Bất đẳng thức Nguyễn Văn Mậu (Sách của thầy Nguyễn Văn Mậu)

Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học. Trong hầu hết các cuộc thi học sinh giỏi các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộc loại khó và rất khó.Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi tài liệu này cung cấp một số cơ sở dữ liệu về bất đẳng thức và một số vấn đề đại số liên quan đồng thời cũng phân loại từng dạng toán bất đẳng thức tho nhận dạng cũng như thuật toán để giải chúng.

Lời nói đầu

Các vấn đề liên quan đến bất đẳng thức là một bộ phận quan trọng của giải tích

và đại số Nhiều dạng toán của hình học, lượng giác và nhiều môn học khác cũngđòi hỏi giải quyết các vấn đề về ước lượng, cực trị và tối ưu, Các học sinh vàsinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên

đề này

Bất đẳng thức có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đốitượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các môhình toán học liên tục cũng như các mô hình toán học rời rạc trong lý thuyếtphương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn,

Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, thi Olympic Toán khuvực và quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng,các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường thuộcloại khó hoặc rất khó Các bài toán về ước lượng và tính giá trị cực trị (cực đại,cực tiểu) của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một sốbiểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các tính toán, ước lượng(bất đẳng thức) tương ứng

Lý thuyết bất đẳng thức và đặc biệt, các bài tập về bất đẳng thức rất phongphú và cực kỳ đa dạng Hiện có hàng trăm giáo trình cơ bản và sách chuyên đề,tham khảo về đại số, giải tích, số học và hình học trình bày lý thuyết và bài tập

về bất đẳng thức Gần đây, số lượng các sách tham khảo và chuyên đề về bấtđẳng thức được rất nhiều tác giả viết và khai thác theo những chủ đề và các quanđiểm phân loại khác nhau Tuy vậy, các tài liệu về bất đẳng thức như là mộtchuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh hệ Chuyên Toán bậc trung học phổthông thì chưa có nhiều, còn chưa thể hiện được đầy đủ hệ thống các ý tưởng cơbản, cách thức tiếp cận và một số hướng ứng dụng theo các dạng toán cũng nhưphương pháp giải điển hình

Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi vànhằm đáp ứng yêu cầu sáng tạo các dạng bài tập mới về chuyên đề bất đẳng thức

và các bài toán cực trị, chúng tôi viết cuốn sách nhỏ này nhằm cung cấp một số

cơ sở dữ liệu cơ bản về bất đẳng thức và một số vấn đề đại số liên quan đến bấtđẳng thức Đồng thời, cũng cho phân loại một số dạng toán về bất đẳng thức

3

theo nhận dạng cũng như thuật toán để giải chúng Đây cũng là bài giảng màtác giả đã bồi dưỡng cho các giáo viên giảng dạy chuyên toán và cho học sinh,sinh viên các đội tuyển thi Olympic Toán quốc gia, khu vực và quốc tế Một sốdạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia vàOlympic Toán quốc tế Một số các bài toán minh hoạ khác được trích từ các tạpchí Toán học và Tuổi trẻ, Toán học trong nhà trường, Kvant, Mathematica, cácsách giáo khoa và sách giáo trình cơ bản, các đề thi học sinh giỏi quốc gia vàquốc tế cũng như một số đề thi Olympic Toán sinh viên trong những năm gầnđây (xem [1]-[19])

Cuốn sách gồm phần mở đầu, 9 chương và phụ lục

Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy

Chương 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

Chương 3 Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân

Chương 4 Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm

Tuy nhiên, trong tài liệu này không đề cập nhiều và sâu đến các bài toán cónội dung liên quan đến kiến thức hiện đại của giải tích cũng như không đề cậpđến những bất đẳng thức và các bài toán cực trị trên các tập rời rạc có ràng buộcphức tạp của lý thuyết quy hoạch và tối ưu Các dạng bất đẳng thức số học vàhình học cũng không có mặt trong tài liệu này

Cuốn sách dành cho học sinh năng khiếu Toán học bậc trung học phổ thông,các sinh viên và học viên cao học, một số đề mục được viết dành riêng cho cácthầy giáo và cô giáo trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Trong cuốn sáchnày, có trình bày một số kết qủa mới chưa có trong các sách hiện hành, chủ yếutrích từ kết quả của tác giả và đồng nghiệp tại các seminar khoa học của HệTHPT Chuyên Toán - Tin, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội và một số báocáo đăng trong Kỷ yếu Hội Nghị Khoa Học "Các chuyên đề Toán chọn lọc của

Hệ THPT Chuyên", nên đòi hỏi độc giả cũng phải giành khá nhiều thời gian tìmhiểu thì mới lĩnh hội được đầy đủ ý tứ và cách thức tiếp cận của phương pháp

Tuy nhiên, bạn đọc cũng có thể bỏ qua các đề mục mới để tập trung đọc cácphần có nội dung quen thuộc trước rồi sau đó hãy quay lại phần kiến thức nângcao Trong cuốn sách này, tên gọi của các bất đẳng thức cổ điển được viết theocách gọi truyền thống lấy từ các sách chuyên khảo và chuyên đề hiện hành vàkhông phiên âm tên riêng ra tiếng Việt

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Trần Huy Hổ, PGS TSNguyễn Thuỷ Thanh và các thành viên Seminar Giải tích - Đại số cũng nhưseminar Các chuyên đề Toán phổ thông, đã cho nhiều ý kiến đóng góp để cuốnsách được hoàn chỉnh Tác giả đặc biệt cảm ơn anh Nguyễn Xuân Bình và chịPhan Thị Minh Nguyệt đã đọc kỹ bản thảo và có nhiều ý kiến quý báu để giúptác giả chỉnh lý và hiệu đính cuốn sách Tác giả sẽ vô cùng biết ơn các bạn đọc

có ý kiến đóng góp về nội dung cũng như cách thức trình bày của cuốn sách Mọigóp ý xin gửi về địa chỉ: Nhà xuất bản Giáo dục, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội

Hà Nội, ngày 1 tháng 1 năm 2006

Mục lục

Lời nói đầu 3

Chắằng 1 Bất đẳng thức Cauchy 9 1.1 Tam thức bậc hai 9

1.2 Bất đẳng thức Cauchy 20

1.3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy 21

1.4 Tam thức bậc (α) và tam thức bậc (α, β) 25

1.5 Nhận xét về một số bất đẳng thức liên quan 28

1.6 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy 33

1.6.1 Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm 33

1.6.2 Kỹ thuật tách và ghép bộ số 37

1.6.3 Thứ tự và sắp lại thứ tự của bộ số 45

1.6.4 Điều chỉnh và lựa chọn tham số 48

1.7 Bài tập 54

Chắằng 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 57 2.1 Hàm đơn điệu 57

2.2 Hàm tựa đơn điệu 65

2.3 Hàm đơn điệu từng khúc và phép đơn điệu hoá hàm số 67

2.4 Hàm đơn điệu tuyệt đối 78

2.5 Hàm đơn điệu có tính tuần hoàn 80

2.6 Một số ứng dụng của hàm đơn điệu 81

2.7 Bài tập 83

Chắằng 3 Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân 87 3.1 Định lí về các giá trị trung bình cộng và nhân 87

3.1.1 Quy nạp kiểu Cauchy 88

3.1.2 Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp 89

3.1.3 Quy nạp kiểu Ehlers 94

3.1.4 Đồng nhất thức Hurwitz 94

3.1.5 Đẳng thức (phương trình) hàm 95

6

Mục lục 7

3.1.6 Đồng nhất thức Jacobsthal 96

3.1.7 Cực trị của hàm số 97

3.1.8 Hàm exponent 98

3.1.9 Hoán vị bộ số 99

3.2 Bất đẳng thức AG suy rộng 100

3.3 Hàm phân thức chính quy 102

3.4 Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AG 106

3.4.1 Điều chỉnh và lựa chọn tham số 107

3.4.2 Kỹ thuật tách, ghép và phân nhóm 113

3.5 Bài tập 120

Chắằng 4 Hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm 124 4.1 Các tính chất cơ bản của hàm lồi 124

4.2 Thứ tự sắp được của dãy số sinh bởi hàm lồi 131

4.3 Hàm lồi, lõm bậc cao 134

4.4 Biểu diễn hàm lồi và lõm 136

4.5 Một số lớp hàm số biểu diễn được dưới dạng tuyến tính 138

4.6 Hàm tựa lồi và tựa lõm 144

4.7 Bài tập 151

Chắằng 5 Bất đẳng thức Karamata 153 5.1 Định lí Karamata 153

5.2 Bất đẳng thức đan dấu 158

5.3 Độ gần đều và thứ tự sắp được của một dãy các tam giác 159

5.4 Điều chỉnh từng phần bộ biến số 164

5.5 Một số định lí mở rộng đối với hàm lồi 174

5.6 Các định lí dạng Karamata 181

5.7 Bài tập 190

Chắằng 6 Sắp thứ tự một số bộ số có trọng 192 6.1 Bất đẳng thức Abel 192

6.2 Một số quy luật sắp thứ tự bộ số có trọng 194

6.3 Sắp thứ tự và ước lượng phần tử trong bộ số 202

6.4 Sắp thứ tự các trung bình của bộ số với trọng 211

6.5 Sắp thứ tự các tổng của bộ số theo bậc của chúng 216

6.6 Bài tập 217

Chắằng 7 Bất đẳng thức hàm 219 7.1 Hàm khoảng cách 222

7.1.1 Hàm khoảng cách một biến 222

7.1.2 Hàm khoảng cách hai biến 223

8 Mục lục

7.1.3 Hàm khoảng cách nhiều biến 224

7.2 Bất đẳng thức hàm liên quan đến tam giác 226

7.2.1 Hàm tựa đồng biến dạng hàm số sin 227

7.2.2 Hàm tựa lõm dạng hàm số cosin 229

7.3 Hàm số bảo toàn bất đẳng thức trong hình học 238

7.3.1 Hàm số chuyển đổi các tam giác 238

7.3.2 Nhận xét về hàm liên quan đến diện tích đa giác 245

7.4 Bất phương trình hàm với cặp biến tự do 246

7.5 Bài tập 254

Chắằng 8 Bất đẳng thức trong dãy số 257 8.1 Dãy sinh bởi hàm số 257

8.2 Ước lượng tích và tổng của một số dãy số 265

8.3 Bất đẳng thức trong tập rời rạc 273

8.4 Bài tập 280

Chắằng 9 Bất đẳng thức tích phân 285 9.1 Ước lượng một số biểu thức chứa tích phân 285

9.2 Phương pháp tích phân trong bất đẳng thức 298

9.3 Phương pháp tích phân trong các bài toán cực trị 309

9.4 Bài tập 318

Phụ lục: Bảng các bất đẳng thức liên quan 320

Tài liệu tham khảo 330

x21+ x22 > 2x1x2, ∀x1, x2∈ R.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1= x2

Bất đẳng thức (1.1) là dạng bậc hai đơn giản nhất của bất đẳng thức bậc hai

mà học sinh đã làm quen ngay từ chương trình lớp 9 Định lí Viete đóng vai tròrất quan trọng trong việc tính toán và ước lượng giá trị của một số biểu thứcdạng đối xứng theo các nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng Đặc biệt,trong chương trình Đại số lớp 10, mảng bài tập về ứng dụng định lí (thuận vàđảo) về dấu của tam thức bậc hai là công cụ hữu hiệu của nhiều dạng toán ở bậctrung học phổ thông

Xét tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c, a 6= 0 Khi đó

Ta nhắc lại kết quả sau.

Định lí 1.2 (Định lí đảo) Điều kiện cần và đủ để tồn tại số α sao cho af (α) < 0

là ∆ > 0 và x1 < α < x2, trong đó x1,2 là các nghiệm của f (x) xác định theo(1.2)

Nhận xét rằng, các định lí trên đều được mô tả thông qua bất đẳng thức (kếtquả so sánh biệt thức ∆ với 0) Các định lí sau đây cho ta tiêu chuẩn nhận biết,thông qua biểu diễn hệ số, khi nào thì tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c,

Từ đây ta suy ra điều cần chứng minh.

Tiếp theo, trong chương này, ta xét các dạng toán cơ bản về bất đẳng thức

và cực trị có sử dụng tính chất của tam thức bậc hai

Xét đa thức thuần nhất bậc hai hai biến (xem như tam thức bậc hai đối vớix)

12 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy

với điều kiện

a2 > 0, f2(x) = a2x2+ b2x + c2 > 0, ∀x ∈ R,

để tìm cực trị của một số dạng toán bậc hai

Bài toán 1.1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a1x2+ b1x + c1

a2x2+ b2x + c2 = yphải có nghiệm, hay phương trình

(a2y − a1)x2+ (b2y − b1)x + (c2y − c1) = 0 (1.4)

phải có nghiệm

Do (1.4) là phương trình bậc hai nên điều này tương đương với

∆ = (b2y − b1)2− 4(a2y − a1)(c2y − c1) > 0hay

g(y) := (b22− 4a2c2)y2+ 2(b1b2+ 2a2c1+ 2a1c2)y + b21− 4a1c1 > 0

phải có nghiệm Vì g(y) có b2

2− 4a2c2 < 0 nên theo Định lí đảo của tam thức bậchai, thì

∆0= (b1b2+ 2a1c2+ a2c1)2− (4a1c1− b21)(4a2c2− b22) > 0 (1.5)và

y1 6 y 6 y2,

và ∆0 được tính theo công thức (1.5).

Suy ra max y = y2 và min y = y1, đạt được khi ứng với mỗi j (j = 1, 2), xảy

Xét một vài ví dụ minh hoạ sau đây

Ví dụ 1.1 Cho x, y là các số thực sao cho

1) Nếu y = 0 thì M

a =

1

2.2) Nếu y 6= 0 suy ra

M

a =

t2+ 12t2+ t + 1, t =

xy

a − 1 = 0

2

+ 12Ma

Suy ra

M > 6 − 2

√2

7 a > 6 − 2

√2

7 = M0.

Vậy min M = 6 − 2

√2

7 , đạt được khi và chỉ khi

(

x = M1y2x2+ y2+ xy = 1 ⇔

Vậy max A = 7 + 2

√7

y = ± 2(A2− 1)p7 − 6A2+ 3A2

2

và min A = 7 − 2

√7

y = ± 2(A1− 1)p7 − 6A1+ 3A21trong đó A1, A2 lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Ví dụ 1.3 Cho x2+ y2− xy = 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

M = x4+ y4− x2y2

Giải Từ giả thiết suy ra

1 = x2+ y2− xy > 2xy − xy = xy

1 = (x + y)2− 3xy > −3xy

y = ∓

√ 3

3 Bài toán 1.2 (Thi HSG Toán Việt Nam 2003) Cho hàm số f xác định trên tập

số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện

f (cot x) = sin 2x + cos 2x, x ∈ (0, π)

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

g(x) = f (sin2x)f (cos2x)

Giải Ta có

f (cot x) = sin 2x + cos 2x

= 2 cot xcot2x + 1+

cot2x − 1cot2x + 1

= cot

2x + 2 cot x − 1cot2x + 1 , ∀x ∈ (0; π)

i Vì vậy

Ta dễ dàng chứng minh được h0(u) > 0 ∀u ∈h0,1

4

i Suy ra hàm h(u) đồng biến

i, ta có

min h(u) = h(0) = −1

và

max h(u) = h

14

4.Bài toán 1.3 (Thi HSG Toán Việt Nam 2003) Cho hàm số f xác định trên tậphợp số thực R, lấy giá trị trên R và thoả mãn điều kiện

f (cot x) = sin 2x + cos 2x, ∀x ∈ (0, π)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f (x)f (1 − x)trên đoạn [−1; 1]

18 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy

Ta có

f (cot x) = sin 2x + cos 2x

= 2 cot xcot2x + 1+

cot2x − 1cot2x + 1

= cot

2x + 2 cot x − 1cot2x + 1 , ∀x ∈ (0; π)

Từ đó, với lưu ý rằng với mỗi t ∈ R đều tồn tại x ∈ (0, π) sao cho cot x = t,

i

Từ việc khảo sát dấu của h0(u) trên [−2; 1/4], ta thu được

min

−26u6 1h(u) = h 2 −

√345

h(u) = max{h(−2); h(1/4)} = 1

25.

Vậy, trên [−1; 1], ta có min g(x) = 4 −√34 và max g(x) = 1

25.

