Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập rộng hartey và ứng dụng

trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley, vàhàm f x được xác định bởi các công thứcTrong thời gian gần đây, một số nghiên cứu mới về phép biến đổi tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

− − − − − − − − −

HOÀNG THỊ VÂN ANH

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH

CHẬP SUY RỘNG HARTLEY VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS TS NGUYỄN XUÂN THẢO

Hà Nội - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Các kết quả trong luận án là trung thực

và chưa từng được công bố trong các công trình của các tác giả khác

LỜI CẢM ƠN

Luận án được nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS.Nguyễn Xuân Thảo, người luôn quan tâm, động viên và chỉ dẫn tác giả trongnghiên cứu khoa học Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự quýmến đối với thầy

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các giáo sư, các thầy-cô vàcác đồng nghiệp trong seminar Giải tích - Đại số, Trường Đại học Khoa học Tựnhiên-ĐHQGHN, seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Những

ý kiến của các giáo sư và các đồng nghiệp tham dự các semina này đã giúp tácgiả trưởng thành hơn trong nghiên cứu khoa học Đặc biệt, những động viên,nhận xét quý báu và ý kiến đóng góp sâu sắc của GS TSKH Nguyễn VănMậu, PGS TS Trần Huy Hổ, PGS TS Nguyễn Thủy Thanh, PGS TS HàTiến Ngoạn, TS Nguyễn Văn Ngọc, PGS TS Trịnh Tuân, TS Nguyễn ThanhHồng, TS Nguyễn Minh Khoa, TS Nguyễn Hữu Thọ, là những kinh nghiệmquý báu để tác giả hoàn thành luận án một cách thuận lợi

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban lãnh đạo, các thầy

cô, các đồng nghiệp của Viện Toán Ứng dụng và Tin học, các thầy cô trong

Bộ môn Toán cơ bản, Ban lãnh đạo và các anh chị công tác tại viện Sau đạihọc Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Ban giám hiệu, các đồng nghiệp củaTrường Cao đẳng Công nghiệp Thực phẩm đã tạo một môi trường học tập,nghiên cứu sôi nổi, sự quan tâm và chỉ dẫn tận tình về các thủ tục, hồ sơ cũngnhư các điều kiện thuận lợi về công tác trong quá trình tác giả học tập, nghiêncứu và hoàn thành luận án này

Tác giả xin bày tỏ lòng ngưỡng mộ và biết ơn sâu sắc đến GS TSKH VũKim Tuấn, trường Đại học West Georgia, Mỹ, người đã luôn có những chỉ dẫn,góp ý chân thành và sâu sắc trong quá trình nghiên cứu khoa học và hoànthành luận án của tác giả

Gia đình luôn là động lực to lớn đối với tác giả Công sức và sự động viêncủa đại gia đình là những đóng góp thiêng liêng đã gián tiếp giúp tác giả vượtqua nhiều thử thách để hoàn thành luận án Tác giả xin được bày tỏ lòng biết

ơn đến bố mẹ, chồng, hai con trai và anh em hai bên nội - ngoại

Tác giả

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 2

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 6

MỞ ĐẦU 10

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 23 1.1 Tích chập và tích chập suy rộng 23

1.1.1 Một số tích chập đã biết 23

1.1.2 Tích chập suy rộng 26

1.1.3 Một số định lý quan trọng 28

1.2 Một số tính chất của biến đổi Hartley 28

1.3 Bất đẳng thức tích chập 30

1.3.1 Các bất đẳng thức tích phân trong không gian 30

1.3.2 Bất đẳng thức tích chập 31

1.4 Một số hàm đặc biệt 33

Chương 2 TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 37 2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine 37

2.1.1 Định nghĩa và các tính chất 37

2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley 45 2.1.3 Ứng dụng 47

2.2 Tích chập suy rộng Hartley - Fourier cosine 57

2.2.1 Định nghĩa và các tính chất 57

2.2.2 Phương trình và hệ phương trình Toeplitz-Hankel 62

Chương 3 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 72 3.1 Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young 72

3.2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine 75

3.3 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine 85

3.4 Ứng dụng 88

3.4.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel 88

3.4.2 Phương trình vi phân 89

3.4.3 Bài toán Dirichlet trên nửa mặt phẳng 90

3.4.4 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 92

Chương 4 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY 95 4.1 Các tính chất toán tử 96

4.1.1 Định lý kiểu Watson 96

4.1.2 Định lý kiểu Plancherel 100

4.1.3 Tính bị chặn của toán tử vi-tích phân 103

4.1.4 Ví dụ 105

4.2 Ứng dụng 108

4.2.1 Phương trình vi-tích phân 109

4.2.2 Phương trình parabolic tuyến tính 112

4.2.3 Hệ phương trình vi-tích phân 113

KẾT LUẬN 118

KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 119

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO 121

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

a Kí hiệu tích chập, tích chập suy rộng và phép biến đổi tích phânCác tích chập, tích chập suy rộng

• Phép biến đổi Hartley

trong đó cas u := cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley

• Phép biến đổi Fourier

∞

Z

0

g(y) cos(xy) dy, y ∈ R+

• Phép biến đổi Fourier sine

(Fsf )(y) =

r

2π

∞

Z

0

f (x) sin(xy) dx, y ∈ R+

• Phép biến đổi Fourier sine ngược

(Fs−1g)(x) =

r

2π

∞

Z

0

g(y) sin(xy) dy, y ∈ R+

• Th, Th−1 là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley-Fouriercosine và phép biến đổi ngược của nó

• L∞(R+) là tập hợp các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho

• Jα(x), Yα(x) tương ứng là hàm Bessel loại một, hàm Bessel loại hai

• Iα(z), Kα(z) là các hàm Bessel suy biến

• pF q(a; b; z) là hàm siêu bội suy rộng

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân

Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lýthuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là cácngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lýảnh, Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toánthực tế, khi Fourier J nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi này

vi tích phân hay phương trình đạo hàm riêng, các phương trình này xuất phát

từ những bài toán thực tiễn trong vật lý, cơ học, địa lý hay trong hải dươnghọc

Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thaythế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải quyết cácbài toán thực tế với những ưu điểm trong một số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu,

xử lý ảnh, xử lý âm thanh, Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1(R) đượctrình bày trong các tài liệu Bracewell R.N [13], Nguyễn Thanh Hải và các cộng

sự [21], Olejniczak K.J [31], Vũ Kim Tuấn và Yakubovich S.B [50], xác địnhbởi các công thức

trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley, vàhàm f (x) được xác định bởi các công thức

Trong thời gian gần đây, một số nghiên cứu mới về phép biến đổi tích phânHartley và ứng dụng, chẳng hạn như: Năm 2014 tác giả Bouzeffour F nghiêncứu về phép biến đổi Hartley suy rộng trên L1α(R) và các ứng dụng liên quan,phép biến đổi này xác định như sau (xem [16])

Cũng trong năm 2014, nhà toán học Yakubovich S.B nghiên cứu về phépbiến đổi tích phân Hartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong L2(R+)

lần lượt xác định bởi (xem [58, 59, 60])

(H+f )(x) :=

r

2π

ddx

√ x

√ x

Z

0

cos(t2)dt

Kết quả gần đây về phép biến đổi tích phân này tiếp tục được nghiên cứu năm

2015 bởi tác giả Paraskevas I và các cộng sự, nhận được bài toán phổ Whitened

và các ứng dụng trong xử lý ảnh (xem [34])

Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập: Để nghiên cứu không gian tuyếntính, người ta thường đưa vào phép nhân chập hay còn gọi là tích chập, khi cốđịnh một hàm ta có một lớp biến đổi tích phân gọi là phép biến đổi tích phânkiểu tích chập Có thể mô tả về phép biến đổi tích phân dạng này như sau;trong tích chập của hai hàm f và k, nếu cố định một hàm, chẳng hạn cố định

k, như là nhân của nó, và cho hàm f biến thiên trong một không gian hàm xácđịnh, ta nhận được phép biến đổi tích phân kiểu tích chập có dạng

Phép biến đổi tích phân nổi tiếng nhất xây dựng theo cách trên là phép biếnđổi Watson, dựa vào tích chập Mellin và phép biến đổi Mellin (xem [27, 48]),

được xác định như sau

+

∞

Z

0

f (y)[k2(|x − y|) − k2(x + y)]dyo (0.14)

Trong thời gian gần đây, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và các ứngdụng đã được nghiên cứu bởi các tác giả Britvina L.E., Luchko Y., Vũ KimTuấn, Yakubovich S.B., góp phần làm phong phú hơn về lý thuyết phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập (xem [14, 27, 51, 57])

Ngoài ra, việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng,

có thể giải quyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học,chẳng hạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vìtrong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiềuphép biến đổi tích phân hơn) Tuy vậy, khoảng những năm 1990 trở lại đây,một số công trình nghiên cứu theo hướng này mới được đề cập đến, điển hìnhnhư:

• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có trọng:Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fouriercosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp(R+), (1 < p < 2) đượcnghiên cứu bởi tác giả Vũ Kim Tuấn và các cộng sự, các phép biến đổinày xác định như sau (xem [8, 9])

f (x) 7→

∞

Z

0

[k(|x − y|) − k(x + y)]f (y)dy, x ∈ R+ (0.16)

Năm 2013, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine

và Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu bởi Nguyễn Thanh Hồng, TrịnhTuân và Nguyễn Xuân Thảo (xem [23]), phép biến đổi tích phân này xácđịnh bởi

−ucosh(x+v) + e−ucosh(x−v))h(u)f (v)dudvi (0.17)

• Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có trọng: Năm

2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối với tích chậpsuy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giả NguyễnXuân Thảo, Vũ Kim Tuấn và Nguyễn Thanh Hồng có dạng như sau (xem[44])

[f (|x − y|) + f (x + y)]k2(y)dyo (0.18)

Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tíchchập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiềunghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuấtphát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế Vì vậy, nghiên cứu

về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúctoán tử của nó là một mục đích của luận án

Tích chập và tích chập suy rộng

Một trong những vấn đề quan trọng của phép biến đổi tích phân là nghiêncứu các tích chập, tích chập suy rộng và ứng dụng liên quan, chẳng hạn: Tínhtích phân, tính tổng của chuỗi, giải các bài toán Toán-Lý, phương trình vi phân,phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi-tích phân,

lý thuyết xác suất, xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, kỹ thuật điện, Do đó, hướngnghiên cứu này đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm.

Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuấthiện với những tên gọi khác nhau như tích chập (tích chập không có trọng vàtích chập có trọng), tích chập suy rộng và tiếp đến là đa chập

Khoảng cuối thế kỷ 19, tích chập đầu tiên được nghiên cứu là tích chập đốivới phép biến đổi tích phân Fourier Những nghiên cứu về tích chập tiếp theođược lần lượt giới thiệu là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin,Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev và phép biến đổi Stieltjes, Về tích chậpđối với phép biến đổi tích phân Hartley, nghiên cứu gần đây được quan tâm làcủa nhóm tác giả Nguyễn Minh Tuấn năm 2009 (xem [18])

Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn mộtphép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng Khi đó, tích chập suyrộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện.Tích chập suy rộng có trọng đầu tiên được nghiên cứu năm 1951 bởi tác giảSneddon I.N., đó là tích chập suy rộng có trọng đối với hai phép biến đổi tíchphân Fourier cosine và Fourier sine (xem [36, 37]) Khoảng những năm 1990,một số tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân theo chỉ số đượcnghiên cứu bởi tác giả Yakubovich S.B (xem [54, 55, 56]) Nhưng cho đến năm

1998, nghiên cứu của các tác giả Kakichev V.A và Nguyễn Xuân Thảo lần đầutiên cho định nghĩa và đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng đốivới ba phép biến đổi tích phân bất kỳ với hàm trọng là γ, có đẳng thức nhân

tử hóa xác định bởi (xem [25])

K1(f ∗γ

K j

g)(y) = γ(y)(K2f )(y) · (K3g)(y), j = 1, 2, 3 (0.19)

Từ định nghĩa trên cho thấy, vế phải xuất hiện hai phép biến đổi tích phânkhác nhau do đó ứng dụng sẽ phong phú hơn (trong khi đối với tích chập thìđẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân) Mặt khác, khi hoánđổi các phép biến đổi tích phân theo một trật tự nhất định sẽ nhận được cáctích chập suy rộng khác nhau nên những ứng dụng nhận được khá đa dạng Vìvậy, hướng nghiên cứu này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc trong và ngoài nước Do đó, vấn đề xây dựng các tích chập suy rộng liênquan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nó là một nội dung có ýnghĩa khoa học cần được tiếp tục nghiên cứu

Bất đẳng thức tích chập và tích chập suy rộng

Chúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộngtrong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phươngtrình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý, Việc giảicác bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập Vìvậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suyrộng để thuận tiện cho việc đánh giá ước lượng nghiệm là một hướng nghiêncứu được nhiều nhà toán học quan tâm Những nghiên cứu về lĩnh vực này ởtrong và ngoài nước có thể thấy như sau:

• Đối với tích chập Fourier:

Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier

có dạng sau (xem [7, 38])

k((F1ρ1) ∗

F(F2ρ2))(ρ1∗

Fρ2)1p −1kLp(R) 6 kF1kLp(R,|ρ1|)· kF2kLp(R,|ρ2|), (0.21)với mọi Fj ∈ Lp(R, |ρj|) (j = 1, 2), p > 1

1 6 F1(x) 6 M

1 p

1 < ∞;

0 < m

1 p

2 6 F2(x) 6 M

1 p

2 < ∞, p > 1, x ∈ R

Hơn nữa, nhóm nghiên cứu Nguyễn Dư Vĩ Nhân, Đinh Thanh Đức và VũKim Tuấn đã mở rộng bất đẳng thức ngược đối với tích chập Fourier sang

nhiều chiều Nhận được bất đẳng thức Saitoh và bất đẳng thức Saitohngược trong không gian có trọng và một số ứng dụng Bất đẳng thứcSaitoh ngược trong không gian R2 có dạng (xem [28])

1 6 F1(ξ, τ )6 M

1 p

1 < ∞;

0 < m

1 p

2 6 F2(ξ, τ )6 M

1 p

1 6 F1(z) 6 M

1 p

1 < ∞;

0 < m

1 p

2 6 F2(z) 6 M

1 p

2 < ∞, p > 1, z ∈ Rn

Ngoài ra, bất đẳng thức đối với tích chập Laplace cũng được tác giả VũKim Tuấn và các cộng sự nghiên cứu, nhận được bất đẳng thức ngượcđối với tích chập này và cho ứng dụng trong giải bài toán truyền nhiệtngược

• Gần đây, nghiên cứu về bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosinecủa tác giả Nguyễn Thanh Hồng đã công bố năm 2010, nhận được cácbất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng (xem [22]) Đây

là kết quả mới mở rộng sang tích chập khác, nhưng đối với bất đẳng thứcngược dạng này vẫn chưa được nghiên cứu

Đối với bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartleynhư bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, cho đến naychưa có công trình nào công bố, trong khi các ứng dụng của nó có vai trò quantrọng khi nghiên cứu những vấn đề nảy sinh từ một số bài toán thực tiễn Do

đó, mục tiêu được quan tâm nghiên cứu là các bất đẳng thức tích chập suy rộngHartley và một số ứng dụng, đây cũng là một phần quan trọng trong mục đíchnghiên cứu của luận án.

Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học đối với hướng nghiên cứu này là việcgiải phương trình Toeplitz-Hankel, dạng tổng quát của phương trình này xácđịnh bởi

• Năm 2008, phương trình Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt (xem [45]) đượccông bố bởi các tác giả Nguyễn Xuân Thảo, Vũ Kim Tuấn và NguyễnThanh Hồng, đã xét phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (0.25) cónhân Hankel k1 và nhân Toeplitz k2 xác định bởi

là tích chập suy rộng của ϕ1 và ϕ2 đối với các phép biến đổi Fourier sine

và Fourier cosine xác định bởi

(Fcf )(y) =

r

2π

∞

Z

0

f (x) cos(xy) dx, y ∈ R+; f ∈ L1(R+), (0.26)

(Fsf )(y) =

r

2π

Vì các lí do trên và để tiếp nối, phát triển hướng nghiên cứu này, chúng tôi

đã định hướng vấn đề, mục tiêu cần nghiên cứu và lựa chọn đề tài cho Luận

án với tên gọi "Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứngdụng"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích:

- Xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley Nghiên cứu các tính chấtcủa các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tíchphân nhân Toeplitz-Hankel

- Nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley,chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh

và các ứng dụng liên quan

- Xây dựng một số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley,nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến đổi tích phân nàytrong các không gian hàm L2(R), Lp(R), với 1 6 p 6 2 và một số ứngdụng

• Đối tượng: Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine,Hartley-Fourier sine Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phép biếnđổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, các bất đẳng thức kiểu tích chậpsuy rộng và một số ứng dụng

• Phạm vi nghiên cứu: Là các phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tíchphân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng; các tích chập và các tíchchập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriercosine, Fourier sine; các bất đẳng thức tích chập và tích chập suy rộng

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong Luận án này, đã sử dụng các phương pháp liên quan đến lý thuyếtgiải tích hàm, phương pháp tích chập và tích chập suy rộng để xây dựng, nghiêncứu các tích chập suy rộng mới, chứng minh sự tồn tại của các tích chập suyrộng này cũng như tính bị chặn của chúng Ngoài ra, còn sử dụng phương phápbiến đổi tích phân để đánh giá và đưa ra các tính chất toán tử của nhữngkết quả nghiên cứu mới, nhằm mục đích giải một số phương trình tích phânvới nhân Toeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương trình tích phân, phươngtrình và hệ phương trình vi-tích phân Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳngthức tích phân trong không gian để chứng minh các bất đẳng thức tích phân

đối với tích chập suy rộng và xây dựng các đánh giá nghiệm.

4 Cấu trúc và các kết quả của Luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được trìnhbày trong bốn chương như sau:

Chương 1, nhắc lại những kiến thức đã biết liên quan đến hướng nghiêncứu, các khái niệm và tính chất của tích chập, tích chập suy rộng đối với cácphép biến đổi tích phân Trình bày một số kết quả đã biết về bất đẳng thứctích chập, lý thuyết các hàm đặc biệt

Chương 2, xây dựng các tích chập suy rộng Hartley mới là tích chập suyrộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, Hartley H1

và H2 Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lýkiểu Titchmarch Áp dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tíchphân, phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel.Chương 3, nghiên cứu một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley nhưbất đẳng thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và kiểu Saitohngược Áp dụng kết quả đạt được đánh giá ước lượng nghiệm của phươngtrình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân và một số bài toánToán-Lý

Chương 4, xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộngHartley Chứng minh định lý kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tínhunita của các phép biến đổi tích phân mới xây dựng trong không gian L2(R)

Nhận được định lý Plancherel, định lý về tính bị chặn của toán tử vi-tích phân,cho minh hoạ về sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân trên bằng một số

ví dụ cụ thể Vận dụng kết quả mới nhận được cho việc tìm nghiệm đóng củamột lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình parabolicmột chiều

5 Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận án

Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, có ý nghĩa khoa học trong lĩnhvực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phúthêm lý thuyết tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân, bất đẳngthức tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriercosine, Fourier sine Các kết quả này cho ứng dụng trong việc tìm nghiệm đóngcủa một lớp các phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel,

phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được các biểu diễn và đánhgiá nghiệm trong một số bài toán Toán-Lý Các kết quả và ý tưởng của luận án

có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng đối với các phép biếnđổi tích phân khác, và nghiên cứu bài toán quang phổ, xử lý ảnh

Nội dung chính của Luận án dựa trên bốn công trình nghiên cứu được liệt

kê ở "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án" Trong đó có 03 côngtrình được đăng trên các tạp chí quốc tế thuộc nhóm ISI (SCIE), 01 công trìnhđăng trong kỷ yếu Hội nghị Toán học Quốc tế Các kết quả này đã được báocáo toàn bộ hay từng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau:

• Các hội nghị khoa học:

- Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng(ICFIDCAA), tháng 7 năm 2012 tại Hà Nội

- Hội nghị toán học Việt Pháp lần thứ 8, tháng 8 năm 2012 tại Huế

- Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013 tại Nha trang

- Hội nghị Toán học Quốc tế lần thứ III, tháng 12 năm 2013 tại Thànhphố Hồ Chí Minh

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên quan đến tích chập, tíchchập suy rộng, bất đẳng thức tích chập và một số hàm đặc biệt dùng cho cácnghiên cứu của luận án

1.1.1 Một số tích chập đã biết

Ta biết rằng, các không gian hàm với phép nhân thông thường nói chungkhông có cấu trúc vành, vì vậy khái niệm tích chập (không có trọng và có trọng)được nghiên cứu để xây dựng cấu trúc vành cho các không gian này Sau đó,các khái niệm tích chập suy rộng, rồi đa chập tiếp tục được xây dựng và nghiêncứu

Tích chập đầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fouriercủa hai hàm f và g có dạng

• f ∗

F g = g ∗

F f, ∀f, g ∈ L1(R);

f (x) := (Fc−1g)(x) =

r

2π

∞

Z

0

g(y) sin(xy) dy, x ∈ R+; f ∈ L1(R+) (1.5)

Phép biến đổi tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng gần với các phép biếnđổi Fourier và Hartley là các phép biến đổi tích phân cosine và sine kí hiệutương ứng là Tc và Ts, được tác giả Papoulis A nghiên cứu và giới thiệu trongtài liệu [33], các phép biến đổi này được định nghĩa bởi công thức

tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá trong không gian các hàm bậc

mũ có dạng

L(f ∗

Lg)(y) = (Lf )(y) · (Lg)(y), Re y ∈ R+ (1.9)Năm 1951, Sneddon I.N xây dựng tích chập của hai hàm f và g đối với phépbiến đổi Fourier cosine có dạng

g)(y) =(Fcf )(y) · (Fcg)(y), ∀y ∈ R+; f, g ∈ L1(R+) (1.11)

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Hartley của hai hàm f và g kýhiệu là f ∗

H g, được trình bày trong tài liệu [18] xác định như sau

(f ∗

Hg)(x) := 1

2√2π

M (f ∗

M g)(y) = γ(y)(M f )(y) · (M g)(y), ∀y ∈ R+; f, g ∈ L1(R+) (1.14)

Từ kết quả này, năm 1967 Kakichev V.A đã đưa ra phương pháp kiến thiết

để xây dựng một tích chập với hàm trọng γ đối với phép biến đổi tích phân K

Từ đẳng thức nhân tử hóa, ta thấy vai trò của các hàm f và g là như nhau và

K một là phép biến đổi tích phân nào đó, chẳng hạn là phép biến đổi Fourierhoặc Laplace hoặc Hartley, Do đó, những tích chập thuộc nhóm này có tínhgiao hoán, kết hợp, tính phân phối đối với phép cộng

f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x ∈ R+, (1.16)

tích chập suy rộng này có đẳng thức nhân tử hóa xác định bởi

Fs(f ∗

F s F c

g)(y) = (Fsf )(y) · (Fcg)(y), ∀y ∈ R+; f, g ∈ L1(R+) (1.17)

Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phânFourier cosine và sine có dạng (xem [17], [26])

g)(y) =(Fsf )(y) · (Fsg)(y), ∀y ∈ R+; f, g ∈ L1(R+) (1.19)

Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine củahai hàm f và g với hàm trọng γ(y) = sin y có đẳng thức nhân tử hoá tươngứng xác định bởi (xem [43])

(f ∗γ

FcFcg)(x) := 1

2√2π

Tích chập suy rộng của phép biến đổi tích phân theo chỉ số được nghiên cứubởi Yakubovich S.B vào khoảng những năm 1990 Chẳng hạn như tích chậpsuy rộng đối với phép biến đổi tích phân kiểu Mellin (xem [54])

g)(y) = (M1f )(y) · (M2g)(y), ∀y ∈ R+, (1.23)

phép biến đổi tích phân kiểu Mellin với chỉ số i trong tích chập trên được xácđịnh bởi



f (t)dt

t , j = 0, 1, 2. (1.24)

Tích chập suy rộng tiếp theo được Yakubovich S.B tiếp tục công bố vào năm

1991, đó là tích chập suy rộng đối với phép biến đổi G (xem [55]), tích chậpsuy rộng này có đẳng thức nhân tử hóa là

G1(f ∗

Gg)(y) = (G1f )(y) · (G2g)(y), ∀y ∈ R+ (1.25)Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân kiểu Kontorovich-Lebedev được Yakubovich S.B công bố năm 1993 (xem [56]), tích chập suyrộng này có đẳng thức nhân tử hóa xác định bởi

Iizk(f ∗

KLg)(y) = (Ik1

iτf )(y) · (Ik2

iτg)(y), ∀y ∈ R+ (1.26)

Năm 1998, các tác giả Kakichev V.A và Nguyễn Xuân Thảo lần đầu tiên chođịnh nghĩa và đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập suy rộng đối với baphép biến đổi tích phân có hàm trọng γ thỏa mãn công thức (0.19) Điều nàycho thấy những kết quả trước đó chỉ là trường hợp riêng của tích chập suy rộngnày Gần đây, một vài nghiên cứu về tích chập suy rộng có hàm trọng đối vớicác phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier của nhóm tác giả Bùi Thị Giang,Nguyễn Văn Mậu và Nguyễn Minh Tuấn năm 2009 và 2010, trong đó tích phânxác định được lấy trên miền đối xứng (xem [18, 19])

{f (y), ∀y ∈ R} và thoả mãn ϕ(0) = 0 Khi đó ϕ(f ) cũng là ảnh qua phép biếnđổi Fourier của một hàm thuộc L1(R).

Nhận xét 1.1.1 Đối với phép biến đổi Fourier cosine, Định lý Wiener-Lévyvẫn đúng, nhưng đối với phép biến đổi Fourier sine thì định lý này không cònđúng nữa

Để xét tính bị chặn của phép biến đổi tích phân trong không gian Lp(R+),

1 6 p 6 2, ta thường áp dụng Định lý nội suy Riesz dưới đây

Định lý 1.1.2 (Định lý nội suy Riesz [15]) Giả sử p0 > 1, p1 > 1 và

q0, q1 tương ứng là số liên hợp của p0, p1, tức là 1

sử T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn đồng thời từ Lp0(R+) vào Lq0(R+),

và từ Lp1(R+) vào Lq1(R+) Khi đó, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn

từ Lp(R+) vào Lq(R+), trong đó q là số liên hợp của p, và p xác định bởi

Trong mục này, trình bày một số tính chất cơ bản về các phép biến đổi tíchphân Hartley của hàm f là H1 và H2 được định nghĩa bởi các công thức (0.2)

và (0.3)

1 Trong không gian L2(R), phép biến đổi Hartley là toán tử unita và có

3 Định lý kiểu Plancherel đối với biến đổi Hartley đã được chứng minh trong

tài liệu [18] và có đẳng thức Parseval sau

[H1f (−x)](y) = [H2f (x)](y), (H1f )(y) = (H2f )(−y) (1.28)

6 Đạo hàm của biến đổi Hartley:

6.1 Nếu f là hàm liên tục và có đạo hàm đến cấp n(n > 1),sao cho cácđạo hàm f0, f00, , f(n) ∈ L1(R) và lim

|x|→∞f(n)(x) = 0 Khi đó

(Hjf(2k))(y) = (−1)ky2k(Hjf )(y), k = 1, n, j = 1, 2 (1.29)

(Hjf(2k+1))(y) = (−1)k+1y2k+1(Hjf )(−y), k = 0, n, j = 1, 2 (1.30)6.2 Giả sử f (y), yf (y), y2f (y), , ynf (y) ∈ L1(R), khi đó

1.3 Bất đẳng thức tích chập

Các bất đẳng thức tích phân có ý nghĩa quan trọng trong việc đánh giá,ước lượng giá trị của hàm số Từ đó có thể ứng dụng vào việc đánh giá nghiệmcủa bài toán liên quan đến phép biến đổi tích phân hay chứng minh sự tồn tạicủa tích phân,

1.3.1 Các bất đẳng thức tích phân trong không gian

Ta biết rằng, trong các không gian định chuẩn có một lớp không gian Banachđặc biệt quan trọng, đó là không gian Lp Sau đây, ta sẽ nhắc lại các bất đẳngthức tích phân trong không gian này

Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức H¨older) Giả sửp, q > 1 sao cho 1

Định lý 1.3.3 (Bất đẳng thức Hausdorff-Young) Giả sử f ∈ Lp(R),

1 < p 6 2, và p1 là số liên hợp của p Khi đó, (F f )(y) ∈ Lp1(R) và cóbất đẳng thức Hausdorff-Young đối với phép biến đổi Fourier xác định như sau(xem [15])

kF f kLp1(R) 6 kf kLp(R) (1.37)Nhận xét 1.3.1 Trong trường hợp f là hàm số lẻ hay chẵn, ta có bất đẳngthức Hausdorff-Young đối với các phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosinetương ứng xác định bởi

đối với tích chập Fourier

Định lý 1.3.5 ([40]) Với các hàm trọng không triệt tiêu ρj ∈ L1(R) (j =

1, 2) Khi đó, ta có bất đẳng thức trong không gian Lp(R, |ρ|), p > 1 đối với

tích chập Fourier có dạng (0.21), chuẩn trong công thức này được xác định nhưsau

Nhận thấy rằng trong một số ứng dụng, ta thường xét trường hợp

ρ1(x) ≡ ρ ∈ L1(R), ρ2(x) ≡ 1, F1(x) = F (x), F2(x) = G(x), (1.40)với G(x − y) là hàm Green Khi đó, bất đẳng thức (0.21) trở thành

k(F ρ) ∗

F GkLp(R) 6 kρk1−

1 p

L 1 (R) · kGkLp(R) · kF kLp(R,|ρ|), (1.41)

ở đây ρ, F, và G là các hàm sao cho vế phải của (1.41) là hữu hạn

Bất đẳng thức (1.41) cho phép ta đánh giá hàm đầu ra (output)

∞

Z

−∞

dựa vào hàm đầu vào (input) trong các bài toán tương ứng

Năm 1990, một kết quả nghiên cứu nổi tiếng về bất đẳng thức H¨older ngược

đã được giới thiệu bởi tác giả Xiao-Hua L trong định lý sau đây

Định lý 1.3.6 ([53]) Cho các số thực p, q > 1 sao cho 1

Một trong những kết quả đầu tiên áp dụng định lý trên là bất đẳng thứcngược đối với tích chập Fourier được nhóm nghiên cứu Saitoh S., Vũ Kim Tuấn,Yamamoto M công bố năm 2000, nội dung kết quả đó như sau.

Định lý 1.3.7 ([41]) Cho F1 và F2 là hai hàm dương thỏa mãn

1 < ∞; 0 < m

1 p

2 6 F2(x) 6 M

1 p

2 < ∞, p > 1, x ∈ R

(1.45)Khi đó, với các hàm dương và liên tục ρ1, ρ2 ta có bất đẳng thức ngược có hàmtrọng đối với tích chập Fourier xác định bởi công thức (0.22)

1 Hàm sai số Erf(z) (error function)

Hàm Error được dùng trong luận án, xét bởi các dạng sau (xem [30])

• Hàm sai số Erf(z) (error function): Hàm sai số Erf(z) hay còn gọi làhàm Gauss xác định bởi

Hàm Meijer G (xem [11]) được định nghĩa bởi

G[{{a1, · · · , an} , {an+1, · · · , ap}} , {{b1, · · · , bm} , {bm+1, · · · , bq}} , z]

≡ Gm,np,q a1 ,··· ,a p

b 1 ,··· ,b q

z



= 12πi

Hàm Bessel được xét bởi các dạng sau, với α ∈ R (xem [30])

• Hàm Bessel loại một: Jα(x) là hàm Bessel loại một xác định bởi

• Hàm Bessel loại hai: Yα(x) là hàm Bessel loại hai xác định như sau

với chỉ số thuần ảo hay hàm Bessel suy biến Dễ thấy, nghiệm thứ nhất

bị chặn khi z → 0 nếu α > 0 và nghiệm thứ hai bị chặn khi z → ∞

5 Hàm siêu bội (The generalized hypergeometric function)

pF q(a; b; z) = pF q[{a1, , ap}; {b1, , bq}; z] là hàm siêu bội suy rộng(xem [30]), khai triển của nó dưới dạng chuỗi như sau

Chương 2 TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY

Mục đích của chương2là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy rộngHartley mới Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine Nghiên cứu các tínhchất tương ứng của nó như: các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval,định lý kiểu Titchmarch, Trong phần ứng dụng, sẽ xây dựng và giải một sốphương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel

Nội dung chính của chương này là kết quả của các bài báo [1, 2] trong "Danhmục các công trình đã công bố của Luận án"

2.1.1 Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 2.1.1 Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phépbiến đổi tích phân Hartley, Fourier sine ký hiệu là (f ∗

1 g) được xác định bởicông thức

ra một số tích chất của tích chập suy rộng này

Định lý 2.1.1 Giả sử f ∈ L1(R+) và g ∈ L1(R) Khi đó, tích chập suy rộngHartley–Fourier sine (2.1) thuộc không gian L1(R) và có các đẳng thức nhân

tử hóa sau luôn đúng

ở đây (Fsf )(−y) = −(Fsf )(y), với y < 0.

Hơn nữa, ta nhận được bất đẳng thức

k(f ∗

1 g)kL1(R) 6 kf kL1(R+)· kgkL1(R) (2.3)Đặc biệt, nếu g ∈ L1(R) ∩ L2(R), thì ta có các đẳng thức Parseval sau

(Fsf )(y) · (H1g)(y) cas(−xy)dy, (2.5)

tích phân trong các đẳng thức Parseval trên được hiểu là giá trị chính Cauchynhư sau

Chứng minh Ta sẽ chứng minh tích chập suy rộng (f ∗

1g)(x) thuộc không gian

Từ đó, bằng cách đổi biến lấy tích phân, ta nhận được

= √12π

Suy ra, công thức thứ nhất trong đẳng thức nhân tử hóa (2.2) là đúng

Để chứng minh đẳng thức nhân tử hóa trong trường hợp còn lại, ta lập luậntương tự như chứng minh trên và sử dụng tính chất trong công thức (1.28) củaphép biến đổi tích phân Hartley

Ta sẽ chứng minh đẳng thức Parseval trong trường hợp g ∈ L1(R) ∩ L2(R)

Từ mối liên hệ giữa các phép biến đổi Hartley và Fourier trong các công thức(0.5) và (0.6) ta nhận thấy, nếu f ∈ L2(R) thì (Hjf )(y) ∈ L2(R), j = 1, 2

Suy ra

H2[(H2g)(y)](x + u) = g(x + u),

ở đây tích phân trong của phép biến đổi Hartley được hiểu theo nghĩa Lebesgue

và tích phân ngoài của phép biến đổi Hartley được hiểu là các giá trị chínhCauchy Khi đó, ta nhận được

• Phạm vi nghiên cứu: Là phép biến đổi tích phân, phép biến đổi tíchphân kiểu tích chập, ... lĩnhvực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phúthêm lý thuyết tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân, bất đẳngthức tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân. .. kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng; tích chập tíchchập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Hartley, Fouriercosine, Fourier sine; bất đẳng thức tích chập tích chập suy rộng

3