Điều kiện tối ưu địa phương trong quy hoạch toàn phương_2

Nguyễn Năng Tâm,luận văn Chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Điều kiện tối ưu địaphương trong quy hoạch toàn phương do tôi tự làm.. Trong những năm gần đây, do vai trò của các bài to

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm Em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trongsuốt quá trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này

Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóahọc Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồngnghiệp trường THPT Quang Minh huyện Mê Linh - Hà Nội, gia đình vàbạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặttrong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2018

Phạm Thị Lan Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm,luận văn Chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Điều kiện tối ưu địaphương trong quy hoạch toàn phương do tôi tự làm

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa nhữngthành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Các kết quả trích dẫn trong luận văn là trung thực và được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, ngày 28 tháng 07 năm 2018

Phạm Thị Lan Phương

LỜI MỞ ĐẦU

Các bài toán quy hoạch toàn phương lập thành một bộ phận của tối ưuphi tuyến, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tiễn.Nhiều kết quả nghiên cứu của tối ưu phi tuyến có thể áp dụng cho quyhoạch toàn phương Tuy thế, do các bài toán quy hoạch toàn phương cócấu trúc đặc biệt nên các kết quả nghiên cứu về chúng thường sâu sắc hơn

Trong những năm gần đây, do vai trò của các bài toán quy hoạch toànphương trong tối ưu hóa ngày một tăng, các tính chất định tính cũng nhưcác thuật toán giải hữu hiệu các bài quy hoạch toàn phương trở thành mộtchủ đề được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm Vì vậy, sau khiđược học và nghiên cứu những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốntìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và ứng dụng của chúng, tôi

đã chọn đề tài nghiên cứu “Điều kiện tối ưu địa phương trong quyhoạch toàn phương ”

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về các điều kiện cho nghiệmđịa phương của lớp bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toànphương trong không gian hữu hạn chiều Qua đó, thấy được tầm quantrọng của những kiến thức đã học và những ứng dụng của chúng Vớinội dung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tài liệu thamkhảo, luận văn được chia thành hai chương Kết quả chính tập trung trongChương 2

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn phầnđầu trình bày những kiến thức cần thiết về giải tích lồi như tập lồi, hàmlồi, vv Phần tiếp theo, luận văn trình bày về bài toán tối ưu ràng buộc

phi tuyến cùng với các khái niệm về điểm chấp nhận được, cực tiểu địaphương, cực tiểu toàn cục và cực tiểu địa phương cô lập nhằm phục vụcho Chương 2.

Chương 2 Điều kiện tối ưu địa phương trong quy hoạch toànphương Trong chương này, luận văn trình bày các điều kiện tối ưu bậcnhất và các điều kiện tối ưu bậc hai Tiếp đó, luận văn trình bày điều kiệncần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ cho nghiệm địa phương và nghiệmđịa phương cô lập của lớp bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộctoàn phương trong không gian hữu hạn chiều

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số khái niệm, định nghĩa

và các kết quả cần thiết về giải tích lồi cũng như về lý thuyết tối ưu nhằmphục vụ cho Chương 2 Tài liệu tham khảo chính cho chương này là [1],[2], [5] và [11]

1.1 Một số nội dung cơ bản của giải tích lồi

Trong phần này, ta ký hiệu Rnlà không gian Eucliden-chiều trên trường

số thực R Mỗi véc tơ x ∈ Rn sẽ gồm n tọa độ là các số thực Với hai véc

tơ x = (x1, , xn)T và y = (y1, , yn)T thuộc Rn, ta nhắc lại rằng

gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x và y Chuẩn Euclide của phần tử x

được định nghĩa như sau:

Đoạn thẳng nối hai điểmu, v trong Rn là tập hợp tất cả các véc tơ x ∈ Rn

có dạng

{x ∈ Rn | x = λu + µv, λ ≥ 0, µ ≥ 0, λ + µ = 1}

Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi, nếu

C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Như vậy, tập C làlồi nếu và chỉ nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] ta có

(iii) Tập Λ = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} là một tập lồi

(iv) Mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi

Lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộng đại số và phépnhân tích Descartes Cụ thể, ta có định lý sau:

Định lý 1.1.3 Cho A, B là các tập lồi trong Rn và C là tập lồi trong

Rm Khi đó, các tập sau là lồi:

(a) Tập C được gọi là nón nếu

∀λ > 0, ∀x ∈ C =⇒ λx ∈ C

(b) Một nón C được gọi là nón lồi nếu C đồng thời là một tập lồi.(c) Một nón lồi được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đườngthẳng Khi đó, ta nói O là đỉnh của nón Nếu nón lồi này lại là mộttập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện

Ví dụ 1.1.5 Một ví dụ điển hình của nón lồi đa diện, thường được

sử dụng, là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính có dạng

Vậy theo (a) ta có x + y ∈ C

Ngược lại, giả sử ta có (a) và (b) Từ (a) suy ra ngay C là một nón.Giả sử x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] Từ (a) suy ra λx ∈ C và (1 − λ)y ∈ C.Theo (b) ta có

λx + (1 − λ)y ∈ C

Vậy C là một nón lồi

Định nghĩa 1.1.7 ([1]) Cho C ⊆ Rn là một tập lồi và x ∈ C Khi đó,

được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x.

Định nghĩa 1.1.8 Cho C ⊆ Rn, bao affine của C, ký hiệu là affC đượcxác định bởi

riC := {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C},

ở đây B là một lân cận mở của gốc

Cho C ⊆ Rn là một tập lồi và f : C −→ R Ta ký hiệu tập

được gọi là trên đồ thị của hàm f

Bằng cách cho f (x) = +∞ nếu x /∈ C, ta có thể xem f được xác địnhtrên toàn không gian, và ta có

domf = nx ∈ Rn|f (x) < +∞o,epif = n(x, µ) ∈ Rn×R|f (x) ≤ µo

Định nghĩa 1.1.9 ([1]) Cho C ⊆ Rn là một tập lồi, khác rỗng và ánh

xạ f : C −→ R Ta nói f là hàm lồi trên C, nếu epif là một tập lồi trong

(5) Hàm f : R −→ R xác định bởi f (x) = x3 là một hàm không lồitrên R Thật vậy, với x = −1, y = 0, λ = 1

Do đó, f (x) = x3 không lồi trên R

Dễ thấy hàm f (x) = x3 cũng không là hàm lõm trên R

Định nghĩa 1.1.12 Cho C ⊆ Rn là một tập lồi, khác rỗng Khi đó,(1) f :Rn −→ R∪ {+∞} được gọi là hàm lồi ngặt trên C, nếu

1.2 Bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu ràng buộc phi tuyến ([11], trang 385) có dạng tổng quátnhư sau:

min

sao cho ci(x) = 0, i = 1, , me; (1.2)

ci(x) ≥ 0, i = me + 1, , m, (1.3)

trong đó hàm mục tiêu f (x)và các hàm ràng buộc ci(x) (vớii = 1, , m)đều trơn, là các hàm thực trên Rn và ít nhất một trong số đó là hàm phituyến; me và m là các số nguyên không âm với 0 ≤ me ≤ m Ta gọi

E = {1, , me} và I = {me + 1, , m}

lần lượt là tập chỉ số của các ràng buộc phương trình và các ràng buộc bấtphương trình

• Nếu các điều kiện (1.2) và (1.3) không xảy ra, thì bài toán (1.1)-(1.3)

là một bài toán tối ưu không ràng buộc;

• Nếu me = m 6= 0 thì bài toán (1.1)-(1.3) được gọi là một bài toán tối

ưu ràng buộc phương trình;

• Nếu tất cả các hàmci(x) (vớii = 1, , m) là tuyến tính, thì bài toán(1.1)-(1.3) được gọi là một bài toán tối ưu ràng buộc tuyến tính Mộtbài toán tối ưu ràng buộc tuyến tính với hàm mục tiêu toàn phương

f (x) được gọi là một bài toán quy hoạch toàn phương

Định nghĩa 1.2.1 Điểm x ∈ Rn được gọi là một điểm chấp nhận được(feasible point ) ([11], trang 386) nếu và chỉ nếu (1.2)-(1.3) thỏa mãn Tậptất cả các điểm chấp nhận được được gọi là một tập chấp nhận được.Trong bài toán (1.1)-(1.3), các điều kiện (1.2)-(1.3) được gọi là các điềukiện ràng buộc Từ Định nghĩa 1.2.1, điểm chấp nhận được là điểm thỏamãn tất cả các ràng buộc Ta viết tập chấp nhận được X như sau:

X =

(

x ∈ Rn

Điều này có nghĩa là việc tìm nghiệm của bài toán tối ưu ràng buộc (1.3) quy về việc tìm một điểm x trên tập chấp nhận được X sao cho hàmmục tiêu f (x) đạt cực tiểu.

(1.1)-Sau đây, ta sẽ định nghĩa về cực tiểu địa phương và cực tiểu toàn cục.Định nghĩa 1.2.2 ([11], trang 386) Nếu x∗ ∈ X và

f (x) ≥ f (x∗), ∀x ∈ X, (1.7)thì x∗ được gọi là cực tiểu toàn cục (global minimizer ) của bài toán (1.1)-(1.3) Nếu x∗ ∈ X và

f (x) > f (x∗), ∀x ∈ X, x 6= x∗, (1.8)thì x∗ được gọi là cực tiểu toàn cục ngặt (strict global minimizer )

Định nghĩa 1.2.3 ([11], trang 386) Nếu x∗ ∈ X và nếu tồn tại một lâncận B(x∗, δ) của x∗ sao cho

f (x) ≥ f (x∗), ∀x ∈ X ∩ B(x∗, δ), (1.9)thì x∗ được gọi là cực tiểu địa phương (local minimizer ) của bài toán(1.1)-(1.3), trong đó

B(x∗, δ) = {x|kx − x∗k2 ≤ δ} (1.10)

và δ > 0

Nếu x∗ ∈ X và nếu tồn tại một lân cận B(x∗, δ) của x∗ sao cho

f (x) > f (x∗), ∀x ∈ X ∩ B(x∗, δ), x 6= x∗, (1.11)thì x∗ được gọi là cực tiểu địa phương ngặt (strict local minimizer )

Định nghĩa 1.2.4 Nếu x∗ ∈ X và nếu tồn tại một lân cận B(x∗, δ) của

x∗ sao cho x∗ chỉ là cực tiểu địa phương trên X ∩ B(x∗, δ), thì x∗ được gọi

là một cực tiểu địa phương cô lập

Giả sử rằng x∗ là một cực tiểu địa phương của bài toán (1.1)-(1.3) Nếutồn tại một chỉ số i0 ∈ I = [me+ 1, m] sao cho

ci0(x∗) > 0, (1.12)

khi đó, nếu ta xóa ràng buộc thứ i0 thì x∗ vẫn là cực tiểu địa phương củabài toán thu được bằng cách xóa ràng buộc thứ i0 Do đó, ta nói rằng ràngbuộc thứ i0 là không hoạt (inactive) tại x∗.

Bây giờ, ta sẽ đưa ra các định nghĩa về ràng buộc hoạt và ràng buộckhông hoạt Trước hết, ta đặt

I(x) = {i | ci(x) = 0, i ∈ I} (1.13)Định nghĩa 1.2.5 ([11], trang 387) Với mỗi x ∈ Rn, tập

là một tập chỉ số hoạt các ràng buộc (index set of active constraints) tại x,

ci(x)(i ∈ A(x)) là một ràng buộc hoạt (active constraint ) tại x, ci(x)(i /∈A) là một ràng buộc không hoạt (inactive constraint ) tại x

Giả sử rằng A(x∗) là một tập chỉ số hoạt các ràng buộc của bài toán(1.1)-(1.3) tại x∗, khi đó, dưới cách nhìn về các ràng buộc không hoạt, đủ

để cho ta có thể giải bài toán tối ưu ràng buộc

min f (x) sao cho ci(x) = 0, i ∈ A(x∗) (1.15)Việc giải bài toán ràng buộc phương trình (1.15), thường thì dễ hơn so vớibài toán gốc (1.1)-(1.3)

Chương 2

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU ĐỊA

PHƯƠNG TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày các điều kiện tối ưu bậc nhất

và các điều kiện tối ưu bậc hai Sau đó, luận văn trình bày về điều kiệncần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ cho nghiệm địa phương và nghiệmđịa phương cô lập của một số lớp bài toán quy hoạch toàn phương với ràngbuộc toàn phương trong không gian hữu hạn chiều Tài liệu tham khảochính của chương này là [3], [6], [7] và [11]

2.1 Điều kiện cực trị bậc nhất

Trong mục này, ta sẽ trình bày các điều kiện tối ưu bậc nhất Các địnhhướng chấp nhận được đóng một vai trò rất quan trọng trong việc rút racác điều kiện tối ưu Trước tiên, ta sẽ đưa ra các định nghĩa về hướng chấpnhận được

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử x∗ ∈ X, 0 6= d ∈ Rn Nếu tồn tại δ > 0 saocho

x∗ và ta có

F D(x∗, X) = {d | x∗ + td ∈ X, ∀t ∈ [0, δ]} (2.1)Định nghĩa 2.1.2 Cho x∗ ∈ X và d ∈ Rn Nếu

dT∇ci(x∗) = 0, i ∈ E,

dT∇ci(x∗) ≥ 0, i ∈ I(x∗),

thì d được gọi là hướng chấp nhận được tuyến tính của X tại x∗

Ký hiệu LF D(x∗, X)là tập tất cả các hướng chấp nhận được tuyến tínhcủa X tại x∗ và

LF D(x∗, X) =

(

d ∈ Rn

... 2

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU ĐỊA

PHƯƠNG TRONG QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

Trong chương này, luận văn trình bày điều kiện tối ưu bậc

và điều kiện tối ưu bậc hai Sau... Sau đó, luận văn trình bày điều kiệncần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ cho nghiệm địa phương nghiệmđịa phương lập số lớp tốn quy hoạch tồn phương với ràngbuộc tồn phương khơng gian hữu hạn chiều... x0.Bây giờ, ta mô tả điều kiện cần nhất, điều kiện tối ưuhình học

Định lý 2.1.6 (Trang 390 [11]) (Điều kiện tối ưu hình học)

Giả sử x∗ ∈ X cực tiểu địa phương toán (1.1)-(1.3)