Luận văn nghiệm nhớt của các phương trình hamilton jacobi trên các miền có chung khớp nối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ LỆ THANH NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TRÊN CÁC MIỀN CÓ CHUNG KHỚP NỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LỆ THANH

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH

HAMILTON-JACOBI TRÊN CÁC MIỀN CÓ CHUNG KHỚP NỐI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LỆ THANH

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH

HAMILTON-JACOBI TRÊN CÁC MIỀN CÓ CHUNG KHỚP NỐI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng

HÀ NỘI, 2018

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Sauđại học, khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy cô đãnhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi để emhoàn thành khóa học và luận văn này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Trần Văn Bằng,người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình thựchiện đề tài

Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồngnghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, luôn động viên khích lệ để tôi hoànthành luận văn này

Do điều kiện về thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế, luậnvăn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 7 năm 2018Người thực hiện

Nguyễn Thị Lệ Thanh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Trần Văn Bằng

Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã thừa kế thành quả khoa họccủa các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2018Người thực hiện

Nguyễn Thị Lệ Thanh

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài 4

0.2 Mục đích nghiên cứu 4

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một 6

1.2 Nghiệm thông lượng hạn chế 8

Chương 2 Nghiệm nhớt của các PT Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối 11

2.1 Trường hợp một chiều 11

2.1.1 Nghiệm ràng buộc trạng thái 11

2.1.2 Kết quả chính 13

2.1.3 Sơ lược chứng minh 15

2.1.4 Một số quan sát 18

2.1.5 Một số mở rộng 20

2.2 Trường hợp nhiều chiều 21

2.2.1 Một số ký hiệu và thuật ngữ 21

2.2.2 Thiết lập bài toán 22

2.2.3 Bổ đề chung 24

2.2.4 Bài toán khớp nối một chiều phụ thuộc thời gian 24

2.2.5 Nghiệm hạn chế thông lượng là nghiệm suy rộng Kirchoff 28

Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 3130

Lời nói đầu

0.1 Lý do chọn đề tài

Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng là một loại nghiệmyếu thích hợp với nhiều bài toán đối với các phương trình đạo hàm riêngphi tuyến cấp một và cấp hai, thậm chí là đối với cả phương trình vi tíchphân phi tuyến [1]-[4] Gần đây, có một số kết quả về việc đặc trưngnghiệm nhớt qua khái niệm nghiệm hạn chế thông lượng [6]-[7] Hơnnữa, khái niệm nghiệm nhớt còn được sử dụng để nghiên cứu hệ cácphương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối [8]-[9].Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự hướng dẫn củaTS.Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài:

“Nghiệm nhớt của các phương trình Hamilton-Jacobi trên các

miền có chung khớp nối”

để thực hiện luận văn của mình Đây là một nội dung nghiên cứu hoàntoàn mới

0.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về một số tính chất định tính của nghiệm nhớt của cácphương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối như sựtồn tại, tính duy nhất hay tính ổn định

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất của nghiệm nhớt của phương trình ton Các phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớpnối

Hamil-0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiện cứu: Nghiệm nhớt của các phương trình Jacobi trên các miền có chung khớp nối

Hamilton-Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu một số tính chất định tính củaphương trình trong trường hợp các Hamiltonian không lồi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cần thiết cho việc triểnkhai nội dung của Chương 2, trong đó chủ yếu tập trung vào một sốkhái niệm nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi và của cácbài toán tương ứng Nói chung với mỗi mức phi tuyến của phương trình

và của điều kiện biên, chúng ta sẽ cần các khái niệm nghiệm thích hợptương ứng để có thể chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất

1.1 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng

cấp một

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm nghiệm nhớt liên tụccủa phương trình đạo hàm riêng cấp một trong không gian hữu hạnchiều

Giả sử Ω ⊂ Rd là một tập mở, F : Ω × R × Rd → R là một hàm liêntục của (x, r, p) Nhắc lại rằng:

C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω;

Ck(Ω), k = 1, 2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có cácđạo hàm riêng đến cấp k liên tục trên Ω

Với một hàm u ∈ C1(Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω.Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:

