Lý thuyết và phương pháp giải toán hình học tọa độ oxyz lớp 12

I. Tổng quát: 1. Cho . Vecto cùng phương với sao cho 2. Cho và không cùng phương. Vecto đồng phẳng với và sao cho 3. Cho ba vecto ; ; không đồng phẳng và vecto . Khi đó, tồn tại duy nhất bộ 3 số sao cho 4. Điểm G là trọng tâm 5. Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD 6. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( II. Vecto – Tọa độ vecto và các tính chất 1. Vecto: Trong không gian Oxyz có 3 vecto đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: , , • Cho điểm M(x;y;z) thì • Cho thì

NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Tổng quát:

1 Cho a  0 Vecto b cùng phương với a  k sao cho b  k a

2 Cho a và b không cùng phương Vecto c đồng phẳng với a và b  k , l sao cho ck al b

3 Cho ba vecto a; b; c không đồng phẳng và vecto d

Khi đó, tồn tại duy nhất bộ 3 số (x;y;z) sao cho d x ay bz c

3

1 ,

GC GB

4

1 ,

GC GB



6 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1 )

k

OB k OA OM O MB

k MA















1 ,

II Vecto – Tọa độ vecto và các tính chất

1 Vecto:

Trong không gian Oxyz có 3 vecto đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: i  ( 1 ; 0 ; 0 ), j  ( 0 ; 1 ; 0 ),

)

1

;

0

;

0

(



k

 Cho điểm M(x;y;z) thì OM x.iy.jz.k

 Cho u (a;b;c) thì ua.ib.jc.k

2 Tính chất vecto:

Cho u (x1;y1;z1) và v (x2;y2;z2) và 1 số thực k tùy ý, ta có các tính chất sau:











2 1

2 1

2 1

z z

y y

x x

v u

 uv (x1x2;y1y2;z1z2)

 u v (x1 x2;y1 y2;z1 z2)

 k u (kx1;ky1;kz1)

 u.vx1.x2 y1.y2 z1.z2 ( Tích vô hướng của 2 vecto )

1 2 1 2

1 y z x

2

2 2

2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2 1 2 1

.

.

.

)

; cos(

z y x z y x

z z y y x x v

u

v u v u

















Lưu ý: nếu góc  hợp bởi 2 yếu tố có giá trị:

 0   90othì khi tính góc ta phải trị tuyệt đối phần tích vô hướng

( Vì cos   0 khi [ 0o; 90o]



 0    180othì khi tính góc qua cos ta không phải trị tuyệt đối 

( Vì cos có thể âm, có thể dương và bằng 0 khi  [ 0o; 180o]





 uv u.v 0  x1.x2 y1.y2 z1.z2  0

3 Chia 1 đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước

Cho 2 điểm A(x A;y A;z A) và B(x B;y B;z B) Điểm M(x M;y M;z M) chia đoạn thẳng AB theo một tỷ số k:

MB k

MA  được xác định bởi các công thức:



























k kz z

z

k ky y

y

k kx x

x

B A

M

B A

M

B A

M

1 1 1

*) Chú ý: _ Nếu M nằm trong khoảng AB thì k < 0

_ Nếu M nằm ngoài khoảng AB thì k > 0

_ Nếu M là trung điểm AB thì k   1, khi đó:



























2 2 2

B A

M

B A

M

B A

M

z z

z

y y

y

x x

x

 G là trọng tâm của ABC 

































3 3 3

C B

A G

C B

A G

C B

A G

z z

z z

y y

y y

x x

x x

 G là trọng tâm tứ diện ABCD 







































4 4 4

D C

B A

G

D C

B A

G

D C

B A

G

z z

z z

z

y y

y y

y

x x

x x

x

*) Ba điểm thẳng hàng:

Ba điểm: A(x A;y A;z A);B(x B;y B;z B) và C(x C;y C;z C) thẳng hàng  AC  k AB

A B

A C A B

A C A

B

A

C

z z

z z y y

y y x

x

x

x



















4 Tích có hướng của 2 vecto:

Tích có hướng của 2 vecto u (x1;y1;z1) và v (x2;y2;z2) là 1 vecto kí hiệu [u;v] được xác định bởi:



















2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1

;

; ]

; [

y x

y x x z

x z z y

z y v u

*) Các tính chất của tích có hướng 2 vecto

 u; v là 2 vecto cộng tuyến ( cùng phương)  [u;v]  0

 u [u;v], v [u;v]

 [u;v] u.v sin(u;v)

 [u;v]   [v;u]

 [ u;v]  [u; v]   [u;v] với R

 [u;v1v2]  [u;v1]  [u;v2]

*) Ứng dụng: Diện tích tam giác ABC:

2

1



ABC

S [AB;AC]

5 Tích hỗn tạp

Tích hỗn tạp của 3 vecto u (x1;y1;z1); v (x2;y2;z2)và w (x3;y3;z3) được kí hiệu là

w

v

u; ].

2 2

1 1 3 2 2

1 1 3 2 2

1

y x

y x y x z

x z x z y

z y





*) 3 vecto đồng phẳng: 3 vecto u (x1;y1;z1); v (x2;y2;z2)và w (x3;y3;z3) đồng phẳng  [u;v].w 0

*) Ứng dụng:

 Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ : VABCD.A'B'C'D'  [AB;AD].AA'

 Thể tích tứ diện ABCD: V ABCD [AB;AC].AD

6

1



-MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

I Định nghĩa – Phương trình của mặt cầu

1 Định nghĩa

Tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm I cố định một khoảng cách bằng R, gọi là mặt cầu tâm I bán kính R

2 Phương trình

a) Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) , bán kính R có dạng: (S):(x a) 2  (y b) 2  (z c) 2 R2

b) Phương trình tổng quát của mặt cầu













y z ax by cz d

x là phương trình của mặt cầu  a2 b2 c2  d 0 Khi đó, mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R = a2b2c2 d

II Vị trí tương đối

1 Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu

Cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2 2 2 2 0













y z ax by cz d x

Gọi A(x0;y0;z0) là một điểm bất kì trong không gian Ta có phương tích của điểm A đối với mặt cầu (S) là:

d cz by ax z y x R AI

P A/(S)  2  2  02 02 02 2 0  2 0 2 0 

 P A /( S)< 0  M nằm trong mặt cầu

 P A /( S)= 0  M nằm trên mặt cầu

 P A /( S)> 0  M nằm ngoài mặt cầu

2 Vị trí tương đối của 2 mặt cầu

Cho 2 mặt cầu không đồng tâm (S1) và (S2) lần lượt có phương trình là:

0 2

2 2 :

)

1 x y z  a x b y c zd 

1

2 1

2

1 b c  d 

a

Có tâm I1(a1;b1;c1) và bán kính 2 1

1 2 1 2 1

0 2

2 2 :

)

2 x y z  a x b y c zd 

2

2 2

2

2 b c  d 

a

Có tâm I2(a2;b2;c2) và bán kính 2 2

2 2 2 2 2

 Nếu I1I2 R1R2  (S1);(S2) không cắt nhau và ở ngoài nhau

 Nếu I1I2  R1 R2  (S1); (S2) không cắt nhau và đựng nhau

 Nếu I1I2 R1R2  (S1);(S2) tiếp xúc ngoài với nhau

 Nếu I1I2 R1 R2  (S1); (S2) tiếp xúc trong với nhau

 Nếu R1 R2 I1I2 R1R2  (S1); (S2) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn

-MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Cặp vecto chỉ phương

ĐN: 2 vecto a; b gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng chứa chúng đều song song với (P) hoặc nằm trên (P)

2 Vecto pháp tuyến

ĐN: Vecto n là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) 









) ( 0

P n n

NX: n là vecto pháp tuyến của (P) thì mọi vecto k n với k  0 đều là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó

Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) có cặp vecto chỉ phương là a; b thì n là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) với :

] , [a b

n 

3 Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz chứa điểm M(x0;y0;z0) và có vecto pháp tuyến n(A;B;C) có p/trình là:

0 0

) (

) (

) (x x0 B y y0 C z z0   AxByCz Ax0 By0 Cz0 

A

Đặt  Ax0  By0  Cz0 D, ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng (P):

0







By Cz D





B C A

*) Chú ý:

Nếu mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(a; 0 ; 0 ),B( 0 ;b; 0 ),C( 0 ; 0 ;c) thì (P) có phương trình:

1







c

z b

y a

x

(gọi là phương trình đoạn chắn của mp (P))

4 Khoảng cách:

a) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho M(x0,y0,z0) và mặt phẳng (  ) :AxByCzD 0

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng () được xác định bằng công thức: ( /( )) 0 2 0 2 0 2

C B A

D Cz By Ax M

d















b) Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Cho mặt phẳng () đi qua M và mặt phẳng () đi qua N d((  ) /(  )) d(M /(  ) d(N/(  )

5 Góc

a) Góc giữa 2 mặt phẳng

Cho n ; n lần lượt là vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng: (); ()

Gọi  là góc tạo bởi 2 mặt phẳng: (); ().Ta có:











n n

n n

.

cos 

b) Góc phẳng nhị diện Gọi  là góc phẳng nhị diện thì 0 0    180 0

6 Vị trí tương đối

a) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng: (P): AxByCzD 0 có n P  (A;B;C)

(Q): A'xB'yC'zD'  0 có n Q  (A' ;B' ;C' )

 (P)  (Q)  n P,n Q không cùng phương ( hoặc A:B:C # A’:B’:C’ )



' ' ' ' ) //(

)

(

D

D C

C B

B A

A Q



' ' ' ' ) ( )

(

D

D C

C B

B A

A Q

b) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng ()

Gọi d là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ()

 Nếu d > R  () và (S) không có điểm chung

 Nếu d = R  () và (S) có 1 điểm chung, và () được gọi là tiếp diện của (S)

 Nếu d > R  () cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (H; r) trong đó:

 H là hình chiếu của I trên () và r2 R2  d2

7 Chùm mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng: (P): AxByCzD 0 và (Q): A'xB'yC'zD'  0giao nhau theo giao tuyến  Phương trình mặt phẳng (R) qua  có dạng:

0 ) ' ' ' ' ( ) (AxByCzD   A xB yC zD 



 



-ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Vecto chỉ phương của đường thẳng

*) Định nghĩa: Vecto a là vecto chỉ phương của đường thẳng d 

 



d a a

//

0 _ Nhận xét: a là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì mọi vecto k a với k  0đều là vtcp của đường thẳng đó

_ Chú ý: trong không gian Oxyz, đường thẳng chỉ có vecto chỉ phương mà không có vecto pháp tuyến.

II Phương trình của đường thẳng

1) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Vì đường thẳng d trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phương trình tổng quát của d có dạng:





















0 ' ' ' '

0 :

)

(

D z C y B x A

D Cz By Ax

2) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua M(x0;y0;z0), nhận u(a,b,c) làm vtcp có phương trình:

















ct z

z

bt y

y

at x

x

0 0

( phương trình tham số ) 

c

z z b

y y a

x

x 0 0  0









( phương trình chính tắc ) với a.b.c 0

III Vị trí tương đối

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho (  ) :AxByCzD 0 có vtpt: n(A;B;C)

c

z z b

y y a

x x

(      có vtcp: u(a;b;c) và đi qua M(x0 ;y0 ;z0 )











) ( )

(





M n u









) ( )

//(





M n u

d c) d (  )  u.n 0

2 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho đường thẳng  và mặt cầu S(I; R); d là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng 

 Nếu d < R   (S) tạo thành 1 dây cung

 Nếu d = R   là tiếp tuyến của mặt cầu

 Nếu d > R   và (S) không có điểm chung

3 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua M và có vtcp u; và đường thẳng d’ đi qua N có vtcp v

 d d'  u;v;MN cùng phương  [u;v]  [u;MN]  0

 d // d'  u; v cùng phương và u; MN không cùng phương 









0 ]

; [

0 ]

; [

MN u v u

 dd'  u;v;MN đồng phẳng và u; v không cùng phương 









0 ]

; [

0 ].

; [

v u MN v u

 d và d’ chéo nhau  u;v;MN không đồng phẳng  [u;v].MN  0

IV Khoảng cách

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới một đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua M, có vtcp u và một điểm N Khoảng cách từ N đến d:d(N/d) [u;MN u ]

2 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song

Cho 2 đường thẳng song song: d đi qua M và d’ đi qua N  d(d/d' ) d(M/d' ) d(N/d)

3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d đi qua M và mặt phẳng ()  d(d/(  ) d(M /(  ))

4 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau: d đi qua M có vtcp u và d’ đi qua N có vtcp v ( / ' ) [ ;[ ].; ]

v u

MN v u d

d



V Góc

1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d có vtcp u và mặt phẳng () có vtpt n Gọi  là góc giữa d và ()

n u

n u

.

sin 

2 Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng d có vtcp u và đường thẳng d’ có vtcp v Gọi  là góc giữa d và d’  cos  u u..v v

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Thông thường ta dùng 3 cách sau:

 Cách 1: Tìm 1 điểm nằm trên mặt phẳng và một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

 Cách 2: Tìm 1 điểm nằm trên mặt phẳng và một cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (tích có hướng của

cặp vecto chỉ phương chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm)

 Cách 3: Dùng phương trình chùm mặt phẳng.

VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

 Thông thường, ta có 2 cách giải tổng quát sau:

 Cách 1: Tìm 1 điểm thuộc đường thẳng và một vecto chỉ phương của đường thẳng

 Cách 2: Tìm phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng ấy

Giao tuyến của 2 mặt phẳng đó chính là đường thẳng cần tìm

Cái khó là phải xác định được 2 mặt phẳng phân biệt nào cùng chứa đường thẳng cần tìm Thông thường ta hay gặp

3 giả thuyết sau:

 Đường thẳng ( ) đi qua điểm A và cắt đường thẳng (d) : Khi đó đường thẳng ( )nằm trong mặt phẳng

đi qua A và chứa (d)

 Đường thẳng ( ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng (d): Khi đó đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d)

 Đường thẳng ( ) song song với (d1) và cắt (d2): Khi đó đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng chứa

)

(d2 và song song với (d1)

 Một số dạng viết phương trình đường thẳng hay gặp:

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt cả hai đường thẳng (d1), (d2) cho trước.

 Cách 1:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa (d1)

 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa (d2)

 d  (P)  (Q)

 Cách 2:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa (d1)

 Xác định giao điểm B của (d2) và (P)

+ Nếu không tồn tại giao điểm  Không có đường thẳng (d) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán + Nếu có vô số giao điểm  (d 2) (P)  (d) thuộc chùm đường thẳng trong (P) đi qua A

+ Nếu có nghiệm duy nhất, tức 1 giao điểm thì thực hiện bước 3:

 Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là AB

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) cho trước.

 Cách 1:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (d1)

 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với (d2)

 d  (P)  (Q)

 Cách 2:

 Xác định các vecto chỉ phương của (d1), (d2) lần lượt là u d1 và u d2

 Gọi w là vecto chỉ phương của đường thẳng (d), ta có: 





2 1

d d u w

u w

]

; [u d1 u d2

w 



 Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là w

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với (d1) và cắt (d2) cho trước.

 Cách 1:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (d1)

 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa (d2)

 d  (P)  (Q)

 Cách 2:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với (d1)

 Xác định giao điểm B của (d2) và (P):

+ Nếu không có giao điểm  Không có đường thẳng (d) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Nếu có vô số giao điểm  (d 2) (P)  có vô số đường thẳng (d) trong (P) đi qua A cắt

)

(d2

+ Nếu có một giao điểm thì thực hiện bước 3:

 Viết phương trình đường thẳng (d): đi qua A và có vecto chỉ phương là AB

Dạng 4: Viết phương trình đường vuông góc chung (  ) của 2 đường thẳng chéo nhau.

Cho 2 đường thẳng chéo nhau: d có vtcp u và đường thẳng d’ có vtcp v.Gọi w [u;v]

 Cách 1:

 Viết phương trình mặt phẳng () chứa d và song song với w

 Viết phương trình mặt phẳng () chứa d’ và song song với w

 Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là   (   ) (  )

 Cách 2:

 Chuyển d và d’ về dạng phương trình tham số theo “t” và “u” Gọi M t)d;N(u)d'

 MN là đoạn vuông góc chung của d và d’ 











0 0

'

d d u MN u MN

t, u tọa độ M , N

 Viết phương trình đường thẳng (  ): đi qua M và có vecto chỉ phương là MN

Dạng 5: Cho 2 đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau Viết phương trình đường phân giác của (d) và (d’).

 Xác định tọa độ giao điểm I của (d) và (d’)

 Lấy A  d (A  ) I

 Chuyển (d’) về dạng tham số Lấy B  d' (theo tham số t) thỏa mãn: AI BI tọa độ 2 điểm B1 và B2

(B1 và B2đối xứng nhau qua I)

 Ta có:

 Với B1: Xác định tọa độ trung điểm I1 của đoạn thẳng AB1

Khi đó phương trình đường phân giác thứ nhất (1) được xác định bởi: đi qua I và có vtcp II1

 Với B2: Xác định tọa độ trung điểm I2 của đoạn thẳng AB2

Khi đó phương trình đường phân giác thứ hai (2) được xác định bởi: đi qua I và có vtcp II2

*) Lưu ý: _ Nếu IA.IB1  0  (1) và (2) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù của

góc tạo bởi (d) và (d’) _ Nếu IA.IB1 0  (1) và (2) theo thứ tự là phương trình đường phân giác góc tù, góc nhọn của

góc tạo bởi (d) và (d’)

VẤN ĐỀ 3: HÌNH CHIẾU

1 Tìm hình chiếu vuông góc của 1 điểm M trên một mặt phẳng ()

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ()

 Gọi H là hình chiếu của M trên ()  H d ( )

2 Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm M trên 1 đường thẳng d

 Cách 1: _ Viết phương trình mặt phẳng () đi qua M và vuông góc với d

_ Gọi H là hình chiếu của M trên d  H d ( )

 Cách 2: _ Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số

_ Gọi I là một điểm bất kì thuộc d  tọa độ điểm I theo tham số “t”

_ I là hình chiếu vuông góc của M trên d  MI d  MI.u d  0 tham số t Tọa độ I

3 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của 1 đường thẳng d trên mặt phẳng ()

 Viết phương trình mặt phẳng () chứa d và vuông góc với ()

 Gọi d’ là hình chiếu của d trên ()  d'  (   ) (  )

4 Tìm hình chiếu H của M theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng ()

 Viết phương trình đường thẳng (  ) đi qua M và song song với (d)

 Hình chiếu H chính là giao điểm của (  ) và ().

5 Tìm hình chiếu (  ) của đường thẳng (d) theo phương đường thẳng (D) lên mặt phẳng ()

 Viết phương trình mặt phẳng () chứa (d) và song song với (D)

 Hình chiếu (  ) (   ) (  )

VẤN ĐỀ 4: ĐỐI XỨNG

1 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

 Tìm hình chiếu H của A trên d

 H là trung điểm của AA’ Dùng công thức trung điểm  tọa độ điểm đối xứng A’

2 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng ()

 Tìm hình chiếu H của A trên mặt phẳng ()

 H là trung điểm của AA’ Dùng công thức trung điểm  tọa độ điểm đối xứng A’

3 Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng ()

 Trường hợp 1: (D) cắt mặt phẳng ()

 Tìm giao điểm M của (D) và ()

 Lấy điểm A bất kì trên (D)

 Tìm A’ đối xứng với A qua ()

 Đường thẳng (d) cần tìm chính là đường thẳng đi qua M và A’

Viết phương trình (d): đi qua M và có vecto chỉ phương là MA'

 Trường hợp 2: (D) song song với mặt phẳng ()

 Lấy một điểm A trên (D)

 Tìm A’ đối xứng với A qua ()

 (d) chính là đường thẳng đi qua A’ và song song với (D)

Viết phương trình (d): đi qua A’ và nhận vecto chỉ phương của (D) làm vecto chỉ phương của (d)

4 Tìm phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (  )

 Trường hợp 1: (  ) cắt (D)

 Tìm giao điểm M của (D) và (  )

 Lấy điểm A bất kì trên (D) khác M

 Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (  )

 (d) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm M và A’

 Trường hợp 2: (  ) và (D) song song

 Lấy một điểm A bất kì trên (D)

 Tìm A’ đối xứng với A qua (  )

 (d) chính là đường thẳng đi qua A’ và song song với (D)

Viết phương trình (d): đi qua A’ và nhận vecto chỉ phương của (D) làm vecto chỉ phương của (d)

 Trường hợp 3: (  ) và (D) chéo nhau

 Lấy 2 điểm phân biệt A, B trên (D)

 Tìm A’ đối xứng với A qua (  ), B’ đối xứng với B qua (  )

 (d) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và B’

 Viết phương trình (d): đi qua A’ và có vecto chỉ phương là A ' B'

VẤN ĐỀ 5: TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN

1 Viết phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của ABC

 Xác định tọa độ đỉnh A và trung điểm E của cạnh BC

 Viết phương trình trung tuyến AE: đi qua A và có vtcp AE

2 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC

 Cách 1:

 Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên cạnh BC

 Viết phương trình đường cao AH: đi qua A và có vtcp AH

 Cách 2:

 Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với cạnh BC

 Phương trình đường cao AH: AH  (ABC)  (P)

3 Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của ABC

 Gọi I là chân đường phân giác trong của góc A trên cạnh BC

 Theo tính chất tia phân giác ta có:

IC

IB AC

AB

 hay

IC

IB AC

AB



 ( 2 vecto ngược hướng )  tọa độ I

 Phương trình đường phân giác trong AI: đi qua A và có vtcp AI

4 Viết phương trình đường phân giác ngoài của góc A của ABC

 Gọi J là chân đường phân giác ngoài của góc A trên cạnh BC

 Theo tính chất tia phân giác ta có:

JC

JB AC

AB

 hay

JC

JB AC

AB

 ( 2 vecto cùng hướng )  tọa độ J

 Phương trình đường phân giác ngoài AJ: đi qua A và có vtcp AJ

5 Viết phương trình đường trung trực của đoạn BC của ABC

 Viết phương trình đường cao AH

 Xác định tọa độ trung điểm E của cạnh BC

 Do trung trực ( ) của đoạn BC và đường cao AH cùng vuông góc với BC trong mặt phẳng (ABC) nên chỉ phương của AH cũng là chỉ phương của ( )

 Phương trình trung trực ( ) của đoạn BC: đi qua E và có vtcp: AH

6 Tính góc A trong tam giác

Do các góc trong tam giác có thể tù nên ta có: A AB AB AC AC

.

.

VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU

1 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P): AxByCzD 0 cho trước và thỏa mãn điều kiện K.

 Gọi I(a,b,c) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)

 (S) tiếp xúc (P) d(I/(P)) R

 Sử dụng điều kiện K để lập các phương trình theo a, b,c, R.Từ đó, xác định được tọa độ tâm I và bán kính R

 Viết phương trình mặt cầu (S): (x a) 2  (y b) 2  (z c) 2 R2

*) Lưu ý: Nếu giả thiết cho (S) bán kính R tiếp xúc với (P) tại điểm M(x0;y0;z0), ta thực hiện các bước sau:

 Gọi I(a,b,c) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)

 Tâm I thuộc đường thẳng (d): đi qua M và có vtcp là vtpt của mặt phẳng (P)

















Ct z

z

Bt y

y

At x

x d

0

0

: ) (

Suy ra tọa độ tâm I theo tham số t: I  (x0 At;y0Bt;z0Ct)

 (S) tiếp xúc với (P) IM  R  tọa độ tâm I  Viết phương trình (S): (x a) 2  (y b) 2  (z c) 2 R2

2 Viết phương trình mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P): AxByCzD 0 cho trước theo giao tuyến là một đường tròn (C) và thỏa mãn điều kiện K.

