weharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkh

weharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Môn Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao, nhận đề)

Đề thi có 01 trang

-Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: A n   không là một số chính phương, với mọi số5 n 2

tự nhiên n

b) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 9

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho x là số thực thỏa mãn: 5 � và x 10 x  10  Tính giá trị củax a

5

x x B

x



 theo a b) Cho a b  và 0 1 2,

1

a x

a a





1

1

b y

b b





  Hãy so sánh 2 số x và y

Câu 3 (4,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

a)

2

b) 2 x 1 x 3  x1 2  x2 4x5  5 3x

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên đường chéo BD lấy điểm M tuỳ ý ( M khác , B D ), gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AD

a) Chứng minh ba đường thẳng BI DH và CM đồng quy tại một điểm.,

b) Tính diện tích tam giác CIH trong trường hợp 2.

4

a

BM 

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất?

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho , a b là các số thực không âm thoả mãn: a b  Chứng minh rằng1

3 1 2 a2 2 40 9 b2 �5 11

- Hết

-Họ và tên thí sinh: SBD:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi gồm 5 trang)

I Một số chú ý khi chấm bài

 Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

 Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm

 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II Đáp án và biểu điểm

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: A n   không là một số chính phương, với mọi số tự5 n 2 nhiên n

b) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 9

a) (1,5 điểm)

Đặt B n  5 n n n 4  1

0,5 đ

Chỉ ra B� và 30,0 B M với mọi số tự nhiên n Do đó, B có chữ số tận cùng

bằng 0

Vậy A có chữ số tận cùng bằng 2 không là một số chính phương

1,0 đ

b) (1,5 điểm) Ta chứng minh 3   3 3

C n  n  n với n ��

Đặt D n 3 3n2 5n3

n n 2 3n 2 3n 3 n n1 n 2 3 n1

Chỉ ra 3,D M do đó 9C M

1,0 đ

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho x là số thực thỏa mãn: 5 � và x 10 x  10  Tính giá trị của biểux a

5

x x B

x



 theo a b) Cho a b  và 0 1 2,

1

a x

a a





1

1

b y

b b





  Hãy so sánh 2 số x và y

a) (2,0 điểm)

2

10

B



   (do x  10 � vì 5x 0,  � )x 10   x 210 x

1,0 đ

2

x  x  a

Vì 5 � nên x 10 x  10 x 20a2

20

B

a





1,0 đ

b) (2,0 điểm)

Ta có

Vì a b  nên 0 1 1

a  và b 12 12

a b Do đó 12 1 12 1

a  a b b

Vậy 1 1,

Câu 3 (4,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

a)

2

b) 2 x 1 x 3  x1 2  x24x5  5 3x

a) (2,0 điểm) Với 1, 1

2

x� x� phương trình đã cho tương đương với 1,0 đ

2

0

�    � �   �

�

 1  3  31 22 1 0

1 3 2 3

x

x x x

�

�  

� 

� �

�



�

� Đối chiếu với điều kiện, ta tìm được nghiệm của phương trình là x 1,

2

3,

3

x x

1,0 đ

b) (2,0 điểm)

2x 4x 5 2 x1    nên điều kiện để phương trình có nghĩa3 0, x

là x�1

Với x� ta có 1, 5 3 x 2 3 1  �x 2 1 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1

1,0 đ

Mặt khác với x� ta cũng có1,

2 x 1 x 3 x1 2  x2 4x5 �2 2 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1

Vậy phương trình có nghiệm x 1

1,0 đ

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên đường chéo BD lấy điểm M tuỳ ý (

M khác , B D ), gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh

AB và AD

a) Chứng minh ba đường thẳng BI DH và CM đồng quy tại một điểm.,

b) Tính diện tích tam giác CIH trong trường hợp 2.

4

a

BM 

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất?

C B

M

D A

K

I H

a) (2,5 điểm)

Chứng minh ABI  BCH c g c   nên �ABI � BCH Do đó IB CH

Chứng minh tương tự ta cũng có HD CI

1,0 đ

Gọi K là giao điểm của IM và BC

Chứng minh KCM  MIH c g c   nên �CMK IHM� Do đó CM IH 1,0 đ Như vậy BI DH và CM là các đường cao của tam giác , CIH do đó chúng,

b) (2,5 điểm) Vì 2

4

a

4

a

4

a

AH DI  Gọi S S S S S lần lượt là diện tích phải tìm, diện tích hình vuông ABCD , , , , 1 2 2 4

và diện tích các tam giác AIH BCH DCI thì, ,

S S 1 S2  S3 S4

1,5 đ

Vì AIH BCH DCI là các tam giác vuông nên, ,

2

Vậy

1,0 đ

c) (2,0 điểm)

Vì AIMH là hình chữ nhật nên diện tích của nó là S/  AH AI

4

AH AI � AH AI

1,0 đ

Mặt khác AH AI a nên / 2

4

a

S �

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,

2

a

AH  AI  tức là M là trung điểm của BD Vậy M là trung điểm của BD

1,0 đ

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho , a b là các số thực không âm thoả mãn: a b  Chứng minh rằng1

3 1 2 a2 2 40 9 b2 �5 11

Bằng cách biến đổi tương đương ta chứng minh được

2 2  2  

, , 0 *

A B

x y



 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A B.

x  y

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

1 2

a a

11

1,0 đ

2 40 36 40 6

40 9

b b

11

11

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 2

a  b

1,0 đ

HẾT

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Môn Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao, nhận đề)

Đề thi có 01 trang

-Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: A n   không là một số chính phương, với mọi số5 n 2

tự nhiên n

b) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 9

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho x là số thực thỏa mãn: 5 � và x 10 x  10  Tính giá trị củax a

5

x x B

x



 theo a b) Cho a b  và 0 1 2,

1

a x

a a





1

1

b y

b b





  Hãy so sánh 2 số x và y

Câu 3 (4,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

a)

2

b) 2 x 1 x 3  x1 2  x2 4x5  5 3x

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên đường chéo BD lấy điểm M

tuỳ ý (M khác , B D ), gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB và AD

a) Chứng minh ba đường thẳng BI DH và CM đồng quy tại một điểm.,

b) Tính diện tích tam giác CIH trong trường hợp 2.

4

a

BM  c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất?

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho , a b là các số thực không âm thoả mãn: a b  Chứng minh rằng1

3 1 2 a2 2 40 9 b2 �5 11

- Hết

-Họ và tên thí sinh: SBD:

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm thi gồm 5 trang)

I Một số chú ý khi chấm bài

 Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

 Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm

 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II Đáp án và biểu điểm

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng: A n   không là một số chính phương, với mọi số tự5 n 2 nhiên n

b) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 9

a) (1,5 điểm)

Đặt B n  5 n n n 4  1

0,5 đ

Chỉ ra B� và 30,0 B M với mọi số tự nhiên n Do đó, B có chữ số tận cùng

bằng 0

Vậy A có chữ số tận cùng bằng 2 không là một số chính phương

1,0 đ

b) (1,5 điểm) Ta chứng minh 3   3 3

C n  n  n với n ��

Đặt D n 3 3n2 5n3

n n 2 3n 2 3n 3 n n1 n 2 3 n1

Chỉ ra 3,D M do đó 9C M

1,0 đ

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho x là số thực thỏa mãn: 5 � và x 10 x  10  Tính giá trị của biểux a

5

x x B

x



 theo a b) Cho a b  và 0 1 2,

1

a x

a a





1

1

b y

b b





  Hãy so sánh 2 số x và y

Ta có  

2

10

B



   (do x  10 � vì 5x 0,  � )x 10   x 210 x

2

x  x  a

Vì 5 � nên x 10 x  10 x 20a2

20

B

a





1,0 đ

b) (2,0 điểm)

Ta có

Vì a b  nên 0 1 1

a  và b 12 12

a b Do đó 12 1 12 1

a  a b b

Vậy 1 1,

Câu 3 (4,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

a)

2

b) 2 x 1 x 3  x1 2  x24x5  5 3x

a) (2,0 điểm) Với 1, 1

2

x� x� phương trình đã cho tương đương với

2

0

�    � �   �

�

1,0 đ

 1  3  31 22 1 0

1 3 2 3

x

x x x

�

�  

� 

� �

�



�

� Đối chiếu với điều kiện, ta tìm được nghiệm của phương trình là x 1,

2

3,

3

x x

1,0 đ

b) (2,0 điểm)

2x 4x 5 2 x1    nên điều kiện để phương trình có nghĩa3 0, x

là x�1

Với x� ta có 1, 5 3 x 2 3 1  �x 2 1 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1

1,0 đ

Mặt khác với x� ta cũng có1,

2 x 1 x 3 x1 2  x2 4x5 �2 2 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1

Vậy phương trình có nghiệm x 1

1,0 đ

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên đường chéo BD lấy điểm M tuỳ ý (

M khác , B D ), gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh

AB và AD

a) Chứng minh ba đường thẳng BI DH và CM đồng quy tại một điểm.,

b) Tính diện tích tam giác CIH trong trường hợp 2.

4

a

BM 

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất?

C B

M

D A

K

I H

a) (2,5 điểm)

Chứng minh ABI  BCH c g c   nên �ABI � BCH Do đó IB CH

Chứng minh tương tự ta cũng có HD CI

1,0 đ

Gọi K là giao điểm của IM và BC

Chứng minh KCM  MIH c g c   nên �CMK IHM� Do đó CM IH 1,0 đ Như vậy BI DH và CM là các đường cao của tam giác , CIH do đó chúng,

b) (2,5 điểm) Vì 2

4

a

4

a

4

a

AH DI  Gọi S S S S S lần lượt là diện tích phải tìm, diện tích hình vuông ABCD , , , , 1 2 2 4

và diện tích các tam giác AIH BCH DCI thì, ,

S S 1 S2  S3 S4

1,5 đ

Vì AIH BCH DCI là các tam giác vuông nên, ,

2

Vậy

1,0 đ

c) (2,0 điểm)

Vì AIMH là hình chữ nhật nên diện tích của nó là S/  AH AI

4

AH AI � AH AI

1,0 đ

Mặt khác AH AI a nên / 2

4

a

S �

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,

2

a

AH  AI  tức là M là trung điểm của BD Vậy M là trung điểm của BD

1,0 đ

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho , a b là các số thực không âm thoả mãn: a b  Chứng minh rằng1

3 1 2 a2 2 40 9 b2 �5 11

Bằng cách biến đổi tương đương ta chứng minh được

2 2  2  

, , 0 *

A B

x y



 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A B.

x  y

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có

1,0 đ

 2

1 2

a a

11

2 40 36 40 6

40 9

b b

11

11

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 2

a  b

1,0 đ

HẾT