Giải Giả sử r là một nghiệm của f (x) Khi đó b = f (0) = f (f (x)) = 0 Do đó

f (x) = x(x + a), suy ra hoặc r = 0 hoặc r = −a

Vì vậy

f (f (x)) = f (x)(f (x) + a) = x(x + a)(x2+ ax + a)

Ta chọn a sao cho x2+ ax + a không có nghiệm thực nằm giữa 0 và −a

Thật vậy nếu 0 hoặc −a là nghiệm của phương trình x2+ ax + a = 0, thì phải

có a = 0 và khi đó f (f (x)) không có nghiệm nào khác

Định lí 1.5 Với mọi bộ số (xi), (yi), ta luôn có bất đẳng thức sau

Bất đẳng thức (1.6) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy2(đôi khi còn gọi

là bất đẳng thức Bunhiacovski, Cauchy - Schwarz hoặc Cauchy-Bunhiacovski).Nhận xét rằng, bất đẳng thức Cauchy cũng có thể được suy trực tiếp từ đồngnhất thức Lagrange sau đây

Định lí 1.6 (Lagrange) Với mọi bộ số (xi), (yi), ta luôn có đồng nhất thức:

1.3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy 21

Bài toán 1.6 Với mọi bộ số (xi, yi), ta luôn có đẳng thức sau

E2(x + y)E1(x)E1(y) − E1(x + y)E2(x)E1(y) − E1(x + y)E1(x)E2(y)

Nhận xét rằng, từ đồng nhất thức này ta thu được bất đẳng thức sau đây

Hệ quả 1.1 Với mọi bộ số dương (xi, yi), ta luôn có bất đẳng thức sau

Về sau, ta đặc biệt quan tâm đến trường hợp tương ứng với hai cặp số (1, 1)

và (a, b) Khi đó bất đẳng thức Cauchy trùng với bất đẳng thức giữa trung bìnhcộng và trung bình nhân

Hệ quả 1.2 Với mọi cặp số dương (a, b), ta luôn có bất đẳng thức sau

2(a + b) > (√a +

√b)2,

hay

a + b > 2√ab

1.3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy

Trước hết, ta có nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực tađều có thể mở rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mớicho bộ số phức Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực a đã cho như là phần thựccủa một số phức z = a + ib (b ∈ R)

Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng

Hệ thức (1.8) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.

Hệ quả 1.3 Với mọi bộ số phức (aj, bj), ta luôn có bất đẳng thức sau

6 12

1.3 Dạng phức và dạng đảo của bất đẳng thức Cauchy 23

Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy

Định lí 1.9 Giả sử ta có bộ các cặp số dương (ak, bk) sao cho

Nhìn chung, rất nhiều bất đẳng thức nhận được từ các đồng nhất thức Vìvậy, việc thiết lập được các đồng nhất thức được coi như một phương pháp hữuhiệu để sáng tác và chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 1.7 Chứng minh rằng với mọi bộ ba số (x, y, z), ta luôn có đẳng thứcsau

(2x + 2y − z)2+ (2y + 2z − x)2+ (2z + 2x − y)2 = 9(x2+ y2+ z2)

Hãy tổng quát hoá?

Bài toán 1.8 Chứng minh rằng với mọi bộ bốn số (x, y, z, t), ta luôn có đẳngthức sau

(x+y+z −t)2+(y+z +t−x)2+(z +t+x−y)2+(t+x+y−z)2= 4(x2+y2+z2+t2)

Hãy tổng quát hoá?

Bài toán 1.9 Chứng minh rằng với mọi bộ số (uk, vk, pk), ta luôn có đẳng thứcsau

Bài toán 1.10 Chứng minh rằng với mọi bộ số (uk, vk, pk), ta luôn có đẳng thứcsau

24 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy

Tiếp theo, ta xét một số mở rộng khác (dạng phức) của bất đẳng thức Cauchy.Định lí 1.10 (N.G.de Bruijn) Với bộ số thực a1, , an và bộ số phức (hoặcthực) z1, , zn, ta đều có

2

6 12

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ak = <(λzk) (k = 1, , n), trong đó λ là sốphức và

Vậy, chỉ cần chứng minh cho trường hợp

Vì

2x2k = |zk|2+ <z2k,

ta nhận được

2

6 12

ta thu được điều cần chứng minh

sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi x = 1.

Thay x = 1 vào (1.11), ta nhận được (?) = α − 1, tức là (1.11) có dạng

xα+ α − 1 > αx, ∀x ∈ R+ (1.12)Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết

Sử dụng đạo hàm, ta dễ dàng chứng minh (1.12)

Thật vậy, xét hàm số

f (x) = xα+ α − 1 − αx, x > 0

Ta có f (1) = 0 và f0(x) = αxα−1− α = α(xα−1− 1) Suy ra f0(x) = 0 khi và chỉkhi x = 1 và x = 1 là cực tiểu duy nhất của f (x) trên R+ nên f (x) > f (1) = 0.Nhận xét 1.1 Trong áp dụng, đặc biệt trong các dạng toán xác định giá trịlớn nhất hoặc nhỏ nhất, bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.12) chỉ được sử dụngtrong các trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi x = 1

Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0> 0cho trước, ta cần thay (1.12) bởi bất đẳng thức sau đây

có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ thừa

1 của x), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

26 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy

Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc (α, β)(α > β > 0) để có bất đẳng thức tương tự như (1.14) bằng cách thay luỹ thừa 2bởi số α và luỹ thừa 1 bởi β

Thật vậy, ta cần thiết lập bất đẳng thức dạng

xα+ (?) > (??)xβ, ∀x ∈ R+ (1.15)sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi x = 1

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Ta nhận được bất đẳng thức Bernoulli đối với tam thức bậc (α, β) ứng vớitrường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằngdấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0 (x0 > 0) cho trước, ta chỉ cần thay(1.17) bởi bất đẳng thức sau đây

Định lí 1.11 Giả sử cho trước x0 > 0 và cặp số (α, β) thoả mãn điều kiện

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x0

Bài toán 1.11 Cho bộ các số dương a, b, c; α, β với α > β Chứng minh rằng

ab

α

+bc

α

+ca

α

>ab

β

+bc

β

+ca

β

,

bc

β

,

ca

β

+

bc

β

+

ca

1.4 Tam thức bậc (α) và tam thức bậc (α, β) 27

Cộng các vế tương ứng của (1.19) ta thu được

ab

α

+bc

α

+ca

α

>ab

β

+bc

β

+ca

β

Tiếp theo, ta xét dạng tam thức bậc (α, β):

f (x) = axα+ bxβ + c

với điều kiện α > 0 > β và aα + bβ = k > 0

Trường hợp riêng, khi k = 0, ta thu được dạng phân thức chính quy và sẽđược xét chi tiết ở chương tiếp theo

Ta có kết quả sau đây

28 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy

1.5 Nhận xét về một số bất đẳng thức liên quan

Tiếp theo, ta xét bất đẳng thức dạng nội suy sau đây

Định lí 1.13 Với mọi cặp dãy số thực a = (a1, , an) và b = (b1, , bn) và

Rõ ràng, với x = 0, ta thu được bất đẳng thức Cauchy

Chứng minh Xét tam thức bậc hai theo y:

Sử dụng đồng nhất thức, ta thu được một mở rộng của bất đẳng thức Cauchy

Định lí 1.14 (H.W.Mclaughlin) Với mọi bộ số thực a = (a1, , an) và b =(b1, , bn), ta đều có

Chứng minh Chứng minh được suy trực tiếp từ đẳng thức

Tương tự, ta có thể mở rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn bộ số.

Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy đối với

q

a2k+ b2k và qakbk

a2

k+ b2 k

a2

k+ b2 k

Ta xét tiếp các bất đẳng thức Ostrowski và Fan-Todd

Định lí 1.16 (A.M.Ostrowski) Cho hai dãy không tỷ lệ a = (a1, , an) và

b = (b1, , bn) và dãy số thực x = (x1, , xn) thoả mãn điều kiện

Dễ thấy rằng dãy y1, , ynthoả mãn điệu kiện bài toán Mọi dãy x1, , xn,

từ giả thiết, cũng thoả mãn

chính là điều phải chứng minh

Tiếp theo, ta chứng minh định lý:

Định lí 1.17 (K.Fan and J.Todd) Với mọi dãy số thực a = (a1, , an) và

b = (b1, , bn) thoả mãn điều kiện aibj 6= ajbi ứng với i 6= j, ta đều có

1.5 Nhận xét về một số bất đẳng thức liên quan 31

có thể nhóm thành các cặp có dạng

n2

và từng cặp như vậy đều bằng 0

Vậy ta chuyển được về tổng

Để ý rằng, tích vô hướng (1.20) có các tính chất sau đây

(i) (a, a) > 0, ∀a ∈ Rn,(ii) (a, a) = 0 ⇔ a = (0, 0, , 0),(iii) (αa, b) = α(a, b), ∀α ∈ R, ∀a, b ∈ Rn,(iv) (a, b + c) = (a, b) + (a, c), ∀a, b, c ∈ Rn,(v) (a, b) = (b, a), ∀a, b ∈ Rn

3 Đôi khi được gọi là bất đẳng thức Schwarz ( Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921)

Đặc biệt, đối với không gian các hàm số liên tục trên một đoạn thẳng [α, β]cho trước, ta có bất đẳng thức Bunhiacovski4.

Định lí 1.19 Với mọi cặp hàm số f (t), g(t) liên tục trên đoạn thẳng [α, β], tađều có

Z β α

f (t)g(t)dt26

Z β α

[f (t)]2dt

Z β α

[g(t)]2dt

Chứng minh Sử dụng tính chất

Z β α

1.6 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy 33

ta suy ra

Aλ2− 2Bλ + C > 0, ∀λ ∈ R,trong đó

A =

Z β α

[g(t)]2dt, C =

Z β α

[f (t)]2dt, B =

Z β α

f (t)g(t)dt

Từ đây, áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có ngay điều cầnchứng minh

Tiếp theo, ta dễ dàng kiểm chứng

Ví dụ 1.5 Giả sử V = C[α, β] là không gian các hàm liên tục trên [α, β] Khi

đó, tích vô hướng của cặp hàm số f (t), g(t) ∈ V được định nghĩa như sau

(f, g) =

Z β α

chính là tích trong, tức có các tính chất (i)-(v)

Tương tự như trường hợp không gian Rn, ta có thể định nghĩa tích (1.25) vớitrọng

Ví dụ 1.6 Giả sử V =C[α, β] là không gian các hàm liên tục trên [α, β] và ω(t)

là hàm số liên tục và dương trên [α, β] Khi đó, tích vô hướng của cặp hàm số

f (t), g(t) ∈ V với trọng ω(t) được định nghĩa như sau

(f (t), g(t)) =

Z β α

tự các cặp đó dưới dạng văn học rằng tích xy đạt giá trị lớn nhất trong trườnghợp cặp số đó là đều, tức là x = y.

Định nghĩa 1.2 (i) Xét các cặp số không âm x, y với tổng không đổi (để đơngiản, ta chọn x + y = 1) Ta gọi hiệu

ρ(x, y) := max(x, y) − min(x, y),

là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y

(ii) Cặp x1, y1 được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp x2, y2 (hay cặp

x2, y2 được gọi là xa đều hơn cặp x1, y1), nếu

1.6 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy 35

Chứng minh

Xét các cặp số không âm x, y với tổng bằng 1 không đổi Không mất tínhtổng quát, coi 0 6 x < y Với mỗi ε > 0 đủ nhỏ, để đảm bảo x + ε < y − ε (chỉcần chọn ε ∈ [0,y−x2 ) Dễ thấy rằng cặp x + ε, y − ε gần đều hơn cặp x, y đã cho

có tổng bằng một số lẻ thì cặp số đó sẽ không bao giờ là cặp số nguyên bằngnhau được Khi đó khái niệm gần đều nhất (mà không phải là đều) sẽ có ý nghĩathực tiễn

Nhận xét rằng, đối với các cặp số dương có chung tích thì ta cũng có thể phátbiểu thứ tự các cặp đó dưới dạng văn học rằng tổng x + y đạt giá trị nhỏ nhấttrong trường hợp cặp số đó là đều, tức là x = y

Định nghĩa 1.3 (i) Xét các cặp số dương x, y với tích không đổi (để đơn giản,

ta chọn xy = a > 0) Ta gọi hiệu

ρ(x, y) := max(x, y) − min(x, y),

là độ lệch của cặp số x, y hay là độ gần đều của cặp số x, y

(ii) Cặp x1, y1 được gọi là gần đều hơn (độ lệch nhỏ hơn) cặp x2, y2 (hay cặp

x2, y2 được gọi là xa đều hơn cặp x1, y1), nếu

36 Chương 1 Bất đẳng thức Cauchy

Chứng minh Xét các cặp số dương x, y với tích bằng 1 không đổi Không mấttính tổng quát, coi 0 < x < y Với mỗi ε > 1, để đảm bảo εx < (ε)−1y (chỉ cầnchọn ε ∈



1,

q

y x



Dễ thấy rằng cặp xε, y(ε)−1 gần đều hơn cặp x, y đã cho Ta chỉ cần chứngminh rằng

là đủ

Điều này là hiển nhiên vì (1.30) tương đương với bất đẳng thức εx 6 y

Định lí sau đây đóng vai trò trọng tâm đối với hai cặp số sắp được thứ tự.Xét hai cặp số (z, 2 − z) và (y, 2 − y) với

1 6 z 6 y 6 2hoặc

Đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0, 1] Từ kết quảnày, ta dễ dàng thu được ngay bất đẳng thức Cauchy quen biết

Quá trình sắp đều có thể dùng để điều chỉnh bộ số như sau:

Bài toán 1.12 Cho

là một hoán vị của bộ số

A = {a1, a2, , a2006}

Chứng minh rằng

a1 = a2= · · · = a2006

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ak = ak+1, k = 1, 2, , 2006, trong đó

a2007 := a1 Do B là một hoán vị của A, nên

1.6.2 Kỹ thuật tách và ghép bộ số

Trong những năm gần đây, chúng ta thấy có khá nhiều dạng bất đẳng thức trongcác đề kỳ thi Olympic quốc tế, vô địch quốc gia của nhiều nước trên thế giới.Rất nhiều bài toán về bất đẳng thức xuất phát từ các phép biến đổi biểu thứcđối xứng theo các kiểu (đặc thù) khác nhau

Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức lấy từ các kỳ thiOlympic quốc tế và Olympic quốc gia của một số nước mà cách giải dựa chủ yếuvào kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số {ak} trong bất đẳng thức Cauchy

Để minh hoạ và để tính toán đơn giản, ta chủ yếu xét các ví dụ với cặp bộ babiến Thực chất của kỹ thuật này cũng chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ

số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm

Bài toán 1.13 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

Giải Ta viết vế trái dưới dạng

Từ đây ta thu được điều cần chứng minh

− (a + b + c) > 2√3

Giải Từ hệ thức hiển nhiên

(√3x − 1)2(2√3x + 3) > 0, ∀x > 0,suy ra

1

a − a > 4

√3

3 − 2

√3a2

Tương tự, ta cũng có

1

b − b > 4

√3

3 − 2

√3b2,

1

c − c > 4

√3

3 − 2

√3c2



− (a + b + c) =1

a− a

+

1

b − b

+

√3

3 − 2

√3b2+4

√3

3 − 2

√3c2= 2√3,

bca(c + a) +

cab(a + b) > 3

2.

cab(a + b).Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

a +

r cab

2

=

s

abc(b + c)

√

b + c +

sbca(c + a)

cab(a + b)

i[2(a + b + c)] = M [2(a + b + c)]

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy, thì

(a + b + c)2> 3(ab + bc + ca),nên

rab

c +

rbc

a +

r cab

bca(c + a)+

cab(a + b) > 3

a−

1

c + a

+ c1

c(b + c) +

bca(c + a)+

cab(a + b) > 3

2.

Điều cần chứng minh này chính là bất đẳng thức ở bài toán 1.17

1.6 Phương pháp bất đẳng thức Cauchy 41

Bài toán 1.19 (MO Romanian 2004) Chứng minh rằng, với mọi a, b, c > 0, tađều có

abc(c + a)+

bca(a + b) +

cab(b + c) > 27

2(a + b + c)2 (1.32)Giải Đặt

abc(c + a)+

bca(a + b) +

cab(b + c) = M.

Ta có

r a

bc+

rb

ca+

r cab

cab(b + c)

i[2(a + b + c)] = M [2(a + b + c)]

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy, thì

r a

bc +

rb

ca+

r cab

ca+

r cab

2

> 27(a + b + c),nên suy ra (1.32):

2(a + b + c)2.Bài toán 1.20 (MO USA) Xét các số dương a, b, c thoả mãn điều kiện abc = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

> 3(a + b + c)abc = 3(a + b + c).

bpb(c + a)

pb(c + a) + 1

cpc(a + b)

pc(a + b)

Mặt khác, theo giả thiết abc = 1, ta có

2

= (ab + bc + ca)2

Từ đây suy ra ngay được điều cần chứng minh

Bài toán 1.22 Chứng minh rằng, với mọi bộ số dương a, b, c, ta đều có

xα+ (?) > (??)xβ, ∀x ∈ R+ (1.15)sao cho dấu đẳng thức xảy x =

dấu đẳng thức xảy x =

Ta nhận bất đẳng thức Bernoulli... 0cho trước, ta cần thay (1.12) bất đẳng thức sau

có thể xem bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa luỹ thừa

1 x), trường hợp dấu đẳng thức xảy x =