Một số bài toán hình học phẳng ôn tập olympiad

Tuyển tập các bài toán hình học phẳng ôn luyện thi olimpic ôn thi vào lớp 10. Mỗi bài toán đều có hướng dẫ gợi ý trước khi đưa ra lời giải chi tiết giúp bạn đọc suy luận và tiếp tục giải quyết bài toán với những gọi ý đó

6 Chuyên đề Hình học phẳng

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Dạng 1 Chứng minh các bài toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng

1 1 Phương pháp 1.2 Một số ví dụ

Bài 1 (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt nhau tại M Đường phân giác của góc ACD cắt tia BA ở K Nếu

MA MC  MA CD  MB MD thì BKCCDB

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

, , , ,

DBBC  AD AC

Bài 4 (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác

Bài 5 (Đề thi Olympic Rumani) Cho tam giác nhọn ABC và điểm M là trung điểm của

BC Tồn tại duy nhất 1 điểm N nằm ở miền trong tam giác ABC sao cho

,

ABNBAM ACN CAM Chứng minh rằng BAN CAM

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

Bài 6 (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm cận xuất phát từ điểm S nằm bên ngoài đường tròn có tiếp điểm là P, Q Đường thẳng SO giao với đường tròn tại A, B với B gần S hơn A Cho X là một điểm nằm trong cung nhỏ

PB và đường SO giao với các đường QX và PX lần lượt tại C, D Chứng minh rằng

ACAD AB

Bài 7 (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong và ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D và E Cho F là giao điểm thứ hai (khác A) của AC với đường tròn w có đường kính DE Vẽ tiếp tuyến tại A với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABF và giao với đường tròn w tại A và G Chứng minh

Bài 8 (Đề thi Olympic Canada) Cho O là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

đỉnh nằm trên cạnh BC và 1 đỉnh nằm trên cạnh AB, 1 đỉnh nằm trên cạnh AC Các

Bài 10 (China – 1988) (p 48) ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính

R Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằngA B' 'B C' 'C D' 'D A' '2ABBC CD DA Khi nào đẳng thức được nghiệm đúng?

Bài 11 (China – 1995) (p 78) Cho 2 tia OA, OB trong mặt phẳng và P là điểm nằm giữa 2 tia này Hãy xác định điểm X nằm trên tia OA sao cho nếu XP kéo dài cắt OB tại Y thì tích XP.PY có giá trị nhỏ nhất

90 , 30 , 1

trị bé nhất của độ dài cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp trong ABC (tức là tam giác

có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh khác nhau của tam giác ABC

Bài 13 (China – 2001) (p 91) ABCD là tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn ngoại tiếp

C cắt nhau tại B’, các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại C’ và các tiếp tuyến tại D và A

ABCD

S

Bài 14 (Bắc Kinh – 1964)(p105) Trong tam giác ABC có góc A không nhọn, người ta

trên được thực hiện một vài lần Chứng minh rằng, tổng diện tích tất cả các hình vuông nội tiếp trong tam giác bé hơn nửa diện tích tam giác ABC

Bài 15 (Bắc Kinh – 1966) (P109) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho 2 điểm O và O’ tương ứng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB Cát tuyến PQ đi qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q

a Trong trường hợp nào thì A nằm giữa P và Q?

b Giả sử A nằm giữa P và Q, hãy xác định vị trí cát tuyến PQ để độ dài PQ lớn nhất

c Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để PA = QA

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

tròn, Q là giao điểm thứ 2 của BP với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh

Bài 17 (Malaysia – 2000) Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

, ,

a b a b bc

Bài 18 (IMO 1960) (40 – p24) Cho tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC có độ dài a Chia BC thành n phần bằng nhau, với n là một số nguyên dương lẻ Khi đó, tam giác ABC được chia thành n tam giác nhỏ và tam giác nhỏ ở chính giữa có góc tại đỉnh

4

an a

 

 Bài 19 (IMO 1961) (40 – p29) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có diện

Bài 20 (IMO 1961) (40 – p30) Gọi P là điểm tuỳ ý nằm trong tam giác ABC PA cắt

BC ở D, PB cắt AC ở E, PC cắt AB ở F Chứng minh rằng có ít nhất một trong các tỉ

PD PE PF

Bài 21 (IMO 1964) (40 – p43) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c Ta lần lượt vẽ các tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp của tam giác này song song với 3 cạnh tam giác Mỗi tiếp tuyến hợp với hai cạnh kia của tam giác để tạo thành một tam giác mới, như thế ta được 3 tam giác mới tạo thành Lại vẽ 3 đường tròn nội tiếp ở 3 tam giác mới đó Hãy tính tổng diện tích 4 hình tròn nội tiếp nói trên

Bài 22 (IMO 1966) (40 – p47) Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu

2

C

BCAC BC AAC B

Bài 23 (IMO 1966) (40 – p48) Gọi K, L, M lần lượt là các điểm tuỳ ý nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Chứng minh rằng trong các tam giác AML, BKM, CLK có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng ¼ diện tích tam giác ABC