 Gọi I(a,b,c) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)

 (S)  (P)  (C) tâm H bán kính r  R2 r2 d2; trong đó d  d(I /(P))

 Sử dụng điều kiện K để lập các phương trình theo a, b, c, R Từ đó xác định được tọa độ tâm I và b/kính R

) ( ) ( ) (x a  y b  z c R

*) Lưu ý:

 Nếu d  d(I/(P)) = 0 r  R và I  Ta gọi C(I, R) là đường tròn lớn của mặt cầu S(I,R) H

 Nếu giả thiết cho (C) có tâmH(x0 ;y0 ;z0 )  tâm I thuộc đường thẳng (d) đi qua H và có vtcp là vtpt của (P)



















Ct z

z

Bt y

y

At x

x d

0

0

: )

)

;

; (x0 At y0 Bt z0 Ct

 Nếu giả thiết cho (C) ngoại tiếp ABC, khi đó:

 Nếu ABC đều thì H(x0;y0;z0)là trọng tâm ABC

 Nếu ABC vuông tại A thì H(x0;y0;z0)là trung điểm của BC.

3 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và tiếp xúc với đường thẳng (d) cho trước.

 Cách 1:

 Mặt cầu (S) tiếp xúc với (d)  d(I/(d)) R  bán kính R của mặt cầu (S)

 Viết phương trình mặt cầu (S): (x a) 2  (y b) 2  (z c) 2 R2

 Cách 2:

 Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của I lên (d)

 Mặt cầu (S) tiếp xúc với (d)  IH  R

 Viết phương trình mặt cầu (S): (x a) 2  (y b) 2  (z c) 2 R2

4 Viết phương trình mặt cầu (S) cắt đường thẳng (d) cho trước tại hai điểm A, B có độ dài bằng l và thỏa mãn điều kiện K cho trước.

 Gọi I(a,b,c) và R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S)

 Dựa vào điều kiện K, xác định tọa độ tâm I(a,b,c)

 Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của I lên (d)  độ dài IH

 (S)  (d) A,B với AB  l

4 4

2 2 2 2 2 2 2

IH AB IH AH IH IA



 Viết phương trình mặt cầu (S): (x a) 2  (y b) 2  (z c) 2 R2

5 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

 Cách 1:

 Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: 2 2 2 2 2 2 0













y z ax by cz d

 Do mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của đa diện nên tọa độ các đỉnh đa diện thỏa mãn phương trình (*)

 hệ phương trình theo các ẩn a, b, c, d  các ẩn a, b, c, d

 Viết phương trình mặt cầu (S): 2 2 2 2 2 2 0













y z ax by cz d x

 Cách 2:

 Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

 Ta có khoảng cách từ tâm I đến tất cả các đỉnh đa diện đều bằng nhau và cùng bằng bán kính R

 hệ phương trình theo ẩn a, b, c  các ẩn a, b, c  I(a,b,c)

 bán kính R bằng khoảng cách từ I đến một đỉnh bất kì thuộc đa diện

) ( ) ( ) (x a  y b  z c R

 Cách 3: Dựa vào đặc tính các khối đa diện để từ đó tìm tâm và bán kính R theo cách riêng

6 Mặt cầu nội tiếp khối đa diện

 Gọi I(a,b,c) là tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện

 Do (S) nội tiếp khối đa diện nên (S) tiếp xúc với các mặt của khối đa diện Ta có khoảng cách từ I đến các mặt đều bằng nhau và cùng bằng bán kính r  hệ phương trình theo các ẩn a, b, c  các ẩn a, b, c

 tọa độ tâm I(a,b,c)  bán kính r bằng khoảng cách từ tâm I tới một mặt bất kì của khối đa diện

 Viết phương trình mặt cầu (S): (x a) 2  (y b) 2  (z c) 2 r2

7 Tiếp tuyến của mặt cầu

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của mặt cầu  d(I/(d)) R

8 Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu thỏa mãn điều kiện K cho trước

Có 2 khả năng xảy ra:

 Khả năng 1: Biết tiếp điểm M(x0;y0;z0), khi đó phương trình tiếp diện (P) được xác định:

Đi qua M và có vecto pháp tuyến là MI

 Khả năng 2: Biết một vecto pháp tuyến n (A;B;C), khi đó ta thực hiện các bước sau:

 Gọi (P) là mặt phẳng bất kì có vecto pháp tuyến n (A;B;C)có phương trình là: AxByCzD 0 (1)

 (P) là tiếp diện của (S)  d(I/(P)) R  ẩn D, thay vào (1) ta được phương trình tiếp diện (P) cần tìm

VẤN ĐỀ 7: