Phát triển bài toán khối đa diện và một số ứng dụng thực tế trong các kì thi hiện nay

Trong qua trình giải quyết các bài toán về thể tích của khối đa diện và bài toán liên quan,khâu quan trọng là học sinh phân tích đề bài và tìm ra dấu hiệu đường cao của hình chópcó thể t

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Phát triển bài toán khối đa diện và một số ứng dụng thực tế trong các kì thi hiện nay.

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10/10/2016 đến ngày 20/05/2017

4 Mã SK: SK34

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chấtcủa con người lao động mới là môn học hình học không gian Trong môn toán ở trườngphổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng Ngoàiviệc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rènluyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chínhxác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạocho học sinh Phát triển bài toán về khối đa diện và một số ứng dụng thực tế là chuyên

đề mang nội dụng quan trọng, phổ biến với nhiều dạng toán mà chúng ta thường gặptrong các kì thi kiểm tra chất lượng học kì, cuối năm, đặc biệt là kì thi THPT Quốc Giahay kì thi học sinh giỏi các cấp, chúng rất đa dạng và phong phú về đề bài và lời giải.Ngày nay với sự sáng tạo không ngừng của người học toán thì những mô hình về khối

đa diện càng xuất hiện rất nhiều trên các diễn đàn Toán học với những mô hình, ý tưởngmới mẻ và đặc sắc Mặc dù đây là một đề tài quen thuộc, chính thống nhưng không vìthế mà giảm đi phần thú vị, nhiều bài toán cơ bản ở mức độ vận dụng thấp tăng dần lênnhững bài toán khó ở mức độ vận dụng cao vẫn làm khó nhiều học sinh THPT Một bàitoán về thể tích của khối đa diện và các nội dung liên quan có thể có nhiều phương phápgiải khác nhau Tuy nhiên đối với các em học sinh có học lực trung bình, khá thì việctìm ra được lời giải cho bài toán còn nhiều khó khăn

Thực trạng trường THPT còn nhiều em chưa cảm thấy có hứng thú nhiềuvới việc học giải toán liện quan đến khối đa diện Chỉ những em học sinh có học lựckhá, giỏi của trường mới có sự quan tâm và có niềm đam mê chinh phục nội dung Toánhọc này Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến bài toán về khối đa diện bởi nội dungcủa chuyên đề này thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia và ở mức độkhó Đặc biệt, trong năm học 2016-2017 là năm đầu tiên môn Toán chuyển sang hìnhthức thi Trắc nghiệm với những dạng Toán mới mẻ, nổi bật là những bài toán có baohàm nội dung liên quan đến thực tế, trong đó có những bài toán thực tế liên quan

đến những mô hình khối đa diện Các em học sinh phải chiếm lĩnh được chuyên đề thể tíchcủa khối đa diện và các bài toán liên quan thì mới có cơ hội đạt điểm cao môn Toán và cơhội trúng tuyển những trường Đại học tốp đầu mà các em đang mơ ước Với mong muốnngày càng có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú và có niềm đam mê chinh phụcnhững nội dung Toán học đỉnh cao này, tôi đã mạnh dạn xây dựng nên chuyên đề ‘’Pháttriển bài toán về khối đa diện và một số ứng dụng thực tế trong c¸c k× thi hiÖn nay’’.

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về hìnhhọc không gian các em học sinh thường không biết vẽ hình, còn lúng túng, không phân loạiđược các dạng toán, chưa định hướng được cách giải Trong khi đó vẽ được hình (hìnhbiểu diễn tốt nhất, đúng ý tưởng) đã là một phần của lời giải của bài toán

Trong chương trình Toán THPT các bài tập hình học không gian trong sách giáo khoacũng như trong các đề thi thường là bài toán khó đối với các em học sinh Trong các kì thi,đặc biệt kì thi THPTQG và học sinh giỏi thì bài toán về hình học không gian làm cho nhiềuhọc sinh lúng túng vì nghĩ rằng nó trừu tượng và thiếu tính thực tế Có thể nói bài toán vềhình không gian có sự phân loại đối tượng học sinh rất cao Chính vì thế mà có rất nhiềuhọc sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyềnđạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian

2 Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến

Để giải được bài hình học tố theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ năngkiến thức cho học sinh, đó là vẽ hình đúng, trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợicho việc giải các bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực vàniềm say mê học tập của học sinh Vẽ đúng, trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh đượccác sai lầm đáng tiếc Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm tronghình học không gian như hình chóp, tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ; hình hộp;hình hộp chữ nhật Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý các phần mềm giảng dạynhư: Cabir, GSP

Trong qua trình giải quyết các bài toán về thể tích của khối đa diện và bài toán liên quan,khâu quan trọng là học sinh phân tích đề bài và tìm ra dấu hiệu đường cao của hình chóp(có thể tìm được) để đưa ra mô hình hình vẽ phù hợp nhất Một vấn đề nữa là khi đứngtrước những bài toán mới lạ học sinh chưa thực sự chủ động và làm chủ bài toán Phân chiakhối đa diện theo mô hình nhằm mục đích cho học sinh có một hệ thống nhất định về cácbài toán hình học không gian, đặc biệt là các bài toán tính thể tích của khối chóp Với mỗi

mô hình, học sinh nhận ra những dấu hiệu để tìm kiếm đường cao của hình chóp, từ đó

học sinh chủ động xác định được cách biểu diễn hình chóp một cách tốt nhất, đồng thời

phục vụ cho việc tìm kiếm thể tích của khối chóp và các câu hỏi liên quan Chính vì thế mà

tôi đưa ra các mô hình điển hình để học sinh có thể nhận ra những mô hình quen thuộc đótrong những bài toán lạ, tức là nhìn vấn đề mới lạ trong cái quen thuộc từ đó có cách sử líphù hợp nhất

Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm gồm 2 Chương, trong mỗi Chương lại gồm các bàikhác nhau, trong mỗi bài lại gồm các ví dụ cụ thể, mỗi một ví dụ được trình bày theo cấu

trúc Đề bài-Lời giải-Bình luận Trong lời giải, tùy từng ví dụ mà có thể đưa ra các cách

giải khác nhau, đảm bảo cho hai hình thức thi Trắc nghiệm và Tự luân Việc đưa ra

những bình luận sắc bén nhằm nhấn mạnh những điểm mấu chốt của bài toán và đưa ra

các cách giải khác để so sánh ưu điểm, nhược điểm với phương pháp ở trên Học sinhthấy được những dấu hiện nổi bật của bài toán để lựa chọn phương pháp giải toán chophù hợp Như vậy phần bình luận nhằm tổng kết lại phương pháp đã sử dụng và đưa ranhững phương hướng mới cho lời giải bài toán hay phát triển bài toán thành một lớp bàitoán rộng hơn Ngoài ra trong sáng kiến tôi còn giới thiệu nhiều bài toán phù hợp vớihình thức thi Trắc nghiệm cùng các công thức giải nhanh đảm bảo cho học sinh có thểquyết bài toán trong thời gian ngắn nhất, bên cạnh các công thức giải nhanh học sinhcũng cần biết đến lời giải tự luận để hiểu rõ bản chất và khắc sâu bài toán Sau đây tôitrình bày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến

CHƯƠNG 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÍNH THỂ TÍCH

CỦA KHỐI ĐA DIỆNBÀI 1 MỘT SỐ MÔ HÌNH HÌNH CHÓP THƯỜNG GẶP

1 Mô hình1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

 Mô hình này có thể nói là phù hợp và phổ biến với học sinh nhất, trước hết là thuận lợitrong cách vẽ hình Giả thiết của bài toán cho trước đường cao của hình chóp nênhướng giải quyết bài toán là tính diện tích đáy và độ dài đường cao của hình chóp

 Để xây dựng và phát triển bài toán chúng ta có thể điều chỉnh các tình tiết để làm tăng

độ phức tạp của đáy hoặc làm phức tạp cách tính độ dài đường cao ta được các bài toánkhó, dễ khác nhau

VÝ dô 1.1.1.1 (Trích dẫn: Đề thi chính thức THPTQG năm 2017).

Xét khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) Tính cos khi thể tích của khối chóp S.ABC đạt giá

+) Gọi K là trung điểm của cạnh BC Do tam giác ABC

vuông cân tại đỉnh A nên AK BC, mà BCSA nên

suy ra BC SAK

+) Mặt khác SBC  ABC BC BC, SAK

SAK  ABC AK SAK,   SBC SK

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc

giữa hai đường thẳng AK và SK, đó là  SKA Theo giả.

thiết, ta có SKA  .

+) Trong mặt phẳng SAK kẻ , AH SK K SK,  Theo trên BC SAK  BC AH .

Khi đó AH SBC và  d A SBC ,   AH Theo giả thiết AH 3

AS

KB

a

2 2

a

+) Thể tớch của khối chúp SABC là . 1 1 3 92 9 2

3  3 cos sin cos sin

Bài toỏn trở thành: Tỡm gúc  00  900 để biểu thức 9 2

cos sin  đạt giỏ trị nhỏ nhấthay biểu thức Pcos sin 2 đạt giỏ trị lớn nhất

Ta cú Pcos sin 2 cos 1 cos   2 cos  cos3 Đặt tcos 0 t 1 , ta cầntỡm giỏ trị lớn nhất của hàm số yf t   t t trờn khoảng 3 0; 1 

Ta cú '  1 3 , '2   0 1 0; 1 

3

f t t f t t Bảng biến thiờn của hàm số yf t 

+) Vậy giỏ trị lớn nhất của hàm số bằng 2

3 3 khi

13

Bình luận: Bài toán là sự kết hợp của nhiều yếu tố trong không gian, chẳng hạn nh góc

giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, thể tích của khối chóp Để giảiquyết bài toán, học sinh phải biết vận dụng phơng pháp đại số, chẳng hạn đạo hàm, bảngbiến thiến để tìm giá trị lớn nhất của hàm số Vì thế đây là câu hỏi cấp độ vận dụng cao

t

 '

1

2

3 3

VÝ dô 1.1.1.2 (Trích dẫn: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2014).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường

kính AD2 a Cạnh SA vuông góc với đáy (ABCD) Biết mặt phẳng SBC tạo với mặt

+) Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường

thẳng AH và AK Do AK SBC  AK HK suy ra tam giác AHK vuông tại đỉnh K Khi

DH

a

ES

3a

đú gúc HAK là gúc nhọn, do đú gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là gúc HAK

Theo giả thiết HAK  và   10

Bình luận: Bài toỏn liờn quan đến khối chúp cú đỏy là nửa lục giỏc đều vẫn cũn khỏ

mới mẻ với nhiều học sinh Do đú chưa khai thỏc được cỏc tớnh chất của đa giỏc này,chẳng hạn đõy là hỡnh thang cõn cú độ dài đỏy lớn bằng 2 lần đỏy nhỏ, hay gúc ACD900(gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) Điểm mấu chốt của bài toỏn chớnh là cỏch xỏc địnhgúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng gúc giữa hai đường thẳng lần lượt vuụng

gúc với hai mặt phẳng đú, đú là gúc giữa hai đường thẳng AH và AK.

2. Mô hình 2 Hỡnh chóp cú mặt phẳng đi qua đỉnh và vuụng gúc mặt đỏy.

 Đường cao của hỡnh chúp nằm trờn mặt phẳng đi qua đỉnh của hỡnh chúp và vuụng gúcvới mặt phẳng đỏy

 Để xõy dựng mụ hỡnh hỡnh chúp này chỳng ta cú thể xõy dựng giả thiết của bài toỏn đócho trước một mặt phẳng đi qua đỉnh của hỡnh chúp và vuụng gúc với mặt phẳng đỏy.Chỳng ta cú thể phỏt triển bài toỏn bằng cỏch điều chỉnh cỏc tỡnh tiết từ dễ đến khú,chẳng hạn mặt phẳng đú chứa tam giỏc đặc biệt như tam giỏc đều, vuụng, cõn đến tamgiỏc thường Khú hơn là đưa ra những mụ hỡnh hỡnh chúp mà học sinh phải tự khỏmphỏ và phỏt hiện ra khối chúp cú mặt phẳng đi qua đỉnh và vuụng gúc với đỏy Từ đúxỏc định được đường cao của hỡnh chúp và giải quyết được bài toỏn thể tớch và cỏc nộidung liờn quan

VÝ dô 1.1.2.1 (Trích dẫn: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2016).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB BC 4 a

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H là

trung điểm của cạnh AB, biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SHD bằng 10  a

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Lời giải

+) Do tam giác SAB đều nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao Mặt khác

SAB  ABCD SAB ,   ABCD AB mà SH SAB SH, AB SH ABCD

và độ dài đường cao là SH  SA2  AH2  16a2  4a2 2 3 a

+) Trong mặt phẳng  ABCD kẻ , CK HD K HD mà ,  CK SH

   ,  

+) Nhận xét HADHBE S ABCD SCED Mặt khác HD AH2 AD2  4a2 AD2

Khi đó diện tích của tam giác CED là 1 10 2 4 2

Giải phương trình trên ta tìm được AD6a, suy ra diện tích đáy S ABCD 20 a2

SAB , SBC , SCD , SDA lần lượt tạo với mặt phẳng (ABCD) các góc bằng

V  a C 2 3 3

.9

V  a D 3 3

.9

Lời giải

với mặt phẳng (ABCD) góc bằng 900 nên mặt phẳng SAB với mặt phẳng (ABCD) Gọi H

là trung điểm của cạnh AB, vì tam giác SAB cân tại S nên SH AB, suy ra SH ABCD

hay SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.

+) Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên các đường thẳng AD, BC, CD thì

các mặt phẳng SAD , SCD , SBC lần lượt tạo với mặt phẳng (ABCD) các góc

 ,  , 

SEH SKH SFH Theo giả thiết  SEH SFH SKH  60 0

+) Nhận xét: Tam giác SAB vuông cân tại đỉnh S và AB=a nên tìm được

VÝ dô 1.1.2.3 (Trích dẫn: Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2013).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a và BC=2a Biết rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với mặt đáy (ABCD) những góc bằng nhau Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

SA và BD là 2

6

a

a Tính thể tích cña khối chóp S.ABCD theo a

b Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BD.

Lời giải

a Tính thể tích cña khối chóp S.ABCD

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên đường thẳng AB Theo giả thiết

(SAB) ( ABCD mà ) (SAB) ( ABCD)AB SH, AB suy ra SH (ABCD)

AB

H

QK

DC

E

a

2 6

+) Ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc SBA Bây giờ ta kẻ

HE CD  CD SHE , suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là góc SEH Theo giả thiết SBH SEH   SHBSHE HB HE 2a

Từ đó tứ giác HBCE là hình vuông cạnh 2a và A là trung điểm của đoạn HB.

+) Ta có BD/ /(SAE SA), (SAE) d BD SA( , )d BD SAE( ,( ))d B SAE( ,( ))d H SAE ,  

26

b Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD

+) Ta có BD/ /AE nên cosSA BD,  cosSA AE,  cosSAE SE , 2 SH2 HE2 8a2

+) Áp dụng định lí côsin trong SAE, ta có cos

B×nh luËn: Đây là bài toán tổng hợp rất nhiều kiến thức của hình học không gian Đó là

quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách, thể tích Điểm nổi bật là xác định chính xác chân

đường cao H thỏa mãn A là trung điểm của đoạn BH Một vấn đề nữa của bài toán là cách luôn chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD cũng đòi hỏi rất tinh tế và khéo léo, cuối cùng là dẫn đến xét một tam diện vuông S.HAE quen thuộc.

VÝ dô 1.1.2.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Biết độ dài các

b Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)

Lời giải

a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

+) Gọi I là tâm của hình thoi ABCD, vì tam giác SBD cân tại đỉnh S nên BDSI mà

kẻ SH AC H, AC  SH (ABCD) Vậy SH là đường cao của hình chóp SABCD.

a Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)

+) Kẻ AK SB K SB KP,  , SB P SC,   SB(AKP) Ta có  AKP  SAB AK,

AKP  SBC KP nên góc giữa (SAB) và (SBC) chính là góc giữa AK và KP.

K

C

2 3 3

a

6 3

a

a

S

Bình luận: Điểm nổi bật của bài toỏn là việc chứng minh được hỡnh chúp cú mặt phẳng

(SAC) vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABCD) và chứng minh tam giỏc SAC vuụng tại đỉnh

S để tớnh độ dài đường cao SH Ngoài ra bài toỏn cũn đưa ra cõu hỏi tớnh cosin của gúc

giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) để tăng cường sự phõn loại đối tượng học sinh, dành

cho học sinh khỏ giỏi Đõy là cõu đũi hỏi tư duy và kĩ năng tớnh toỏn khỏ phức tạp nờnnhiều học sinh khụng vượt qua cõu hỏi này Để che giấu tốt hơn mụ hỡnh hỡnh chúp cú mặtphẳng đi qua đỉnh và vuụng gúc với mặt phẳng đỏy, chỳng ta tiếp tục với vớ dụ sau đõy

Ví dụ 1.1.2.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Các điểm M, N

lần lựợt nằm trên các cạnh AB, AD sao cho MA=MB, ND=3NA Biết độ dài cạnh SA=a và

MN vuông góc với SM, tam giác SMC cân tại S

a.Tính thể tích c a khối chóp ủa khối chóp SMNDC theo a.

b Tớnh khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và MC theo a

Lời giải

a Tính thể tích khối chóp SMNDC theo a.

Q

KF

N

E

C

a a

S

+) Nhận xét 2 2 5 2 5 2 25 2 2

4 16 16

  a  a  a 

MC MN NC  MNC vuông tại M  MN MC

Mà theo giả thiết MN SM  MN  (SMC), MN (ABCD) (SMC) ( ABCD )

Gọi H là trung điểm của MC thì do tam giác SMC cân tại đỉnh S nên ta có

+) Gọi F là trung điểm của đoạn BM

b Tớnh khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA và MC theo a

+) Gọi K là trung điểm của cạnh CD, kẻ HE AK HQ, SE  HQ(SAK)

Cú MC/ /(SAK SA), (SAK) d MC SA( , )d MC SAK( , ( ))d H SAK( , ( ))HQ

Bình luận: Mấu chốt của bài toỏn là ở chỗ học sinh phải khai thỏc tốt cỏc thụng tin cú

trờn hỡnh vuụng ABCD với những tớnh toỏn cụ thể và đi đến phỏt hiện tam giỏc MNC vuụng tại đỉnh M, từ đú dẫn đến hỡnh chúp SABCD cú mặt phẳng (SMC) đi qua đỉnh S và

vuụng gúc với mặt đỏy, dẫn đến SH là đường cao của hỡnh chúp S.ABCD Ngoài ra bài toỏn

cũn đưa ra cõu hỏi tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và MC để tăng cường sự

phõn loại đối tượng học sinh, dành cho học sinh khỏ giỏi

3. Mô hình 3 Khối chóp đều.

 Khối chúp đều là khối chúp cú đỏy là đa giỏc đều và cỏc cạnh bờn bằng nhau Điểm nổibật là chõn đường cao của hỡnh chúp là tõm đường trũn ngoại tiếp đỏy

 Cú 2 loại hỡnh chúp đều điển hỡnh thường gặp là hỡnh chúp tam giỏc đều và hỡnh chúp

tứ giỏc đều Hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều, cạnh bờn bằng nhau và chõn đường cao là trọng tõm G của tam giỏc ABC Hỡnh chúp tứ giỏc đều

S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD, cạnh bờn bằng nhau và chõn đường cao là tõm O

hỡnh vuụng ABCD.

 Ngoài ra trong phần này chỳng ta cũn tiếp cận với hỡnh chúp lục giỏc đều Đú là hỡnhchúp cú đỏy là lục giỏc đều, cỏc cạnh bờn bằng nhau và chõn đường cao là tõm đườngtrũn ngoại tiếp lục giỏc đều.

 Để phỏt triển mụ hỡnh hỡnh chúp này chỳng ta cú thể kết hợp giữa hỡnh chúp đều vàhỡnh cầu Cụ thể là phỏt triển hỡnh chúp ban đầu thành hỡnh đa diện như hỡnh bỏt diệnhay bỏt diện đều, ngoài ra xõy dựng những bài toỏn liờn quan đến hỡnh chúp đều nộitiếp mặt cầu hay ngoại tiếp mặt cầu cú bỏn kớnh cho trước, đề xuất dạng toỏn liờn quanđến giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tớch khối chúp và dạng toỏn này đó từng xuất hiệntrong kỡ thi THPTQG năm 2017

Ví dụ 1.1.3.1 Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và

mặt đáy (ABC) bằng 600

a Tính thể tích của khối chóp SABC theo a.

b Gọi A B C lần lượt là cỏc điểm đối xứng của cỏc điểm A, B, C qua điểm S Tớnh thể1, 1, 1

tớch của khối bỏt diện được tạo thành cú cỏc mặt là cỏc tam giỏc sau đõy

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ABC A B C A BC B AC C AB AB C BA C CA B theo a

Lời giải

a Tính thể tích của khối chóp SABC theo a.

Do SABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đờng cao của hình chóp

Do tam giác ABM vuông tại M nên

+) Ta cã (SBC) ( ABC)BC BC AM BC SM;  ;  nªn gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ

(ABC) chÝnh lµ gãc gi÷a SM vµ AM §ã lµ  SMA 600 Ta cã 1 1 3 3

V

Lời giải

+) Gọi M là trung điểm của cạnh BC, G là trọng tâm của tam giác ABC Do hình chóp S.ABC đều nên SG là đường cao của hình chóp.

Gọi độ dài cạnh AB a và chiều cao  SG h Tính được  3 , 3

S

A

+) Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số   3 2 3

24

Bảng biến thiên của hàm số yf h trên khoảng   0; 2R như sau:

+) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 32 3 3

R

43

R

+) Gọi độ dài cạnh AB a ,M l trung à điểm của BC Khi đó 2 2 3

S  AM BC  a  Gọi G là trọng tâm của tam giác

ABC, vì SABC là hình chóp tam giác đều nên SG là đường cao của hình chóp SABC Đặt

độ dài SG h thì thể tích khối chóp SABC l à . 1 . 1 . 3 2 3 2 .

+) Vì mọi điểm nằm trên đường cao SG có tính chất cách đều các mặt bên của hình chóp

S.ABC nên tâm I của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC nằm trên SG Trong mặt phẳng

(SGM) vẽ đường phân giác trong của góc  SMG đường này cắt đường cao SG tại điểm I thì,

I chính là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp đã cho Thật vậy, trong mặt phẳng (SAM) kẻ

Theo giả thiết, mặt cầu có bán kính bằng 1 nên ta có IN IG R 1

Có  

2 2

hình vuông ABCD

a Tính thể tích của khối bát diện SABCDS 1 được tạo thành theo a.

b Tính thể tích của khối cầu nội tiếp bát diện SABCDS1 theo a.

Lời giải

h

 '

a Tớnh thể tớch của khối bỏt diện SABCDS 1 theo a.

+) Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO là đờng cao của hình chóp và đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh CD và AB Do AB(SON)

nên góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là  SNO 600

b Tớnh thể tớch của khối cầu nội tiếp bỏt diện SABCDS 1 theo a.

+) Vỡ tõm O của hỡnh vuụng ABCD cỏch đều tất cả cỏc mặt của bỏt diện SABCDS 1 nờn O chớnh là tõm của mặt cầu nội tiếp bỏt diện SABCDS1

+) Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của tõm O trờn đường thẳng SN thỡ OK vuụng gúc với

mặt phẳng (SAB) Do đú bỏn kớnh mặt cầu nội tiếp bỏt diện là 3

Ví dụ 1.1.3.5 (Trớch dẫn: Đề thi chớnh thức THPTQG năm 2017).

Trong tất cả cỏc hỡnh chúp tứ giỏc đều nội tiếp mặt cầu cú bỏn kớnh bằng 9, tớnh thể

tớch V của khối chúp cú thể tớch lớn nhất.

A V 144 B V 576 C V 576 2 D V 144 6

Lời giải

+) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao

của hình chóp Gọi độ dài cạnh AB a chiều cao  , SO h

Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD là 2

Bảng biến thiờn của hàm số yf h trờn khoảng   0; 18 như sau:

+) Vậy giỏ trị lớn nhất của hàm số là 576 khi h12 hay giỏ trị lớn nhất của thể tớch khối

chúp S.ABCD là 576 khi h12 và a3 6 Chọn đỏp ỏn B

Ví dụ 1.1.3.6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là 2a, chiều cao SH=h Khi

a và h thay đổi và hình chóp SABCD đều luôn ngoại tiếp một mặt cầu cố định có bán kính

bằng 1 Tìm a và h để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

+) Gọi H là tõm của hỡnh vuụng ABCD Do S.ABCD là hỡnh chúp đều nờn SH vuụng gúc với (ABCD) Do đú SH là đường cao của hỡnh chúp S.ABCD.

+) Gọi M, N lần lượt là trung điểm cuả cạnh AB, CD

+) Nhận xột: Mặt phẳng (SMN) cắt mặt cầu nội tiếp hỡnh chúp S.ABCD theo một đường trũn lớn của mặt cầu, đú chớnh là đường trũn nội tiếp tam giỏc SMN.

h

 '

B

NH

D

CM

S

A

và f h'( ) 0  h 4 2; . Lập bảng biến thiên của hàm sốyf h  

+) Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S ABCD là 32

3 khi h4,a 2

B×nh luËn: Đây là bài toán không gian có liên quan đến yếu tố cực trị Cụ thể là tìm

tham số để thể tích của khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất Tư tưởng ở đây là đưa biểu thức tính thể tích của khối chóp (gồm 2 ẩn là a, h) về biểu thức 1 biến để sử dụng công cụ

đại số như bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa biến Tuy nhiên, tư

tưởng là vậy nhưng tìm ra mối liên hệ giữa 2 ẩn a và h là vấn đề rất khó khăn ở bài này Học sinh phải nhận xét được mặt cầu nội tiếp hình chóp cắt mặt phẳng (SMN) theo giao tuyến là đường tròn lớn của mặt cầu và đường tròn này lại nội tiếp tam giác SMN Từ đó sử dụng linh hoạt công thức tính diện tích tạo ra mối quan hệ giữa a và h.

VÝ dô 1.1.3.7 Trong tất cả các hình chóp lục giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng

+) Gọi O là tâm của lục giác đều ABCDEF, vì S.ABCDEF là hình chóp đều nên SO là

đường cao của hình chóp Gọi độ dài cạnh AB a chiều cao  , SO h

Tính được diện tích đáy là 6 6.3 3 2 3 3 2

I



F

+) Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 16 3 3

VÝ dô 1.1.3.8 Cho mặt cầu (S) cố định có bán kính bằng 1 Xét tất cả các hình chóp lục

giác đều S ABCDEF ngoại tiếp mặt cầu trên, tức là mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cả các mặt

của hình chóp S ABCDEF Tính thể tích của khối chóp có thể tích nhỏ nhất

Lời giải

+) Gọi O là tâm của lục giác đều ABCDEF, vì S.ABCDEF là hình chóp đều nên SO là

đường cao của hình chóp Gọi độ dài cạnh AB a chiều cao  , SO h

Tính được diện tích đáy là 6 6.3 3 2 3 3 2

FK

R

43

R

Thể tích của khối chóp S.ABCDEF là

đường này cắt đường cao SO tại điểm I thì I chính là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp đã cho Thật vậy, trong mặt phẳng (SOM) kẻ IK SM K SM ,   IKSAB Do

IOM IKM  IO IK nên d I ABCDEF ,   d I SAB Vậy điểm I cách đều các mặt ,  .của hình chóp lục giác đều đã cho

+) Do tam giác OAB đều cạnh a nên tính được 3 .

+) Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 16 3

3 khi h 4 hay giá trị nhỏ nhất của thể tích khối

 Để xây dựng và phát triển bài toán theo mô hình này là chúng ta làm tăng độ phức tạp

của đáy Nếu tam giác ABC đều thì chân đường cao H của hình chóp là trọng tâm của tam giác ABC, nếu tam giác ABC vuông thì chân đường cao H là trung điểm cạnh huyền, nếu tam giác ABC tù thì chân đường cao H nằm ngoài tam giác ABC

 Một hướng khác là cất giấu mô hình hình chóp này trong những hình chóp khác hoặc

bên trong hình lăng trụ, chẳng hạn hình chóp S.ABCD có ba cạnh SA, SB, SC bằng nhau thì chân đường cao H của hình chóp S.ABCD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC hay hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đỉnh A’ cách đều các đỉnh A, B, C thì chân đường cao H kẻ từ đỉnh A’ của lăng trụ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

VÝ dô 1.1.4.1 Cho h×nh chãp S.ABC cã SA SB SC   7, AB BC AC 32 và thỏa mãn

+) Kẻ

SH  ABC H ABC thì SH là đờng cao của hình chóp S.ABC

Nhận xét: SAH SBH SCH HA HB HC  nên H là tâm của đờng tròn ngoại tiếp

tam giác ABC Gọi R là bỏn kớnh của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC và S là diện tớch

của tam giỏc ABC Ta chứng minh

R

S

7

+) XÐt tam gi¸c vu«ng SAH ta có SH  SA2  AH2  7 4  3.

+) ThÓ tÝch cña khèi chãp S.ABC lµ . 1 1 3.4 4 3

VÝ dô 1.1.4.2 (Trích dẫn: Đề thi chính thức THPTQG năm 2017).

Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x v à các cạnh còn lại đều bằng x 2 3. Tìm x

để thể tích c a ủa khèi chãp khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

A x  6 B x 14. C x 3 2. D x2 3

Lời giải

+) Gọi M là trung điểm của cạnh AB , do tam

giác ABC cân tại đỉnh C nên CM AB. Khi đó

+) Do tứ diện ABCD có các cạnh AD BD CD  2 3 nên hình chiếu vuông góc H của điểm D trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC +) Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì R CH

Mặt khác diện tích đáy . . 2 3.2 3. 12 3 (2)

ABC AB BC AC  x  x  x S

+) Vậy với x 3 2 thì khối tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất Chọn đáp án C.

VÝ dô 1.1.4.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với

a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC theo a.

Lời giải

a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

+)Ta có IC  ID2 CD2  2a2 a2  3 ,a IB IA2 AB2  2a24a2  6a

Gọi M là trung điểm của AB, ta có tứ giác ADCM là hình vuông, suy ra CM AD 2 2a

Ta có BC BM2 CM2  a2 8a2 3a BC2 BI2IC2 nên tam giác IBC vuông

tại I Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) thì ta có

SHI SHB SHC

HI HB HC

   nên

B×nh luËn: Với cách bao hình như thế này, học sinh phải nhận ra được hình chóp

S.ABCD có chứa hình chóp S.IBC đang rơi vào tình trạng có 3 cạnh bên bằng nhau Từ đó

CD

HE

I

13 2

a

13 2

a

13 2

a

S

3 2

a

2 2a

nhận định được chõn đường cao của hỡnh chúp S.IBC chớnh là tõm đường trũn ngoại tiếp

tam giỏc IBC Độ khú của bài toỏn là học sinh phải phỏt hiện được tam giỏc IBC vuụng tại

đỉnh I Từ đú chỉ ra chớnh xỏc chõn đường cao

H của hỡnh chúp S.ABCD là trung điểm cạnh

BC.

Ví dụ 1.1.4.4 Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy

ABCD là hỡnh thoi cạnh a Biết độ dài cỏc cạnh

bờn SA SB SC a   Tỡm giỏ trị lớn nhất của

thể tớch khối chúp S.ABCD

Lời giải

+) Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh S trờn mặt phẳng (ABCD), xột hỡnh chúp S.ABC

cú SA SB SC a   nờn H chớnh là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Mặt khỏc tam giỏc ABC cõn tại B nờn BD là đường trung trực của đoạn AC, suy ra chõn đường cao H nằm trờn BD.

5 Mô hình 5 Khối chóp có 3 mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau.

 Hỡnh chúp SABC cú 3 mặt bờn tạo với đỏy những gúc bằng nhau thỡ chõn đường cao H của hỡnh chúp S.ABC trựng với tõm đường trũn nội tiếp hoặc tõm đường trũn bàng tiếp của tam giỏc ABC

a

O

DS

 Để phỏt triển mụ hỡnh của bài toỏn chỳng ta cú thể làm tăng độ phức tạp của đỏy bằngcỏch thay đổi đỏy là một đa giỏc mà cú đường trũn nội tiếp, chẳng hạn như hỡnh thang

cõn ABCD hoặc hỡnh thang vuụng ABCD đặc biệt Khi đú chõn đường cao của hỡnh chúp là tõm đường trũn nội tiếp hỡnh thang (với giả thiết chõn đường cao H của hỡnh

chúp nằm bờn trong hỡnh thang)

Ví dụ 1.1.5.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC với AB=5a, BC=6a, AC=7a.

Biết rằng các mặt bên (SAB), (SAC), (SBC) cùng

tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc bằng 600

v à hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh S trờn mặt

phẳng ABC nằm trong tam giỏc đỏy Tính thể

tích của khối chóp SABC theo a

Lời giải

+) Kẻ SH (ABC); H(ABC) thì SH là đờng cao

của hình chóp S.ABC Gọi M, N, P lần lợt là hình

chiếu của H trên các cạnh AB, BC, AC Ta có các

mặt phẳng (SAB), (SAC), (SBC) tạo với mặt phẳng

đáy (ABC) các góc lần lợt là SMH SNH SPH Theo giả thiết,  , 

SMH SNH SPH  Từ đó SMH SNH SPH  HM HN HP  suy ra H cỏch đều 3 cạnh của tam giỏc ABC

hay H là tâm đờng tròn nội tiếp của tam giác ABC.

+) Xét tam giác ABC có nửa chu vi 5 6 7 9

VÝ dô 1.1.5.2 Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh AB3,BC 4, AC5 Biết

hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H nằm khác phía với điểm

A đối với đường thẳng BC và các mặt phẳng SAB , SBC , SCA cùng tạo với mặt

phẳng (ABC) góc bằng 60 0 Tính thể tích V của khối chóp SABC

A. V 2 3. B V 6 3.

C V 4 3. D V 12 3.

Lời giải

+) Gọi K, E, F lần lượt là hình chiếu vuông

góc của H trên các đường thẳng AB, BC, AC.

Khi đó góc giữa các mặt phẳng

SAB , SBC , SCA với mặt phẳng (ABC)

lần lượt là SKH SEH SFH Theo giả thiết

,

SKH SEH SFH HK HE HF

      mà H và A khác phía so với đường thẳng BC nên H

là tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác ABC

+) Nhận xét: HB là đường phân giác trong của góc KBC nên tam giác HKB vuông cân tại

CA

Xét tam giác vuông SHK, ta có tan SH  3  3 3 3.

VÝ dô 1.1.5 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D và tam

giác SAD đều cạnh 4a, BC=6a Biết rằng các mặt bên SAB , SBC , SCD , SAD tạo

nhau và hình chiếu vuông góc của đỉnh

S.ABCD theo a.

Lời giải

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABCD)

Kẻ HM AD HE AB HN BC HF CD,  ,  ,  Khi đó các mặt bên SAB , SBC , SCD , SAD

A

N

HM

x

S

E

2a 2a

6 a x

x

2a

lần lượt tạo với mặt phẳng ABCD các góc là  SMH SNH SEH SFH ,  ,  ,  Theo giả thiết

SMH SNH SEH SFH Khi đó ta có SHM SHN SHE SHF

Suy ra HM HN HE HF   2 a Khi đó H là tâm đường tròn nội tiếp hình thang ABCD.

6 M« h×nh 6 Khèi chãp cã chân đường cao cho trước.

Ví dụ 1.1.6.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu

vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H nằm trên đoạn AC sao cho

3

HC HA Gọi M là điểm trên cạnh CD sao cho MC MD Biết rằng mặt phẳng

(SBM) tạo với mặt phẳng (ABCD)

a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

+) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Theo giả thiết chân đường cao của hình chóp

cân tại đỉnh H Thật vậy, áp dụng định lí Côsin trong các ABH, CMH , ta có

2

+) Gọi E là trung điểm của BM thì BM HE Mà BM SH  BM (SHE) và

D

0

60

NS

a