TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————–o0o——————– NGUYỄN ĐĂNG KHOA NGHIỆM THÔNG LƯỢNG HẠN CHẾ VÀ RÀNG BUỘC TRẠNG THÁI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI TỰA LỒI TRONG MIỀN ĐA CHIỀU LUẬN V
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–
NGUYỄN ĐĂNG KHOA
NGHIỆM THÔNG LƯỢNG HẠN CHẾ VÀ RÀNG BUỘC TRẠNG THÁI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI TỰA LỒI TRONG MIỀN
ĐA CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2018
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–
NGUYỄN ĐĂNG KHOA
NGHIỆM THÔNG LƯỢNG HẠN CHẾ VÀ RÀNG BUỘC TRẠNG THÁI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI TỰA LỒI
TRONG MIỀN ĐA CHIỀU
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2018
Trang 3Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Trần Văn Bằng, người
đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nềntảng để tôi hoàn thành bài khóa luận này Thầy cũng là người đã giúptôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gianđược làm việc cùng thầy
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại KhoaToán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trựctiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyênmôn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thâncòn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mongnhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên đểkhóa luận của tôi được hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn
Hà Nội, ngày tháng 6 năm 2018
Tác giả
Nguyễn Đăng Khoa
Trang 4Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóa luậnnày là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sựhướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy TrầnVăn Bằng.
Hà Nội, ngày tháng 6 năm 2018
Tác giả
Nguyễn Đăng Khoa
Trang 5Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạo hàm riêng cấp một 3
1.2 Phương trình Hamilton-Jacobi và bài toán ràng buộc trạng thái 6
2 Nghiệm thông lượng hạn chế và ràng buộc trạng thái của phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trong miền đa chiều 9 2.1 Một số khái niệm cơ bản 9
2.2 Định lý chính 13
2.3 Định nghĩa nghiệm thông lượng hạn chế 14
2.4 Lớp hàm thử thu gọn trong trường hợp miền C1 16
2.5 Chứng minh của Định lý 2.2.1 26
2.6 Một số trường hợp đặc biệt 27
2.6.1 Đối với nghiệm trên 27
2.6.2 Trường hợp dừng: Tính hữu hạn của độ dốc tới hạn trong Bổ đề 2.4.1 29
Tài liệu tham khảo 33
Trang 6Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Phương trình Hamilton-Jacobi là lớp phương trình xuất hiện trong
Cơ học, Lý thuyết điều khiển tối ưu, Lý thuyết trò chơi vi phân, Lớpphương trình lồi với các điều kiện biên cơ bản đã được nghiên cứu kháđầy đủ (xem [1], [2] và các tài liệu trong đó) Tuy nhiên lớp phương trìnhkhông lồi và điều kiện biên có ràng buộc trạng thái vẫn còn rất nhiều vấn
đề cần được nghiên cứu Những năm gần đây, C Imbert,R Monneau[3]-[4], Y Achdou, F Camilli [10]-[11] and J Guerand [12]-[13] đã đạtđược một số kết quả quan trọng cho lớp phương trình này, trong đó kếtquả chính là việc giới thiệu nghiệm thông lượng hạn chế cho phươngtrình Hamilton-Jacobi với điều kiện biên ràng buộc trạng thái cùng một
số kết quả liên quan tới loại nghiệm này
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự hướng dẫncủa TS.Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài: “Nghiệm thông lượnghạn chế và ràng buộc trạng thái của phương trình Hamilton– Jacobi tựa lồi trong miền đa chiều” để thực hiện luận văn củamình
2 Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về nghiệm thông lượng hạn chế và các tính chất có thể củaphương trình Hamilton - Jacobi tựa lồi với ràng buộc trạng thái trong
Trang 7trường hợp nhiều chiều.
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về:
• Nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton - Jacobi
• Nghiệm thông lượng hạn chế và nghiệm ràng buộc trạng thái đốivới phương trình Hamilton - Jacobi tựa lồi
4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là: nghiệm thông lượng hạn chế của phươngtrình Hamilton – Jacobi;
• Phạm vi nghiên cứu là: lớp phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồitrong miền đa chiều
5 Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm và của lý thuyết nghiệmnhớt
6 Dự kiến đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan về đề tài nghiên cứu
Trang 8C(Ω) là không gian tất cả các hàm thực liên tục trên Ω;
Ck(Ω), k = 1, 2, là không gian tất cả các hàm thuộc C(Ω) có cácđạo hàm riêng đến cấp k liên tục trên Ω
Với một hàm u ∈ C1(Ω), thì Du(x) là gradient của u tại x ∈ Ω.Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một
F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (HJ)Ban đầu khái niệm nghiệm nhớt của (HJ) được xét trong lớp các hàmliên tục như sau:
Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm dưới nhớt củaphương trình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:
F (x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0 (1.1)tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ
Trang 9Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm trên nhớt của phương trình (HJ) nếuvới mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:
F (x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0 (1.2)tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ
Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm trên nhớt vừa lànghiệm dưới nhớt của phương trình đó
Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử
Ví dụ 1.1.1 Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:
− |u0(x)| + 1 = 0, x ∈ (−1, 1)
Thật vậy, ta xét hai trường hợp: nếu x 6= 0 là một cực trị địa phươngcủa u − ϕ thì ϕ0(x) = u0(x) = ±1 Vì vậy tại những điểm này điều kiệnnghiệm trên nhớt, nghiệm dưới nhớt được thỏa mãn
Nếu 0 là cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ0(0)| ≤ 1nên điều kiện nghiệm trên nhớt vẫn đúng Bây giờ ta chứng minh 0không thể là cực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C1(−1, 1) Thật vậy,nếu 0 là cực đại địa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x)trong một lân cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của
Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ
Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phươngtrình:
|u0(x)| − 1 = 0, x ∈ (−1, 1)
Trang 10vì điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cực tiểu địaphương của |x| − (−x2).
Đối với các phương trình tiến hóa có dạng:
ut(t, y) + H(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ (0, T ) × Dthì ta chỉ việc đặt x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D, q = (q1, , qN, qN +1) và
(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả
vi tại mọi điểm x ∈ Ω và:
F (x, u(x), Du(x)) = 0, ∀x ∈ Ω (1.3)Khi đó u là nghiệm nhớt của (HJ);
(c) Nếu hàm u ∈ C1(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm
cổ điển của phương trình đó
Nhiều tính chất thú vị về nghiệm nhớt liên tục của phương trình đạohàm riêng cấp một cũng như của các bài toán Dirichlet, bài toán Cauchy
đã được đề cập khá chi tiết và đầy đủ trong [2] Trong phần tiếp theo củaLuận văn này chúng ta sẽ thảo luận bài toán đối với một phương trìnhđạo hàm riêng cấp một phi tuyến thỏa mãn ra đến biên theo một nghĩariêng nào đó, nói cách khác ràng buộc trên biên xác định bởi chính ràngbuộc của phương trình đó Bài toán này thường được gọi là bài toán vớiràng buộc trạng thái Với các bài toán này khái niệm nghiệm nhớt cũngđược mở rộng xét trong lớp các hàm không nhất thiết liên tục (Mục 2.3)
Trang 111.2 Phương trình Hamilton-Jacobi và bài toán ràng
buộc trạng thái
Phương trình Hamilton-Jacobi với ràng buộc trạng thái xuất hiệnmột cách tự nhiên trong các bài toán điều khiển tối ưu khi quỹ đạo bịhạn chế trong bao đóng của miền Ω Bằng việc giới thiệu nghiệm thônglượng hạn chế, Imbert và Monneau đã nghiên cứu một lớp điều kiện biêntổng quát trong [3] (tương ứng, [4]) cho trường hợp một chiều (tươngứng, nhiều chiều) không gian Họ đã chứng minh các kết quả về sự tồntại và duy nhất cho miền khớp nối và cho các hàm Hamilton tựa lồi Gầnđây, Lions và Songanidis đã nhận được nguyên lý so sánh cho trường hợpHamilton không lồi trong [6]-[7]
Loại bài toán này đã được đề cập từ những năm 1986, bởi Soner [9] Trong đó tác giả xét bài toán ràng buộc trạng thái (SC) cụ thể, vớikhái niệm nghiệm được hiểu theo nghĩa: hàm u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớtcủa bài toán (SC) nếu nó thỏa mãn
có thể không liên tục của bài toán (1.4) với sự bổ sung thêm một bất
Trang 12phương trình cho nghiệm dưới,
ở đó Hin là "Hamilton hướng trong" [5]
Trong [3], với một hàm Hamilton H tựa lồi, cưỡng bức, liên tục và Ω
là khoảng bị chặn (miền một chiều), Imbert và Monneau đã chứng minhrằng bài toán (SC) (1.4) tương đương với bài toán thông lượng hạn chế,
Rd
Thực tế cho thấy rằng: nghiệm của (1.6) cũng là nghiệm của (1.5) vàcũng là nghiệm của (1.4) Khi miền không gian là khoảng mở (miền mộtchiều) và với cùng giả thiết trên H, Imbert và Monneau đã chỉ ra rằngmột hàm là nghiệm của (1.4) nếu và chỉ nếu nó là nghiệm của (1.6) Vớikết quả của J Guerand cho trường hợp nhiều chiều, ta có tính duy nhấtthu được bởi Ishii và Koike cho bài toán (1.5) kéo theo tính duy nhấtnghiệm của (1.4) trong lớp hàm có thể gián đoạn Tuy nhiên điều nàyđòi hỏi thêm các hạn chế: miền C1, điều kiện hàm Hamilton cưỡng bức
và tính liên tục yếu của nghiệm dưới
Một kết quả hữu ích về nghiệm thông lượng hạn chế trong trường hợpnhiều chiều là định lý về việc thu hẹp lớp hàm thử thành lớp hàm chỉ có
Trang 13một độ dốc theo biến không gian Từ đây ta có khẳng định, điều kiệnbiên tổng quát tương đương với điều kiện biên thông lượng hạn chế.
Trang 14Chương 2
Nghiệm thông lượng hạn chế và
ràng buộc trạng thái của phương
trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trong miền đa chiều
Như đã giới thiệu trong Chương 1, gần đây Imbert và Monneau đã giớithiệu khái niệm nghiệm thông lượng hạn chế cho phương trình Hamilton-Jacobi không lồi trong trường hợp một chiều Cụ thể hơn khi miền khônggian là khoảng bị chặn, họ đã chứng minh được rằng nghiệm đó tươngđương với một khái niệm nghiệm cổ điển hơn của H-M.Soner trong [8].Trong chương này, chúng tôi trình bày kết quả tương tự của JessicaGuerand [12] cho trường hợp miền trong không gian nhiều chiều trong
cả hai trường hợp dừng và tiến hóa
Trước hết chúng ta cần tới một số khái niệm và ký hiệu sau:
Định nghĩa 2.1.1 (Tính cưỡng bức và tựa lồi) Cho hàm f : Rn → R
Ta nói hàm f là:
i) cưỡng bức nếu lim|p|→+∞f (p) = +∞
Trang 15ii) tựa lồi nếu với mọi λ ∈ R, tập mức dưới {x : f (x) ≤ λ} là lồi.
Ví dụ 2.1.1 Từ Định nghĩa 2.1.1 ta thấy:
a) Hàm f (x) = |x|2 là hàm cưỡng bức trên Rn, nhưng hàm f (x) =sin |x| không phải là hàm cưỡng bức
b) Mọi hàm lồi trên Rn đều là hàm tựa lồi Thật vậy với mọi λ ∈
R, 0 ≤ t ≤ 1, x, y thuộc tập mức dưới {f ≤ λ} Sử dụng tính lồi của f
ta có
f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) ≤ tλ + (1 − t)λ = λ
Chứng tỏ tx + (1 − t)y thuộc tập mức dưới {f ≤ λ} hay tập mức dưới
là tập lồi Vậy f tựa lồi
là tập lồi với mọi λ Hơn nữa với x = −1, y = 1, t = 1/2 ta có
(A): H liên tục, cưỡng bức và tựa lồi
Cho T là một số dương, Ω là tập mở bị chặn của Rd với biên thuộclớp C1
Trang 16Định nghĩa 2.1.2 (Phần không tăng/ không giảm) Giả sử hàm ton H : Rd →R thỏa mãn giả thiết (A) Cho x ∈ ∂Ω, p ∈ Rd và nx là véc
Hamil-tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của ∂Ω tại x Gọi thành phần của p trongmặt phẳng tiếp xúc với ∂Ω tại x là p0 và thành phần dọc theo −nx = Nx
là pN, vì vậy pN = p Nx và p = (p0, pN) ∈ Rd−1 ×R Theo cách tương
tự, gọi thành phần tiếp xúc của ∇u là ∇0u và ∂Nu := ∇u · Nx Giả sử
Hx : Rd → R là Hamilton xác định theo các thành phần đó, phụ thuộcvào x ∈ ∂Ω Gọi π0(p0) ∈ R là số sao cho
min
p N ∈RHx(p0, pN) = Hx p0, π0(p0).Khi đó phần không tăng (theo hướng pháp tuyến trong) của Hx đượcđịnh nghĩa bởi
Hx−(p0, pN) =
Hx(p0, pN) nếu pN ≤ π0(p0)
Hx p0, π0(p0) nếu trái lại,
và phần không giảm (theo hướng pháp tuyến trong) của Hx được địnhnghĩa bởi
Trang 17Dễ thấy là, nếu u liên tục thì u∗ = u∗ = u.
Định nghĩa 2.1.4 (Tính liên tục yếu tại biên) Hàm u : [0, T ] × Ω → Rđược gọi là liên tục yếu tại biên nếu
∀ (t, x) ∈ (0, T ) × ∂Ω, u∗(t, x) = lim
y→x,s→t,y / ∈∂Ωu∗(s, y) , (2.1)
ở đó u∗ là bao nửa liên tục trên của u
Bây giờ ta trình bày các định lý chính
Trang 18ở đó H− là phần không tăng dọc theo véc tơ pháp tuyến trong.
Chú ý 2.2.1 Nếu không có giả thiết về tính "liên tục yếu" (2.1) chonghiệm dưới thì Định lý 2.2.1 không còn đúng Thật vậy, hàm số
Đối với mô hình dừng ta có:
Định lý 2.2.2 (Thiết lập lại điều kiện ràng buộc trạng thái với bài toándừng)
Giả sử H : Rd → R thỏa mãn giả thiết (A) và u : Ω → R Khi đó u lànghiệm nhớt của
u + H (∇u) ≥ 0 trong Ω
Trang 19và thỏa mãn (2.1) nếu và chỉ nếu u là nghiệm nhớt của bài toán thônglượng hạn chế
u + H (∇u) = 0 trong Ω
u + H−(∇u) = 0 trên ∂Ω (2.5)Chú ý 2.2.2 Cũng như Chú ý 2.2.1 nếu u là nghiệm dưới của (2.5) thì
u thỏa mãn (2.1)
Nghiệm thông lượng hạn chế được hiểu là nghiệm nhớt của bài toánthông lượng hạn chế Khái niệm này được giới thiệu lần đầu trong [3].Hàm hạn chế thông lượng A : Rd →R là hàm liên tục và tựa lồi Vớihàm hạn chế thông lượng A đã cho, ta định nghĩa hàm FA bởi
FA(p) = max A (p0) , H−(p0, pN).Chú ý rằng FA phụ thuộc vào x ∈ ∂Ω Ta đặt
A0(p0) = min
p N ∈RH (p0, pN) Nhớ rằng u∗ và u∗ tương ứng là bao nửa liên tục trên và bao nửa liêntục dưới của hàm u
Định nghĩa 2.3.1 (Nghiệm nhớt) Cho H thỏa mãn giả thiết (A) và
u : (0, T ) × Ω → R là bị chặn địa phương Ta nói rằng u là nghiệmdưới nhớt (tương ứng, nghiệm trên nhớt ) tại (t0, x0) ∈ (0, T ) × Ω, của
ut− H (∇u) = 0, nếu với mọi ϕ ∈ C1 (0, T ) × Ω sao cho u∗ ≤ ϕ (tươngứng, u∗ ≥ ϕ) trong lân cận của (t0, x0) ∈ (0, T ) × Ω với dấu bằng xảy ratại (t0, x0) (ta nói rằng ϕ tiếp xúc với u∗ từ phía trên (tương ứng, với u∗
từ phía dưới) tại (t0, x0)), ta có
ϕt + H (∇ϕ) ≤ 0 tương ứng, ≥ 0 tại (t0, x0)
Trang 20Khi đó, ta cũng nói rằng u thỏa mãn
ut+ H (∇u) ≤ 0 tương ứng, ≥ 0theo nghĩa nhớt tại (t0, x0) ∈ (0, T ) × Ω
Hơn nữa, ta nói rằng u là nghiệm nhớt tại (t0, x0) ∈ (0, T ) × Ω, của
ut + H (∇u) = 0,nếu u vừa là nghiệm trên nhớt vừa là nghiệm dưới nhớt tại (t0, x0) Định nghĩa 2.3.2 (Nghiệm thông lượng hạn chế) Giả sử H thỏa mãngiả thiết (A), u : (0, T ) × Ω → R là bị chặn địa phương và A : Rd → R
là hàm hạn chế thông lượng liên tục sao cho
∀p0 ∈ Rd, A (p0) ≥ A0(p0) (2.6)
Ta nói rằng u là nghiệm dưới A - thông lượng hạn chế (tương ứng,nghiệm trên A - thông lượng hạn chế ) trong (0, T ) × Ω nếu u là nghiệmdưới nhớt (tương ứng, nghiệm trên nhớt) của
ut + H (∇u) = 0 trong (0, T ) × Ω
ut + FA(∇u) = 0 trên (0, T ) × ∂Ω (2.7)Hơn nữa, ta nói rằng u là nghiệm thông lượng hạn chế của (2.7) nếu uvừa là nghiệm dưới thông lượng hạn chế vừa là nghiệm trên thông lượnghạn chế của phương trình đó
Như đã giải thích trong Chú ý 2.2.1, nghiệm dưới A− thông lượnghạn chế thỏa mãn (2.1)
∀ (t, x) ∈ (0, T ) × ∂Ω, u∗(t, x) = lim sup
y→x,s→t,y / ∈∂Ω
u∗(s, y) (2.8)Chú ý 2.3.1 Ta định nghĩa nghiệm dừng bằng cách thay thế ut và φt
bằng u và bỏ qua sự phụ thuộc vào thời gian
Trang 212.4 Lớp hàm thử thu gọn trong trường hợp miền C1
Ta đưa ra các kết quả và chứng minh chỉ trong trường hợp tiến hóa,
vì trường hợp dừng được xử lý hoàn toàn tương tự
Ta định nghĩa π+, π− : {(p0, λ) : λ ≥ A0(p0)} → R như trong [4] bởi
Bổ đề 2.4.1 Cho H thỏa mãn giả thiết (A) và A : Rd →R là hàm hạnchế thông lượng liên tục thỏa mãn (2.6) Ta có các tính chất sau
1 H− (tương ứng H+) là không tăng (tương ứng không giảm)
Trang 22Chứng minh Các tính chất trên là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.Dựa theo [3]-[4], ta đưa ra một định nghĩa tương đương của nghiệmnhớt mà chỉ cần sử dụng lớp hàm thử thu gọn.
Định nghĩa 2.4.1 (Định nghĩa tương đương của nghiệm nhớt) Cho Hthỏa mãn giả thiết (A) và A : Rd → R là hàm hạn chế thông lượng liêntục thỏa mãn (2.6) Giả sử u : (0, T ) × Ω →R là bị chặn địa phương
1 Ta nói rằng u là nghiệm dưới thu gọn của (2.7) trong (0, T ) ×Ω nếu
và chỉ nếu u∗ thỏa mãn (2.1) và u là nghiệm dưới trong (0, T )×Ω, và
∀ϕ ∈ C1 (0, T ) × Ω sao cho u∗ ≤ ϕ trong một lân cận của (t0, X0)trong (0, T ) × ∂Ω, với dấu bằng xảy ra tại (t0, X0) , có dạng
2 Ta nói rằng u là nghiệm trên thu gọn của (2.7) trong (0, T ) ×Ω nếu
và chỉ nếu u là nghiệm trên trong (0, T )×Ω, và ∀ϕ ∈ C1 (0, T ) × Ωsao cho u∗ ≥ ϕ trong một lân cận của (t0, X0) trong (0, T ) × ∂Ω,với dấu bằng xảy ra tại (t0, X0) , ta có
ϕt + FA(∇ϕ) ≥ 0 tại (t0, X0)Mệnh đề 2.4.1 (a) Định nghĩa 2.3.2 và 2.4.1 là tương đương Mộtcách chính xác, ta có hai mệnh đề sau tương đương: