Đề cương ôn tập phương trình và hệ phương trình

Đề cương cơ bản ôn tập toán 10 về phương trình cơ bản và hệ phương trình.Tóm tắt cách giải quyết bài toán dễ .Trong đề có gì sai sót mong được các bạn góp ý.Các chú ý nhận biết làm các bài tập . Tài liệu dành cho các bạn bắt đầu học và đã học lâu muốn ôn lại nên rất đơn giản.

Đề cương ôn tập : Phương trình và hệ phương trình

I.Đại cương về phương trình

1 Giải và biện luận phương trình bậc nhất :ax+b=0(1)

a 0

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất x= b

a

−

a=0 b=0 Phương trình (1) có nghiệm đúng với mọi x

b 0 Phương trình (1) vô nghiệm

Ví dụ : cho phương trình (1) (m-2)x+2-m=0

a Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

b Với m=1 phương trình có nghiệm là

Bài giải

………

………

………

………

………

2.Giải và biện luận phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0(2)

Hệ số

a=0 Với a=0 , ta có Phương trình (2) sẽ trở thành bx+c=0 trở về phương trình bậc

nhất có thể biện luận theo phương trình bậc nhất

a 0 Tính :

2

4

Nếu <0 phương trình (2) Vô nghiệm

Nếu =0 phương trình (2) co nghiệm kép x=

2

b a

−

Nếu >0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 1

4 2

x

a

=

2 2

4 2

x

a

=

• Ví dụ

1 Giải phương trình sau 5x2-4x+1 =0

2 Cho phương trình sau : (m+1)x2+(2m-3)x+6=0(2)

a Với m=2 số nghiệm của phương trình là:

………

………

………

b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ………

………

………

………

………

c Tìm m để phương trình có nghiệm: ………

………

………

………

………

d Tìm m để phương trình vô nghiệm ………

………

………

………

………

• Định lí Vi-et

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a 0) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 khi đó:

1 2

1 2

b

x x

a c

x x

a

−

 + =







Ngược lại nếu người ta cho tổng của u+v=S và Tích u.v =P thì ta có thể suy ra u và v là

nghiệm của phương trình t2-St+P=0

• Chú ý phân tích các hằng đẳng thức:

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( 1 2) 2 1 2

x +x =x +x + x x − x x = x +x − x x

1 2 ( 1 2) 3 1 2( 1 2)

x +x = x +x − x x x +x

1 2

1 2 1 2

+

• Ví dụ

1 Cho phương trình 6x2-6x-12=0

a Tìm nghiệm của phương trình và tính giá trị x1+x2 và x1.x2

2 Cho phương trình sau

(m2-1)x2 –(2m+1)x-6m+2=0(3)

a Với m=4 Tìm nghiệm của phương trình và tính giá trị x1+x2 và x1.x2

b Tim m để phương trình có nghiệm

c Tìm m để phương trình vô nghiệm

d Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn biểu thức

A= 2 2 1 2 1 2 x +x −x x =5 (hướng dẫn câu d : Đầu tiên em tìm m để phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt, sau đó em biến đổi công thức A theo chú ý về hằng đẳng thức ở trên rồi thay định lí vi-et vào tìm m.) 3 Cho giả thiết sau x1+x2=9 , x1.x2=12 Vậy x1,x2 là nghiệm của hệ phương trình nào Bài Giải ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……….………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

• Sử dụng định lí vi-et xét dấu các nghiệm của phương trình

+> Phương trình có hai nghiệm trái dấu thì : x1.x2<0

+>Phương trình có hai nghiệm cùng dấu;

1 2

0 x 0

x

 



 +>Phương trình có hai nghiệm dương 1 2

1 2

0 x 0 0

x

 





 + 

 +>Phương trình có hai nghiệm âm 1 2

1 2

0 x 0 0

x

 





 + 



Ví dụ:

1 Cho phương trình sau

X2-(2m2-4)x+5-m=0

a Với m=1 phương trình có mấy nghiệm

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2 2 1 2

1 2

x + x = + +

d Tìm m để phương trình có hai nghiêm âm

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài làm

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……….………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3.Phương trình chứa biểu thức dưới mẫu ( )

( )

g x

h x

a Tập xác định h(x) 0

ví dụ 1 giải phương trình sau: 1 3 2 1

2.cho phương trình sau: 2 1 2 1

2

a với m=1 phương trình có nghiệm là:

b Tìm m để phương trình có nghiệm

Các bước giải:

B1 Tìm tập xác định

B2 Chuyển vế Quy đồng rút gọn phân số

B3 Tìm nghiệm

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……… ……

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

……… ……

………

………

………

………

4.Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn a ( ) ( ) (x) 0( , (x) 0 (x) g(x) h x g x h Hay g h =    =  =  ) có thể tìm 1 trong hai điều kiện cái nào đơn giản thì tìm Ví dụ Giải phương trình sau: 2 2x −5x+ =3 5x−7 ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

b 2 ( ) (x) ( ) 0 ( ) ( ) h x g g x h x g x =   =  =  Ví dụ 5x2−6x+ =1 2x+3 ………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

5.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 1

( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) h x g x g x h x g x h x g x =    = =   = −  Ví dụ: giải phương trình sau: 2 6x −3x+ =5 4x−3 ………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

2 ( ) (x) ( ) ( ) (x) g(x) h x g h x g x h = =  =  = −  Ví dụ: giải phương trình sau 4x2−7x+ =3 4 x2+8x−2 ………

……… ………

………

………

………

………

………

6.Phương trình trùng phươngax4+bx2+ =c 0 (4) Cách giải: Đặt t=x 2 (t 0) Phương trình 4 trở thành: at2+ + =bt c 0 Tìm t và suy ra x= t (Nhớ điều kiện (t 0) nhé) Ví dụ 4 2 4 2 4 3 1 0 2 4 2 0 a x x b x x + − = + + = ……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

……… Dạng 2:Tìm tham số m

Cho phương trình 4 2

0

ax +bx + =c (4) a 0 Đặt t=x 2 (t 0)

Phương trình 4 trở thành: 2

0

at + + =bt c (5) +> Phương trình 4 vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (5) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

=>

1 2

1 2

0

0

0

t t

t t

 



  



 + 





+>Phương trình(4) có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình 5 chỉ có 1 nghiệm duy nhất bằng

0

=> 0

0

t

 =



 =



+>Phương trình (4) có hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (5) có 1 nghiệm dương khác 0 hoặc nhiệm kép dương khác 0

1 2 0

0

(0) 0

0

2

t t

f

b

t

a











 =





 −

 = 





+> Phương trình (4) có ba nghiệm khi và chỉ khi phương trình (5) có hai nghiệm 1 nhiệm bằng 0 một nghiệm lớn hơn 0

1 2

1 2

0

0

t t

 



 + 





+>Phương trình (4) có bốn nghiệm khi và chỉ khi phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt dương

1 2

1 2

0

0

t t

 



 + 





Ví dụ:

Cho phương trình sau (4 m 5)+ x4+(2m+1)x2+(m− =1) 0

1 Với m=1 giải phương trình sau

2 Tìm m để phương trình vô nghiệm

3 Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất

4 Tìm m để phương trình có 3 nghiệm

Cho phương trình sau: x4+ −(3 m x) 2+m2−3m+ =1 0

2 Tìm m để phương tình có 2 nghiệm

3 Tìm m để phương trình có 4 nghiệm

P/s: Nhớ là nếu a chứ tham số m phải biện luận hai trường hợp a=0 và a 0

Bài giải

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

II.Hệ Phương Trình 1 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: (Ez) 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =   + =  (I) Phương pháp giải:Có 3 cách giải +> Phương pháp cộng trừ đại số +>Phương pháp thế +> Phương pháp dùng đinh thức Tìm nghiệm của các hệ phương trình sau A, 5 7 9 3 3 3 x y x y + =   + = −  B, 6 7 9 2 5 2 x y x y + =   − = −  ………

………

………

……… ………

………

………

………

………

Phương pháp thế

1 1 1

(1) (2)



Từ 1=> 1 1

1

c b y x

a

−

= thế vào phương trình 2 ta có 1 1

1

(c b y)

a

2 1 1 2

2 2

2 1 2 1

1 2 1 2 1

1 2 2 1 1 2 2 1 1

a c b a

a c c a

y

b a b a b a b a a

−

−

−

Dạng 1 : Tìm m để phương trình có nghiệm (x,y) thỏa mãn điều kiện (K)

• Phương pháp giải:

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay nghiệm (x,y ) vào điều kiện K

Bước 3: Giải điều kiện biểu thức k

Bước 4 : kết luận

Ví dụ:



 + = +



a Tìm nghiệm hệ phương trình khi m=1

b Tìm m để hệ phương trình có nghiêm (x,y) thỏa mãn x=3y+1

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

Dạng 2: giải và biện luận hệ phương trình: 2 1 mx y m x my m + =   + = +  Chú ý : giải và tìm nghiệm (x,y) như bình thường sau đó biện luận để phương trình có nghiệm, Vô nghiệm và vô số nghiệm nhé> ………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

………

2 Hệ phương trình đối xứng loại I

Dạng: Là hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì mỗi phương trình có hệ số không

thay đổi

Ví dụ:

2 2

9





Cách giải:

Đặt x y S

+ =



 Thay vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới theo ẩn S, P Giải hệ này

ta sẽ tìm được S, P

Nhớ lại chú ý định lí vi ét nếu x y S

+ =



 thì x,y sẽ là nghiệm của phương trình

X2-SX+P=0

Và chú ý là Nếu (x;y) là một nghiệm thì (y;x) cũng là một nghiệm

9





Bài làm

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

………

2.Hệ phương trình đối xứng loại 2

thành phương trình kia của hệ và ngược lại:

Ví dụ minh họa:

2 2







Cách giải:

B1:Dùng phương pháp cộng trừ đại số thực hiện phép toán cộng trừ hai phương trình

B2: Quy về dang (x-y).f(x:y)=0=>

( ; ) 0

f x y

=



 B3: sau đó kết hợp với 1 trog hai phương trình của hệ rồi giải

2

2







Bài làm

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

……… ………

………

………

………

………

………

………

………

Chúc em hoàn thành tốt!!!