10. CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Ta cũng có... Khi đó chu vi tam giác cũng là phân giác ngoài c a góc ủ... Trong tam giác vuông ta có: do đó... là tr ng tâm tam giác ọ... Tính giá tr đó... Tính giá tr nh nh t đó... Từ c

B T Đ NG TH C HÌNH H C Ấ Ẳ Ứ Ọ

I) S D NG CÁC TÍNH CH T HÌNH H C Đ N GI N Ử Ụ Ấ Ọ Ơ Ả

1) B t đ ng th c liên h gi a đ dài các c nh m t tam giác ấ ẳ ứ ệ ữ ộ ạ ộ

Chú ý r ng: ằ

a) V i 3 đi m ớ ể b t kỳ ta luôn có: ấ D u b ng x yấ ằ ả

ra khi và ch khi ỉ th ng hàng và đi m ẳ ể n m gi a hai đi m ằ ữ ể

b) V i 3 đi m ớ ể b t kỳ ta luôn có: ấ D u b ng x yấ ằ ả

ra khi và ch khi ỉ th ng hàng và đi m ẳ ể n m gi a hai đi m ằ ữ ể

c) Cho hai đi m ể n m v m t phía đ ng th ng ằ ề ộ ườ ẳ Đi m ể

chuy n đ ng trên đ ng th ng ể ộ ườ ẳ G i ọ là đi m đ i x ng v i ể ố ứ ớ qua Ta có k t qu sau:ế ả

+ D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ là giao đi m cu ể ả và đ ng th ng ườ ẳ ( trùng v i ớ )

+ D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ là giao đi m cuể ả

M

(d)

d) Cho hai đi m ể n m v hai phía đ ng th ng ằ ề ườ ẳ Đi m ể

chuy n đ ng trên đ ng th ng ể ộ ườ ẳ G i ọ là đi m đ i x ng v i ể ố ứ ớ qua Ta có k t qu sau:ế ả

+ D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ là giao đi m cuể ả

và đ ng th ng ườ ẳ ( trùng v i ớ )

+ D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ

là giao đi m cu ể ả và đ ng th ng ườ ẳ ( trùng v i ớ )

e) Trong quá trình gi i toán ta c n l u ý tính ch t: Đ ng vuông góc luôn ả ầ ư ấ ườ

nh h n ho c b ng đ ng xiên ỏ ơ ặ ằ ườ

Trong hình v : ẽ

2) Trong m t đ ộ ườ ng tròn, đ ườ ng kính là dây cung l n nh t ớ ấ

3) Cho đ ườ ng tròn và m t đi m ộ ể Đ ườ ng th ng ẳ c t đ ắ ườ ng tròn t i hai đi m ạ ể Gi s ả ử Khi đó v i m i đi m ớ ọ ể

n m trên đ ằ ườ ng tròn ta luôn có:

253

M1

M0A'

A

Ví d 1: ụ Cho tam giác và đi m ể n m trong tam giác Ch ng ằ ứminh r ng:ằ

a)

b)

giác sao cho c t hai c nh ắ ạ

A

c) Gi s ả ử G i ọ theo th t là đ ng phân giác, ứ ự ườ

đ ng trung tuy n c a tam giác ườ ế ủ Ch ng minh r ng: ứ ằ

c) Trong tam giác có

255

D M

B

A

.+ N u ế (hình) thì

C B

A

qua song song c t ắ t i ạ

T giác ứ là hình bình hành nên

có: (2) T ng t ta có: ươ ự (3) C ng các b t đ ng th c ộ ấ ẳ ứcùng chi u ề ta suy ra

b) D ng m t đ ng th ng song song v i ự ộ ườ ẳ ớ c t ắ t i ạ

sao cho Tìm v trí đi m ị ể sao cho

B

A

Áp d ng h th c l ng trong các tam giác ụ ệ ứ ượ

vuông ta tính đ c:ượ

Vì Nên nh nh t b ng ỏ ấ ằ khi và ch khiỉ

là trung đi m c a ể ủb) G i ọ là đi m đ i x ng v i ể ố ứ ớ qua , là trung đi m c a ể ủ Ta

d ch ng minh đ c ễ ứ ượ th ng hàng ẳ

D u b ng x y ra khi và ch khiấ ằ ả ỉ Ta cũng có D u b ng x y ra khi và ch khiấ ằ ả ỉ

b ng x y ra khi và ch khi ằ ả ỉ

Ví d 5: ụ Cho đ ng tròn ườ và đi m ể n m ngoài đ ng tròn đó ằ ườ

M t đ ng th ng ộ ườ ẳ thay đ i quanh ổ c t ắ t i hai đi m ạ ể Tìm v trí ị đ ể l n nh t.ớ ấ

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

G i ọ là trung đi m c a dây cungể ủ

ta có:

O

Xét tam giác vuông

Ta có: không đ i Nh v y ổ ư ậ l n nh t khi và ch ớ ấ ỉkhi nh nh t ỏ ấ nh nh t.ỏ ấ

Ví d 6: ụ Cho đ ng tròn ườ và dây cung c đ nh ố ị Trên cung l n ớ l y đi m ấ ể Tìm v trí đi m ị ể đ chu vi tam giácể

l n nh t.ớ ấ

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

Trên tia đ i c a ố ủ l y đi m ấ ể sao cho

Khi đó chu vi tam giác

cũng là phân giác ngoài c a góc ủ Phân giác trong c a góc ủ là

v i ớ là trung đi m cung l n ể ớ Suy ra Do đó

c t đ ng tròn ắ ườ t i đi m ạ ể và là đ ng kính c a ườ ủ

Tam giác cân t i ạ nên là đ ng trung tr c c a ườ ự ủ T đó ừ

ta có: Hay đi m ể thu c đ ng tròn tâm ộ ườ c đ nh bánố ịkính Vì là dây cung c a đ ng tròn ủ ườ nên l n nh t khi ớ ấ

và ch khi ỉ là đ ng kính c a ườ ủ Nh v y chu vi tam ư ậgiác l n nh t khi và ch khi ớ ấ ỉ trùng v i trung đi m ớ ể c a cung ủ

I

B A

đ nh Tìm trên c nh ị ạ l y hai đi m ấ ể đ chu vi tam giácể

Ví d 8: ụ Cho tam giác vuông t i ạ có ngo i ti p ạ ế

đ ng tròn tâm ườ G i ọ l n l t là ti p đi m c a ầ ượ ế ể ủ v i các ớ

c nh ạ ; là đi m di chuy n trên đo n ể ể ạ G i ọ là giao

đi m c a ể ủ v i cung nh ớ ỏ c a ủ , và l n l t là hình ầ ượ

chi u c a ế ủ trên các đ ng th ng ườ ẳ Xác đ nh v trí c a đi m ị ị ủ ể

I

N M

C B

F

ED

CB

A

Suy ra Trong tam giác vuông ta có: do đó Nh v y ư ậ l n nh t b ng ớ ấ ằ khi và

ch khi ỉ khi đó , do và l n l t là hình chi u c a ầ ượ ế ủtrên các đ ng th ng ườ ẳ nên khi , thì là

đ ng kính c a ườ ủ T đó suy ra cách xác đ nh ừ ị nh sau: D ng đ ngư ự ườkính cu ả , là giao đi m c a ể ủ và

Ví d 9: ụ Cho hai đ ng tròn ườ c t nhau t i 2 đi m ắ ạ ể

M t đ ng th ng ộ ườ ẳ b t kỳ qua ấ c t ắ l n l t t iầ ượ ạ Ti p tuy n t i ế ế ạ c a ủ và ti p tuy n t i ế ế ạ c a ủ

c t nhau t i ắ ạ Tìm giá tr l n nh t c a bán kính đ ng tròn ngo i ti p ị ớ ấ ủ ườ ạ ếtam giác khi quay quanh

O2

O1

N M

B A I

l n nh t khi và ch khi ớ ấ ỉ l n nh t G i ớ ấ ọ là hình chi u vuông góc ế

c a ủ lên , là hình chi u vuông góc c a ế ủ lên thì

D u b ng x y ra khi và ch khiấ ằ ả ỉ

“=” x y ra khi và ch khi ả ỉ theo th t n m trên m t đ ng ứ ự ằ ộ ườ

T ng t ta có đ chu vi t giác ươ ự ể ứ đ t giá tr nh nh t thì ạ ị ỏ ấ

là hình bình hành có c nh song song v i đ ng chéo c a hình ch nh tạ ớ ườ ủ ữ ậ

(k t qu ph đ c ch ng minh).ế ả ụ ượ ứ

T ch ng minh trên ta th y, n u t giác ừ ứ ấ ế ứ có các c nh song song ạ

v i các đ ng chéo c a hình ch nh t ớ ườ ủ ữ ậ thì chu vi c a nó làủ

I F

E

N M

B A

, không ph thu c vào cách l y đi m ụ ộ ấ ể trên c nhạ.

V y chu vi t giác ậ ứ đ t giá tr nh nh t b ng ạ ị ỏ ấ ằ khi là hình bình hành có các c nh song song v i v i các đ ng chéo c a hình chạ ớ ớ ườ ủ ữ

nh t ậ

Ta có bài toán t ng quát sau: ổ Cho t giác ứ G i ọ l n ầ

l t là trung đi m c a ượ ể ủ Khi đó:

Ví d 11) ụ Cho hình thoi Đ ng chéo ườ không nh h n ỏ ơ

đ ng chéo ườ là m t đi m tùy ý trên ộ ể Đ ng th ng qua ườ ẳ song song v i ớ c t ắ t i ạ c t ắ t i ạ Đ ng th ng ườ ẳ

qua song song v i ớ c t ắ t i ạ c t ắ t i ạ Bi t hình ế thoi có đ dài hai đ ng chéo là ộ ườ và Xác đ nh ị sao cho chu vi t giác ứ là nh nh t?Tính chu vi đó theo ỏ ấ

A

khi và ch khi ỉ là hình ch nh t T c đi m ữ ậ ứ ể

là giao đi m c a hai đ ng chéo c a hình thoi ể ủ ườ ủ

S D NG B T Đ NG TH C C ĐI N Đ GI I BÀI TOÁN C C Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ Ổ Ể Ể Ả Ự TRỊ

c p THCS, các em h c sinh đ c làm quen v i b t đ ng th c Cauchy

Ví d 1 ụ ) Cho tam giác có là m t ộ

đi m thu c mi n trong ể ộ ề G i ọ l n l t là hình chi u ầ ượ ếvuông góc c a ủ trên Xác đ nh v trí đi m ị ị ể đ tíchể

đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

265

là tr ng tâm tam giác ọ

Ví d 2) ụ Cho tam giác cân đ nh ỉ G i ọ là trung đi m c a ể ủ

Đ ng tròn ườ ti p xúc v i ế ớ ở ti p xúc v i ế ớ ở Đi m ể

ch y trên cung nh ạ ỏ ti p tuy n c a đ ng tròn t i ế ế ủ ườ ạ c t ắ

l n l t t i ầ ượ ạ Xác đ nh v trí c a đi m ị ị ủ ể đ di n tích tam giácể ệ

đ t giá tr l n nh t.ạ ị ớ ấ

H ướ ng d n gi i: ẫ ả

D th y ễ ấ l n l t là phân giác ầ ượ T đó ta có:ừ

(g.g) (1)

A

O

H

F E

N

M

C B

A

Ví d 3) ụ Cho tam giác trên trung tuy n ế l y đi m ấ ể c đ nh ố ị

Đ ng th ng ườ ẳ đi qua l n l t c t c nh ầ ượ ắ ạ t i ạ Tìm v trí ị

c a đ ng th ng ủ ườ ẳ đ di n tích tam giác ể ệ đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ

N M

C B

A

đ ng th ng đi qua ườ ẳ và song song v i ớ .

Ví d 4) ụ Cho góc nh n ọ và đi m ể c đ nh n m trong các góc đó ố ị ằ ở

Đ ng th ng ườ ẳ đi qua và c t ắ l n l t t i ầ ượ ạ Xác đ nh ị

đ ng th ng ườ ẳ đ di n tích tam giác ể ệ đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ

O

Ví d 5) ụ Cho ba đi m ể th ng hàng theo th t G i ẳ ứ ự ọ là hai

n a đ ng th ng vuông góc v i ử ườ ẳ ớ t i ạ và n m v cùng m t phía ằ ề ộ

đ i v i đ ng th ng ố ớ ườ ẳ Góc vuông quay xung quanh đ nh ỉ sao cho hai c nh c a góc t ng ng c t ạ ủ ươ ứ ắ ở c t ắ ở Tìm v trí c aị ủ

đ di n tích tam giác ể ệ đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ

Gi i: ả

Ta có:

(g.g) (*)

N M

A

Ví d 6) ụ Cho tam giác và m t đi m ộ ể tùy ý trong tam giác

đó G i kho ng cách t ọ ả ừ đ n các c nh ế ạ theo th t là ứ ự

và các đ ng cao h t các đ nh ườ ạ ừ ỉ là Ch ng ứ minh:

B

A

Áp d ng vào bài toán ta có: ụ D u ấ

b ng x y ra khi và ch khi ằ ả ỉ Hay là tr ng tâm c a ọ ủ tam giác

Ví d 7) ụ Cho tam giác và m t đi m ộ ể tùy ý trong tam giác đó Các đ ng th ng ườ ẳ c t các c nh ắ ạ t i các giao ạ

đi m t ng ng là: ể ươ ứ Kí hi u ệ l n l t là di n tích ầ ượ ệ tam giác

A

Áp d ng b t đ ng th c ụ ấ ẳ ứ : v i ớ

Đ ý r ng: ể ằ ta có:

ta có: D u b ng x y ra khi và ch khi ấ ằ ả ỉ

Hay là tr ng tâm c a tam giác ọ ủ

Chú ý r ng: ằ T bài toán trên ta cũng có: ừ

T ng t ta có: ươ ự Suy ra

N u ta thay: ế

thì ta thu đ c đ ng th c: ượ ẳ ứ Qua đó ta cũng t o ra ạ

đ c nhi u b t đ ng th c đ p khác ượ ề ấ ẳ ứ ẹ

Ví d 8 ụ Cho tam giác đ u ề có c nh b ng ạ ằ G i đ ng vuông góc ọ ườ

t đi m ừ ể n m trong tam giác đ n các c nh ằ ế ạ l n l t làầ ượ

Xác đ nh v trí đi m ị ị ể đ : ểa) đ t giá tr nh nh t Tính giá tr đó ạ ị ỏ ấ ịb) đ t giá tr nh nh t Tính giá ạ ị ỏ ấ

tr đó.ị

Trong c hai tr ng h p đ ng ả ườ ợ ẳ

th c x y ra khi và ch khi ứ ả ỉ , lúc đó là tâm c a tam giác đ uủ ề.

Ví d 9 ụ G i ọ là tr c tâm c a tam giác ự ủ có ba góc nh n v i ba ọ ớ

đ ng cao ườ Ch ng minh r ng:ứ ằ

D

F M

C B

A

Áp d ng BĐT ụ

Ta đ c: ượ Đ ng th c x y ra khi và ch khiẳ ứ ả ỉ

Lúc đó v a là tr c ừ ựtâm, v a là tr ng tâm c a tam giác ừ ọ ủ , nên là tam giác đ u.ề

Ví d 10 ụ Xét tam giác có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn ọ ộ ế ườ v i ớ

ba đ ng cao ườ l n l t c t đ ng tròn ầ ượ ắ ườ l n n a t iầ ữ ạ

Xác đ nh d ng c a tam giác ị ạ ủ sao cho: a) đ t giá tr nh nh t Tính giá tr nh nh t đó ạ ị ỏ ấ ị ỏ ấ

Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ là tam giác đều.

Ví d 11 ụ Trong các tam giác ngo i ti p đ ng tròn tâm ạ ế ườ bán kính hãycác đ nh d ng c a tam giác sao cho t ng đ dài ba đ ng cao đ t giá tr ị ạ ủ ổ ộ ườ ạ ị

C1

B1F

E

D

C B

A

A1

có Đ ng th c x y ra ẳ ứ ả

Ví d 12 ụ Cho tam giác và là đi m n m trong tam giác Kể ằ ẻ

T đó ừsuy ra

Đ ng th c x y ra khiẳ ứ ả, lúc đó là tr ng tâm c a tam giác ọ ủ

Cho tam giác và là m t đi m b t kỳ n m trong tam giác đó G iộ ể ấ ằ ọ

(2); (3) C ng theo v các b t đ ng ộ ế ấ ẳ

th c (1),(2),(3) ta thu đ c:ứ ượ

(S d ng b t đ ng th c Cauchy cho các bi u th c trong ngo c).ử ụ ấ ẳ ứ ể ứ ặ

Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ đ ng th i ồ ờ là tr c tâm c a ự ủtam giác Nói cách khác, (và do đó c ả ) là tâm c a tam giác ủ

đ u ề Từ cách chứng minh trên chúng ta còn có một số kết quả sau:277

M1KDH

M

CB

A

H qu 2 ệ ả (B t đ ng th c Erdos –Mordell d ng căn th c) Cho tam giácấ ẳ ứ ạ ứ

và là m t đi m b t kỳ n m trong tam giác đó G i ộ ể ấ ằ ọ

th t là kho ng cách t ứ ự ả ừ đ n các đ nh ế ỉ Còn l n l t làầ ượkho ng cách t ả ừ đ n các c nh ế ạ Khi đó ta có b t đ ng th cấ ẳ ứ

Ch ng minh: ứ

T các b t đ ng th c (1),(2) và (3) theo b t đ ng th c Cauchy ta có:ừ ấ ẳ ứ ấ ẳ ứ

(4) T ng t ta cũng có:ươ ự

th c trong ngo c c a b t đ ng th c trên Ta có đi u c n ch ng minh.ứ ặ ủ ấ ẳ ứ ề ầ ứ

M t s ộ ố ứng dụng của bất đẳng thức Erdos – Mordell

Ví d 1 ụ G i ọ là tâm là bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác ườ ộ ế

Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ tam giác ứ ằ ề ệ ầ ủ ể đ u vàề

đ ng th c Erdos – Mordell cho đi m ẳ ứ ể

Đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ẳ ứ ả ỉ đ u Nói cách khác, đi u ề ề

C B

A

Ví d 2 ụ Gi s ả ử là m t đi m b t kỳ n m trong tam giác ộ ể ấ ằ G i ọ làbán kính đ ng tròn n i ti p tam giác Ch ng minh r ngườ ộ ế ứ ằ

A

a) b) Đ ng th c x y ra khi nào?ẳ ứ ả

Gi i: ả

a) G i ọ theo th t là tâm và bán ứ ự

kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác ườ ạ ế ;

A

Đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ẳ ứ ả ỉ đ u.ề

Chú ý: Do tam giác nh n nên ọ Áp d ng b t ụ ấ

Theo ch ng minh trên ta có: ứ suy ra

Ví d 4 ụ Cho tam giác nh n, g i ọ ọ theo th t là tâm đ ng ứ ự ườtròn n i ti p, tâm các đ ng tròn bàng ti p t ng ng v i các đ nh ộ ế ườ ế ươ ứ ớ ỉ

c a tam giác đó; ủ là bán kính c a đ ng tròn ủ ườ Ch ng minh r ng:ứ ằa) b)

B

S d ng b t đ ng ử ụ ấ ẳ

th c Erdos – Mordell d ng tích ta có:ứ ạ

, hay (đpcm) Đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giácẳ ứ ả ỉ

c) Áp d ng b t đ ng th c Erdos – Mordell d ng tích cho đi m ụ ấ ẳ ứ ạ ể đ i v i ố ớtam giác ta nh n đ c ậ ượ (theo k t ế

qu câu a) đ ng th c x y ra khi và ch khi tam giác ả ẳ ứ ả ỉ đ u.ề

d) Áp d ng b t đ ng th c Erdos – Mordell d ng căn th c cho đi m ụ ấ ẳ ứ ạ ứ ểtrong tam giác ta có

(1)

Ti p t c áp d ng b t đ ng th c Erdos – Mordell d ng căn th c cho đi mế ụ ụ ấ ẳ ứ ạ ứ ể

đ i v i tam giác ố ớ ta đ c:ượ

(2)

T (1) và (2) suy ra ừ (đpcm) Đ ng th c x y ra ẳ ứ ảkhi và ch khi tam giác ỉ đều.

Ví d 5 ụ Cho tam giác v i ớ G i ọ là bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác đó Ch ng minh b t đ ng th cườ ộ ế ứ ấ ẳ ứ

Đ ng th c x y ra khi nào?ẳ ứ ả283

(4) Áp d ng b t đ ng th c ụ ấ ẳ ứErdos – Mordell d ng tích ta có ạ (5)

T (4) và (5) ta suy ra ừ (đpcm) Đ ng th c x y ra khi và ch ẳ ứ ả ỉkhi tam giác đ u.ề

Chú ý: Các b n n u đã quen làm v i đ nh lí sin trong tam giác ạ ế ớ ị thì

ngo i ti p tam giác ạ ế ) Khi đó t b t đ ng th c ừ ấ ẳ ứ ta

nh n đ c b t đ ng th c: ậ ượ ấ ẳ ứ ta nh n đ c ậ ượ

b t đ ng th c.ấ ẳ ứ

Đ t ặ và là n a chu vi tam giác ử S ử

d ng đ nh lý Ptolemy cho các t giác n i ti p ụ ị ứ ộ ế ta

th yấ

(3)Nhân các đ ng th c (1),(2) và (3) ẳ ứ

theo v ta đ c:ế ượ (4) S d ng b t ử ụ ấ

đ ng th c Cauchy cho hai s d ng ta có:ẳ ứ ố ươ

285

C1A

I

A1

B1

Nhân ba b t đ ng th c theo ấ ẳ ứ

v ta thu đ c ế ượ (5) Áp d ng b t đ ng th c ụ ấ ẳ ứErdos – Mordell d ng tích ta có ạ (6) T (4),(5),(6) suy raừ

(đpcm) Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉtam giác đ u T (1),(2) và (3) suy raề ừ

Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức Erdos – Mordell Từ đây ta có đpcm.

Ví d 7 ụ Gi s ả ử là tr c tâm c a tam giác nh nự ủ ọ G i ọ l n ầ

l t là trung đi m c a ượ ể ủ là bán kính đ ng tròn ngo i ti p ườ ạ ếtam giác Ch ng minh b t đ ng th c ứ ấ ẳ ứ

kính đ ng tròn ngo i ti p tam ườ ạ ế

giác đó.(Xem them ph n đ ng ầ ườ

th ng le, đ ng tròn le).ẳ Ơ ườ Ơ

A

H

C

Áp d ng b t đ ng th c Erdos – Mordell cho đi m ụ ấ ẳ ứ ể n m trong tam giácằ

A

B

O

A1

(1)

(2) (3)

Áp d ng b t đ ng th c Erdos – Merdell cho đi m ụ ấ ẳ ứ ể trong tam giác

289