Luận văn về tính trực giao birkhoff

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ ÁNH VỀ TÍNH TRỰC GIAO BIRKHOFF Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN K

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ ÁNH

VỀ TÍNH TRỰC GIAO BIRKHOFF

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ ÁNH

VỀ TÍNH TRỰC GIAO BIRKHOFF

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2018

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự

hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Sự giúp đỡ và hướng dẫn

tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đềmới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối vớithầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạnhọc viên đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

NGUYỄN THỊ ÁNH

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn của TS Nguyễn Hữu Thọ.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa nhữngthành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng

và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 6 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Ánh

Mục lục

1.1 Không gian Euclid 3

1.2 Không gian định chuẩn 4

1.3 Tích vô hướng và tính trực giao 8

1.4 Nửa tích vô hướng 8

2 Tính trực giao Birkhoff 10 2.1 Trực giao Birkhoff 11

2.2 Trực giao Birkhoff và trực giao nửa tích vô hướng 18

2.3 Đặc trưng theo trực giao Birkhoff 25

2.4 Định lý phân tích trực giao Birkhoff 27

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Tính trực giao là một trong những vấn đề quan trọng nhất trong lýthuyết không gian tích vô hướng Những định lý quan trọng dựa vào lýthuyết này có nhiều ứng dụng rộng rãi và được nhiều nhà Toán học quantâm nghiên cứu và phát triển Tính trực giao được nhìn dưới nhiều góc độkhác nhau khi xét trong các không gian khác nhau và do đó có nhiều kháiniệm về trực giao đã được đề xuất và nghiên cứu Trong không gian địnhchuẩn thì tính trực giao cần được hiểu theo khía cạnh khác tổng quát hơn.Tính trực giao Birkhoff (được đề xuất bởi G Birkhoff lần đầu vào năm1935) và từ đó đã có nhiều hướng nghiên cứu mở rộng khái niệm này vàkhai thác ứng dụng trong những lĩnh vực Toán học nói riêng và trong nhữngbài toán thực tế nói chung Với mong muốn được hiểu biết sâu hơn về tínhtrực giao, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tàicho luận văn của mình là:

Về tính trực giao Birkhoff.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về trực giao Birkhoff, đặc trưng và một số ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một cách có hệ thống về trực giao Birkhoff trên không gian địnhchuẩn và một số ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Không gian tuyến tính định chuẩn.

- Không gian tích vô hướng

- Trực giao Birkhoff

- Một số đặc trưng của trực giao Birkhoff và ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm các tài liệu, sách, báo liên quan đến kết quả đã có về tính trực giaoBirkhoff trong không gian định chuẩn để nhận được một nghiên cứu vềtrực giao Birkhoff

1.1 Không gian Euclid

Định nghĩa 1.1.1 Cho V là một không gian véc tơ trên trường R Một tích

vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định như sau: h, i : V × V → R,

(x, y) → hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau:

i hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ V ; hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0.

ii hkx, yi = k hx, yi với mọi x, y ∈ V, ∀k ∈ R.

iii hx + x,, yi = hx, yi + hx,, yi, ∀x, x,, y ∈ V

iv hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ V

Định nghĩa 1.1.2 Không gian véc tơ V trên trường số thực R có trang bị

trên nó một tích vô hướng h, i được gọi là không gian véc tơ Euclid.

Kí hiệu: E = (V, h, i) với tích vô hướng trên nó là h, i.

Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn, (Rn = {x = (x1, x2, , xn) |xi ∈ R}) Với x =(x1, x2, , xn) , y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn ta định nghĩa hx, yi =

n

P

i=1

xiyi.Đây là một tích vô hướng trên Rn và E = (Rn, h, i) là một không gian véc

tơ Euclid

Định lí 1.1.4 Cho E là không gian Euclid Khi đó với ∀x, y ∈ E ta luôn

có

|hx, yi| ≤ kxk kyk

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.

