Rèn tư duy cho học sinh phổ thông qua dạy giải bài tập mặt cầu, hình học nâng cao lớp 12

Phần 2: Nội dung + Năm học 2016-2017 môn Toán trong kì thi THPT quốc gia được thi dưới hình thức trắc nghiệm, chính vì vậy các bài toán chủ yếu tập trung vào việc tính toán bán kính mặt

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

- Năm học 2016 - 2017 là năm học đầu tiên Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT Quốc Gia môn toán dưới hình thức trắc nghiệm nên một số nội dung giảng dạy theo phương pháp truyền thống không còn phù hợp, cần có hướng khai thác mới phát huy tư duy học sinh để đạt hiệu quả cao nhất

- Chuyên đề "Mặt cầu" là một nội dung quan trọng của môn hình học lớp 12 Nếu hệ thống bài tập được khai thác và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở những bài toán quen thuộc

- Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tác giả chọn

đề tài: " Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạy giải bài tập mặt cầu, hình học nâng cao lớp 12" làm sáng kiến kinh nghiệm của mình

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trước khi tạo ra sáng kiến chuyên đề được giảng dạy theo hướng tự luận, tập trung nhiều vào các bài toán xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và không có hệ thống, các bài tập rời rạc không khai thác được sự logic tính kế thừa qua mỗi bài toán

Ưu điểm: Học sinh hiểu rõ được phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Nhược điểm:

- Chuyên đề mặt cầu chưa khai thác được tính kế thừa trong mỗi bài toán,

mô hình nhỏ trong mô hình lớn và ngược lại

- Tập trung quá nhiều vào bài toán xác định tâm mặt cầu trong khi hình thức thi mới chủ yếu tập trung vào các bài toán tính toán

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:

Sau khi tạo ra sáng kiến chuyên đề được giảng dạy theo hướng tự luận kết hợp trắc nghiệm, các bài tập có tính hệ thống, khai thác được sự logic tính kế thừa qua mỗi bài toán

- Học sinh hiểu rõ được phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Học sinh nắm được các công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp cơ bản, từ đó mở rộng ra các hình khác, khai thác được tính kế thừa trong mỗi bài toán, mô hình nhỏ trong mô hình lớn và ngược lại

2 Khái niệm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

3 Điều kiện để một hình chóp nội tiếp một mặt cầu

4 Cách xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.A A A

- Xác định điểm I cách đều tất cả các điểm S, A 1 , A 2 , …,A n Khi đó I là tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

- Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có:

R=SA 1 =SA 2 =…=SA n

Trong quá trình làm bài chúng ta có thể xác định điểm I bằng 2 phương pháp sau :

 Phương pháp 1

+ Bước 1 : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d (là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp O của đáy và vuông góc với mặt đáy) + Bước 2 : Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (Q) + Bước 3 : Xác định I=d (Q) Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Phương pháp 2

+ Bước 1 : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d1

+ Bước 2: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp một tam giác ở một mặt bên d2

+ Bước 3: Xác định Id1d2 Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Phần 2: Nội dung

+ Năm học 2016-2017 môn Toán trong kì thi THPT quốc gia được thi dưới hình thức trắc nghiệm, chính vì vậy các bài toán chủ yếu tập trung vào việc tính toán bán kính mặt cầu, thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Do đó trong SKKN này tác giả tập trung chủ yếu vào việc giải các bài toán tính toán bán kính mặt cầu, thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp để rèn luyện tư duy học sinh

+ Muốn tính được thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu ta phải tính

được bản kính mặt cầu; để giúp rèn luyện tư duy cho học sinh tác giả chia ra các

mô hình cơ bản; học sinh trước tiên phải hiểu được cách tính bán kính mặt cầu trong các mô hình cơ bản này từ đó tác giả đưa ra các bài toán lớn có chứa đựng các mô hình cơ bản để học sinh phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề đó bằng nhiều cách khác nhau

I DẠNG 1 Hình chóp có trục đường tròn ngoại tiếp đáy đồng phẳng với ít nhất một cạnh bên

Bài toán 1 Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy

I M

B

S

O

Nhận xét: Trục đường tròn ngoại tiếp đáy d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn

ngoại tiếp đa giác đáy và song song với cạnh bên vuông góc với mặt đáy Do đó:

-Tâm I là giao điểm của d và đường trung trực của cạnh bên vuông góc với mặt đáy

-Bán kính mặt cầu:

2 2

4

A C

B S

(Trong đó: r : bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy,

a : độ dài của cạnh bên vuông góc với mặt đáy)

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC , SA=2a Tính thể tích khối cầu )ngoại tiếp hình chóp trong mỗi trường hợp sau

Trong ví dụ này ta thấy hình chóp cóSA(ABC nên ta chỉ cần biết độ dài )

cạnh SA và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là tính được bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABC, từ đó tính được thể tich khối cầu

A C

B

S2)

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Vì tam giác ABC vuông tại C nên bán 2

Lưu ý: Khi tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác chúng ta cần phải

kiểm tra xem tam giác đó có đặc biệt hay không

Nhận xét: Như vậy ta đã biết cách tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có

cạnh bên vuông góc với đáy Trong nhiều trường hợp hình chóp cho ban đầu cần tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp không có dữ kiện cạnh bên vuông góc với đáy khi

đó ta cần tìm cách để chuyển về mô hình trên bằng cách vẽ lại hình hoặc mở rộng hình ban đầu

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, hai mặt

phẳng (SAD) và (SAB) cùng vuông góc với mặt đáy ; AB=BC=a, AD=SA=2a Gọi K là trung điểm của AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDK

CK SAD Do đó chỉ cần đổi đỉnh của hình chóp thành C ta có được bài toán

tương tự như ở ví dụ 1.Ta có hình vẽ như sau

B S

*Phân tích : Ta dễ nhận thấy rằng hình chóp S.ABC không có cạnh bên nào vuông

góc với mặt đáy nhưng dựa vào hình vẽ chúng ta có thể nhận thấy S.ABC là một phần của hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông SDABCD Ta có hình vẽ

KH

O CDKH cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C ODK Như vậy ta quy về tính .bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C ODK

Cách 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O CDKH cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp C ODK mà hình chóp C ODK có COODK quy về bài toán cơ bản 

Cách 2: Chứng minh 3 điểm O, H, K cùng nhìn CD một góc 90 0

Bài toán 2: Hình chóp có một mặt phẳng (P) chứa ít nhất một cạnh bên và vuông góc với mặt phẳng đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nằm trên giao tuyến  của (P) và mặt đáy

* Nhận xét

- Dựa vào tính chất của hai mặt phẳng vuông góc ta có đường thẳng ' đi

qua đỉnh và vuông góc với  thì vuông góc với mặt đáy

- Trục đường tròn ngoại tiếp đáy cắt một cạnh bên hoặc hai cạnh bên của hình chóp

- Cách xác định tâm và tính bán kính:

+ Trên  xác định điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Từ đó kẻ Ox

song song với ' suy ra: Ox là trục đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Giả sử (P) chứa SA: Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O Khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp I trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAA’ và bán kính mặt cầu bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAA’

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB=a,

BC= a 3 Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC, biết góc giữa SB và mặt đáy bằng 60 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp 0hình chóp

G

*Phân tích: (P) là mặt phẳng chứa cạnh bên SB và vuông góc với mặt đáy đồng

thời tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng giao tuyến GB nên ta có thể giải bài toán trên như sau

Gọi O là trung điểm của AC Do tam giác ABC vuông tại B suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Kẻ Ox song song với SG suy ra: Ox(ABC) nên Ox là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi D là điểm đối xứng của B qua O

Trong SBD kẻ My là trung trực của SB

Gọi I OxMy Suy ra: I là tâm mặt cầu

Từ giả thiết ta có: SBG600, tan 600 2

Ví dụ 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 2a, (SAC)

vuông góc với mặt đáy Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trong mỗi trường hợp sau :

a)ASC 1200

b)ASC900

*Phân tích : Trong ví dụ này (P) chứa hai cạnh bên SA, SC và vuông góc với mặt

đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm của AC Khi đó tâm

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC

Lời giải

a)Tâm mặt cầu I là tâm đường tròn ngoại tiếp

b)Tâm mặt cầu I trùng O (Vì tam giác ASC vuông tại S)

*Một số lưu ý : Khi (P) chứa hai cạnh của hình chóp thì tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có hai cạnh bên và một cạnh nằm trên giao tuyến của (P) và mặt đáy

Ví dụ 7 Cho hình chóp S ABCD , đáy là hình thoi cạnh  0

M S

h (Trong đó l: độ dài một cạnh bên;

h: độ dài chiều cao của hình chóp)

 Một số lưu ý:

- Nếu SO=OA thì I trùng O

- Nếu SO > OA thì I nằm trong đoạn SO

- Nếu SO < OA thì I nằm ngoài đoạn SO (trên tia đối của tia OS)

- Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của loại này

Ví dụ 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với ABa 3, ADa

Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trong mỗi trường hợp sau:

a)SB2a

b)SBa 2

c)SBa 3

O C

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Suy ra: OA=OB=OC=OD

3 a (I nằm trong đoạn SO)

b)SBOBa 2 suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và 2

2



mc

a R

a

( I nằm ngoài đoạn SO (trên tia đối của tia OS))

Ví dụ 9 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng

(A’BC) và (ABC) bằng 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a?

*Phân tích: Bài toán yêu cầu tính bán kính mặt cầu ngoại

tiếp một hình tứ diện nằm trong hình lăng trụ do đó

chúng ta cần dựa vào đề bài để xác định tính chất của

hình vẽ sau đó vẽ hình chóp đó ra bên ngoài để thuận tiện

cho việc xác định và tính toán sau này

Chúng ta có thể dễ dàng chứng minh được G.ABC là một hình chóp đều

Từ đó ta vẽ hình chóp đều G.ABC và có lời giải như sau

Ví dụ 10 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh đáy bằng a,

II DẠNG 2 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

 Phương pháp:

Giả sử ta có (SAB) vuông góc với mặt đáy + Gọi O O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và 1, 2 SAB ; H là

trung điểm của AB Suy ra: O H1  AB và O H2  AB

Mặt khác ta có: (SAB) vuông góc với mặt đáy nên:

O H SAB và O H2 mặt đáy

+Trong (O HO : kẻ 1 2) O x song song 1 O H và 2 O y song song 2 O H 1

Suy ra : O x 1 mặt đáy và O y2  SAB ( )Vậy O x và 1 O y là trục đường tròn ngoại tiếp đáy và 2 SAB

+Gọi I O x1 O y2 Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

C A

Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên

(SAB) vuông góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trong mỗi trường hợp sau :

Ví dụ 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAB vuông tại

S, SCD đều Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S ABCD

Cách 2: Chứng minh được SAB  SCD nên có thể làm bằng cách xác định trục

đường tròn ngoại tiếp 2 tam giác SAB và SCD

III MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

Ví dụ 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với ABa 7,

3



BC a Tam giác SBD vuông tại S Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ?

*Phân tích : Ở ví dụ này ta thấy rằng không có dấu hiệu để sử dụng hai dạng ở

trên đồng thời cũng chưa dựng được trục đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó chúng

ta có thể đi tim một điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp bằng cách sử dụng các kiến thức lớp dưới đã học và một trong những kiến thức rất quan trọng khi học

về đường tròn ngoại tiếp đa giác là các điểm cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình chữ nhật và tam giác SBD vuông tại S nên

S

B

CA

DK

* Hướng dẫn: Gọi D đối xứng A qua O khí đó ta chứng minh được A BCKH nội

tiếp mặt cầu đường kính AD

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Gọi R là bán kính , S là diện tích và V là thể tích của khối cầu Công

thức nào sau sai?

R

C

3

2.3

R

D

3

3.2

R

Câu 5 Gọi  S là mặt cầu có tâm O và bán kính R ; d là khoảng cách từ O đến

mặt phẳng (P) , với d<R Hỏi giữa (S) và (P) có bao nhiêu điểm chung?

Câu 6 Cho mặt cầu có diện tích bằng

2

83

a

C 6.2

a

D 2.3

a

C 6.2

a

D 2.3

a

Câu 8 Cho tứ diện DABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B, DA vuông góc

với mặt đáy Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp D.ABC

A 5 2

2

a

B 5 2.3

a

C 5 3.2

a

D 5 3.3

a

Câu 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

a Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A 2a2 B 4a2 C a2 D 6a2

Câu 10 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ

diện ABCD

Câu 11 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt

bên và đáy bằng 45 Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 0

a

C

2

3.4

a

D

2

2.3

3

3

4 1 3 a

Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông với đường cao AB =

a, BC = a, AD = 2a, SAABCD và  SAa 2 Gọi E là trung điểm của AD Kẻ

6

Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a ,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SAa 3 Diện tích của mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABCD bằng

A 7a 2 B 11a 2 C 33 2

16a D 44a 2

Câu 18 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a 3 và cạnh bên là

2a Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

A a 3 B a C 3.

2

a

D 2 3.3

a

Câu 19 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a

Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng

a

C

3

2

a

C

2

4.9

a

B

2

.3

a

C 5a 2 D 4a 2

Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh là a , mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng

A a 2 B

2

7.9

a

C 4a 2 D

2

7.3

Câu 25 Cho hình chóp S.ABC có SA = a 2, AB = a , AC =a 3 , SA vuông góc với đáy và đường trung tuyến AM của tam giác ABC bằng 7

2

a

Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu (S) là:

A V   6a3 B 3

2 2

 

V a C V   2 3a3 D V   2 6a3

Câu 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A AB,  ACa.

Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

a

Câu 27 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và

a

C

3

8 2 3

a

D

3

2 6

a

Câu 28 Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm

trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a

A 5 2

3a B 11 2

3 a C 2a2 D 4 2

3a

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN.