Ví dụ và bài tập phương trình, bất phương trình và hệ phương trình – trần văn toàn

Mục lục1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai.. 2 1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.. Bất phương trình 130 3.1 Giải bất phương trình nhờ tính liên tục của hàm s

Mục lục

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 2

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 24

Chủ đề 2 Phương trình chứa căn 35 2.1 Phương trình cơ bản 35

2.2 Sử dụng lượng liên hợp 47

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 65

2.4 Phương trình đẳng cấp 85

2.5 Phương pháp đánh giá 92

2.6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 98

2.7 Sử dụng hàm hợp và hàm ngược 112

2.8 Phương pháp hình học 119

2.9 Phương pháp lượng giác 126

Chủ đề 3 Bất phương trình 130 3.1 Giải bất phương trình nhờ tính liên tục của hàm số 130

Chủ đề 4 Hệ phương trình 137 4.1 Biến đổi hệ phương trình 137

4.2 Sử dụng phương pháp thế 141

4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 149

4.4 Hệ phương trình đối xứng loại một 159

4.5 Hệ phương trình phản xứng 163

4.6 Hệ phương trình đối xứng loại hai 164

1

Phương trình quy về bậc hai

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập 1.1 Giải các phương trình sau:

´2+ 1

4³x −74

´+

³

x −74

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 32) (x − 2)4+ (x − 4)4= 16; Đáp số x = 2 ∨ x = 4.3) (x − 1)4+ (x − 3)4= 16 Đáp số x = 1 ∨ x = 3.

½

− 1

12;

12

´

·³x −16

´

·³x −14

´

·³x −13

• Nhận xét x = 0không là nghiệm của phương trình

• Chia phương trình chox2, ta được

Đáp số x = 3 ∨ x = 4 ∨ x = 7 −p37 ∨ x = 7 +p37.5) (x2− 5x + 1) · (x2− 4) = −4(x − 1)2.

Đáp số x = −1

2∨ x = −1

3∨ x = 2 ∨ x = 3.3) x4+ x3− 10x2+ x + 1 = 0;

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 5

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 757) x4− 6x3− 32x2+ 96x + 256 = 0 Đáp số (x = −4 ∨ x = −2 ∨ x = 4 ∨ x = 8).

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 9107) x4− 28x3− 89x2+ 840x + 900 = 0 Đáp số.(x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 5 ∨ x = 30).

Bài tập 1.6. 3 Giải các phương trình sau:

3 Trần Văn Toàn

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 11

Bài tập 1.7. 4 Giải các phương trình sau:

Bài tập 1.8. 5 Giải các phương trình sau:

1) x3=14x

2

+ 13x + 22x2+ 13x + 14.

2) x3=17x

2+ 15x + 22x2+ 15x + 17.

4 Trần Văn Toàn

5 Trần Văn Toàn

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 13

3) x3=20x

2+ 17x + 22x2+ 17x + 20.

4) x3=23x

2+ 19x + 22x2+ 19x + 23.

5) x3=25x

2+ 24x + 44x2+ 24x + 25.

6) x3=26x

2+ 21x + 22x2+ 21x + 26.

7) x3=29x

2+ 23x + 22x2+ 23x + 29.

Bài tập 1.9. 6 Giải các phương trình sau:

1) x4=23x

2− 16x + 33x2− 16x + 23.

2) x4=33x

2− 19x + 33x2− 19x + 33.

3) x4=36x

2− 29x + 66x2− 29x + 36.

4) x4=43x

2− 22x + 33x2− 22x + 43.

6 Trần Văn Toàn

5) x4=49x

2− 42x + 99x2− 42x + 49.

Bài tập 1.10. 7 Giải các phương trình sau:

1) x2=20x

3

+ x2+ x + 22x3+ x2+ x + 20.

2) x2=21x

3+ 2x2+ x + 22x3+ x2+ 2x + 21.

3) x2=22x

3+ 3x2+ x + 22x3+ x2+ 3x + 22.

4) x2=23x

3+ 4x2+ x + 22x3+ x2+ 4x + 23.

5) x2=24x

3+ 5x2+ x + 22x3+ x2+ 5x + 24.

6) x2=25x

3+ 6x2+ x + 22x3+ x2+ 6x + 25.

7) x2=26x

3+ 7x2+ x + 22x3+ x2+ 7x + 26.

8) x2=27x

3+ x2+ 3x + 22x3+ 3x2+ x + 27.

7 Trần Văn Toàn

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 15

9) x2=27x

3+ 8x2+ x + 22x3+ x2+ 8x + 27.

10) x2=28x

3

+ 2x2+ 3x + 22x3+ 3x2+ 2x + 28.

11) x2=28x

3+ 9x2+ x + 22x3+ x2+ 9x + 28.

12) x2=29x

3+ 3x2+ 3x + 22x3+ 3x2+ 3x + 29.

13) x2=29x

3+ 10x2+ x + 22x3+ x2+ 10x + 29.

14) x2=30x

3+ 4x2+ 3x + 22x3+ 3x2+ 4x + 30.

15) x2=30x

3+ 11x2+ x + 22x3+ x2+ 11x + 30.

Phương trình đẳng cấp bậc hai theo f (x)và g(x)dạng

A · [f (x)]2+ B · f (x) · g(x) + C · [g(x)]2= 0, A · B · C 6= 0

• Nếu g(x) = 0, từ phương trình đã cho ta phải có f (x) = 0

• Nếu g(x) 6= 0, chia hai vế phương trình cho [g(x)]2, ta được

A ·

·

f (x)g(x)

¸2

+ B · f (x)g(x)+ C = 0

rồi đặt t = f (x)

g(x).

* Cũng có thể xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo f (x)hoặc g(x)

Bài tập 1.11 Giải các phương trình sau:

1) ¡x2+ 4x + 18¢2+ 12x ·¡x2+ 4x + 18¢ + 35x2= 0;

Đáp số x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −3 ∨ x = −2.2) (x2+ 6x − 12)2− 7x · (x2+ 6x − 12) + 10x2= 0;

Đáp số.©−1;−2 ±p3ª

.9) (x2+ 4x + 8)2+ 3x3+ 14x2+ 24x = 0; Đáp số.{−4;−2};

Hướng dẫn.(x2+ 4x + 8)2+ 3x(x2+ 4x + 8) + 2x2= 0

½3; −89

1

3.

Đáp số x = −5 ∨ x = 2

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 17

2;

72

10

8∨ x = 2.Phương trình dạng

• Kiểm tra x = 0có là nghiệm của phương trình hay không?

• Chia cả tử và mẫu mỗi số hạng ở vế trái của phương trình chox, rồi đặtt = ax+c

33 +p714

´

• Kiểm tra xem x = 0có là nghiệm phương trình hay không

• Với x 6= 0, chia phương trình cho x2

Bài tập 1.15. 9 Giải các phương trình sau:

9 Trần Văn Toàn

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 198) 3¡3x2+ 8x + 5¢2+ 2¡3x2+ 9x + 5¢2= 2x2.

Bài tập 1.16. 10Giải các phương trình sau:

Bài tập 1.17. 11Giải các phương trình sau:

11 Trần Văn Toàn

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 21

Bài tập 1.18 Giải các phương trình sau:

¾

1.1 Một số phương trình quy về phương trình bậc hai 23

2 ;

−5 −p32

µr2

5¡15 +p145¢ − 4

¶

6(1 −p26)5

(

−5 ±p216

Đáp số

(1; 2;3 ±p41

2 ;

3 ±p372)

Hướng dẫn.

(x2+ 3x + 2) · (x2− 9x + 20) = (x + 1)(x + 2)(x − 4)(x − 5)

= [(x + 1)(x − 4)] · [(x + 2)(x − 5)]

= (x2− 3x − 4)(x2− 3x − 10)

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài tập 1.20 Giải các phương trình sau:

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 25

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 27

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2931) |19x − 4| = x2− 10x + 24 Đáp số.(x = −5 ∨ x = −4 ∨ x = 1 ∨ x = 28).

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 31

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối 33

2.1 Phương trình cơ bản 371) p

2.1 Phương trình cơ bản 3951) p

½54

¾

.7) x2− 4x − 2 = 2px3+ 1; Đáp số.©5 −p33; 5 +p33ª

;

2.1 Phương trình cơ bản 4114) (Dự bị 1, khối B, 2010)8x2− 8x + 3 = 8x ·p2x2− 3x + 1, (x ∈ R).

−2x + 5 − 7p3x + 10 + 5p6x + 13 = 0; Đáp số.{−2;2}.3) p

−4x + 5 + 5p4x + 5 − 4p6x + 10 = 0; Đáp số.{−1;1}.4) p

½3; −32

¾

.10) p

)

3 Trần Văn Toàn

2.2 Sử dụng lượng liên hợp 43

14) p

x2+ 1 −r 1

x2−53

½

−43

p33

p33

¾

.6) (Đại học Bách khoa Hà Nội, 2001)

p2x2+ 8x + 6 +px2− 1 = 2x + 2

Lời giải Điều kiện (2.1) có nghĩa là

x2+ 16x + 13 +px2+ 13x + 19+

6(x − 2)p

x2+ 20x + 5 +px2+ 14x + 17= 0.

Từ phương trình này, ta có được x = 2

Thử lại, ta thấy x = 2thoả phương trình (2.1)

Do đó, (2.3) xảy ra khi và chỉ khi x = 5

4x + 5 + 1 +

(6x + 7) · (8x + 8)p

8x + 9 + 1 + 8x + 8 = 0.

tương đương

(4x + 4)

·(2x + 3)p

4x + 5 + 1+

2(6x + 7)p

Phân tích Dùng máy tính bỏ túi, ta thấy phương trình có hai nghiệm là x = −5và x = −2

Giả sử lượng liên hợp củap

x2+ 7x + 11 làax + b Để tìm a, b, ta xét phương trình

p

x2+ 7x + 11 − (ax + b) = 0 (2.8)

Lần lượt thay x = −5và x = −2vào (2.8), ta được hệ phương trình







5a − b + 1 = 0,2a − b + 1 = 0







5c − d + 4 = 0,2c − d + 1 = 0

Lời giải Điều kiện để (2.7) có nghĩa là−6 −p176x6p17 − 6

(2.7) tương đương với

(px2+ 7x + 11 − 1) + (p−x2− 12x − 19 + x + 1) − (x2+ 7x + 10) = 0

hay

x2+ 7x + 10p

x2+ 7x + 11 + 1−

2(x2+ 7x + 10)p

x2+ 7x + 11 + 1−

2p

Lời giải Phương trình đã cho có nghĩa với mọi x

Ví dụ 2.6

Solve the equation

p8x + 1 −p6x − 2 − 2x2+ 8x − 7 = 0

2.2 Sử dụng lượng liên hợp 47

Lời giải We rewrite the given equation in the form

p8x + 1 − (x + 2) + (x + 1 −p6x − 2) = 2(x2− 4x + 3)

equavalently to

−(x2− 4x + 3)p

p

Dùng máy tính cầm tay, ta thấy (2.11) có hai nghiệm là x = 2 hoặc x = 3 Làm tương tự các

ví dụ trước, lượng liên hợp củap

3x − 5là x − 1 Ta viết (2.12) tương đương với

x3− x2− 6x + 103x − 4 − (x − 1) =

p3x − 5 − (x − 1)

Hay

(x − 2)(x − 3)(x + 1)3x − 4 =

3x − 5 − (x2− 2x + 1)p

3x − 5 + (x − 1)

tương đương

(x − 2)(x − 3)(x + 1)3x − 4 +

x2− 5x + 6p

1p3x − 5 + x − 1

1p3x − 5 + x − 1> 0.

Như vậy, (2.13) xảy ra khi và chỉ khi

(x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 3

Ví dụ 2.8

Giải phương trình

p3x − 5 + 2 ·p3 19x − 30 = 2x2− 7x + 11

Lời giải Điều kiện phương trình có nghĩa làx>5

3 Phương trình đã cho tương đương

hp3x − 5 − (x − 1)i+ 2

³p3

19x − 30 − x´= 2x2− 10x + 12

Hay

3x − 5 − (x − 1)2p

Lời giải Điều kiện phương trình đã cho có nghĩax>−7

Phương trình (2.14) tương đương với

x + 7 + 2+

x + 11p

x + 7 + 2+

x + 11p

x + 12 + 3− (x + 9) = 0. (2.15)

2.2 Sử dụng lượng liên hợp 49

• Vớix > −6, ta có

x + 6p

x + 7 + 2<

x + 62

và

x + 11p

x + 7 + 2+

x + 11p

x + 7 + 2<

x + 7p

x + 7 + 2+

x + 11p

Lời bình Trước hết, ta tìm lượng liên hợp củapx + 1 Sử dụng máy tính cầm tay, với lệnh

SHIFT SOLVE, ta được nghiệm gần đúng 4.302775638 Lưu nghiệm này vào phím A bằngcách bấm SHIFT STO A Tiếp theo ta bấmp

x + 1 + (x + 2) .

Chuyển vế và đặt nhân tử chung, ta được

thoả phương trình đã cho

Một ý tưởng rất hay của emNguyễn Minh Hoàng Nhật 4 là viết (2.16) dưới dạng

2.2 Sử dụng lượng liên hợp 51

Ví dụ 2.11

Giải phương trình

x3+ 5x2+ 2x = 3 · (x + 1)p3x + 2 (2.19)

Phân tích Dùng máy tính bỏ túi ta tìm được các nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho là

−0.6180339887 Lưu số này vào phím A Để tìm lượng liên hợp củap

3x + 2, ta bấmp

3A + 2,

ta được0.3819660113 Con số này bằng A + 1 Như vậy, lượng liên hợp củap

3x + 2làx + 1

Lời giải Điều kiện3x + 2>0 hayx>−2

3.Viết (2.19) tương đương

x3+ 5x2+ 2x

x + 1 − 3(x + 1) = 3 ·

hp3x + 2 − (x + 1)i

³

1 +p5

´

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

x = 12

p2x + 3

2x3− 7x2+ 11x − 14x + 7 − (x − 1) =

p2x + 3 − (x − 1) (2.22)Xét

p2x + 3 + x − 1 = 0 ⇔ x = 2 −p6

Giá trị này không thoả phương trình (2.21)

1p2x + 3 + x − 1

x + 3 + 2+

2(x2− 4x + 6)p

Nhân lượng liên hợp, ta có

3x2+ 4x + 1p

3x2+ 4x + 5 + 2+ (x + 1)x(x − 1) = 0.

2.2 Sử dụng lượng liên hợp 53

Hay

(x + 1)(3x + 1)p

3x2+ 4x + 5 + 2+ x · (x − 1) = 0. (2.25)

Bảng xét dấu

x3x + 1

⇔p3x2+ 4x + 5 < 6

⇔ 3x2+ 4x − 31 < 0

Điều này luôn đúng do0 < x < 1

Tiếp theo, ta chứng minh

Như vậy, (2.25) vô nghiệm

Lời bình Lời giải bằng phương pháp liên hợp như trên quá phức tạp Mong quý thầy cô

tìm thêm cách giải khác

Có thể giải (2.24) như sau:

(2.24) tương đương với

6p8x2+ 9x + 10+ x − 2 = 0.

¶+

µ

6p8x2+ 9x + 10− 2

¶

hay

2 −p3x2+ 4x + 5p

3x2+ 4x + 5 +

2(3 −p8x2+ 9x + 10)p

Ta thấy x = −1là một nghiệm của phương trình đã cho

Bằng máy tính bỏ túi, ta thấy

3x2+ 4x + 5 · (2 +p3x2+ 4x + 5)<

1

Thật vậy, (2.31) tương đương với

Ví dụ 2.17: Thi thử ĐH 2016, THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai

Giải phương trình

10xp

3x2+ 4x + 5−

9xp

3x2+ 4x + 5−

9xp

11x2+ 12x + 13=

x(10B − 9A)

A · B 60, ∀x60

Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm nếux60

Viết phương trình đã cho tương đương

µ10xp3x2+ 4x + 5− 4

¶+

µ

x −p 9x11x2+ 12x + 13

¶

= 0

Quy đồng và nhân liên hợp, ta được

2(x − 2)(13x + 10)A(5x + 2A) +

x(x − 2)(11x + 34)B(9 + B) = 0.

2.2 Sử dụng lượng liên hợp 57Đặt nhân tử chung

(x − 2)

·2(13x + 10)A(5x + 2A)+

x(11x + 34)B(9 + B)

x2+ 10x − 3 +px2+ 11x − 6 =px2+ 12x − 9 +px2+ 13x − 12;

Đáp số x = 3.3) p

x2+ 10x − 3 +px2+ 11x − 6 − 2px2+ 12x − 9 = 0;

Đáp số x = 3.4) p

3x2− 7x + 3 −px2− 2 =p3x2− 5x − 1 −px2− 3x + 4;

Đáp số {2}.5) p

x2+ 13x + 19 +px2+ 14x + 17 +px2+ 16x + 13 +px2+ 20x + 5 = 28;

Đáp số x = 2.6) p3

3x + 1 −p6 − x + 3x2− 14x − 8 = 0,(x ∈ R); Đáp số {5}.8) 2 ·p2x + 3 −p4 − x + 5x2− 8x − 26 = 0,(x ∈ R); Đáp số {3}.9) p

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 614) p

)

8) x = (px + 1 + 1) · (px + 1 + x2+ x − 7); Đáp số {2}.9) p

Điều này tương đương với

vô nghiệm trên[0; +∞).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

½54

Lời giải Cách 2.

Phương trình (2.35) tương với

3(x + 3)2− (x2+ 3x + 2) − 2(x + 3)px2+ 3x + 2 = 0 (2.38)Đặta = x + 3,b =px2+ 3x + 2, (2.38) thành

3a2− 2ab − b2= 0 ⇔ a = −b

3∨ a = b

Lời bình Việc sử dụng đồng nhất như cách giải trên không phải lúc nào cũng dễ thực

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 65

Lời giải Phương trình (2.40) tương đương với

60 − 15¡p−2 − 3x + 2p3 − x¢ + 4p

(−2 − 3x) · (3 − x) − 7x = 0 (2.41)Đặtt =p−2 − 3x + 2p3 − x, ta có

3.

Thử lại, ta chỉ nhận nghiệm x = 15

• Với y = z

3, ta có

3p6x2− 40x + 150 =p4x2− 60x + 100

Phương trình này vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 15

Cách 2 Xét x > 5 Chia phương trình cho x − 5, ta được

s6x2− 40x + 150(x − 5)2 −

s4x2− 60x + 100(x − 5)2 = 2,

hay

s5(x − 5)2+ (x + 5)2(x − 5)2 −

s5(x − 5)2− (x + 5)2(x − 5)2 = 2

đồng biến trên đoạn[0; 5], lại thấy y = 4là một nghiệm của phương trình (2.42), nên (2.42)

có nghiệm duy nhất y = 4 Với y = 4, ta có

Phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm duy nhấtx = 15

Cách 3 Bình phương phương trình đã cho ta được

6x2− 60x + 150 = 2p(6x2− 40x + 150)(4x2− 60x + 100)

Tiếp tục bình phương, ta có

⇔ 15x4− 340x3+ 2250x2− 8500x + 9375 = 0

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 67Dùng máy tính ta có được một nghiệm x = 15, nên ta phân tích được

Lời giải Với những bài toán phương trình vô tỉ cho dưới hình thức này ta thường khéo léo

“kéo” các mối quan hệ giữa “căn thức và đa thức” sao cho thật khéo nhất Nhưng ta cần chú

ý tới khi muốn áp dụng cho bài toán ta cần để ý tới mối lương duyên của “p

a,p

b,p

ab” Bâygiờ mình đưa ra hai hướng giải cho bài toán này như sau

Trước tiên ta cần đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa Điều kiện:

b =72

b =32

Chú ý thêm một điều tuyệt diệu đó là(2x − 3) + (5 − 2x) = 2.Tới đây ý đồ giải bài toán đã rõ.Đặtu =p2x − 3, v =p5 − 2x (u, v>0).Khi đó phương trình đã cho được biến đổi thành

µ3

¶+ 7

µt2− 22

¶

t = 4 + 16

µt2− 22

¶,

(3 + 2u2)v + (3 + 2v2)u = 2 + 8uv ⇔ 3(u + v) + 2(u + v)uv = 2 + 8uv

Tới đây tương tự như hướng giải 1 Các bạn tiếp tục nhé

Từ phương trình thứ hai, ta cóS = 0, S = 2, S =10

3 Ta chỉ nhậnS = 2 Khi đó,P = 1 Từ đósuy raa = b = 1và x =2

2, nên ta thu đượcx > 2.

Viết lại phương trình đã cho dưới dạng

(5x − 4) ·p2x − 3 = 2 + (4x − 5) ·p3x − 2 (2.46)Bình phương phương trình trên, ta được phương trình tương đương

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 71

Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là x> 3

4 Phương trình đã cho tương đương

với

2(4x − 3) − (6x − 2) + 11p6x − 2 − 10 =p(4x − 3)(6x − 2) + 8p4x − 3 (2.49)Đặt

a =p4x − 3>0, b =p6x − 2>0

Phương trình (2.49) trở thành

2a2− b2+ 11b − 10 = ab + 8a (2.50)hay

Đáp số x = −9 ∨ x = −6 ∨ x = −1 ∨ x = 2.3) (x + 3)(x + 6) − 4px2+ 9x + 9 = 6;

Đáp số x = −9 ∨ x = −8 ∨ x = −1 ∨ x = 0.4) (x + 3)(x + 8) − 4px2+ 11x + 19 = 2;

1) ¡x2− 9x + 50¢ ·px2− 9x − 6 − 2 ·¡7x2− 63x − 10¢ = 0;

Đáp số x = −5 ∨ x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 10 ∨ x = 11 ∨ x = 14

2) ¡x2+ 9x + 50¢ ·px2+ 9x − 6 − 2 ·¡7x2+ 63x − 10¢ = 0;

Đáp số x = −14 ∨ x = −11 ∨ x = −10 ∨ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 5.3) ¡x2− 11x + 60¢ ·px2− 11x + 4 − 2 ·¡7x2− 77x + 60¢ = 0;

.

4) (2x − 5) ·p(x − 1)(x − 4) = 10; Đáp số {5}.5) p

x + 1 +px2+ 4x + 3 =p(x + 2)3; Đáp số

(p

5 − 32

2x2− 12x + 46 −px2− 6x + 22 = 3; Đáp số.{−3;9}.4) p

5) px + 11 − 6px + 2 +px − 2 − 2px − 3 = 2 Đáp số

½7;319

¾

Bài tập 2.25 Giải các phương trình sau:

1) px + 5 − 4px + 1 +px + 2 − 2px + 1 = 1; Đáp số [0; 3].2) px − 2px − 1 +px + 3 − 4px − 1 = 1; Đáp số [2; 5].3) px + 2 + 2px + 1 +px + 2 − 2px + 1 = 2 Đáp số.[−1;0]

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 75

Bài tập 2.26 Giải các phương trình sau:

1) p

2x2+ 5x + 2 +p2x2− 3x + 2 = 4x; Đáp số {1}.2) p

x2+ 3x + 5 +px2+ 10x + 5 = 7x; Đáp số {1}.3) p

2x2+ 4x + 3 −p9x2+ 4x + 3 = −x; Đáp số.{0; 1}.4) p

2) (4x − 1) ·p3 − 2x + (7 − 4x) ·p2x − 1 = 2p−4x2+ 8x − 3 + 4.

Đáp số x = 1.3) −4p−9x2+ 12x − 3 +p3 − 3x · (10 − 9x) +p3x − 1 · (9x − 2) − 4 = 0;

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 771) p4

p222

+³u −32

4;

53

5;

3

5;

−5 −p7314

x+1

y=35

12.

Có thể làm như sau:

• Bình phương hai vế phương trình đã cho, ta được

x + 2p7 − x = 2px − 1 +p−x2+ 8x − 7 + 1; Đáp số.{4; 5}.3) p

8 − x +p9 + x − 2p−x2− x + 72 = −3; Đáp số.{−8,7}.4) 16 − 7p4 − x − 7p6 + x + 4p−x2− 2x + 24 = 0; Đáp số.{−5,3}.5) 5 − 4p10 − x + x − 4p7 + 2x + 2p−2x2+ 13x + 70 = 0;

Đáp số.{1, 9}.6) 8 − 5p7 − 9x − 6x − 5p7 + 3x + 2p49 − 42x − 27x2= 0