Định lí 1.1.5 Giả sử E là không gian véc tơ Euclid Khi đó:

∀x, y ∈ E : kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ kxk + kyk

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử V là một không gian véc tơ trên trường R, tập

con C của V được gọi là một nón lồi nếu với với mọi vô hướng dương

α, β ∈ R và với mọi x, y ∈ C ta luôn có αx + βy ∈ C.

1.2 Không gian định chuẩn

(Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét không gian định chuẩn thực)

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian véc tơ trên trường số R và ánh xạ

k.k : X → R Ta nói k.k là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn 4 tính chất sau:

1 kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X.

2 kxk = 0 ⇔ x = 0.

3 kkxk = |k| kxk , với mọi x ∈ X, k ∈ R.

4 kx + yk ≤ kxk + kyk , với mọi x, y ∈ X.

Nếu k.k là chuẩn trên X, ta nói (X, k.k) là không gian véc tơ định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).

Nếu h., i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x → phx, xi là mộtchuẩn trên X, gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng

Ví dụ 1.2.2 Không gian R2 với các metric:

d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|

d2(x, y) =

h(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

i12

kx − yk∞ = max {|x1 − y1| , |x2 − y2|}

Mệnh đề 1.2.3 Cho không gian định chuẩn (X, k.k) trên trường số R và

các dãy {xn} , {yn} ⊂ X, {λn} ⊂ R sao cho limn→∞xn = x, lim

n→∞yn =

y, lim

n→∞λn = λ Khi đó:

3 Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầy đủ.

Do đó, một không gian véc tơ con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn là tập đóng trong không gian đó.

Định lí 1.2.6 Nếu hình cầu đơn vị đóng

¯

B (0, 1) := {x ∈ X : kxk ≤ 1}

của một không gian định chuẩn X là tập compact thì X là không gian hữu hạn chiều.

Nếu X là một không gian định chuẩn, khi đó tập tất cả các phiếm hàm

tuyến tính liên tục trên X được gọi là không gian liên hợp (hay còn gọi là

không gian đối ngẫu) của X, ký hiệu là X∗ Dễ thấy rằng X∗ cũng là mộtkhông gian véc tơ với các phép toán thông thường.

đối ngẫu (hay không gian liên hợp) thứ hai của X Nếu X = X∗∗ thì khi

đó không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ.

Định nghĩa 1.2.7 Tập M được gọi là tập gần kề của một không gian định

chuẩn X nếu với mọi x ∈ X, tồn tại y ∈ M sao cho

kx − yk = dist(x, M )

Chú ý rằng: dist(x, M ) = inf

m∈Mkx − mk

Định lí 1.2.8 (Định lý thác triển Hahn-Banach) Cho X là một không gian

định chuẩn, V là một không gian con không tầm thường của X và f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V Khi đó luôn tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục ϕ trên X sao cho

kf kV = kϕkX

1.3 Tích vô hướng và tính trực giao

Trong không gian tích vô hướng, ta có thể định nghĩa khái niệm trực giaogiống như trong không gian Rn thông thường

Ta nói hai véctơ x, y ∈ X trực giao với nhau, và kí hiệu x ⊥ y, nếu

hx, yi = 0

Từ định nghĩa ta có thể suy ra ngay các tính chất đơn giản sau:

1 Nếu x ⊥ y thì y ⊥ x Ta có x ⊥ x khi và chỉ khi x = 0 Véctơ 0 trựcgiao với mọi véctơ x

2 Nếu x ⊥ y1, y2, , yn thì x ⊥ (α1y1 + α2y2 + + αnyn)

3 Nếu x ⊥ yn và yn −→ y (khi n 7−→ ∞) thì x ⊥ y

4 Nếu tập M trù mật trong X thì MT gồm một phần tử duy nhất là 0,nghĩa là: x ⊥ M =⇒ x = 0

5 Nếu x ⊥ y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2 (Định lý Pythagore)

6 Nếu {xn} là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xn trực giao vớinhau từng đôi một) thì chuỗi P∞

i=1xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số

P∞

i=1kxk2 < ∞

1.4 Nửa tích vô hướng

Cho X là không gian định chuẩn thực, chuẩn trong X không nhất thiếtđược xây dựng từ một tích vô hướng Tuy nhiên, luôn tồn tại một ánh xạ[·|·]: X × X → R thỏa mãn các điều kiện:

1 [λx + µy|z] = λ[x|z] + µ[y|z], với x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R;

2 [x|λy] = λ[x|y], với x, y ∈ X, λ ∈ R;

3 |[x|y]| ≤ kxkkyk, với x, y ∈ X;

4 [x|x] = kxk2 , x ∈ X

Ánh xạ [·|·] thỏa mãn 4 tính chất như trên được gọi là một nửa tích vô hướng

trong không gian định chuẩn X

do đó cũng có nhiều cách tiếp cận khái niệm này theo những cách khácnhau và đã có nhiều kiểu trực giao xuất hiện như: trực giao Birkhoff, trựcgiao cân, trực giao Phytago, trực giao Singer, trực giao Robert, trực giaonửa tích vô hướng Trong luận văn này, trước hết chúng tôi xét tới trựcgiao Birkhoff, khái niệm này lần đầu được đề xuất bởi G Birkhoff vàonăm 1935 và từ đó nó đã được nhiều nhà Toán học quan tâm và mở rộng nótheo những hướng khác nhau như trực giao Birkhoff - James,  - trực giaoBirkhoff, ρ - trực giao Sau đó luận văn sẽ xem xét tới tính tương đươnggiữa trực giao Birkhoff và trực giao nửa tích vô hướng, một số đặc trưng

và định lý phân tích trực giao Birkhoff.

2.1 Trực giao Birkhoff

Theo G Birkhoff, khái niệm trực giao trong một không gian định chuẩnđược phát biểu như sau

Định nghĩa 2.1.1 Cho (X, k.k) là không gian định chuẩn, x, y là hai phần

tử trong X, ta nói x trực giao Birkhoff với y, kí hiệu là x⊥y(B) nếu kx +

λyk ≥ kxk với mọi λ ∈ R

Có nhiều đặc trưng của mối quan hệ này hướng tới các tính chất hìnhhọc khác nhau liên quan tới tính trực giao Với x ∈ X, tập J (x) (kháctrống) thỏa mãn

J (x) = {ϕ ∈ X∗ : kϕk = 1, ϕ(x) = kxk}

là tập các hàm tựa của x

Như ta đã biết, một trong những đặc trưng của trực giao Birkhoff đượcJames đề xuất trong [10] như sau:

x ⊥ y(B) khi và chỉ khi ∃ϕ ∈ J (x) : ϕ(y) = 0 (2.1)

Ngoài ra, trong [13], với không gian định chuẩn thực X và x, y ∈ X,

Singer cũng đưa ra một đặc trưng như sau:

x⊥y(B) khi và chỉ khi ∃ϕ, ψ ∈ Ext(BX ∗) ∩ J (x) và ∃α ∈ [0, 1] sao cho

αϕ(y) + (1 − α)ψ(y) = 0

(2.2)

Ở đây Ext(A) là tập các điểm cực trị của A

Ví dụ 2.1.2 Cho (X, h·, ·i) là không gian tích vô hướng thực, khi đó với

hai phần tử x, y ∈ X ta nói x⊥y nếu hx, yi = 0, và khi đó tính trực giaonày tương đương với tính trực giao Birkhoff

Thật vậy, nếu hx, yi 6= 0, khi đó với

Mặt khác, nếu hx, yi = 0, thì với mọi λ ∈ R ta có:

kx + λyk2 = hx + λy, x + λyi

= kxk2 + |λ|2kyk2

≥ kxk2,

và như vậy, x trực giao Birkhoff với y

Hệ quả 2.1.3 Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn, x, y, z thuộc X

và t thuộc R Sau đây là một số hệ quả đơn giản suy ra trực tiếp từ định nghĩa trực giao Birkhoff ở trên:

v) x ⊥ y(B) và x ⊥ z(B) không thể suy ra x ⊥ (y + z)(B).

Ví dụ 2.1.4 Xét không gian chuẩn thực X = (R2, k.k1), ở đây kxk1 =

Pn

k=1|xk| với x = (x1, x2) ∈ X Cho x = (−2, 1), y = (1, 1) ∈ X khi đóvới mọi α ∈ R, chúng ta có:

kx + αyk1 = | − 2 + α| + |1 + α| ≥ 3 = kxk1,

như vậy x ⊥ y(B).

kx + α(y + z)k1 = k(0, 1)k1 = 1  4 = kxk1,

như vậy x là không trực giao Birkhoff với (y + z)

Với x ∈ X và G ⊆ X, ký hiệu Sx là không gian sinh bởi x (Sx =span{x}) và d(x, G) là khoảng cách từ x tới G Khi đó ta có khẳng địnhsau

Định lí 2.1.5 Cho (X, k.k) là một không gian chuẩn, và x, y ∈ X Khi đó

x ⊥ y(B) nếu và chỉ nếu kxk = d(x, Sy).

Chứng minh. Nếu x ⊥ y(B), khi đó với mọi α ∈ R, ta có:

kxk 6 kx + αyk 6 kxk + |α|kyk,

Định nghĩa 2.1.6 Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn, G là một

tập con khác trống của X và x ∈ X Chúng ta nói rằng x là trực giao Birkhoff với G, kí hiệu là x ⊥ G(B), nếu x ⊥ y(B) với mọi y ∈ G.

Theo định nghĩa thì 0 ⊥ G(B) với mọi tập con khác trống G của X

Định nghĩa 2.1.7 Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn và G là một

tập con khác trống của X Khi đó tập

{x ∈ X : x ⊥ G(B)}

được gọi là phần bù trưc giao Birkhoff của G và được kí hiệu là G⊥(B).

Nếu y ∈ X, khi đó phần bù trực giao Birkhoff của y, kí hiêu là y⊥(B),

(iii) Nói chung, G ∩ G⊥(B) là trống hoặc {0}.

(c) Nếu C là một nón lồi trong X, ta cũng có C ∩ C⊥(B) = {0} Đặcbiệt, M ∩ M⊥(B) = {0} với bất kì không gian con M nào của X

(d) Quan trọng hơn nữa, thậm chí nếu M là không gian con của X,

M⊥(B) không nhất thiết là không gian con của X và M⊥(B) cũngchưa chắc là một nón lồi trong X.

Ví dụ 2.1.8 Xét không gian chuẩn thực X = (R2, k.k1), ở đây

vô hướng.

2.2 Trực giao Birkhoff và trực giao nửa tích vô hướng

Trong phần này, chúng ta sẽ xét đến sự tương đương giữa trực giao Birkhoff

và trực giao nửa tích vô hướng Nói chung có thể có nhiều nửa tích vô hướngkhác nhau thiết lập chuẩn của một không gian định chuẩn Mỗi nửa tích vôhướng đó sẽ dẫn tới một tính trực giao nửa tích vô hướng, do đó có thể córất nhiều tính trực giao nửa tích vô hướng khác nhau trong một không gianđịnh chuẩn

Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn, [.|.] là một nửa tích vôhướng trên X sinh ra chuẩn k.k (xem Mục 1.4), x, y ∈ X, và G là một tậpcon khác trống của X Như ta đã biết rằng x là trực giao với y, và x là trựcgiao với G kí hiệu tương ứng là x ⊥ y([.|.]) và x ⊥ G([.|.]) Từ đó:

x ⊥ y([.|.]) nếu [y|x] = 0,và

x ⊥ G([.|.]) nếu [y|x] = 0 với mọi y ∈ G

Phần bù trực giao của G và y được ký hiệu tương ứng là G⊥([.|.]) và

y⊥([.|.]) Như vậy:

G⊥([.|.] := {x ∈ X : x ⊥ G([.|.])},và

G⊥([.|.] := {x ∈ X : x ⊥ G([.|.])},

Hơn nữa G⊥([.|.]) = T

y∈G

y⊥([.|.]) Kết quả sau đây chỉ ra rằng, trực giaonửa tích vô hướng luôn là trực giao Birkhoff

Định lí 2.2.1 Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn, [.|.] là một nửa

tích vô hướng trên X sinh ra chuẩn k.k, và x, y ∈ X Nếu x ⊥ y([.|.]), khi

kyk1 = 1 6 |1 + α| + |α| = ky + αxk1 với mọi α ∈ R

và khi đó y ⊥ x(B) Tuy nhiên,

vô hướng đó quan hệ trực giao tương ứng sẽ tương đương với trực giaoBirkhoff

Định lí 2.2.3 Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn và x, y ∈ X.

Nếu x ⊥ y(B), khi đó sẽ tồn tại một nửa tích vô hướng [.|.] trên X sinh ra chuẩn k.k sao cho x ⊥ y([.|.]).

Chứng minh. Giả sử rằng x ⊥ y(B) Nếu x = 0, kết quả trên là đúng Nếu

x 6= 0, xét không gian con M := span{y} ⊕ span{x} là tổng trực tiếp của

span{y} và span{x}, của X Định nghĩa phiếm hàm g : M −→ R với

g(m) = λkxk2,

ở đây m = z + λx với z ∈ span{y} và λ ∈ R Xét m = z + λx và

m0 = z0 + λ0x nằm trong M , với z, z0 ∈ spany và λ, λ0 ∈ R Nếu m = m0

khi đó ta có z − z0 = (λ0− λ)x vơi mọi x khác 0 và x ∈ X, ở đây z − z0 ∈span y và (λ0− λ)x ∈ span{x} Do M là tổng trực tiếp của hai không giancon, nên ta sẽ có λ0 − λ = 0, do đó λkxk2 = λ0kxk2 Như vậy g được xácđịnh trên M Hơn nữa, với moi µ, µ0 ∈ R, ta có:

kgk > |g(x)|kxk = kxk2

kxk = kxk,

và do đó thực tế là kgk = kxk Do vậy, theo Định lý thác triển Banach, sẽ tồn tại một phiếm hàm f ∈ X∗ là một thác triển của g trên Xsao cho

Hahn-kf k = kgk = kxk

Khi đó, vì x, y ∈ M , f (x) = g(y) = kxk2 và f (y) = g(y) = 0 nên

f ∈ J (x), ở đây J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa của X Do J (0) = {0},nên J (x) là một tập con khác trống của X∗ với x ∈ X, bởi vậy {J (x)}x∈X

là lớp khác trống gồm tập con khác trống Khi đó, theo tiên đề chọn, ta cóthể thiết lập một tập chứa đúng một phần tử từ mỗi tập J (x), ký hiệu là fx.Điều này xác định một phần ˜J : X → X∗ của J xác định bởi ˜J (x) = fxvới mọi x ∈ X Vì fx là một thác triển Hahn-Banach của g ∈ M∗ tới X,

và vì x, y ∈ M , ta có fx(x) = g(x) = kxk2 và fx(y) = g(y) = 0 Do đó,

[u|v] := (( ˜J (v))(u), u, v ∈ X

là một nửa tích vô hướng trên X sinh ra chuẩn k.k Kết quả là,

[y|x] = ( ˜J (x))(y) = fx(y) = 0,

do đó x ⊥ y([.|.]), và định lí được chứng minh

Kết hợp với Đinh lí 2.2.1 và Định lí 2.2.3 chúng ta có thể xây dựng mộtmối liên quan chính xác giữa trực giao Birkhoff với trực giao liên quan tớinửa tích vô hướng như trong định lý sau

Định lí 2.2.4 Cho (X, k.k) là một không gian định chuẩn, và x, y ∈ X.

Khi đó những mệnh đề sau là tương đương:

Chú ý 2.2.5 Định lí trên chỉ ra rằng trên một không gian định chuẩn

(X, k.k), luôn tồn tại ít nhất một nửa tích vô hướng sinh ra chuẩn k.k,

và đối với nửa tích vô hướng đó thì trực giao Birkhoff và trực giao nửa tích

vô hướng là tương đương với nhau Tuy nhiên, nửa tích vô hướng như vậykhông nhất thiết là duy nhất (xem chứng minh Định lý 2.2.3) Do tính duynhất của thác triển Hahn-Banach nói chung không được bảo đảm trong