NHOM 6 DINH NGHIA VA y NGHIA DAO HAM

Làm sao để xác định vận tốc của xe tại một thời điểm nào đó?. Làm sao để tính nhiệt độ hiện tại của bình nuôi cấy trong phòng thí nghiệm là bao nhiêu?. Nếu t-t0 càng nhỏ thì vận tốc trun

Nhóm 6:

4 HOÀNG NGUYỄN BẢO DI THPT LÊ DUẨN

Bài soạn: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.

Làm sao để xác định vận tốc của xe tại một thời điểm nào đó?

Làm sao để tính nhiệt độ hiện tại của bình nuôi cấy trong phòng thí nghiệm là bao nhiêu?

B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.

1 ĐỊNH NGHĨA

HĐ1.1 Quãng đường S của chuyển động là

một hàm số của thời gian t: S=f(t)

Nêu công thức tính vận tốc?

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ

thời điểm t0 đến t?

Khoảng thời gian từ t đến t0?

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian t0; t?

s’ O s(t0) s(t) s

t0 t

s v t

=

0

0

s f t( ) f t( )

t t

= −

−

0 0

( ) ( )

f t f t

t t

−

−

HĐ1.2 Nếu t-t0 càng nhỏ thì vận tốc trung bình

càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh

chậm của chuyển động tại thời điểm t0 Từ đó

người ta xem giới hạn của tỉ số 1 0

1 0

( ) ( )

f t f t

t t

−

− khi

1

t dần đến t là vận tốc tức thời tại thời điểm 0 t 0

Nói cách khác

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) lim

t t

f t f t

V t

t t

→

−

=

− .

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Nhiều vấn đề toán học, vật lí, hóa học, sinh học, … dẫn đến bài toán tìm giới hạn:

0

0 0

( ) ( )

lim

x x

f x f x

x x

→

−

− , giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của hàm số y f x= ( ) tại điểm x0

0

x x x

•∆ = − : số gia của biến số tại điểm x 0

y f x x f x

•∆ = + ∆ − : số gia của hàm số ứng với x∆

Khi đó: y′(x0)=

0

lim

→

∆x x

y

∆

∆

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Các bước để tính f′(x0) bằng định nghĩa:

+ Cho x0 số gia ∆x

Tính ∆y= f(x0 +∆x)− f(x0)

+ Lập tỉ số :

x

y

∆

∆

+ Tính giới hạn : ∆limx→0

x

y

∆

∆

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm số y x= 2tại x0=2

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số: y=2x2−4 tại điểm có hoành độ x0=2

HĐ3.1 Tính đạo hàm của hàm số:

3

y x= tại điểm có hoành độ x0= −1

→

→

=

−

=

−

3 3

1 2 1

( )

1 '(1) lim

1

x

x

f x x

x f

x

x x

HĐ3.2 Cho hàm số y= − +x2 3x−2 Tính '(2).y

→

− + −

=

−

2

2

3x 2 '(2) lim

2

x

x y

x

2 QUAN HỆ GIỮA SỰ TỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ.

Nếu hàm số y f x= ( )gián đoạn tạix 0

thì nó không có đạo hàm tại điểm đó

Nếu một hàm số liên tục tại 1 điểm

chưa thể khẳng định được hàm số đó

có đạo hàm tại điểm đó hay không

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Định lí Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó

( )

, 0

x x

f x

x x

≥



=  − <

 Xét tính liên tục của hàm số đã cho, tính đạo hàm

tại x=0

3 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM.

Cho hàm số f(x) có đồ thị (C),

một điểm M0(x0; f(x0)) cố định

thuộc (C).

Với mỗi điểm M(xM;f(xM)) di

động trên (C), khác M0.

Đường thẳng M0M gọi là một

cát tuyến của (C).

HĐ1.2 Khi x  x0 thì M di chuyển

trên (C) tới điểm M0

Ta coi đường thẳng M0T đi qua

M0 là vị trí giới hạn của cát

tuyến M0M khi M chuyển dọc

theo (C) đến M0.

Đường thẳng M0T gọi là tiếp

tuyến của (C) tại M0 và M0 gọi

là tiếp điểm.

HĐ1.3 Gọi kM là hệ số góc

của cát tuyến M0M, k0 là hệ

số góc của tiếp tuyến M0T Thì

( )M ( )0

M

f x f x

k

x x

−

=

−

Giả sử f(x) có đạo hàm tại x0 Khi đó:

( ) ( ) ( )

M 0

f ' x lim

→

−

=

−

M 0 M 0

xlim kx k

→

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

0

'( )

f x là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x= ( ) tại M( ; )x y 0 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y f x= ( ) tại M ( ; )0 x y là0 0

y f x x x= − +y

Ví dụ 1 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= − +x2 3x 2− tại điểm có hoành

độ 2

Ví dụ 2: Cho hàm số y= − +x2 3 -2x Viết pttt của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ 3

HĐ3.1 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị

hàm số y= − +x2 3x 2− tại điểm có tung độ -2

HĐ3.2 : Cho hàm số y= − +x2 3 -2x Viết pttt

của đồ thị hàm số trên tại điểm có tung độ -6

4 Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠO HÀM.

HĐ1.1 Theo định nghĩa

→

−

−

0

0

0

( ) ( )

t t

f t f t

t t

HĐ1.2 Điện lượng Q = Q t ( ) cường độ

dòng điện I t = ( )0 ? I t ( )0 = Q t '( )0

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Đạo hàm là một khái niệm Toán học có xuất xứ từ những bài toán thực tiễn, kĩ thuật khác nhau như Cơ học, Vật lí, Hình học, Hóa học, Sinh học

Ví dụ 1

Lúc 10 giờ khởi hành, công tơ mét chỉ quãng đường xe đã đi trước đó là 30025 km, lúc 10 giờ 6 phút, công tơ mét chỉ 30029 km, kim tốc độ sẽ chỉ ở vạch bao nhiêu?

A 20 B 30 C 40 D 50

Ví dụ 2 Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t2 (t: tính bằng giây; s tính bằng mét) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 2 (giây) là:

A 2m/s B 3m/s C 4m/s D 5m/s

HĐ3.1 Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ

ở nhiệt độ 00C Tại thời điểm t=0 người ta cung

cấp nhiệt cho nó Nhiệt độ tăng lên và được ước

tính bởi hàm số 3 0

( ) ( 1) 1( )

f t = −t + C ( f t( ) là nhiệt độ của bình nuôi cấy ở thời điểm t)

a) Tính tốc độ tăng nhiệt trung bình của bình

Áp dụng: '( ) f t

nuôi cấy trên trong khoảng thời gian từ lúc

t = s đến thời điểm t' sau đó 1 giây

b) Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình

nuôi cấy trên trong khoảng thời gian từ lúc

0 1, 25

t = s đến thời điểm t' sau đó 1 giây

5 ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG.

HĐ1.1 Tính đạo hàm các hàm số

= 2

( )

f x x , g x( ) 1 

x

= tại điểm x0 bất kì.

Nếu thay x bởi x trong các biểu thức0

( ) 2

f x = x ta thu được biểu thức ?

→

→

−

=

−

0

0

0 0

'( ) lim

x x

x x

x x

f x

x x

= '( ) 2

f x x

HĐ1.2 Ta được hàm số f x( )=x2 có đạo

hàm '( ) 2f x = x trên R, hàm số g x( ) 1 

x

=

2

( )

f x =x có đạo hàm g x'( ) 12

x

= − trên các khoảng (−∞;0)và(0;+∞).hàm '( ) 2f x = x trên

R, hàm số g x( ) 1 

x

= f x( )=x2 có đạo hàm

2

1

'( )

g x

x

= − trên các khoảng (−∞;0)và

(0;+∞)

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

Hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau trên R:

3

b)

c)

y

y x

y x

=

=

=

HĐ3.1 Xét đạo hàm của hàm số

2

4

y = − x trên tập xác định của nó.

C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.

Câu 1: Số gia của hàm số f x( ) = 2x−1ứng với số gia∆xcủa đối số x tạix0 =5là:

A 9 2+ ∆ −x 4 B. 9 2+ ∆ −x 3 C 9 2+ ∆ −x 5 D 9 2+ ∆ −x 1

Câu 2: Tỉ số y

x

∆

∆ của hàm số f x( ) x2 2x

x

+

=

− ứng với số gia∆xcủa đối số x tạix0 =1là:

A 5

1

x

x

+ ∆

6 1

x x

+ ∆

5 2

x x

+ ∆

∆ − D

4 1

x x

+ ∆

∆ −

Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) = − +x2 3x−2 tại điểm có hoành độ

x = là:

A y= − +x 3 B y= − +x 1 C. y= − +x 2 D.y= − −x 2

Câu 4: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f x( ) 2x 41

x

+

= + tại điểm có hoành độ x0 =2 là:

A 9

36 B 5

36 C 1

36 D. 7

36

Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) =x2, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm

0; 1)

M − là:

A y=3x−1 và y= − −3x 1 B y=4x−1 và y= − −4x 1

C. y=2x−1 và y= − −2x 1 D y x= −1 và y= − −x 1

Câu 7: Đạo hàm của hàm sốy= 2x+1 là:

A. '

2 2 1

x

y

x

=

+ B.

2 1

x y

x

= + C.

2 1

x y

x

+

= + D.

'

2 1

x y

x

= +

Câu 8: Đạo hàm của hàm số 2 3

4

x y x

−

= + là:

11

( 4)

y

x

−

=

+ B.

'

2

11 ( 4)

y x

= + C

'

2

10 ( 4)

y x

=

'

2

10 ( 4)

y x

−

= +

D HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Bài toán: Một bình nuôi cấy vi sinh vật được giữ ở nhiệt độ 00C Tại thời điểm t=0 người ta cung cấp nhiệt cho nó Nhiệt độ tăng lên và được ước tính bởi hàm số f t( ) (= −t 1)3+1(0C) ( ( )

f t là nhiệt độ của bình nuôi cấy ở thời điểm t)

a) Tính tốc độ tăng nhiệt trung bình của bình nuôi cấy trên trong khoảng thời gian từ lúc

t = s đến thời điểm t' sau đó 1 giây

b) Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình của bình nuôi cấy trên trong khoảng thời gian từ lúc

0 1, 25

t = s đến thời điểm t' sau đó 1 giây

c) Trong 2 thời điểm trên, thời điểm nào nhiệt độ bình nuôi cấy tăng nhanh hơn

E HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.