sang kien kinh nghiem Phân dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong

Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng Năm học 2014- 2015 là năm đầu tiên đổi mới về phương thức thi cử và xét tuyển đối với học sinh THPT điều này không ít khó khăn học sinh l

SỞ GD&ĐT TUYÊN QUANG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT CHIÊM HOÁ Độc lập - tự do - hạnh phúc

Chiêm hoá, ngày 20 tháng 5 năm 2015

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Chiến sỹ thi đua cấp cơ sở năm học 2014-2015

Họ và tên người thực hiện: Chu Thị Vinh

Môn dạy: Toán

Tổ chuyên môn: Toán

Đơn vị công tác: Trường THPT Chiêm Hóa

Nhiệm vụ được giao năm học 2014- 2015:

+ Chủ nhiệm lớp 12C10

+ Dạy toán các lớp : 12C10, 12C8 , 12C6

1.Tên sáng kiến kinh nghiệm:

“ Phân dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong giúp học sinh Các lớp 12C10,12C8,12C6 giải tốt các bài tập”

2 Mô tả sáng kiến kinh nghiệm:

a Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng

Năm học 2014- 2015 là năm đầu tiên đổi mới về phương thức thi cử và xét tuyển đối với học sinh THPT điều này không ít khó khăn học sinh lo lắng và bỡ ngỡ, trước sự đổi mới này tôi nhận thấy trách nhiệm của người thầy vô cùng lớn lao, là người góp phần vào kết quả cuối cùng của học sinh, bản thân tôi là một giáo viên dạy bộ môn toán trường THPT Chiêm Hóa đã nhiều năm giảng dạy qua nhiều thế

hệ, thường xuyên tham gia các lớp dạy ôn, ôn phụ đạo học sinh yếu kém, ôn bồi dưỡng học sinh khá giỏi, các lớp chọn, ôn luyện thi tốt nghệp và luyện thi đại học, cao đẳng, từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy kiến thức, nâng cao chuyên môn tôi thấy bài toán viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong là một bài toán rất cơ bản, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm theo nhận định của bản thân tôi nhiều học sinh làm bài toán này chưa thật tốt, còn có những sai lầm đáng tiết chỉ vì còn thụ động và chưa nắm vững được các dạng toán này chính vì vậy trong bản sáng kiến, kinh nghiệm năm nay tôi chỉ có một lao động sáng tạo nhỏ là hệ thống lại các dạng phức tạp, đưa ra phương pháp giải với từng dạng và chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, với nội dung này rất mong được sự góp ý của các đồng chí đồng nghiệp đê, đề tài này ngày càng được hoàn thiện hơn

b Ý tưởng:

Trong thực tế khi giảng dạy học sinh về bài toán viết phương trình tiếp tuyến , tôi thấy học sinh giải bài toán này một cách thụ động nhiều khi còn gặp khó khăn, từ thực tế đó tôi đã có một ý tưởng giúp cho các em học tốt hơn về dạng bài toán này, bằng cách hướng dẫn cụ thể cho học sinh cách giải :

+ Khi giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến mà biết tọa độ của tiếp điểm hoặc biết tung độ của tiếp điểm, hoành độ của tiếp điểm hoặc biết hệ số góc thì học sinh phải biết tìm thêm những đại lượng nào thì mới viết được phương trình tiếp tuyến đó

+ Đối với lớp 12C10 là lớp chọn ban A của trường tôi dã mạnh dạn đưa thêm dạng 3,4 là những bài toán mở rộng so với chương trình học phổ thông, không có trong sách giáo khoa để các em có kiến thức vững vàng trong việc ôn luyện các

đề thi đại học

Qua một năm thực hiện đề tài này học sinh cả ba lớp 12 mà tôi trực tiếp giảng dạy đều đã có những chuyển biến , tiến bộ vượt bậc trong học tập về giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến và các bài tóa liên quan đến phương trình tiếp tuyến

Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa ra phương pháp chia thành bốn dạng toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập

3 Nội dung công việc:

Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f(x)" và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy

và đã sử dụng để hướng dẫn học sinh thực hiện trong thời gian qua Các bài tập này được tôi phân ra thành 4 dạng từ dễ đến khó Các dạng toán tôi đưa ra cho học sinh như sau:

Dạng1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại một điểm

-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0)

-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x0

-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ y0

Dạng2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) khi biết hệ số góc k của

tiếp tuyến

-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc k cho

trước

-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đó song

song với một đường thẳng cho trước

-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đó

vuông góc với một đường thẳng cho trước

-Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3 :Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tbiết tiếp tuyến đi qua

một điểm A (x; y)

Dạng4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) biết tiếp tuyến thỏa mãn

tính chất P cho trước và giải một số bài toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến

Chú ý: các bài toán viết phương trình tiếp tuyến trên được dựa trên cơ sở lý

thuyết là :

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng dạng y = kx + b, k là hệ số

góc

- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k = f ' x 0

x0: là hoành độ tiếp điểm

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M0 (x0; f (x0)) là:

y = f ' x 0 (x - x0) + f(x0)

Đưa ra các dạng bài toán trên đồng thời lấy các ví dụ minh họa cho từng dạng , cuối cùng đưa ra các bài tập liên quan để học sinh về nhà làm thêm, cuối cùng kiểm tra đánh giá kết quả

4 Triển khai thực hiện:

NỘI DUNG THỰC HIỆN SÁNG KIẾN:

a, Thời gian thực hiện:

+ Thời gian thực hiện bắt đầu từ tháng 8/2014 đến tháng 4/2015

+ Sáng kiến này được thực hiện trong phạm vi lớp 12C10, 12C8, 12C6 Là những buổi ôn tập bồi dưỡng nâng cao sau khi học song chương “ Đạo hàm” môn đại số

và giải tích lớp 11 và chương” Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số “ trong phần các bài toán liên quan, các buổi ôn thi đại học và tốt nghiệp khối 12 năm học 2014 -2015

b, Qui trình, cách thức:

+ Lần lượt đưa ra các dạng bài toán viết phương trình tiếp tuyến từ dễ đến khó + Sau mỗi dạng đều đưa ra phương pháp giải

+ Lấy ví dụ minh họa cho từng dạng

+ Ra một số bài tập có liên quan cho học sinh về nhà làm thêm

+ Kiểm tra đánh giá sau khi học xong mỗi dạng để nắm bắt được sự tiến bộ của học sinh

c, Nội dung thực hiện:

Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f(x)" và phương pháp giải :

*Dạng 1:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại một điểm

Trường hợp 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

điểm M(x0; y0) Cách giải:

+ Tính f ' x , f ' x 0 .

+ Thay x0; y0; f ' x 0 vào y = f ' x 0 (x - x0) + y0 ta được pt tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 5

3

x y x





 tại điểm

M(-4;13)

Giải

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = f ' x 0 (x - x0) + y0

Ta có: x0 = -4 , y0 = 13

2

11

'

( 3)

y

x



 => y’(x0) = y’(-4) 2

11 ( 4 3)



  = 11 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3  6x 2  9x

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)

Giải

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)

Phương trình tiếp tuyến có dạng : y = f ' x 0 (x - x0) + y0

Ta có: x0 = 2 , y0 =2

  2

' 3 12 9, ' 2 3

y  x  x y  

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:

3 2 2

3 8

  

�

Chú ý:

-Đối với hai ví dụ trên chỉ cần tìm hệ số góc f ' x 0 của tiếp tuyến rồi dùng

công thức y = f ' x 0 (x - x0) + y0 sẽ được tiếp tuyến cần tìm.

- Vì y = f (x) nên y' (x0 ) = f ' x 0 Do đó từ nay có thể dùng y' (x 0 ) hay

 0

' x

f đều được.

Trường hợp 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x 0

Cách giải: + Tính f ' x  f ' x 0

+ Thay x0 vào hàm số y = f(x) tìm y0

+ Thay x0; y0; f ' x 0 vào phương trình y = f ' x 0 (x - x0) + y0 rồi kết

luận

Ví dụ 1 : Cho hàm số

1

2





x x

y (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

Tại điểm có hoành độ x0 = 2

Giải

Ta có

 2

2

1

2 '







x

x x

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = f ' x 0 (x - x0) + y0

Tại x0 = 2 => y0 = 4 khi đó y'(2) = f ' 2  = 0; Vậy phương trình tiếp tuyến cần

tìm là: y = 4

Ví dụ 2 : Cho hàm số y = -x +2x +3 (C) 4 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2

Giải

Tại x = -2 => y = -5; Ta có y ’ = f x' = - 4x3 +4x cho nên f ( 2) 24 '  

=> phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) là y = 24 (x + 2) - 5

Hay y = 24x + 43

Chú ý: Đối với hai ví dụ trên ta phải tìm thêm hai đại lượng là y0 và f ' x 0 thì

mới viết được phương trình tiếp tuyến

Trường hợp 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có tung độ y0

Cách giải: + Thay y0 vào hàm số y = f(x) tìm x0

+ Tính y' = f ' x , f ' x 0

+ Thay x0; y0; f ' x 0 vào y = f ' x 0 (x - x0) + y0 ta được kết quả.

Ví dụ 1: (Bài tập 7 trang 44 SGK GT12)

2

1 4

C x

x

y   Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm

có tung độ bằng

4

7

Giải

2

1 4

1 4

0

4

0     

Với x o  1  f' ( 1 )  2  phương trình tiếp tuyến tại 











 4

7

; 1 1

4

1 2 )

1 ( 2 4

7











y

Với x o   1  f' (  1 )   2  phương trình tiếp tuyến tại 











 4

7

; 1 2

y  x  � y  x

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) =

1

3 2





x

x

(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.

Giải

Từ giả thiết, ta có y0 = 1

1

3 2

0

0





x

x

= 1  x0 = 4 f ' x = 2

) 1 (

5



x

 f' 4 =

5

1

Phương trình tiếp tuyến là y =

5

1

(x - 4) + 1  y =

5

1

x +

5

1

Chú ý: Qua hai ví dụ trên khi biết y 0 phải tìm thêm hai đại lượng nữa là x0 ,

 0

' x

f

* Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) khi biết hệ số góc

k của tiếp tuyến

Trường hợp1 : Biết hệ số góc k cho trước

Cách giải:

* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x0

+ Tính y' = f ' x Giải phương trình f ' x = k tìm được x0

+ Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0

+ Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm

* Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

+ Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b (1)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:

 

 













k x

f

b kx x

f

' (Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)

+ Giải phương trình f '(x)k tìm x thế vào phương trình f(x) kxb tìm b

+ Thế b vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x4 - x2 + 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 6.

Giải

* Cách 1 Ta có y' = - 4x3 - 2x

Giải phương trình - 4x3 - 2x = - 6  x = 1, Thay x = 1 vào (C),được y(1) = 0 Phương trình tiếp tuyến là y = - 6(x - 1) + 0  y = - 6x + 6.

* Cách 2 Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:



























6 2

4

6 2

3

2 4

x x

b x x

x

Giải hệ phương trình tìm được x = 1, b = 6 + Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 6x + 6.

Ví dụ 2:Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C):

1

4 3

2









x

x x

hệ số góc của tiếp tuyến bằng -1

Giải

* Cách 1 Ta có 2

2

) 1 (

1 2 '









x

x x

 2 0 0

2 0 0

1

1 2 )

( '









x

x x

x

) 1

(

1 2

2 0

0

2







x

x

x

 



















2 2

4 0

0 0

0 0

y x

y

x Tiếp tuyến là y = -x - 4, y = -x + 4.

* Cách 2 Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = - x + b

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:





































1 )

1

(

1

2

1

4

3

2

2

2

x

x

x

b x x

x

x

Giải hệ phương trình tìm được: x = 0; b = - 4

x = 2; b = 4

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 4 và y = - x + 4.

Chú ý: Khi biết hệ số góc k có hai cách để tìm x0; y0 nhưng làm bằng cách 1 nhanh mà ít nhầm lẫn

Trường hợp 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết

tiếp tuyến đó song song với một đường thẳng y =a x + b cho trước

* Cách giải :

+ Ta có hệ số góc k = a

+ Tính y' = f ' x Giải phương trình f ' x = a tìm được x0

+ Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0

+ Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 5

3

x y x





 biết rằng tiếp

tuyến đó song song với đường thẳng y 11x 2

Giải

Đường thẳng y 11x 2 có hệ số góc là 11  Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

= 11

0 0 2

0 0

2 11

4 ( 3)

x

x x

 

�

+ Khi x0 = - 2 ta có y0 = - 9

Phương trình tiếp tuyến là : y  9 11(x 2) � y 11x 13

+ Khi x0 = - 4 ta có y0 = 13 Phương trình tiếp tuyến là :

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3  6x 2  9x (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -6x + 1

Giải

Vì tiếp tuyến song song Với đường thẳng y = -6x + 1

0

 

�

    � �  

� Với x0 = -5 => y0 = -320 Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 350

Với x0 = -1 => y0 = - 16 Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 22

Chú ý: Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d  kT = k d

Trường hợp 3 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đó

vuông góc với một đường thẳng y =a x + b cho trước

Cách giải :

+ Ta có hệ số góc k a = -1 � k = 1

a



+ Tính y' = f ' x Giải phương trình f ' x = 1

a

 tìm được x0

+ Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0

+ Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2x 4

x 1

 



 biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y    2x 2.

Giải :

Đường thẳng y    2x 2 có hệ số góc là -2

 Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = 12

2

0 0

(x 1)



�

+ Khi x0 = 1 ta có y0 = -3

Phương trình tiếp tuyến là : y 3 1(x 1) y 1x 7

+ Khi x0 = - 3 ta có y0 = -1

Phương trình tiếp tuyến là : y 1 1(x 3) y 1x 1

Ví dụ 2: Cho hàm số

1

2 3 ) (









x

x x f

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường

thẳng y 4 x 10

Giải

D = R \ {1}; ( 1 ) 2

1 '







x

Gọi M o(x o;y o)  (C)tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 4 x 10, có hệ

số góc k:

4

1 1

4    k  

 x o là nghiệm phương trình







































2

7 y 2

5 x 3

y

1 x 4

1 ) 1 x ( 1

o

o

o

o 2

o













2

5

;

1

1

M có tiếp tuyến là

4

9 4

1















2

7

;

3

2

M có tiếp tuyến là

4

17 4

1





Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = - x4 - x2 + 6, biết

tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 1

6

1



Giải

Đường thẳng y 1x 1 

6 có hệ số góc là 1

6  Tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k = - 6

Xét phương trình y’(x0) = k 



�

�

0

0

x 2 + Khi x0 = 1 ta có y0 = 4

Phương trình tiếp tuyến là : y 4    6(x 1)  � y    6x 10

+ Khi x0 = - 12 ta có y0 = 1691

Phương trình tiếp tuyến là : y   6(x 1) 91� y    6x 139

Ví dụ 4 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):

1

2







x

x

tuyến: a) Song song với đường thẳng d: 3x - y + 4 =0;

b) Vuông góc với đường thẳng d': x + 27y - 2 = 0

Giải

Ta có:

 2

1

3 '





x y

a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3;

* Cách 1: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

x12 k

3

,x 1

 





















2 0

4 2

y x

y x

Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.

* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 3x + b (1)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:

























3 )

1

(

3

3 1

2

2

x

b x x

x

, (x 1) Giải hệ phương trình tìm được:

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.

b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d', nên có hệ số góc là k = 27.

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

 1 27

3

2 



































10 3

4

8 3

2

y x

y

x

Phương trình tiếp tuyến là y = 27x + 10, y = 27x + 46.

* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 27x + b (1)

+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)  Hệ phương trình sau có nghiệm:

























27 )

1

(

3

27

1

2

2

x

b x x

x

, (x 1) Giải hệ phương trình ta được

+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 27x + 10 và y = 27x + 46.

Chú ý: Tiếp tuyến (T)  đường thẳng d  k T k d = - 1;

*Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua (xuất phát, kẻ từ) điểm A (x0; y0 )

Cách giải:

* Cách 1: Tìm tiếp điểm

+ Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm và tiếp tuyến d là: y = f ' x 0 (x - x0) + y0 (1);

+ Tiếp tuyến d qua A  Tọa độ điểm A là nghiệm của phương trình (1)

 y1 = f ' x 0 (x1 - x0) + y0 (2);

+ Giải phương trình (2) tìm x0, tính y0 và f ' x 0 ;

+ Thay các kết quả tìm được vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

* Cách 2: Tìm hệ số góc

+ Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm;

+ Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(x1; y1) có hệ số góc k là phương trình dạng: y = k(x - x1) + y1 (1)

x = 0; b = - 2,

x = - 2; b = 10,

3

2





3

4