F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (HJ)Định nghĩa 1.1 Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm dưới nhớt của phươngtrình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0 (1.1)tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm trên nhớt của phương trình (HJ) nếuvới mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0 (1.2)tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm trên nhớt vừa lànghiệm dưới nhớt của phương trình đó

Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử

Ví dụ 1.1 Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:

− |u0(x)| + 1 = 0, x ∈ (−1, 1)

Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x 6= 0 là một cực trị địa phươngcủa u − ϕ thì ϕ0(x) = u0(x) = ±1 Vì vậy tại những điểm này điều kiệnnghiệm trên nhớt, nghiệm dưới nhớt được thỏa mãn

Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ0(0)| ≤ 1nên điều kiện nghiệm trên nhớt vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0không thể là cực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C1([0, 1]) Thật vậy,nếu 0 là cực đại địa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x)trong một lân cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của

Từ các điều trên suy ra 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ

Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phươngtrình:

|u0(x)| − 1 = 0, x ∈ (−1, 1)

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cựctiểu địa phương của |x| − (−x2)

Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:

ut(t, y) + H(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ (0, T ) × Dthì ta chỉ việc đặt:

x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D ⊆ Rd+1, F (x, r, p) = qd+1+ H(x, r, q1, , qd)

3) Một số tính chất cơ bản của nghiệm nhớt liên tục có thể xem chitiết trong [1]-[3].

4) Nếu ta xét điều kiện biên Dirichlet u = ϕ trên ∂Ω, thì mộtnghiệm dưới (tương ứng, nghiệm trên) nhớt của bài toán Dirichlet đốivới phương trình (HJ) được hiểu là một nghiệm dưới (tương ứng, nghiệmtrên) nhớt của phương trình ở trong Ω và thỏa mãn u ≤ ϕ (tương ứng,

u ≥ ϕ) trên ∂Ω

5) Trong lý thuyết nghiệm nhớt nói chung, để chứng minh tính duynhất nghiệm, người ta thường đưa về chứng minh nguyên lý so sánhnghiệm, nói cách khác là chứng minh rằng nghiệm dưới nhớt của mộtbài toán luôn không vượt quá nghiệm trên nhớt của bài toán đó Khi

đã có tính duy nhất nghiệm thì sự tồn tại nghiệm nhớt chỉ là một hệquả dễ thấy, nhờ phương pháp Perron Vì thế mà chúng ta thường chỉ

đề cập tới việc chứng minh tính duy nhất nghiệm mà thôi

6) Từ nay về sau nếu không nói gì thêm, trong Luận văn này chúng

ta sẽ chỉ dùng các khái niệm nghiệm theo nghĩa nhớt, nên để ngắn gọn,chúng ta sẽ thường bỏ từ nhớt và chỉ dùng nghiệm dưới, nghiệm trên vànghiệm thay cho nghiệm dưới nhớt, nghiệm trên nhớt và nghiệm nhớttương ứng

1.2 Nghiệm thông lượng hạn chế

Trong trường hợp điều kiện biên phi tuyến phụ thuộc cả vào gradient,các kết quả vẫn còn khá hạn chế Thường thì các tác giả sẽ phải đưa

ra khái niệm nghiệm thích hợp để đạt được tính duy nhất nghiệm, như

nghiệm nới lỏng, nghiệm thông lượng hạn chế, Để làm rõ thêm ý tưởng,chúng tôi sẽ đề cập tới các khái niệm đó với một bài toán một chiều.Trong [5], tác giả xét bài toán một chiều sau

Nhớ lại rằng: Bao nửa liên tục trên u∗ và bao nửa liên tục dưới u∗của một hàm u bị chặn địa phương trên [0, T ] × [0, +∞) tương ứng xácđịnh bởi

u∗(t, x) = lim sup

(s,y)→(t,x)

u(s, y) và u∗(t, x) = lim inf

Khái niệm này có thể định nghĩa cho hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.2 (Nghiệm nới lỏng) Cho u : [0, T ] × [0, +∞) → R.i) Ta nói rằng hàm u là một nghiệm dưới nới lỏng (relaxed sub-solution) (tương ứng, nghiệm trên nới lỏng (relaxed super-solution))của (1.3) trong (0, T ) × [0, +∞) nếu với mọi hàm thử φ ∈ C1((0, T ) ×[0, +∞)), u∗− ϕ đạt cực đại (tương ứng, u∗− ϕ đạt cực tiểu) tại (t0, x0),

Định nghĩa 1.3 (Nghiệm thông lượng hạn chế) Cho u : [0, T ) ×[0, ∞) → R.

i) Ta nói rằng u là một nghiệm dưới thông lượng hạn chế (tương ứng,nghiệm trên thông lượng hạn chế ) của bài toán (1.3) trong [0, T )×[0, ∞)nếu với mọi hàm thử φ ∈ C1((0, T )×[0, +∞)), u∗−ϕ đạt cực đại (tươngứng, u∗ − ϕ đạt cực tiểu) tại (t0, x0) ta có: nếu x0 > 0 thì

và thỏa mãn thêm

u∗(0, x) ≤ u0(x) (tương ứng u∗(0, x) ≥ u0(x)), ∀x ∈ [0, +∞)

iii) Hàm u là một nghiệm thông lượng hạn chế nếu u vừa là mộtnghiệm dưới thông lượng hạn chế vừa là một nghiệm trên thông lượnghạn chế

Chú ý 1.2 Từ định nghĩa ta thấy, mỗi nghiệm dưới (tương ứng: nghiệmtrên, nghiệm) thông lượng hạn chế là một nghiệm dưới (tương ứng:nghiệm trên, nghiệm) nới lỏng Dưới một số điều kiện nhất định [5] đãchứng minh được chiều ngược lại Khi đó, việc xét nghiệm nới lỏng củabài toán trên sẽ được đưa về xét nghiệm thông lượng hạn chế, nói cáchkhác là xét bài toán tương ứng với điều kiện biên là hàm thông lượnghạn chế Như vậy các điều kiện biên có cùng hàm thông lượng hạn chế

sẽ có cùng tập nghiệm nới lỏng Vì vậy các kết quả khẳng định chiềungược lại thường được gọi là các kết quả về phân loại điều kiện biên.Theo cách này, một vấn đề đặt ra là với mỗi bài toán cụ thể, chúng tacần tìm ra cách xây dựng hàm thông lượng hạn chế thích hợp để điều

đó thực hiện được

Chương 2

Nghiệm nhớt của các phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối

Chúng ta biết rằng, có một lớp phương trình Hamilton-Jacobi rấtquan trọng (còn gọi là phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman) đượcdẫn ra từ bài toán điều khiển tối ưu Trong những trường hợp trạngthái của bài toán điều khiển tối ưu bị ràng buộc chạy trên một mặtcong trơn từng mảnh (chẳng hạn, biên của hình trụ) thì chúng ta dẫntới phương trình Hamilton-Jacobi trên các miền có chung khớp nối Đểtiện cho việc trình bày ý tưởng, chúng tôi sẽ trình bày bài toán trongtrường hợp một chiều, trước khi trình bày bài toán trong trường hợpnhiều chiều

2.1 Trường hợp một chiều

2.1.1 Nghiệm ràng buộc trạng thái

Chúng ta xét K miền một chiều là K khoảng có chung nhau một đầumút duy nhất, không có hai khoảng nào cùng nằm trên một nửa đườngthẳng xuất phát từ điểm chung đó Đểm chung đó được gọi là khớp nối

Ta kí hiệu các khoảng đó là Ii := (−ai, 0), ai ∈ [−∞, 0), i = 1, , K (tahình dung mỗi khoảng này nằm trên một nửa đường thẳng xuất phát từ0) Các khoảng này có chung khớp nối là 0 Đặt I := ∪Ki=1Ii Mỗi phần

tử thuộc ¯I được hiểu là một bộ K số x = (x1, , xK), xi ∈ ¯Ii Như vậy,mỗi hàm u xác định trên ¯I sẽ có dạng u(x) = u(x1, , xK)

Với hàm u ∈ C( ¯I; R) và (x1, , xK) ∈ ¯I,

ta đặt ui(xi) = u(0, , xi, , 0) Để đơn giản khi có thể ta không viết

ui mà thay vào đó ta viết u(xi) Tương tự ta cũng kí hiệu uxi, uxixi là

các đạo hàm cấp một và cấp hai của ui theo xi Cuối cùng để tránh sựdài dòng không cần thiết, chúng ta sẽ không nhắc lại rằng i = 1, , K.Đôi chỗ thuật ngữ các miền có chung khớp nối được nói ngắn gọn làmiền khớp nối Và bài toán trên các miền có chung khớp nối thườngđược gọi tắt là bài toán trên miền khớp nối.

Trong mục này, chúng ta sẽ đề cập tới các bài toán dừng trên miềnkhớp nối, tức là trên mỗi miền Ii xét một phương trình Hamilton-Jacobidừng dạng

ui(xi) + Hi(uxi, xi) = 0, xi ∈ Ii,trong đó các Hamiltonian Hi ∈ C(R × I; R), và với mỗi i,

Hi bức, tức là Hi(pi, xi) → ∞ khi |pi| → ∞ đều trên ¯Ii (2.1)

Trước hết chúng ta đề cập tới khái niệm nghiệm ràng buộc trạngthái của phương trình Hamilton-Jacobi dừng trên các miền khớp nối.Định nghĩa 2.1 (i) u ∈ C( ¯I; R) là nghiệm dưới ràng buộc trạng tháicủa bài toán trên miền khớp nối nếu

ui + Hi(uxi, xi) ≤ 0 trong Ii với mỗi i (2.2)(ii) u ∈ C( ¯I; R) là nghiệm trên ràng buộc trạng thái của bài toán trênmiền khớp nối nếu

ui+ Hi(uxi, xi) ≥ 0 trong Ii với mỗi i (2.3)và

u(0) + max

(iii) u ∈ C( ¯I; R) là nghiệm ràng buộc trạng thái nếu nó vừa là nghiệmdưới ràng buộc trạng thái vừa là nghiệm trên ràng buộc trạng thái.Chú ý 2.1 1) Theo định nghĩa trên, chúng ta không có ràng buộc nàođối với nghiệm dưới ràng buộc trạng thái tại khớp nối, chỉ nghiệm trênràng buộc trạng thái mới có

2) Bất đẳng thức của nghiệm trên tại khớp nối cũng được hiểu theonghĩa nhớt, tức là nếu với φ ∈ C1(I) ∩ C0,1( ¯I), u − φ có cực tiểu (địaphương ngặt) tại x = 0 thì u(0) + max

3) Định nghĩa nghiệm ràng buộc trạng thái nói lên rằng u là nghiệmnếu nó là nghiệm nhớt trong I và là nghiệm trên ràng buộc trong ¯Ii với

ít nhất một i nào đó

4) Để ngắn gọn chúng ta không đề cập cụ thể về điều kiện biêntại các điểm cuối ai, nó có thể là bất kỳ điều kiện biên nào (Dirichlet,Neumann hoặc ràng buộc trạng thái) miễn là ta có sự so sánh nghiệmtrong mỗi Ii.

5) Ngoài ra, không quá khó khăn để nghiên cứu trên nhiều hơn mộtkhớp nối Vì như chúng ta sẽ thấy trong chứng minh sau đây, ảnh hưởngcủa mỗi khớp nối mang tính địa phương

Cuối cùng, ta ký hiệu usc,i ∈ C( ¯Ii) là nghiệm ràng buộc trạng tháiduy nhất của phương trình w + Hi(wxi, xi) = 0 trên ¯Ii

(iii) ˆu(0) = min

w + Hi(wxi, xi) = 0trên ¯Ii

Ta đã biết rằng trong lý thuyết nghiệm nhớt nguyên lý so sánhnghiệm sẽ kéo theo định lý tồn tại nhờ phương pháp Perron nên ở đây

ta không thảo luận gì thêm nữa

Kết quả thứ hai là về tính ổn định của xấp xỉ nhớt cho bài toán trênmiền khớp nối Chúng ta bắt đầu với việc thiết lập tính đặt chỉnh củaphương trình cấp hai eliptic đều trên khớp nối thỏa mãn điều kiện biênNeumann phi tuyến (kiểu Kirchoff)

Giả sử các hàm liên tục

Fi := F (Xi, pi, ui, xi) và G := G(p1, , pK, u) thỏa mãn (đều theo tất

cả các biến còn lại)

 Fi giảm chặt theo Xi, không tăng theo ui và bức theo pi

Gi tăng chặt theo các pi, không tăng theo u, (2.5)

và xét bài toán

 Fi(uxixi, uxi, ui, xi) = 0 trong Ii với mỗi iG(ux1, , uxK, u) = 0 trên {0} (2.6)

Định lí 2.2 Giả sử (2.5) thỏa mãn Khi đó (2.6) có nghiệm duy nhấtˆ

Theo Định lý 2.2, bài toán trên có nghiệm duy nhất ˆu ∈ C2(I) ∩

C1,1( ¯I) và hơn nữa nghiệm bị chặn trên C0,1( ¯I) với cận độc lập với .Tính bị chặn đều theo  dễ dàng được xác định từ giả thiết về tính bứccủa các Hamiltonian

Chú ý rằng việc chọn cụ thể của điều kiện Neumann không có ảnhhưởng gì về sau, các kết quả dưới đây vẫn còn đúng cho các điều kiệnbiên khác, thậm chí là điều kiện biên phi tuyến tại khớp nối

Chúng ta quan tâm tới dáng điệu khi  → 0 của u, nói cách khác làmối quan hệ của nó với nghiệm ràng buộc trạng thái của bài toán cấpmột trên miền khớp nối

Định lí 2.3 Giả sử (2.1) thỏa mãn Khi đó u := lim

→0u tồn tại vàhơn nữa hoặc u = ˆu hoặc u(0) < ˆu(0), uxi(0−) tồn tại với mọi i và

PK

i=1uxi(0−) = 0

Một hệ quả của Định lý 2.3 đó là, bài toán trên miền khớp nối códuy nhất một nghiệm ràng buộc trạng thái và nghiệm có thể thu đượcbởi giới hạn của nghiệm của các bài toán kiểu (2.7) với các kiểu suybiến khác của số hạng cấp hai và điều kiện Neumann khác

Với một số giả thiết bổ sung ta có thể chứng minh rằng ˆu = lim

Thật vậy, giả sử rằng với mỗi i

Hi không có phần phẳng và có hữu hạn cực tiểu tại p0i,1, ≤ ≤ p0i,Ki;

(2.8)chú ý rằng giả thiết Hi không có phần phẳng có thể bỏ qua được nhờ sửdụng tính trù mật, trong khi đó với những kỹ thuật phức tạp ta có thểkhông cần thiết phải giả thiết rằng Hi có hữu hạn các điểm cực tiểu.Định lí 2.4 Giả sử (2.1), (2.8) thỏa mãn và PKi=1p0i,Ki ≤ 0 Khi đó ta

có ˆu = lim

Một trường hợp cụ thể mà (2.8) thỏa mãn đó là khi Hi tựa lồi vàbức Khi đó với mỗi i tồn tại một điểm cực tiểu đơn tại p0i và điều kiệntrên trở thành PK

i=1p0i ≤ 0 Mặt khác, nếu PK

i=1p0i > 0, ta có những ví

dụ mà ở đó ˆu > lim

2.1.3 Sơ lược chứng minh

Chứng minh của Định lý 2.2 là đơn giản, nên chúng ta bỏ qua vàchỉ chứng minh Định lý 2.1

Chứng minh Từ (2.1) chúng ta có v là liên tục Lipschitz Qua nhữnglưu ý ở mục trước về điều kiện biên tại các ai, ở đây nếu ta giả sửv(0) − u(0) = max¯(u − v) > 0 và thu được mâu thuẫn

Ta tiếp tục với lập luận Soner[10] cho các bài toán ràng buộc trạng thái.Với mỗi i,  > 0 và với δ = O() gọi ( ¯xi, ¯yi) ∈ ¯Ii× ¯Ii là điểm cực đại củahàm

Kết hợp các bất đẳng thức trên rồi cho  → 0 ta thu được u(0) =

uj(0) ≤ vj(0) = v(0), điều này mâu thuẫn với giả thiết

Sự tồn tại của nghiệm duy nhất ˆu được suy ra từ nguyên lý so sánh vàphương pháp Perron

Với yêu cầu thứ ba, ta để ý rằng: do ˆu là nghiệm dưới nhớt trong mỗi

Ii nên theo nguyên lý so sánh đối với nghiệm ràng buộc trạng thái, vớimỗi i, ˆu ≤ usc,i trên ¯Ii và do đó ˆu(0) ≤ min