CHỦ đề 23 LIÊN hệ GIỮA THỨ tự PHÉP CỘNG PHÉP NHÂN

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN.. B/ CÁC DẠNG TOÁN... d là bất đẳng thức sai... * Từ bất đẳng thức đúng, cộng hoặc nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số... Bất đẳng thức được chứng

CHỦ ĐỀ 23: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN.

A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1/ Với ba số a, b, c ta có:

Nếu a < b thì a + c < b + c

Nếu a > b thì a + c > b + c

Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c

Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

2/ Với ba số a, b, c mà c > 0 ta có:

Nếu a < b thì a.c < b.c Nếu a ≤ b thì a.c ≤ b.c

Nếu a > b thì a.c > b.c Nếu a ≥ b thì a.c ≥ b.c

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

3/ Với ba số a, b, c mà c < 0 ta có:

Nếu a < b thì a.c > b.c Nếu a ≤ b thì a.c ≥ b.c

Nếu a > b thì a.c < b.c Nếu a ≥ b thì a.c ≤ b.c

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

B/ CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1: THỨ TỰ CÁC SỐ

a < b : đọc là a nhỏ hơn b

a ≤ b : đọc là a nhỏ hơn hoặc bằng b

Chú ý đến quy tắc cộng và nhân hai vế bất đẳng thức cho cùng một số

Bài 1: Bất đẳng thức nào biểu thị đúng thứ tự số? vì sao?

a) (-2) + 3 ≥ 2 b) – 6 ≤ 2.(-3)

c) 4 + ( - 8) < 15 + (- 8) d) x2 + 1 ≥ 1

Hướng dẫn

a) (-2) + 3 ≥ 2 sai vì 1 ≥ 2 là bất đẳng thức sai

b) – 6 ≤ 2.(-3) đúng vì – 6 = 6

c) 4 + ( - 8) < 15 + (- 8) đúng vì 4 < 15 cộng hai vế của bất đẳng thức cho – 8

d) x2 + 1 ≥ 1 đúng vì x2 ≥ 0 đúng với mọi x

Bài 2: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) (−6).5<(−5).5

b) (−6).(−3)<(−5).(−3)

c) (−2003).(−2005)≤(−2005).2004

d) −3x2 ≤0

Hướng dẫn

a) (-6).5 < (-5).5 Vì -6 < -5 và 5 > 0 => (-6).5 < (-5).5

Vậy khẳng định (-6).5 < (-5).5 là đúng b) -6 < -5 và -3 < 0 => (-6).(-3) > (-5).(-3)

Vậy khẳng định (-6).(-3) < (-5).(-3) là sai

c) -2003 ≤ 2004 và -2005 < 0 => (-2003).(-2005) ≥ (-2005).2004

Vậy khẳng định (-2003).(-2005) ≤ (-2005).2004 là sai

d) x2 ≥ 0 và -3 < 0 => -3x2 ≤ 0

Vậy khẳng định -3x2 ≤ 0 là đúng

Bài 3: Số a là số âm hay dương nếu:

a) 12a < 15a?

b) 4a < 3a?

c) -3a > -5a

Hướng dẫn

a) Ta có: 12 < 15 Để có bất đẳng thức 12a < 15a ta phải nhân cả hai vế của bất đẳng thức 12 < 15 với số a Để được bất đẳng thức cùng chiều thì a > 0

b) Vì 4 > 3 và 4a < 3a trái chiều Để nhân hai vế của bất đẳng thức 4 > 3 với a được bất đẳng thức trái chiều thì a < 0

c) Từ -3 > -5 để có -3a > -5a thì ta phải nhân cả hai vế của bất đẳng thức đó với số a dương

Bài 4: Cho tam giác ABC Các khẳng định sau đúng hay sai ?

a) A  B C > 180o

b) A B  < 180o

c) B C  < 180o

d) A B  ≥ 180o

Hướng dẫn

a) A  B C > 180o

là bất đẳng thức sai b) và c) là các bất đẳng thức đúng

d) là bất đẳng thức sai

Bài 5:

a) So sánh (-2).3 và -4,5

b) Từ kết quả câu a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau: (-2).30 < -45; (-2).3 + 4,5 <0

Hướng dẫn

a) So sánh (-2).3 và -4,5 Ta có: -2 < -1,5 và 3 > 0 =>(-2).3 < (-1,5).3 =>(-2).3 < -4,5 b) Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức với 10 > 0 thì được: (-2).30 < -45

Từ bất đẳng thức: (-2).3 < -4,5 ta cộng vào cả hai vế với 4,5 thì được:

( − 2 ) 3 + 4 , 5 < − 4 , 5 + 4 , 5 =>(-2).3 + 4,5 < 0

DẠNG 2: SO SÁNH HAI SỐ

* Dùng quy tắc cộng và nhân hai vế bất đẳng thức cho cùng một số

* Dùng tính chất bắc cầu







































Bài 1: Cho x y hãy so sánh :

a) 2x 1 và 2y 1 b) 2 3x và 2 3 y c) 5

3

x

 và 5

3

y



Bài giải

a) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”

 2x2y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ”

 2x 1 2y1

b) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm 3 ”

 3x 3y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2 ”

 2 3 x 2 3y

c) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 1

3 ”

3 3

 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”

  

Bài 2: So sánh hai số x, y nếu :

a) 3x 5 3y5

b) 74x74y

Bài giải

a) 3x 5 3y5 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”

 3x  5 5 3y 5 5  3x3y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 1

3

 1.3 1.3

3 x3 y  x y b) 74x  7 7 4y  7 “cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7”

 4x 4y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm 1

4

 ”

 1. 4 1. 4

      x y

Bài 3: Cho a < b, hãy so sánh: 2a và 2b; 2a và a + b; -a và -b

Hướng dẫn

+) a < b và 2 > 0 => 2a < 2b

+) a < b cộng hai vế với a => a + a < a + b => 2a < a + b

+) a < b và -1 < 0 => -a > -b

Bài 4: So sánh a và b nếu:

a) a + 5 < b + 5 b) -3a > -3b

c) 5a – 6 ≥ 5b – 6 d) -2a + 3 ≤ -2b + 3

Hướng dẫn

a) Ta có: a + 5 < b +5 =>a + 5 + (-5) < b + 5 + (-5) (cộng hai vế với -5) => a < b

b) Ta có : -3a > -3b => − 3 a (− 1

3) < − 3 b (− 1

3) (nhân cả hai vế với − 1

3 < 0 )

=> a < b c) Ta có: 5a – 6 ≥ 5b – 6 => 5a – 6 + 6 ≥ 5b – 6 + 6 (cộng hai vế với 6) => 5a ≥ 5b

=> 5 a 1 5 ≥ 5 b 1 5 (nhân cả hai vế với 1 5 > 0 ) => a ≥ b

d) -2a + 3 ≤ -2b + 3 => -2a ≤ -2b (cộng hai vế với -3)

=> − 2a.( − 1

2) ≥ − 2b ( − 1

2) (nhân cả hai vế với − 1

2 < 0 ) => a ≥ b

DẠNG 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC <Mức độ cơ bản>

Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta sử dụng một số phương pháp cơ bản sau:

+ Từ bất đẳng thức đúng, cộng hoặc nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số

+ Lập hiệu A – B và chứng minh A – B ≥ 0

+ Chú ý:

A2  0 với A Dấu “=” xảy ra  A = 0

|A|  A với A Dấu “=” xảy ra  A  0

C2 + D2 + …+ F2 ≥ 0 vì C2 ≥ 0, D2 ≥ 0, …, F2 ≥ 0

+ Dùng phép biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng

* Từ bất đẳng thức đúng, cộng hoặc nhân hai vế bất đẳng thức với cùng một số

Bài 1: Cho m bất kỳ, chứng minh :

a) m 3 m4

b) 2m 5 2m1

c) 7 3 m3 3 m

Hướng dẫn

a) Vì   3 4 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số m bất kỳ ”

Ta được m 3 m4

b) Vì  5 1 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2m bất kỳ ”

Ta được 2m 5 2m1

c) Vì 79 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 3m bất kỳ ”

Ta được 7 3 m 9 3m  7 3 m3 3 m

Bài 2: Cho ab0 chứng minh

1) 2

a ab

abb

3) 2 2

a b

Hướng dẫn

1) ab “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số a 0 ”

 a a ab  2

a ab, (1)

2) ab “ nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số b 0 ”

 a b b b  abb2, (2)

3) Từ (1) và (2) ta có 2 2

a b

Bài 3 : Cho ab chứng minh :

a) 2a 3 2b3

b) 2a 5 2b8

c) 7 3 a3 3 b

Hướng dẫn

a) ab “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”

 2a2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số :  3 ”  2a  3 2b  3  2a 3 2b3

b) ab “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”

 2a2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số :  5 ”  2a  5 2b  5  2a 5 2b5

Vì   5 8 nên 2b 5 2b8, theo tính chất bắc cầu ta có 2a 5 2b8 c) ab “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm : 3 ”

 3a 3b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ”  7 3 a 7 3b

Vì 79 nên 7 3 b 9 3b theo tính chất bắc cầu ta có 7 3 a3 3 b

* Phương pháp xét hiệu A – B

Bài 4 Chứng minh a2 + b2 + c2  ab + bc + ca với mọi a, b, c

Hướng dẫn: Xét hiệu:

A = (a2 + b2 + c2) − (ab + bc + ca)

= 1

2 

 (a2 − 2ab + b2) + (b2 − 2bc + c2) + (c2 − 2ca + a2)







= 1

2 

 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2





  0 a, b, c

Vì A  0 nên a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

Dấu “=” xảy ra  a = b = c

Bài 5 Cho các biểu thức sau:

A = (a + b)(a4 + b4) và B = (a2 + b2)(a3 + b3) với a, b  0

So sánh A và B

Hướng dẫn: Xét hiệu

A − B = (a + b)(a4 + b4) − (a2 + b2)(a3 + b3)

= (a5 + b5 + a4b + ab4) − (a5 + b5 + a3b2 + a2b3)

= a4b − a3b2 − a2b3 + ab4

= a3b(a − b) − ab3(a − b)

= ab(a − b)(a2 − b2)

= ab(a + b)(a − b)2  0 vì a, b  0

Do đó A  B

Dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b

Bài 6 Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b: 1

a +

1

b 

4 a+b

Hướng dẫn

Xét hiệu 1

a +

1

b −

4 a+b =

a+b

ab −

4 a+b =

(a+b)2−4ab ab(a+b) =

(a−b)2

ab(a+b)  0

 VT  VP Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu “=” xảy ra  a = b

Bài 7: Cho 0    a b c Chứng minh rằng: a b c b c a

b  c  a  a b  c

Hướng dẫn

Xét hiệu: a b c b c a

b c a a b  c

1 (a c b a c b b c c a a b)

abc

1 (a c2 b c2 ) (b a2 a b2 ) (c b2 c a2 )

2

1

1

1 ( )( )( ) 0

abc

b a ca cb ab c abc

b a c b c a abc

Vì 0    a b c

Vậy a b c b c a

b  c  a a b  c

* Phương pháp biến đổi tương đương

Bài 8: Cho a, b bất kỳ, chứng minh :

1) a2b22ab0

2)

2 2

2

ab





3) a2b2ab0

Hướng dẫn

1) Với a, b bất kỳ ta có a b 2 0  2 2

a b  ab

2) 2 2

2

a b  ab 

2 2

2

ab





3) 2 2

0

a b ab 

a  a    b    

3 0

a

Bài 9 Với a, b  0, chứng minh rằng: a + b  a+b

Hướng dẫn

Ta có: a + b  a+b

 a + 2 ab + b  a + b  ab  0 (đúng với mọi a, b  0)

Vậy bất đẳng thức xuất phát cũng đúng

Dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0

Bài 10 Cho a, b, c là ba số thực bất kì Chứng minh bất đẳng thức:

2

a b c a b c

Hướng dẫn

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

   

2

2

3

0

a b c

a b c

a b c a b c

a b c a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

a b b c c a

 

 

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng Dấu “=” xảy ra  a = b = c

Bài 11: Chứng minh rằng: |a| + |b|  |a + b| a, b

Hướng dẫn

Nhận xét: |x|2 = x2 với x và |x|.|y| = |xy| x, y

Ta có:

|a| + |b|  |a + b|  (|a| + |b|)2  (|a + b|)2

 |a|2 + 2|a|.|b| + |b|2  (a + b)2

 a2 + 2|ab| + b2  a2 + 2ab + b2

 |ab|  ab (đúng với mọi a, b)

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng

Dấu “=” xảy ra  ab  0

Chú ý: Ngoài ra, ta còn có một bất đẳng thức khác cũng liên quan tới dấu giá trị tuyệt

đối: |a| − |b|  |a − b| (Dấu “=” xảy ra  ab  0)

Bài 12: Với a b c , , 0 chứng minh: a b c 2(1 1 1)

bc ca ab  a b c

Hướng dẫn

1 1 1

bc ca  ab  a b c

2 2 2

2 2 2

2

(a b c) 0

    Hiển nhiên đúng

Vậy a b c 2(1 1 1)

bc ca ab  a b c

Bài 13: Chứng minh rằng mọi a,b,c,d thỡ: a2  b2  c2 d2      1 a b c d (1)

Hướng dẫn

( ) ( ) ( ) ( ) 0

         

Vậy : a2  b2  c2  d2   1 a    b c d

Bài 14: Chứng minh rằng nếu: a b   2 thỡ a3  b3  a4  b4 (1)

Hướng dẫn

(1)  a4  b4 a3 b3  0

( 1) ( 1) 0

a a b b 

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 0

            

         

Suy ra điều phải chứng minh

Vỡ:

( 1) 0 ( 1) ( 1) 0

( 1) 0 ( 1) ( 1)

2 2 0

DẠNG 4: TèM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

* Giả sử f(x) ≤ k (k là hằng số) và dấu bằng xảy ra  x = a

=> Giỏ trị lớn nhất của f(x) là k khi x = a, kớ hiệu max f(x) = k khi x = a

* Giả sử f(x) ≤ k (k là hằng số) và dấu bằng xảy ra  x = a

=> Giá trị nhỏ nhất của f(x) là k khi x = a, kí hiệu min f(x) = k khi x = a

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

a) 2

4 4 11

A x  x

b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

Cx  xy  y

Hướng dẫn

4 4 11 4 4 1 10 2 1 10 10

A x  x  x  x   x  

 Min A = 10 khi 1

2

x   b) B = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = (x - 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3)

= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36  -36

 Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5

Cx  xy  y

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2  2

 Min C = 2 khi x = 1; y = 2

Bài 2: Tìm GTNN của:

a) M  x  1 x 2  x 3  x 4

b) N 2x 12 3 2x  1 2

Hướng dẫn

a) M  x  1 x 2  x 3  x 4

x  1 x 4  x  1 4 x  x   1 4 x  3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)  0 hay 1 x 4

x  x  x  x  x  x  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)  0 hay 2 x 3 Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi 2 x 3

b) N 2x 12 3 2x   1 2 2x 12 3 2x  1 2

Đặt t 2x 1 thì t  0

Do đó N = t2 – 3t + 2 = 3 2

2

1 ( )

4

4

N

  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3 0 3

Do đó 1

4

N   khi

2 1

2 1

2 1

      

N   x hay 1

4

x  

Bài 3: Cho x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3

Hướng dẫn

M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2

2

1

1

2

Ngoài ra: x + y = 1  x2 + y2 + 2xy = 1  2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1

=> 2(x2 + y2) ≥ 1

Do đó 2 2 1

2

x y  x y

Ta có: 1 2 2

2

Do đó 1

4

M  và dấu “=” xảy ra 1

2

  

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của: 42 3

1

x y x





 Hướng dẫn

* Cách 1:

2

Ta cần tìm a để 2

ax 4x 3 a

    là bình phương của nhị thức

Ta phải có: ' 4 (3 ) 0 1

4

a

a a

a

 



       



- Với a = -1 ta có:

y

y

   Dấu “=” xảy ra khi x = -2

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

- Với a = 4 ta có:

y

Dấu “=” xảy ra khi x = 1

2

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

2

* Cách 2: Vì x2 + 1 0 nên: 2

2

4 3

1

x

x



y là một giá trị của hàm số (1) có nghiệm

- Nếu y = 0 thì (1) 3

4

x

  

- Nếu y 0 thì (1) có nghiệm     ' 4 y y(  3)  0  (y 1)(y 4)  0

1 0

4 0

y y

 



 

 



hoặc 1 0

4 0

y y

 





 



1 y 4

   

Vậy GTNN của y = -1 khi x = -2

Vậy GTLN của y = 4 khi x = 1

2

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của:

2 2

1 1

x x A

x x

 



 

Giải

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:

2 2

1 1

x x a

x x

 



Do x2 + x + 1 = x2 + 2.1

2 x +

2

0

     

Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + 1 (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = 0 (2)

+ Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

+ Trường hợp 2: Nếu a  1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là   0, tức là:

2

( 1) 4( 1)( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0

1 (3 1)( 3) 0 3( 1)

3

Với 1

3

a  hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là ( 1) 1

2( 1) 2(1 )

x

Với 1

3

a  thì x = 1

Với a = 3 thì x = -1

Kết luận: gộp cả 2 trường hợp 1 và 2, ta có:

GTNN của 1

3

A  khi và chỉ khi x = 1 GTLN của A = 3 khi và chỉ khi x = -1

C/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2b2c2 ab bc ca  b) a2b2  1 ab a b 

c) a2b2c2  3 2(a b c  ) d) a2b2c2 2(ab bc ca  )

e) a4b4c2  1 2 (a ab2  a c 1) f) a b c ab ac bc

2

4      g) a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2)  6abc h) a2b2c2d2e2a b c d e(    )

Hướng dẫn:

a)  (a b )2 (b c )2 (c a )2 0 b)  (a b )2 (a 1)2 (b 1)2 0

c)  (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0 d)  (a b c  )2 0

e)  (a2b2 2)  (a c )2 (a 1)2 0 f)  a b c

2

2

g)  (a bc )2 (b ca )2 (c ab )2 0

0

Bài 2: Cho a, b, c  R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ab a b a b

2 2 2

  

3

3 3

  

; với a, b  0

e) a3b3c3 3abc , với a, b, c > 0 f) a b a b

6 6

4 4

2 2

   ; với a, b  0