Điều kiện tối ưu toàn cục trong quy hoạch toàn phương_2

LÍI CAM OANTæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS... LÍI MÐ †UTèi ÷u to n ph÷ìng l mët bë phªn cõa quy ho¤ch to¡n håc câ nhi·uùng döng trong lþ thuy¸t công nh÷ trong íi sèng thüc t¸.

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

PGS TS Nguy¹n N«ng T¥m

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, d÷îi

sü h÷îng d¨n cõa PGS TS Nguy¹n N«ng T¥m Em xin b y tä láng bi¸t

ìn s¥u s­c tîi Th¦y, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v  gióp ï em trongsuèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º em câ thº ho n th nh luªn v«n n y

Em công b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi quþ th¦y, cæ gi¡o tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gi£ng d¤y v  gióp ï em ho n th nh khâahåc Nh¥n dàp n y em công xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, çngnghi»p Tr÷íng THPT Hçng Th¡i - Huy»n an Ph÷ñng - H  Nëi, gia ¼nh

v  b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, gióp ï v  t¤o i·u ki»n cho em v· måi m°ttrong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y

H  Nëi, ng y 28 th¡ng 07 n«m 2018

Nguy¹n L¶ Qu¥n

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS TS Nguy¹n N«ng T¥m,luªn v«n Chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i: i·u ki»n tèi ÷u to ncöc trong quy ho¤ch to n ph÷ìng do tæi tü l m

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  thüc hi»n luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa nhúng

th nh qu£ cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

C¡c k¸t qu£ tr½ch d¨n trong luªn v«n l  trung thüc v  ÷ñc ch¿ rã nguçngèc

H  Nëi, ng y 28 th¡ng 07 n«m 2018

Nguy¹n L¶ Qu¥n

LÍI MÐ †U

Tèi ÷u to n ph÷ìng l  mët bë phªn cõa quy ho¤ch to¡n håc câ nhi·uùng döng trong lþ thuy¸t công nh÷ trong íi sèng thüc t¸ Vi»c nghi¶ncùu c¡c t½nh ch§t ành t½nh công nh÷ c¡c thuªt to¡n gi£i húu hi»u c¡c b iquy ho¤ch to n ph÷ìng l  mët chõ · ¢ v  ang ÷ñc nhi·u t¡c gi£ trong

v  ngo i n÷îc quan t¥m V¼ vªy, sau khi ÷ñc håc v  nghi¶n cùu nhúngki¸n thùc v· to¡n gi£i t½ch, vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u hìn v· nhúngki¸n thùc ¢ håc v  ùng döng cõa chóng, tæi ¢ chån · t i nghi¶n cùu :

i·u ki»n tèi ÷u to n cöc trong quy ho¤ch to n ph÷ìng

Luªn v«n n y nghi¶n cùu v· c¡c i·u ki»n tèi ÷u to n cöc cõa nhúnglîp b i to¡n trong quy ho¤ch to n ph÷ìng Qua â th§y ÷ñc t¦m quantrång cõa nhúng ki¸n thùc ¢ håc v  c¡c ùng döng cõa chóng Vîi nëi dungnghi¶n cùu n y, ngo i ph¦n líi mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, luªnv«n ÷ñc chia th nh hai ch÷ìng K¸t qu£ ch½nh tªp trung trong Ch÷ìng

2 Cö thº nh÷ sau:

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, luªn v«n ph¦n

¦u tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc c¦n thi¸t v· gi£i t½ch lçi v  lþ thuy¸t tèi

÷u º sû döng cho ch÷ìng ti¸p theo nh÷ tªp lçi, h m lçi, d÷îi vi ph¥n,

vv Sau â, luªn v«n tr¼nh b y v· b i to¡n tèi ÷u còng vîi c¡c kh¡i ni»mv· iºm ch§p nhªn ÷ñc, cüc tiºu àa ph÷ìng, cüc tiºu to n cöc

