Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để chứng minh bất đẳng thức.. Chuyên đề : Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để chứng minh bất đẳng thức.. Thì ta có giả thiết quy nạp

Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề : Phương pháp sử dụng hai bộ n số sắp thứ tự để

chứng minh bất đẳng thức.

ANội dung:

Cho hai bộ n số

Xét tất cả các tổng có dạng:

S =

Trong đó là một hoán vị nào đó của các số là một hoán vị nào đó của các số: 1,2,3,…,n

Nhận xét rằng số các tổng như vậy là hữu hạn và ta luôn có:

Chứng minh:

Ta chứng minh mệnh đề (1) bằng quy nạp cho (*)

 Với n=1: (*) luôn đúng

 Giả sử (*) đúng đến n=k-1; ; Thì ta có giả thiết quy nạp gọi là (2)

 Xét (*) khi n=k và cũng gọi là một hoán vị tuỳ ý của 1,2,3,…,k Đồng thời giả sử =1 mà bài toán không mất tính tổng quát, ta được:

Nhưng:

Do theo giả thiết quy nạp (2) mà (*) đã đúng đến n=k-1, nên:

Suy ra (*) đúng với n=k

Theo nguyên lí quy nạp thì (*) được chứng minh xong

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Trường hợp của (1), chứng minh tương tự

Vậy (1) được chứng minh hoàn toàn

Áp dụng: Cơ sở của phương pháp cực trị bộ n số sắp thứ tự cần thực hiện hai bước cơ

bản:

Bước1: Tuỳ theo giả thiết bài toán BĐT, ta thiết lập hai dãy tăng gọi là phương pháp thuận

Bước2: Áp dụng nguyên lý cực trị của hai bộ n sắp thứ tự để suy ra yêu cầu bài toán

Ghi chú: Khi sử dụng hai dãy một tăng một giảm gọi là phương pháp nghịch, cũng suy

ra yêu cầu bài toán

Nhận xét: Phương pháp cực trị hai bộ n số sắp thứ tự được sử dụng để chứng minh

các bất đẳng thức khi trong giả thiết và kết luận của bài toán, vai trò của các số là như nhau qua một phép hoán vị vòng quanh

B Bài tập ví dụ:

Bài 1: Cho 3 số dương bất kỳ a, b, c Chứng minh rằng:

BG:

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử :, khi đó ta có:

Xét hai bộ 3:

Theo phương pháp cực trị hai bộ 3 sắp thứ tự thì tổng nhỏ nhất là

Và

Tóm lại

=>

Ta được đpcm

Bài tập tự luyện:

1/ Cho a, b, c là 3 số thực dương CMR :

(BĐT thức Nesbit)

2/ Cho a, b, c là 3 số dương bất kỳ CMR :

3/ Cho n số thực không âm : CMR :

(BĐT thức Côsi)

4/ Cho các số thực dương thoả mãn :

CMR :