỉnh về phát triển, nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo đến năm

2015 và những năm tiếp theo cũng đã xác định một trong những nhiệm vụ và giải

pháp chủ yếu là “Tích cực đổi mới phương pháp dạy học; đa dạng hóa hình thức đào

tạo, gắn đào tạo với nhu cầu xã hội”

Các nhà giáo dục khẳng định: con người chỉ thực sự nắm vững cái mà chính mìnhgiành được bằng hoạt động tự học của bản thân Thực tế vấn đề tự học của bản thân làkhâu quan trọng không thể tách rời trong quá trình tích lũy tri thức nhân loại Môn Toántrong trường phổ thông giữ một vai trò quan trọng, là công cụ để học tốt các môn họckhác Môn Toán rèn luyện cho học sinh khả năng tự học mang lại chất lượng học tậpcao để từ đó hình thành phảm chất của người lao động mới: chủ động tích cực trongmọi việc

Hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm trong chương trìnhđại số trung học phổ thông Đặc biệt nội dung này cũng là một bộ phận trong cấutrúc đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng trong những năm gần đây

Mặc dầu những kiến thức về hệ phương trình được trình bày trong các sáchgiáo khoa ở cả ba khối nhưng chỉ ở mức độ đơn giản so với các bài tập trong đềthi tuyển sinh đại học, cao đẳng Bên cạnh đó, lượng bài tập ít, số tiết trong phânphối chương trình hạn chế dẫn đến giáo viên không đưa ra được nhiều dạng bài tập

để học sinh hình thành kỹ năng giải hệ phương trình Trong khi đó để giải hệphương trình, học sinh cần tích hợp nhiều kỹ năng toán học, không những nắmvững lý thuyết mà còn phải thực hành nhiều để có năng lực biến đổi trong từngdạng bài Hiện nay, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong sách giáokhoa đã giảm tải, chỉ ứng dụng vào khảo sát hàm số và vẽ đồ thị, tuy nhiên,phương pháp này lại được ứng dụng được nhiều trong các bài toán chứng minh bất

đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phươngtrình,… Những bài toán sử dụng phương pháp này thường có cách giải nhanh gọn.Phương pháp này thường được giáo viên đưa ra khi bồi dưỡng học sinh giỏi haytheo chuyên đề cho được ít học sinh trong khi đó phương pháp này được ứng dụngtrong các kỳ thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây nên tôi chọn đề tài:

“Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình” để nghiên cứu

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu dùng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình nhằm gópphần nâng cao chất lượng dạy học toán theo yêu cầu đổi mới chương trình sáchgiáo khoa hiện nay

III Đối tượng nghiên cứu

Đề tài tập trung vào nghiên cứu làm sáng tỏ việc dùng tính đơn điệu của hàm

số vào giải hệ phương trình

IV Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng sách giáo khoa 10, 12 và một số tài liệu tham khảo

V Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài làm rõ

- Hệ thống hóa các kiến thức và ví dụ về giải hệ phương trình bằng phươngpháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

- Đánh giá thực trạng kỹ năng giải hệ phương trình của học sinh THPT

- Đề xuất các dạng áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trìnhcho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi đại học, cao đẳng

VI Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu về hệ phương trình ở chương trình Toán PTTH

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tiến hành thực nghiệm trên một số học sinh để xem xét tính khả thi và hiệuquả của đề tài

- Thời gian nghiên cứu: trong suốt thời gian dạy học trực tiếpkhối 10 và 12

PHẦN B: NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

1 Một số kiến thức cơ bản:

Định nghĩa hàm số đơn điệu:

Cách 1: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng K

i) Hàm số y= f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu

với mọi x x1 , 2 ∈Kmà x1<x2thì f x( )1 < f x( )2 .

ii) Hàm số y= f x( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu

với mọi x x1 , 2 ∈Kmà x1 <x2thì f x( ) 1 > f x( ) 2 .

Cách 2: Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K.

i) Nếu f x'( ) 0, ≥ ∀ ∈x K và f x'( ) 0 = chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm

y= f x đồng biến trên [a; b]

4i) Nếu f x'( ) 0 < với ∀ ∈x ( , )a b và f x'( ) liên tục trên [a; b] thì hàm số

f x =k có không quá một nghiệm trong khoảng (a,b).

+ Nếu hàm số y= f x( ) tăng trong khoảng (a; b) và hàm số y g x= ( ) là hàm

hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x)= g(x) cónhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a; b) Do đó nếu ∃ ∈x0 ( ; ) : ( )a b f x0 =g x( ) 0 thì

đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)= g(x).

II Cơ sở thực tiễn

Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình toánhọc phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đạihọc, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiềusong phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải.Nguyên nhân là vì

- Hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người họcphải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìnnhận trên nhiều phương diện

- Sách giáo khoa giảm tải, các tài liệu tham khảo đề cập đến nhiều về hệphương trình song sử dụng tính đơn điệu của hàm số còn ít nên khi học học sinhchưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình

- Đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bàitoán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu

mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các emMặt khác hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh những năm gần đây thườngdùng tính đơn điệu của hàm số vào giải quyết thì học sinh càng ít kiếm điểm từ giải

hệ Việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ thường nhanh, độc đáonhưng bài tập dạng này thường khó và không mẫu mực nên học sinh lúng túngtrong nhận dạng và xây dựng hàm số

III Các biện pháp ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phương trình

1 Giải pháp chung ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phương trình

Để học sinh có kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương phá sử dụng tínhđơn điệu của hàm số, tôi xin đưa ra một số giải pháp sau:

- Giáo viên cho học sinh tiếp cận phương pháp này từ lớp 10 và việc chứngminh tính đơn điệu của hàm số sử dụng định nghĩa

- Giáo viên tùy vào trình độ của học sinh đưa các bài tập từ dễ đến khó

- Dạy học theo chuyên đề ôn thi THPT quốc gia tạo sự hứng thú cho học sinh.Ngoài các giải pháp trên khi dạy học theo chuyên đề này tôi đưa ra các bước

Bước 1: Nhận dạngBước 2: Xây dựng hàm sốBước 3: Chứng minh tính đơn điệuBước 4: Kết luận

* Bước 1: Nhận dạng

Để giải hệ phương trình theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu ta thường ápdụng cho các dạng bài tập:

- Không sử dụng biến đổi tương đương; đặt ẩn phụ

- Hệ đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại II mà các ẩn x, y có thể tách riêng haivế

( , ) 0

F x y I

f t = −e t

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau

Nhận xét: Ở phương trình thứ 2 ta thấy bậc của x và y như nhau nên ta biến đổi

* Bước 3: Chứng minh tính đơn điệu

Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta thường sử dụng hai phương phápsau:

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính đơn điệu để chứng minh tính đơn điệucủa hàm số

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của đạo hàm để chứng minh tính đơn điệu củahàm số

Phương pháp sử dụng đạo hàm để chứng minh tính đơn điệu của hàm số làmột phương pháp nhanh và đơn giản Phương pháp sử dụng định nghĩa để chứngminh tính đơn điệu của hàm số thường sử dụng cho học sinh lớp 10

* Bước 4: Kết luận

3 2 1 0 (3 ) 2 2 2 1 0

( ) ( ) ( , ) 0

G x y III

Từ tính đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của hệ phương trình thìkết luận Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta đưa về hệ đơn giản hơn thì ápdụng các phương pháp đã học để giải quyết hệ phương trình.

2 Một số bài tập minh họa

*Dạng 1: Biến đổi một phương trình của hệ về một phương trình có dạng đặc trưng

phương trình đầu của hệ phương trình đã cho nên ta chọn m=1, a= 1 và c=1.

Phương trình (*) tương đương với

Chọn hệ số của x trong (***) ta được n=-12

Do đó phương trình (***) tương đương với

Khi tìm được mối liên hệ của x và y thay vào phương trình (2) của hệ phương trình

đã cho để tìm nghiệm của hệ phương trình

Bài 3 ( Thi thử k2pi.net.vn năm 2015) Giải hệ phương trình sau:

(1) 9





Định hướng: Để giải hệ phương trình này ta tìm mối liên hệ giữa x và y ở phương trình (1); có thể sử dụng biến đổi tương đương và nhân lượng liên hiệp hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải: Điều kiện: x≥ 1; y≥ 0

Chia hai vế phương trình (1) cho 2

x y

⇔ =

⇒ =

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;2)

Bài 5 Giải hệ phương trình

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (9;8)

Bài 6: Giải hệ phương trình

Phương trình (3) ⇔ =x 2y Thay vào phương trình (2) ta có

6 3 3

Điều kiện: x>y>0

*Dạng 2: Từ một phương trình của hệ phương trình tìm được mối liên hệ giữa x và

y sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm nghiệm của hệ phương trình

Bài 10 Giải hệ phương trình sau:

Định hướng: Ở phương trình (1) xuất hiện căn thức có mối liên hệ giữa x, y nên ta

có thể biến đổi để tìm mối liên hệ của x, y từ phương trình này

(1) ⇔y+ y. x+ 3 − 2(x+ 3) = 0

⇔( y − x+ 3)( y + 2 x+ 3)= 0 ⇔

= +

−

) ( 0 3 2

0 3

VN x

y

x y

⇔ y− x+ 3 = 0⇔ y=x+3 (3)

7 2

5 3 2

−

− +

−

−

x x

5 3 2

3 ) (

−

− +

−

−

=

x x

x x

7

; 3

7

; 3

2: ta có f(1)=0

7

; 3

2: phương trình (4) có nghiệm duy nhất x =1

Tương tự trên khoảng 

7

phương trình(4)

có nghiệm duy nhất x=6

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : (1;4) và (6;9)

Bài 11 (Thi thử THPT Phan Đăng Lưu năm 2013) Giải hệ phương trình sau:

x x

+ = + + ⇔ = +

+

Dễ thấy hàm số ( ) 12 3

2 1

f x

x x

+ nghịch biến trên (0; +∞)Mặt khác f ( )3 = 1 nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất x= 3 ⇒ =y 2 3

* Với y= − x ta có: − x x 2 + = 1 2x+ 3x2 + 3 (4)

Phương trình (4) vô nghiệm vì vế trái không dương, vế phải dương

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 3; 2 3)

Bài 12 Giải hệ phương trình sau:

Thay vào phương trình (1) ta có:

f x < ∀x ⇒hàm số f(x) nghịch biến với mọi x

Mặt khác f(2) = 1 nên phương trình (4)có nghiệm duy nhất x = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình: (2; 2)

Bài 13 Giải hệ phương trình sau:

3 00

3 +6x2 −6x− =2 3(x−1)3 x3 + +x2 22x

Vậy hệ phương trình có nghiệm 3 17; 5 5 17

2

g x = − x + x− < ∀ ≥x

⇒ hàm số g(x) nghịch biến trên [1; + ∞)

Do đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (2; 1)

Bài 15 Giải hệ phương trình:

3 3 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình: (1; 1)

Bài 16 Giải hệ phương trình: ( )

2 2



Định hướng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại II nên có nghiệm x = y, mà

trong phương trình xuất liện ln nên ta có thể dùng tính đơn điệu của hàm số để giảiGiải

y

y

 > −

 + >

( )

2 2

Mặt khác g(0) = 0 nên x = 0 là nghiệm của phương trình (4)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (0; 0)

Bài 17:Giải hệ phương trình sau:

3

4 2

x y

Nhận xét: Khi biến đổi hệ phương trình để có phương trình (3) ta có thể nhân

lượng liên hợp đưa về dạng (x- y).f(x;y)= 0; tuy nhiên cách đó dài dễ sai.

Ngoài ra ta có thể mở rộng bài toán như sau: Tìm m để hệ phương trình:



w

( )2 1

Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài

2 Nội dung thực nghiệm

- Triển khai đề tài: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phươngtrình

- Đối tượng áp dụng: học sinh khá, giỏi lớp 12

23

y y

x x x

nhận

biết được

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng, giải được bài hoàn chỉnh

có cấu trúc đặc biệt như câu b hầu như các em chưa giải được

Qua thực tế giảng dạy chuyên đề này cho các em khối 12 tôi thấy các em họcsinh không những nâng cao khả năng giải hệ phương trình, biết cách vận dụng vàocác bài toán cụ thể mà còn hứng thú khi học chuyên đề này

Sau khi tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề này cho 40 học sinh khá, giỏi ởhai lớp 12A, 12B tôi tiến hành làm bài kiểm tra với đề gồm 4 hệ phương trìnhtương tự như các bài đã học Kết quả thu được như sau:

Không nhận biết được

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng, giải được bài hoàn chỉnh

Qua kết quả thu được tôi thấy phương pháp này có tác dụng đối với học sinh trong giải hệ phương trình Học sinh đã biết vận dụng nhiều kiến thức đã học vào giải hệ phương trình một cách nhanh chóng

PHẦN C: KẾT LUẬN

1 Kết luận:

“ Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình” nói riêng và

sử dụng phương pháp hàm số vào giải toán thường hay và đã sử dụng từ lâu Tuynhiên phương pháp này đã giảm tải trong SGK nên không được phổ biến SKKNnày của tôi đã đưa ra được một số dạng bài ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệphương trình từ đó giải quyết được những vấn đề sau:

- Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống phương pháp này, từ đó

có kỹ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này

- Phương pháp này rèn luyện cho học sinh khả năng làm việc độc lập, sángtạo phát huy tính tích cực của học sinh đặc biệt học sinh không còn e ngại khi giải

2 Kiến nghị, đề xuất:

Để nâng cao năng lực học toán cho học sinh cũng như kinh nghiệm giảng dạycủa giáo viên tôi có một số kiến nghị:

- Học sinh cần tích cực giải toán, trao đổi phương pháp học bài cho nhau

- Nhà trường nên tạo điều kiện khi mua thêm sách tham khảo không chỉ chogiáo viên mà mở rộng cho học sinh

- Tạo thuận lợi về thời gian khi đưa các chuyên đề vào ôn thi THPTQG

- Sở GD- ĐT nên đưa thêm các SKKN đạt giải qua các năm cũng như cácchuyên đề lên trang web của Sở để giáo viên học hỏi và ứng dụng vào giảng dạy.

Đề tài này là kinh nghiệm cá nhân trong quá trình giảng dạy thông qua một sốtài liệu nên không tránh được những hạn chế, thiếu sót Rất mong hội đồng khoahọc góp ý để đề tài ngày càng hoàn thiện nâng cao kinh nghiệm giảng dạy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK và sách bài tập giải tích 12 Nhà xuất bản giáo dục Năm 2008

2 Sách giáo khoa và sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 Nhà xuất bản giáo dục.Năm 2008

2 Lê Hồng Đức Phương pháp giải toán đạo hàm và ứng dụng Nhà xuất bản HàNội năm 2008

3 Lê Hồng Đức- Lê Hữu Trí Phương pháp giải toán mũ- loogarit Nhà xuất bảnĐại học quốc gia Hà Nội năm 2012

4 Ths Trần Đình Cư- Nguyễn Văn Rin Khám phá tư duy kỹ thuật giải phươngtrình, bất phương trình, hệ phương trình mũ- logarit Nhà xuất bản Đại học quốcgia Hà Nội Năm 2015

5 Ths Lê Văn Đoàn - Ths Văn Đức Chính Ôn luyện các dạng toán trong kỳ thituyể sinh đai học: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nhà xuất bảnĐại học quốc gia Hà Nội

6 Đề thi thử đại học của các trường THPT qua các năm

7 Các tài liệu về hệ phương trình trên mạng internet

MỤC LỤC Trang

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài 1

PHẦN B: NỘI DUNG

III Các giải pháp ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải hệ phương trình 4

PHẦN C: KẾT LUẬN 19