Ch÷ìng 2 i·u ki»n tèi ÷u to n cöc trong quy ho¤ch to nph÷ìng Trong ch÷ìng n y, tr÷îc ti¶n, luªn v«n s³ tr¼nh b y v· tèi ÷u

to n ph÷ìng vîi c¡c r ng buëc to n ph÷ìng Qua â, thu ÷ñc c¡c i·uki»n õ công nh÷ i·u ki»n c¦n v  õ cho c¡c cüc tiºu to n cöc Ti¸p â,luªn v«n tr¼nh b y c¡c °c tr÷ng cõa Bê · S v  èi ng¨u Lagrange cho

tèi ÷u to n ph÷ìng tr¶n mët r ng buëc to n ph÷ìng thæng qua i·u ki»nSlater V  sau â l  ch½nh quy hâa Bê · S khæng i·u ki»n Slater Cuèich÷ìng, luªn v«n tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v  õ cho tèi ÷u to n cöctrong quy ho¤ch to n ph÷ìng.

Ch֓ng 1

KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y, luªn v«n s³ tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, ành ngh¾a

v  c¡c k¸t qu£ c¦n thi¸t v· gi£i t½ch lçi v  lþ thuy¸t tèi ÷u nh¬m phöc vöcho Ch÷ìng 2 T i li»u tham kh£o ch½nh cõa ch÷ìng n y l  [1], [15], [16],[18] v  [26]

1.1 Mët sè nëi dung cì b£n cõa gi£i t½ch lçi

Trong to n bë luªn v«n, ta kþ hi»u Rn l  khæng gian Euclide n-chi·utr¶n tr÷íng sè thüc R Méi v²c tì x ∈ Rn s³ gçm n tåa ë l  c¡c sè thüc.Vîi hai v²c tì x = (x1, , xn)T v  y = (y1, , yn)T thuëc Rn, ta nh­cl¤i r¬ng

(n × n) ÷ñc kþ hi»u l  In v  A  0 câ ngh¾a l  ma trªn A l  nûa x¡c

ành d÷ìng Ma trªn ch²o vîi c¡c ph¦n tû ÷íng ch²o α1, , αn ÷ñc kþhi»u bði diag(α1, , αn)

Khæng gian cõa t§t c£ c¡c ma trªn èi xùng (n × n) ÷ñc kþ hi»u l 

Sn Khi vi¸t A  B v  A  B t÷ìng ùng ÷ñc hiºu l  ma trªn A − B

l  nûa x¡c ành d÷ìng v  x¡c ành d÷ìng Nân nûa x¡c ành d÷ìng ÷ñc

trong â aij l  ph¦n tû (i, j) cõa A v  bji l  ph¦n tû (j, i) cõa B

Cho K l  mët nân trong Sn Chu©n cõa A ∈ Sn v  kho£ng c¡ch tø A

¸n nân K ÷ñc ành ngh¾a l¦n l÷ñt l  kAk = (A · A)1/2 v 

d(A, K) = inf

B∈KkA − Bk

Nh¥n (kernel) cõa mët ma trªn A ∈ Sn ÷ñc ành ngh¾a bði

KerA := {x ∈ Rn : Ax = 0}

Vîi mët tªp con D ⊂ Rn, bao âng cõa D ÷ñc kþ hi»u l  D Mët tªp

K ⊂ Rn ÷ñc gåi l  mët nân n¸u λK ⊆ K vîi måi λ ≥ 0 Cüc ¥m(negative polar) cõa K kþ hi»u l 

K◦ := {d : dTx ≤ 0 ∀x ∈ K}

Vîi c¡c nân K1, K2 ∈ Rn, cæng thùc cüc ([16]) sau ÷ñc thäa m¢n:

(K1◦ ∩ K2◦)◦ = K1 + K2

°c bi»t, khi K1 = −S+n v  K2 = S

t≥0tH2, trong â H2 l  ma trªn n o

â trong Sn, ta thu ÷ñc:

Mët ÷íng th¯ng nèi hai iºm (hai v²c tì) a, b trong Rn l  tªp hñp t§tc£ c¡c v²c tì x ∈ Rn câ d¤ng

{x ∈ Rn : x = αa + βb, α, β ∈R, α + β = 1}

o¤n th¯ng nèi hai iºm a, b trong Rn l  tªp hñp t§t c£ c¡c v²c tì x ∈ Rn

câ d¤ng

{x ∈ Rn : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}

ành ngh¾a 1.1.1 Mët tªp C ⊆ Rn ÷ñc gåi l  mët tªp lçi ([1]), n¸u C

chùa måi o¤n th¯ng i qua hai iºm b§t ký cõa nâ Nâi kh¡c i, tªp C

l  lçi n¸u v  ch¿ n¸u

Trong tr÷íng hñp ta l m vi»c vîi h m h : Rn −→ R∪ {+∞}, th¼ ànhngh¾a tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi h l  h m lçi tr¶n C n¸u v  ch¿ n¸u

th¼ h l  mët h m lçi H m n y cán ÷ñc gåi l  h m ch¿ v  th÷íng ÷ñc

kþ hi»u l  δC(x)

ành ngh¾a 1.1.5 ([16]) Cho h : Rn −→ R l  mët h m lçi li¶n töc,

d÷îi vi ph¥n cõa h t¤i x ∈ Rn ÷ñc ành ngh¾a bði

∂h(x) = {a ∈ Rn : aT(y − x) ≤ h(y) − h(x) ∀y ∈ Rn} (1.2)Vîi ε ≥ 0, ε-d÷îi vi ph¥n (ε- subdifferential) cõa h t¤i x ∈ Rn ÷ñc ànhngh¾a nh÷ sau:

∂εh(x) = {a ∈ Rn : aT(y − x) ≤ h(y) − h(x) + ε ∀y ∈ Rn} (1.3)

Ta câ thº th§y r¬ng ∂h(x) ⊆ ∂εh(x) vîi måi ε > 0 v  ∂h(x) = {∇h(x)}

n¸u h l  mët h m lçi kh£ vi li¶n töc

Cho h : Rn −→ R, ta kþ hi»u

[h ≤ 0] := {x ∈ Rn | h(x) ≤ 0}

Nân ph¡p tuy¸n cõa [h ≤ 0] t¤i iºm x ∈ [h ≤ 0] l 

N[h≤0](x) := {a ∈ Rn : aT(z − x) ≤ 0, ∀z ∈ [h ≤ 0]}

N¸u h l  mët h m lçi kh£ vi li¶n töc tr¶n Rn, th¼ vîi méi x ∈ [h ≤ 0], tacâ

Bê · 1.1.7 N¸u f, g :Rn −→ R (n ≥ 3) l  c¡c h m to n ph÷ìng thu¦nnh§t, ÷ñc ành ngh¾a bði

f (x) = xTAx v  g(x) = xTBx,

trong â A, B ∈ Sn, th¼

V := {(f (x), g(x)) | kxk = 1} ⊂ R2

l  mët tªp compact lçi.

Bê · 1.1.8 ([16], Bê · 2.2 ) Cho A, B l  hai ma trªn èi xùng thüc

cï 2 × 2 ành ngh¾a K = {(xTAx, xTBx) : x ∈ R2} Khi â,

K = {(A · X, B · X) : X ∈ S+2}

v  K l  mët tªp lçi

1.2 B i to¡n tèi ÷u

B i to¡n tèi ÷u r ng buëc phi tuy¸n ([26]) câ d¤ng têng qu¡t nh÷ sau:

min

sao cho gi(x) = 0, i = 1, , me; (1.9)

gi(x) ≥ 0, i = me + 1, · · · , m, (1.10)trong â, h m möc ti¶uf (x)v  c¡c h m r ng buëcgi(x)(vîii = 1, , m)

·u trìn, l  c¡c h m thüc tr¶n Rn v  ½t nh§t mët trong sè â l  h m phituy¸n; me v  m l  c¡c sè nguy¶n khæng ¥m vîi 0 ≤ me ≤ m Ta gåi

E = {1, , me} v  I = {me + 1, · · · , m}

l¦n l÷ñt l  tªp ch¿ sè cõa c¡c r ng buëc ph÷ìng tr¼nh v  c¡c r ng buëc b§tph÷ìng tr¼nh

- N¸u khæng câ hai i·u ki»n (1.9) v  (1.10) th¼ b i to¡n (1.8)-(1.10)

l  mët b i to¡n tèi ÷u khæng r ng buëc;

