TUYỂN tập các DẠNG bài tập TRONG đề THI HSG môn TOÁN lớp 11

Chứng minh rằng các trung tuyến của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi: cot C  2cot +cot A B.. Chứng minh rằng các góc của tam giác lập thành một cấp số nhân.. Chứng minh r

Trang 1

Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.

TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11 Phần 1 Lượng giác:

A Phương trình lượng giác.

1 Giải phương trình:

2 2

sin

tan 1

x x



2 Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên  0;1004  

2

8sin cos 3 sin cos

0 sin

6

x 





3 Giải phương trình: cos3 x  sin 3 x  cos x  sin x

4 Giải phương trình: 8sin2 x cos x  3 sin x  cos x  0

5 Giải các phương trình sau:

a) cos4 x2cos 2x 2sin2 x 3

b) sin 2 cos 2x x4sin cosx 2 x 3sin 2x cos 2x 2cosx 3 0

6 Giải phương trình: cos 2 x  2sin 2 x  11sin x  2cos x  6

7 Giải phương trình: cos4 xsin6x cos 2x

3

2 2 cos 2 sin 2 cos 4sin 0

x  x   x        x     

3

10 Giải phương trình: 1  2010 2010  2012 2012

cos 2 1 cot

x





12 Giải phương trình: sin3x  sin 33 x  sin 53 x   sin x  sin 3 x  sin 5 x 3

13 Giải phương trình: sin 2x 2 sin 3x cos 2x

3 3

8

cot tan sin 2 x  x  x

15 Giải phương trình: 2sin2 x  3 sin 2 x   1 3 cos  x  3 sin x 

16 Giải phương trình: 2cos x  3 sin x  cos x  1   1

18 Giải phương trình: 2 sin  3 cos  4 sin 1 cos   3cos 1 0

2

x

Trang 2

2 3 sin 1 cos 4cos sin 3

2sin 1

x





sin 3 cos3 4cos 2 3

1 2sin 1

x





3

2 2 cos sin 4cos 3 0

x



22 Giải phương trình: 2 tan 2 x  2sin 2 x  3cot x

sin sin cos sin 1 2cos 0

x  x         

cos 3 sin 3 cos 3 sin 4

2

x

x  x     x   

25 Giải phương trình: sin 3 x  cos cos 2 tan 2 x x  x  tan2 x 

26 Giải phương trình: 2

3 4 2sin 2

2 3 2(cot 1) sin 2

cos

x

x x

x



cos cos 2 3 sin 3 cos3 cos

28 Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên khoảng  0;2016  

3

2 2 cos 2 sin 2 cos 4sin 0

x  x   x        x     

29 Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2 x  1

sin 3 sin 2 sin

31 Giải phương trình: 3 sin 2x cos 2x 1 3 sinx3cosx

1 cos 2 3 sin 2 1

sin

3

x 



2

cos cos 1 cos 2 tan

cos

x

3 sin 2 cos 2 5sin (2 3)cos 3 3

1 2cos 3

x





35 Giải phương trình: 2000sin4 x2015cos3x2015

36 Giải phương trình: 2sin  sin 4 cos 2  sin 6 sin 2

4

Trang 3

37 Giải phương trình: 2 1 2cos 2 cos3   x  x  1

3 2sin cos 2 cos6 3cos 3

cos cos3 1 2 sin 2

4

x  x     x    

40 Giải phương trình:  1 tan cos  x  3 x   1 cot sin  x  3x  2sin 2 x

41 Giải phương trình: sin 2 x  3 cos 2 x   2  3 sin  x  cos x   1 3

42 Giải phương trình: sin 3 cos 22 x xsin2 x0

43 Giải phương trình:  3 1 cos   2 x   3 1 sin cos   x x  sin x  cos x  3 0 

44 Giải phương trình: cos3 x  sin3x  3  sin x  cos x 

2 2

2 2sin 2 tan x cot 2 x x



3tan 2

2 sin 2 1

x x

x



47 Giải phương trình: 1 sin 2 x  cos 2x 2 sinxcosx

48 Giải phương trình:  cos 2 x  cos 4 x 2   6 2sin 3 x

49 Giải phương trình: 3 6cosx2 2cos3x2cosx 2

50 Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên đoạn  0;1007   :

2

8sin cos 3 sin cos

0



2

3 2 tan 2

cos 2 1 tan

x





52 Giải phương trình:  3 4sin  2 x   3 4sin 3  2 x    1 2cos10 x

53 Giải phương trình: 2sin2 sin 3  sin 2cos tan 2 

2 cos 2

x

54 Giải phương trình:sin 2 x  2 sin  x  2cos x   2

2

2cos 3sin 3

0 tan 1

x





2sin sin cos 3 4cos

x

Trang 4

57 Giải phương trình: sin2 xcos cos3x xsin cos 2x x 0

sin sin 3 cos 3 cos 0

B Hệ thức lượng trong tam giác.

1 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện:

1 cos cos cos sin sin sin

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

2 Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh rằng:

2

3 Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:

cos A  cos B  cos C  2(cos cos A B  cos cos B C  cos cos ) C A

Chứng minh tam giác ABC đều

4 Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC Chứng minh rằng:

sin sin sin

1



5 Cho tam giác ABC thỏa mãn: A B C 2



  

Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt GTNN: P  2cos 4 C  4cos 2 C  cos 2 A  cos 2 B

6 Giả sử A, B, C, D lần lượt là số đo các góc  DAB ABC ,  ,  BCD CDA ,  của tứ giác lồi ABCD

a) Chứng minh rằng: sin sin sin 3sin

3

A B C

b) Tìm GTLN của biểu thức sin sin sin sin

3

A

7 Chứng minh rằng trong tam giác ta luôn có:

2sin sin sin

8

A  B  C 

8 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I và thỏa mãn: 2 2



 a) Chứng minh tam giác ABC đều

b) Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA,AB với đường tròn ( I) BE cắt đường tròn ( I) tại điểm thứ hai là K Biết BE  9 2 và K là trung điểm BE Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC

9 Tam giác ABC có các góc thỏa mãn: sin2 B  sin2C  sin sin B C  sin2 A

Tìm GTNN của biểu thức P  cot A  cot B  cot C

Trang 5

10 Cho tam giác ABC thỏa mãn:

Chứng minh tam giác ABC đều

11 Nhận dạng tam giác biết:

a) sin( A B  ).cos( A B  ) 2sin sin  A B

b)

cos( )

tan sin sin( )

B C

B





c)

cos cos cos 5







e)

sin ( 2 cos )sin







f)

sin sin 1

(tan tan ) cos cos 2



g)

sin sin sin sin

2

C



12 Chứng minh rằng các trung tuyến của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi: cot C  2(cot +cot ) A B

b a ac

c b ba

  





 

 Chứng minh rằng các góc của tam giác lập thành một cấp số nhân

14 Tính số đo các góc của tam giác ABC biết

4

c A c  B c  C 

15 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :

Tính các góc của tam giác đó

cos cos sin

sin sin

A





 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A

17 Cho tam giác ABC , M là trung điểm BC và H là trực tâm

Chứng minh rằng:

2

MA  MH  AH  BC

18 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

sin sin sin

M



  trong đó A, B, C là các góc của tam giác ABC

Trang 6

19 Tam giác ABC thỏa mãn

tan tan tan

9 tan tan tan



  Chứng minh rằng tam giác ABC đều

20 Cho tam giác ABC có 3 góc là A, B, C

a) Tìm GTNN của biểu thức

2 os2 2 os2 2 os2

M

b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là

(cot cot cot ) 3 sin A  sin B  sin C  A  B  C  .

21 Chứng minh rằng với mọi tam giác ta có:

√cos A cos BcosA

2cos

B

2

+

√cos B cos CcosB

2 cos

C

2

+

√cosC cos AcosC

2 cos

A

2

√3(sin A

2 sin

B

2+sin

B

2sin

C

2+sin

C

2sin

A

2)+√3 2

.

22 Cho tam giác ABC thỏa mãn: cos2Bcos2C sin2 A Tìm GTLN của biểu thức:

2 sin 2 cos cos cos

Phần 2 Giới hạn hàm số.

1 Tìm giới hạn sau:

3 0

lim

x



  

3 0

1 2014 1 2015 1 lim

x



3 1

3 1 2 2 lim

1

x





3 0

4 1 2 2 lim

x



5 Tìm giới hạn sau: 2

lim

x



   

6 Tìm giới hạn sau: 1

lim

x

x x



  

 

2 0

lim

x

x x



  



3 2 1

lim

1

x



   



2 2 0

1 1 lim

9 3

x

x x



 

Trang 7

3 2 0

1 2 1 3 lim

x



0

2 1 2.3 1 3.4 1 2012.2013 1 1 lim

x



3 2 2

lim

2

x





2 0

lim

x

x x



  



0

2012 1 2 2012 4 1 lim

x



3 0

1 2 1 3 1 4 lim

x



  

3

1

lim

2

x

 

2014

2 1

2014 2013 lim

( 1)

x





18 Tìm giới hạn sau: lim  49 2 16 2 9 2 

3 2 0

1 2 1 3 lim

x



3 4 20 lim

2 4

x





Phần 3 Dãy số và các bài toán liên quan.

1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )u n , biết dãy số ( )u n được xác định như sau:

1 2

1 1

1 2

, 2.

3

n

u u





 









2 Cho dãy số ( )u n được xác định bởi 1 1 2

sin sin1; n n n , , 2.

n



Chứng minh rằng ( )u n là một dãy số bị chặn.

Trang 8

3 Cho dãy số

1

* 1

3

,

u

n











 a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ( )u n .

b) Tìm n để n u n là số chính phương.

4 Cho dãy số ( )u n có

* 1

2

2006, 2009

, 3

n















1

2015

*

2

1 , 3

n

u









 





 

 a) Chứng minh: un    1, n N và ( )u n là dãy số tăng.

b) Tìm 1 2014

1 lim

2

n

iui





6 Cho dãy số   xn được xác định như sau;

1 1

1

1 2013

, 1.

2

n

x













 Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim n

 

7 Cho dãy số ( )u n được xác định bởi

1

2011

,1 2011

2011 n

k

u

n









 





Hãy tính giá trị của tổng: u1u2 u3  u2011

8 Cho dãy số ( )u n không xác định như sau:

*







Tính

lim

3.2

n n

u

9 Cho dãy số ( )u n được xác định như sau:  

1

* 1

4 1

4 4 1 2 , 9

u











 Tìm công thức tổng quát của u n

10 Cho dãy số ( )u n có u1  2039; un1  un  2n  2011, n  1.

Trang 9

Hãy tính giá trị của tổng: S n u1u2 u3 u n

11 Cho dãy số ( )u n được xác định như sau: u1  2011; un1 n u2 n1 un , n  2. Chứng minh rằng dãy số ( )u n có giới hạn và tìm giới hạn đó.

12 Cho dãy số ( )u n được xác định bởi công thức:

1

2 1

4

4 n 5 n 3 n 16, 1.

u







 a) Tìm công thức tổng quát của số hạng u n.

b) Tính tổng:

3

12 11 10 1

u

1 1

16

15 1

1

n n

u

n u

n

















 Tìm số hạng tổng quát u n.

14 Cho dãy số ( )u n xác định bởi:

   

1 2

2

u







 Tìm 9  3 

2 n  n un

15 Cho dãy số   an thỏa mãn:    

1

4 3

a









 Tìm lima n

, 3

n









Tìm công thức tổng quát của u n

1

* 1

3

u









Gọi S n là tổng của n số hạng đầu của dãy ( )u n Tìm lim 3 n14

S

n 

1

2

u









Trang 10

Tìm lim n u2 n

1

2

* 1

1

, 2016

n

u













Tìm giới hạn :

n

u

  

0

1 0

2015

,1

2015 n

k

u

n















Hãy tính giá trị

2015

02 n n

n



 

21 Cho dãy   xn được xác định bởi

1

2 3

n n

n

x

x x

x









a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số   xn

b) Chứng minh rằng số

2 2 2 2

n n

x

x  có thể biểu diễn được tổng bình phương của 3 số

nguyên liên tiếp

1

* 1

2

1 , 2

n n

u







Hãy tìm số hạng tổng quát u n và tìm limu n

23 Cho dãy số ( )u n được xác định như sau:

*







Tìm giới hạn:

2

lim

2

n

* 2

1

2

2; 1

2 .

,

n n n

u u









 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

Trang 11

1

5

2,

u









Chứng minh rằng un2  21  u u1 2 un12 không đổi khi n thay đổi

26 Cho dãy số ( )u n có u1  2032; un1  un  2.3n  2015, n  1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )u n và tính giá trị của tổng: S n u1u2 u3  u n

1

* 1

1

1 2 5

,

n

u

n N



  







28 Cho cấp số nhân, công bội q > 0 , u 1 0 thỏa mãn:

2016

2015

n









 Tính P u u 1 2 .u n

29 Cho dãy số ( )u n được xác định bởi 1 1, 1 1 , 1, 2,3

n n

n

u



 Tính giới hạn sau:

 1   2   

2014 1 1 1

lim

2015

n

30 Cho dãy số được xác định như sau:

1

u  u   u  u   n N

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

1 1

11

10 1 9 ,

u







 Tìm công thức tổng quát u n

32 Cho

2.3 3.4 ( 1)( 2)

n

P

      Gọi U n là số hạng tổng quát của n

P Tìm lim n

*







Tìm giới hạn: 2

lim n

n

u n

 

1

* 1

1

2013

1 , 2013

n n

u















Trang 12

Tìm công thức tổng quát và giới hạn của dãy số đó

1

*

2014

1 ,

u









1

n n

S

u



 

Tìm giới hạn: lim n

 

2

* 1

2 1

n N n















Chứng minh rằng: 1 2

2

n



37 Cho hai số thực dương a, b (a > b) và hai dãy số  un   , vn được xác định như sau:

*

,

2

u a v b

u v





 Chứng minh hai dãy số  un   , vn có giới hạn hữu hạn và limu n limv n

38 Cho dãy số   xn thỏa mãn: x 1 1 và xn1  xn2  2 xn  2  xn2  2 xn  2 với mọi n thuộc số nguyên dương Chứng minh dãy   xn có giới hạn hữa hạn khi n  .

1

* 1

1

( 1) , 1

n

u

n











a) Chứng minh rằng: 2

, 1.

n

b) Chứng minh dãy số đã cho có giới hữu hạn và tìm giới hạn đó

40 Cho dãy số dương ( )u n thỏa mãn

1

2

* 1

1

,

n

u











 Tìm giới hạn của dãy số./

Phần 4 Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp– Xác suất– Nhị thức Niu tơn.

A Quy tắc đếm – Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ

8 chữ số trên, trong đó số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần

Trang 13

2 Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau

3 Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thành một hàng sao cho mỗi cách sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau

4 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần

5 Có bao nhiêu cách chia 100 cây bút chì cho 3 bạn sao cho mỗi bạn đều có ít nhất một cây bút chì?

6 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng vị trí thứ 3 ( tính từ hàng đơn vị) chia hết cho 6?

7 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhỏ hơn 600000

8 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?

9 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số gồm 6 chữ

số đôi một khác nhau mà tổng của 3 chữ số cuối nhỏ hơn tổng 3 chữ số đầu là 3 đơn vị

10 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp 11A, 4 học sinh lớp 11B và 3 học sinh lớp 11C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

11 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ?

12 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các chữ số 1, 2, 3 đứng kề nhau

B Xác suất

1 Cho lục giác đều ABCDEF .Viết các chữ cái , , , , ,A B C D E F vào 6 thẻ (Mỗi thẻ ghi 1

chữ cái) Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ Tính xác suất chọn được 2 thẻ sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm ghi trên 2 thẻ đó là đường chéo của lục giác ABCDEF .

2 Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a a a a a a1 2 3 4 5 6

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời

thỏa mãn a1a2 a3 a4 a5 a6

3 Viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 6 chữ số Tính xác suất để viết được số có tổng

các chữ số của nó bằng 6

4 Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ

ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Tính xác suất bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau

5 Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hoit thi đưa cho mỗi thí sinh một

bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì một câu hỏi, thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác đinh câu hỏi của mình Biết rằng bộ câu hỏi dành cho thí sinh là như nhau, Tính xác suất để

3 câu hỏi A chọn và B chọn giống nhau

6 Trong kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh năm 2016, một phòng thi có 24 em học sinh trong đó

có 12 em là học sinh của cùng một trường Trước khi giám thị gọi thí sinh vào phòng thi, yêu cầu các em sắp xếp ngẫu nhiên một hàng dọc Tính xác suất để khi các em sắp xếp hàng dọc không có hai học sinh cùng trường đứng cạnh nhau

7 Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 4 nam và 4 nữ vào 4 bàn trên một hàng ngang (mỗi bàn có

hai chổ ngồi) Tính xác suất để có đúng 2 bàn mà trong đó mỗi bàn gồm 1 nam và 1 nữ

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	517,92 KB