- N¸u me = m 6= 0 th¼ b i to¡n (1.8)-(1.10) ÷ñc gåi l  mët b i to¡ntèi ÷u r ng buëc ph÷ìng tr¼nh;

- N¸u t§t c£ c¡c h m gi(x) (vîi i = 1, , m) l  tuy¸n t½nh, th¼

b i to¡n (1.8)-(1.10) ÷ñc gåi l  mët b i to¡n tèi ÷u r ng buëc tuy¸nt½nh Mët b i to¡n tèi ÷u r ng buëc tuy¸n t½nh vîi h m möc ti¶u to nph÷ìng f (x) ÷ñc gåi l  mët b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng

ành ngh¾a 1.2.1 iºm x ∈ Rn ÷ñc gåi l  mët iºm ch§p nhªn ÷ñcn¸u v  ch¿ n¸u (1.9)-(1.10) thäa m¢n Tªp t§t c£ c¡c iºm ch§p nhªn ÷ñc

÷ñc gåi l  mët tªp ch§p nhªn ÷ñc

Trong b i to¡n (1.8)-(1.10), c¡c i·u ki»n (1.9)-(1.10) ÷ñc gåi l  c¡c

i·u ki»n r ng buëc Tø ành ngh¾a 1.2.1, iºm ch§p nhªn ÷ñc l  iºmthäa m¢n t§t c£ c¡c r ng buëc Ta vi¸t tªp ch§p nhªn ÷ñc X nh÷ sau:

X =

(

x ∈ Rn

gi(x) = 0, i = 1, , me;

gi(x) ≥ 0, i = me + 1, , m

)

(1.11)hay

f (x) > f (x∗), ∀x ∈ X, x 6= x∗, (1.15)th¼ x∗ ÷ñc gåi l  cüc tiºu to n cöc ng°t (strict global minimizer)

ành ngh¾a 1.2.3 N¸u x∗ ∈ X v  n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn B(x∗, δ) cõa

x∗ sao cho

f (x) ≥ f (x∗), ∀x ∈ X ∩ B(x∗, δ), (1.16)

th¼x∗ ÷ñc gåi l  cüc tiºu àa ph÷ìng (local minimizer) ([26]) cõa b i to¡n(1.8)-(1.10), trong â

B(x∗, δ) = {x : kx − x∗k2 ≤ δ} (1.17)

v  δ > 0

N¸u x∗ ∈ X v  n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn B(x∗, δ) cõa x∗ sao cho

f (x) > f (x∗), ∀x ∈ X ∩ B(x∗, δ), x 6= x∗, (1.18)th¼ x∗ ÷ñc gåi l  cüc tiºu àa ph÷ìng ng°t (strict local minimizer)

ành ngh¾a 1.2.4 N¸u x∗ ∈ X v  n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn B(x∗, δ) cõa

x∗ sao cho x∗ ch¿ l  cüc tiºu àa ph÷ìng tr¶n X ∩ B(x∗, δ), th¼ x∗ ÷ñc gåi

l  mët cüc tiºu àa ph÷ìng cæ lªp

Gi£ sû r¬ng x∗ l  mët cüc tiºu àa ph÷ìng cõa b i to¡n (1.8)-(1.10).N¸u tçn t¤i mët ch¿ sè i0 ∈ I = [me+ 1, m] sao cho

gi0(x∗) > 0, (1.19)khi â, n¸u ta xâa r ng buëc thù i0 th¼ x∗ v¨n l  cüc tiºu àa ph÷ìng cõa

b i to¡n thu ÷ñc b¬ng c¡ch xâa r ng buëc thù i0 Do â, ta nâi r¬ng r ngbuëc thù i0 l  khæng ho¤t (inactive) t¤i x∗

B¥y gií, ta s³ ÷a ra c¡c ành ngh¾a v· r ng buëc ho¤t v  r ng buëckhæng ho¤t Tr÷îc h¸t, ta °t

I(x) = {i | gi(x) = 0, i ∈ I} (1.20)

ành ngh¾a 1.2.5 ([26]) Vîi méi x ∈ Rn, tªp

l  mët tªp ch¿ sè ho¤t c¡c r ng buëc (index set of active constraints) t¤i x;

gi(x)(i ∈ A(x)) l  mët r ng buëc ho¤t (active constraint) t¤i x; gi(x)(i /∈A) l  mët r ng buëc khæng ho¤t (inactive constraint) t¤i x

Gi£ sû r¬ng A(x∗) l  mët tªp ch¿ sè ho¤t c¡c r ng buëc cõa b i to¡n(1.8)-(1.10) t¤i x∗, khi â, d÷îi c¡ch nh¼n v· c¡c r ng buëc khæng ho¤t,

õ º cho ta câ thº gi£i b i to¡n tèi ÷u r ng buëc

ành ngh¾a 1.3.1 ([18], [23])(L-d÷îi vi ph¥n) Cho L l  mët tªp c¡c

h m gi¡ trà thüc l : Rn −→ R v  f : Rn −→ R Mët ph¦n tû l ∈ L ÷ñcgåi l  mët L-d÷îi gradient cõa f t¤i mët iºm x0 ∈ Rn n¸u

f (x) ≥ f (x0) + l(x) − l(x0), ∀x ∈ Rn

Tªp∂Lf (x0) cõa t§t c£ c¡c L-d÷îi gradient cõaf t¤ix0 ÷ñc gåi l L-d÷îi

vi ph¥n (L-subdifferential) cõa f t¤i x0

Chó þ r¬ng, n¸u L ÷ñc chån nh÷ l  tªp t§t c£ c¡c h m tuy¸n t½nh

÷ñc ành ngh¾a tr¶n Rn, th¼ khi â vîi måi h m lçi mang gi¡ trà thüc f

÷ñc ành ngh¾a tr¶n Rn, ta câ ∂Lf (x) = ∂f (x), trong â ∂f (x) l  d÷îi

vi ph¥n theo ngh¾a gi£i t½ch lçi ([11])

X²t b i to¡n tèi ÷u r ng buëc b§t ph÷ìng tr¼nh:

min

sao cho gi(x) ≤ 0, i = 1, · · · , m,

trong â f, gi : Rn −→ R, i = 1, · · · , m Tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa (P )

÷ñc kþ hi»u bði

S := {x ∈ Rn | gi(x) ≤ 0, i = 1, · · · , m} (1.24)

M»nh · 1.3.2 (C¡c i·u ki»n õ cho cüc tiºu to n cöc)

Gi£ sû L l  mët tªp c¡c h m mang gi¡ trà thüc ÷ñc ành ngh¾a tr¶n Rn

sao cho −l ∈ L vîi l ∈ L Trong b i to¡n (P ), cho x ∈ S Gi£ sû r¬ng

Chùng minh Theo i·u ki»n (1.24) th¼ tçn t¤i λi ≥ 0, i = 1, · · · , m v 

M»nh · 1.3.3 Gi£ sû L l  mët tªp c¡c h m mang gi¡ trà thüc ÷ñc

ành ngh¾a tr¶n Rn sao cho −l ∈ L vîi l ∈ L Trong b i to¡n (P ), cho

x ∈ S Gi£ sû r¬ng f ∈ L Khi â, (1.25) thäa m¢n n¸u v  ch¿ n¸u

Do vªy, (1.25) ÷ñc thäa m¢n M»nh · ÷ñc chùng minh

Nh­c l¤i r¬ng, nân ph¡p tuy¸n cõa mët tªp kh¡c réng D trong Rn èivîi L ÷ñc cho bði

Nh÷ ta s³ th§y trong luªn v«n n y, ph÷ìng tr¼nh trong (1.27) âng vai trá

°c bi»t quan trång trong vi»c °c tr÷ng cõa tèi ÷u to n cöc thæng quac¡c nh¥n tû Lagrange

ành ngh¾a 1.3.4 (T½nh ch§t-S) C¡c r ng buëc ÷ñc gåi l  thäa m¢nt½nh ch§t-S (S-property) n¸u

NL,S(x) = [

µ∈R m +

(a) gi(y) ≤ 0, i = 1, , m =⇒ l(y) ≥ α;(b) (∃λ ∈ Rm+) l(y) +Pm

i=1λigi(y) ≥ α, ∀y ∈ Rn

Ta câ thº th§y r¬ng, (b) suy ra ngay (a) Tuy nhi¶n, tø (a) d¨n ¸n (b) ch¿x£y ra trong c¡c tr÷íng hñp °c bi»t Khi (a) suy ra (b) ÷ñc thäa m¢n,th¼ h» {g1, , gm, l, α} ÷ñc gåi l  thäa m¢n t½nh gi£i ÷ñc Ch¯ng h¤n,n¸u L l  tªp c¡c h m tuy¸n t½nh v  n¸u c¡c h m gi l  affine, th¼ c¡c h»(a) v  (b) thäa m¢n t½nh gi£i ÷ñc i·u n y suy ra tø ành lþ gi£i ÷ñc

¢ bi¸t, ÷ñc gåi l  Bê · Farkas ([13]) T÷ìng tü, trong tr÷íng hñp m c¡c h m gi l  lçi, i·u ki»n Slater gi(x0) < 0, i = 1, 2, , m vîi x0 ∈ Rn

n o â, th¼ £m b£o r¬ng c¡c h» (a) v  (b) thäa m¢n t½nh gi£i ÷ñc ([7]).Nhªn x²t 1.3.5 Vîi måil ∈ L v  vîi méix ∈ Rn, h»{g1, , gm, l, l(x)}

thäa m¢n t½nh gi£i ÷ñc n¸u v  ch¿ n¸u c¡c r ng buëc thäa m¢n t½nh

ch§t-S Trong tr÷íng hñp L l  tªp t§t c£ c¡c h m tuy¸n t½nh v f, g1, g2, , gm

l  c¡c h m lçi, th¼ t½nh ch§t-S l  ành t½nh r ng buëc y¸u nh§t cho °ctr÷ng nh¥n tû Lagrange cõa tèi ÷u èi vîi b i to¡n (P ) ([11], [14]) Trongtr÷íng hñp n y, i·u ki»n Slater £m b£o t½nh gi£i ÷ñc cõa h» lçi

M»nh · 1.3.6 Cho L l  mët tªp c¡c h m mang gi¡ trà thüc ÷ñc ànhngh¾a tr¶n Rn sao cho −l ∈ L vîi l ∈ L Trong b i to¡n (P ), cho x ∈ S

Gi£ sû r¬ng f ∈ L v  t½nh ch§t-S thäa m¢n t¤i x Khi â, x l  mët cüctiºu to n cöc cõa (P ) n¸u v  ch¿ n¸u (1.25) thäa m¢n.

Chùng minh Tø x l  mët cüc tiºu to n cöc cõa (P ), theo ành ngh¾a

ta câ −f ∈ NL,S(x) Do â, nhí v o t½nh ch§t-S ta câ (1.25) thäa m¢n Sûdöng M»nh · 1.3.2 v  M»nh · 1.3.3, ta câ ngay i·u c¦n chùng minh

ành lþ sau ¥y s³ ch¿ ra r¬ng t½nh ch§t-S l  t½nh ch§t °c tr÷ng choc¡c cüc tiºu to n cöc thæng qua c¡c nh¥n tû Lagrange

ành lþ 1.3.7 (°c tr÷ng nh¥n tû Lagrange cõa t½nh ch§t-S) Gi£ sûr¬ng L l  mët tªp c¡c h m mang gi¡ trà thüc ÷ñc ành ngh¾a tr¶n Rn saocho −l ∈ L vîi l ∈ L Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng:

(a) C¡c r ng buëc thäa m¢n t½nh ch§t-S.(b) Vîi måi f ∈ L v  vîi méi cüc tiºu to n cöc x cõa f tr¶n S,

ành ngh¾a v· nân L-ph¡p tuy¸n (L-normal cone), ta câ x l  mët cüc tiºu

to n cöc cõa −l tr¶n S Theo (b), tçn t¤i λ ∈ Rm+ sao cho

Tø â, ta câ t½nh ch§t-S thäa m¢n i·u â công câ ngh¾a l  (b) ⇒ (a)

ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n

to n ph÷ìng tr¶n mët r ng buëc to n ph÷ìng thæng qua i·u ki»n Slater.

V  sau â l  ch½nh quy hâa Bê · S khæng i·u ki»n Slater Cuèi ch÷ìng,luªn v«n tr¼nh b y c¡c i·u ki»n c¦n v  õ cho tèi ÷u to n cöc trong quyho¤ch to n ph÷ìng T i li»u tham kh£o ch½nh cho ch÷ìng n y l  [3], [15]

v  [16]

2.1 Tèi ÷u to n ph÷ìng vîi c¡c r ng buëc to n

ph֓ng

Kþ hi»u Sn l  tªp t§t c£ c¡c ma trªn èi xùng n × n.X²t b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng:

B¥y gií, vîi k ∈ R, ta câ

ành lþ 2.1.2 (C¡c i·u ki»n õ cho c¡c cüc tiºu to n cöc)

Vîi b i to¡n (QP), gi£ sû x ∈ S N¸u tçn t¤i λi ≥ 0, i = 1, , m sao cho

Do â, theo M»nh · 1.3.3 v  M»nh · 1.3.2, ta suy ra x l  mët cüc tiºu

to n cöc cõa b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng (QP) ành lþ ÷ñc chùngminh

Ti¸p theo, ta s³ th§y r¬ng (2.2) ch½nh l  i·u ki»n c¦n v  õ cho tèi ÷u

to n cöc d÷îi t½nh ch§t-S

ành lþ 2.1.3 (C¡c i·u ki»n c¦n v  õ cho c¡c cüc tiºu to n cöc)

Vîi b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng (QP), cho x ∈ S Gi£ sû r¬ng c¡c r ngbuëc thäa m¢n t½nh ch§t-S t¤i x Khi â, x l  mët cüc tiºu to n cöc cõa

b i to¡n (QP) n¸u v  ch¿ n¸u (2.2) ÷ñc thäa m¢n

Chùng minh Theo M»nh · 1.3.6, ta ch¿ c¦n ch¿ ra (1.25) t÷ìng ÷ìngvîi (2.2) Thªt vªy, ta câ (1.25) thäa m¢n n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i λ ∈ Rm+

i=1λigi(x) n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i

C ∈ Sn vîi C  0 sao cho

Suy ra (1.25) ÷ñc thäa m¢n ành lþ ÷ñc chùng minh ho n to n.

Nhªn x²t 2.1.4 Tø ành lþ 1.3.7, ta th§y r¬ng c¡c r ng buëc thäa m¢nt½nh ch§t-S n¸u v  ch¿ n¸u (2.2) thäa m¢n vîi méi f ∈ L v  vîi måi cüctiºu x cõa f tr¶n S

Mët cæng cö r§t quan trång trong lþ thuy¸t i·u khiºn v  trong gi£it½ch tèi ÷u hâa m¤nh, â l  Bê · S Nâ ÷a ra c¡c i·u ki»n £m b£ot½nh ch§t-S cho mët tr÷íng hñp to n ph÷ìng khæng lçi

Bê · 2.1.5 ([3], M»nh · 4.10.1 ) (Bê · S khæng thu¦n nh§t)

Cho f, g1 : Rn −→R l  c¡c h m to n ph÷ìng ÷ñc ành ngh¾a bði

V  sau â l  ch½nh quy hâa Bê à S khổng iÃu kiằn Slater Cuối chữỡng,luên vôn trẳnh by cĂc iÃu kiằn cƯn v ừ cho tối ữu ton cửc quyhoÔch ton phữỡng Ti liằu tham khÊo chẵnh... thẳ tẵnh chĐt-S l nh tẵnh rng buởc yáu nhĐt cho ctrững nhƠn tỷ Lagrange cừa tối ữu ối vợi bi to¡n (P ) ([11], [14]) Trongtr÷íng hđp n y, i·u ki»n Slater Êm bÊo tẵnh giÊi ữủc cừa hằ lỗi

Mằnh...

v [16]

2.1 Tối ữu ton phữỡng vợi cĂc rng buởc ton

phữỡng

Kỵ hiằu Sn l têp tĐt cÊ cĂc ma ối xựng n ì n.Xt bi toĂn quy hoÔch ton phữỡng: