Nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình vi phân

Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra tính tồntại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tínhdu dt = Atu + f t, t ∈ R+, với toán tử tuyến tính At có thể khô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN

VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGÔ QUÝ ĐĂNG

NGHIỆM TUẦN HOÀN

VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM

CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62460103

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TSKH NGUYỄN THIỆU HUY

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

LỜI CAM ĐOAN 1

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN 3

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, tính ổn định và nhị phân mũ 12

1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 12

1.1.2 Tính ổn định và nhị phân mũ 14

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được và không gian giảm nhớ 16

1.2.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được 16

1.2.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space) 20

1.2.3 Bất đẳng thức nón 21

1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá 22

1.4 Đa tạp ổn định địa phương đối với phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 25

Chương 2 SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH 28 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính 28

2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 35

2.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn với trường hợp họ tiến

hóa có nhị phân mũ 382.4 Ổn định có điều kiện 44Chương 3 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH NỬA TUYẾN

3.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình

tiến hóa nửa tuyến tính 513.2 Phương trình tiến hóa với họ tiến hóa

có nhị phân mũ 553.3 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương 58Chương 4 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

4.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình có

trễ hữu hạn 694.2 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương 734.3 Trường hợp phương trình có trễ vô hạn: Sự tồn tại duy nhất

nghiệm tuần hoàn 864.4 Ổn định có điều kiện và đa tạp ổn định địa phương đối với

phương trình có trễ vô hạn 93KẾT LUẬN 105TÀI LIỆU THAM KHẢO 107DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 114

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, hoàn thành dưới

sự hướng dẫn của PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Tất cả các kết quả đượctrình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào

Hà Nội, ngày 02 tháng 11 năm 2017

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH.Nguyễn Thiệu Huy-người thầy vô cùng mẫu mực đã tận tình giúp đỡ tôi trêncon đường khoa học Thầy đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu,giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị và luôn tạo ra những thửthách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi, sáng tạo Đó là những gì tôi may mắn đượctiếp nhận từ người thầy đáng kính của mình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến thầy

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô và các bạn trong xeminaDáng điệu tiệm cận nghiệm thuộc Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại họcBách khoa Hà Nội do PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy chủ trì Đây là môitrường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận án này.Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Viện Đào tạoSau đại học, Ban lãnh đạo Viện Toán ứng dụng và Tin học - Đại học Báchkhoa Hà Nội, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán cơ bản, ViệnToán ứng dụng và Tin học - Đại học Bách khoa Hà Nội đã luôn giúp đỡ, độngviện, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả

Tác giả xin cũng bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Lãnh đạo vàcác đồng nghiệp trong Khoa GD Tiểu học, Phòng Khảo thí và Đảm bảo chấtlượng, Khoa Tự nhiên Trường CĐSP Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợi chotác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêuthương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án

Tác giả

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

X, Y : không gian Banach

L(X), L(C, X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn

với chuẩn kϕkM := sup

ϕ tuần hoàn với chu kì 1

E : không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+

M := f : R+ → X kf (·)k ∈ M

với chuẩn kf kM := kkf (·)kkM

C := C([−r, 0], X) không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],

r > 0, nhận giá trị trong X với chuẩn kukC = sup

t∈[−r,0]

ku(t)k

CR− := C(R−, X) không gian các hàm liên tục trên R−,

nhận giá trị trong X với chuẩn kukC

với chuẩn kukν = sup

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng liên quan đến dángđiệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân là tìm điều kiện tồn tạinghiệm tuần hoàn (trong trường hợp phần phi tuyến là hàm tuần hoàn theothời gian) Bên cạnh một số phương pháp chứng minh tồn tại nghiệm tuầnhoàn mà hầu như chỉ thích hợp cho các phương trình cụ thể như phương phápđiểm cố định của Tikhonov (xem [21]) hoặc phương pháp hàm Lyapunov (xem[57]), còn có các phương pháp phổ biến chứng minh sự tồn tại nghiệm tuầnhoàn là xét tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaréthông qua một số phép nhúng compact (xem [10, 20, 21, 22, 56, 57] và cáctài liệu tham khảo trong đó) Mặc dù vậy, trong một số ứng dụng cụ thể,chẳng hạn như phương trình vi phân đạo hàm riêng trong các miền không bịchặn hoặc phương trình vi phân có nghiệm không bị chặn, việc sử dụng cácphép nhúng compact hoặc các phương pháp trên tìm ra nghiệm bị chặn làkhó khăn và không đúng nữa Để khắc phục được khó khăn này, năm 2014,N.T.Huy (xem [42]) đã sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra nghiệm tuầnhoàn của phương trình Navier-Stokes Phương pháp này, được Zubelevich

mở rộng (xem [51]) vào năm 2006 từ mối liên hệ giữa nghiệm bị chặn vànghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân thường được Massera (xem [16])đưa ra năm 1950 Tuy nhiên, sử dụng phương pháp Ergodic chỉ ra tính tồntại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tínhdu

dt = A(t)u + f (t), t ∈ R+, với toán tử tuyến tính A(t) (có thể không bịchặn) sinh ra họ tiến hóa và trường hợp họ tiến hóa có nhị phân mũ đến nayvẫn còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu

Một vấn đề quan trọng khác khi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận nghiệm

cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học đó là nghiên cứu vềtồn tại đa tạp tích phân Nghiên cứu này mang lại cho chúng ta bức tranhhình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễuphi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xácđịnh Mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệmcủa những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơngiản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệmcủa phương trình đang xét Những kết quả đầu tiên nghiên cứu về sự tồn tại

đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường được Hadamard (xem[13]), Perron (xem [49, 50]) đưa ra Sau đó, Daleckii và Krein (xem [27]) đã

mở rộng các kết quả đó cho phương trình vi phân trong không gian Banach Năm 2009, N.T Huy cùng một số cộng sự đã sử dụng không gian hàm chấpnhận được, định lý hàm ẩn, xây dựng đa tạp ổn định địa phương, đa tạp

ổn định bất biến mà không cần dùng điều kiện hằng số Lipschitz đủ nhỏ củatoán tử phi tuyến theo nghĩa cổ điển (xem [40]) Cụ thể các tác giả đã xétđiều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp

ổn định bất biến (xem [35]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến là hàmphụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được.Việc sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã mang đến một sốkết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời giangần đây (xem [4, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45]) Tuy nhiên,các nghiên cứu này mới xét cho trường hợp xung quanh quỹ đạo cân bằng,một số dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng không trễ hoặc có trễ hữuhạn

Từ những phân tích ở trên, trong luận án này, chúng tôi sử dụng phươngpháp Ergodic để nghiên cứu và chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuầnhoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính; sau đó, áp dụng kết quả này kếthợp với nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức nón

để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm tuần hoàn, ổn định có điều kiện

của nghiệm tuần hoàn, đa tạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuầnhoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

Chúng tôi xin trình bày cụ thể như sau: Trước tiên, xét phương trìnhtuyến tính

du

trong đó với mỗi t ∈ R+, A(t) là toán tử (có thể không bị chặn) trên khônggian Banach X sao cho họ (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 tuầnhoàn trên X, f (t) là hàm tuần hoàn theo t lấy giá trị trong X Với phươngtrình này, chúng tôi sử dụng phương pháp Ergodic để chứng minh sự tồn tạinghiệm tuần hoàn thông qua sự tồn tại nghiệm bị chặn mà chuẩn sup củanghiệm có thể được đánh giá bởi chuẩn sup của các hàm đầu vào f Lưu ýrằng [51] là công trình đầu tiên được O Zubelevich sử dụng phương phápnày cho nghiên cứu nghiệm tuần hoàn

Tiếp theo, chúng tôi sử dụng nguyên lý điểm bất động kết hợp với kếtquả tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (1) để chứng minh sự tồn tạiduy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trừutượng với các dạng sau:

•

du

dt = A(t)u(t) + G(t, u(t)), t ≥ 0, (2)trong đó G(t, x) là hàm tuần hoàn theo t với mỗi x cố định và là toán

tử Lipschitz hoặc ϕ-Lipschitz địa phương theo x, với ϕ thuộc lớp khônggian hàm chấp nhận được

•

du

dt = A(t)u(t) + G(t, ut), t ≥ 0, (3)trong đó G(t, ut) là hàm phi tuyến tuần hoàn theo t xác định trên khônggian Banach C hoặc Cν, thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, với

ϕ thuộc lớp không gian hàm chấp nhận được

Sau đó, trong trường hợp toán tử tuyến tính (A(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa

U (t, s) có nhị phân mũ, chúng tôi sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron vàđặc trưng của nhị phân mũ (xem [34]) đối với phương trình tiến hóa để xâydựng cấu trúc nghiệm theo nghĩa đủ tốt Từ đó chỉ ra tính tồn tại duy nhấtnghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình trên Cũng trong trường hợpnày, chúng tôi áp dụng một số nguyên lí cơ bản trong giải tích toán học nhưnguyên lí ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức nón, để chứngminh sự ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn

Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại đa tạp ổn định địa phươngxung quanh nghiệm tuần hoàn đối với các phương trình (2) và (3)

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Mục đích nghiên cứu của Luận án:

* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng

Tính chất nghiệm tuần hoàn và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một sốlớp phương trình vi phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp lý thuyết đặt chỉnh của các phương trình không ô-tô-nôm

và khái niệm nghiệm đủ tốt để xây dựng họ tiến hóa biểu diễn nghiệm củaphương trình vi phân

- Phương pháp trung bình ergodic, phương pháp sử dụng tôpô *-yếu, Định

lý Banach-Alaoglu, Nguyên lý điểm bất động.

- Sử dụng lý thuyết các không gian hàm chấp nhận được để xây dựng đatạp ổn định địa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn cho phương trình tiếnhóa nửa tuyến tính, phương trình vi phân hàm có trễ hữu hạn hoặc vô hạn

4 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Đây là hướng nghiên cứu mới, nó đã góp phần làm phong phú thêm

về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,

Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứudáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình vi phân, phương trìnhđạo hàm riêng

5 Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:

• Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị Trước tiên

là khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của nửanhóm Tiếp theo là khái niệm về họ tiến hóa và một số tính chất của

nó Sau đó là không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [35, 40]),không gian giảm nhớ (Fading memory spaces (xem [9, 10, 14, 58])).Cuối cùng là tính nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định củaphương trình tiến hóa nửa tuyến tính (xem [34, 35, 37])

• Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàncủa phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất có dạng

Ở đây, toán tử tuyến tính A(t) có thể không bị chặn sinh ra họ tiếnhóa (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach X; hàm f lấy giá trị trongkhông gian Banach và toán tử Nemytskii g(u)(t) là hàm tuần hoàn vớichu kì T thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương Trong trường hợpA(t) sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ, chúng tôi xâydựng công thức nghiệm bị chặn Lyapunov-Perron Từ đó nghiên cứutính tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện nghiệm tuần hoàn củaphương trình tiến hóa nửa tuyến tính (5).

• Chương 3: Trong chương này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duynhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng

du

dt = A(t)u(t) + g(t, u(t)), t ∈ R+, (6)trong đó, hàm g(t, u) tuần hoàn theo t với chu kì 1, (để tiện cho việctính toán, trong chương 3 và 4 chúng tôi sử dụng chu kì T = 1) thỏamãn điều kiện ϕ-Lipschitz địa phương, ϕ thuộc không gian hàm chấpnhận được Chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất, ổn định có điềukiện của nghiệm tuần hoàn và tồn tại đa tạp ổn định địa phương xungquanh nghiệm tuần hoàn của phương trình (6) trong trường hợp A(t)sinh ra họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ

• Chương 4: Đầu tiên chúng tôi xét phương trình vi phân hàm có trễ

du

dt = A(t)u + F (t)(ut) + g(t, ut), t ∈ R+, (7)trong đó, F (t) ∈ L(C, X) với C := C([−r, 0], X); g : R+ × C → X liêntục ϕ-Lipschitz địa phương; ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut(θ) = u(t + θ)với θ ∈ [−r, 0]

Tiếp theo chúng tôi xét phương trình vi phân hàm có trễ với khônggian pha là không gian giảm nhớ (fading memory space)

du

dt = A(t)u + g(t, ut), t ∈ R+, (8)

trong đó, g : R+× Cν → X liên tục ϕ-Lipschitz địa phương với

Cν := {φ : φ ∈ CR− = C((−∞, 0], X) và lim

s→−∞eνskφ(s)k = 0, ν > 0};

ut là hàm lịch sử thỏa mãn ut(θ) = u(t + θ) với θ ∈ (−∞, 0] Với cácphương trình trên chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệmtuần hoàn và trong trường hợp họ tiến hóa tuần hoàn có nhị phân mũchúng tôi chứng minh tính ổn định có điều kiện, tồn tại đa tạp ổn địnhđịa phương xung quanh nghiệm tuần hoàn

Nội dung chính của luận án dựa vào bốn bài báo được liệt kê ở

"Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó cácbài [1],[3] được đăng trên tạp chí thuộc nhóm (SCI), bài [2] đăng trêntạp chí thuộc nhóm (SCIE) (thuộc tạp chí Quốc tế chuyên ngành trongdanh mục ISI) và bài báo [4] đã gửi Các kết quả này đã được báo cáotại:

– Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên, tổ chức tại QuyNhơn Bình Định, tháng 8 năm 2015

– Hội nghị Phương trình tiến hóa, tổ chức tại Viện Nghiên cứu Caocấp về Toán (VIASM), tháng 10 năm 2015

– Hội nghị Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa vàứng dụng, tổ chức tại Trường Đại học Hải Phòng, tháng 11 năm2016

– Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, tổ chức tại Viện Toán ứngdụng và Tin học – Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 11năm 2016

– Seminar "Phương pháp định tính và xấp xỉ đối với phương trìnhtiến hóa" ,Viện nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM)

– Seminar "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân

và ứng dụng", Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất củanửa nhóm liên tục mạnh, họ tiến hóa, không gian hàm Banach chấp nhậnđược trên nửa đường thẳng R+, không gian giảm nhớ (fading memory space),tính nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định địa phương của phươngtrình tiến hóa nửa tuyến tính

trên miền xác định D(A) = x ∈ X : lim

h→0 +

1

h(T (h)x − x) tồn tại gọi là toán

tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X.Định lý 1.1.3 Đối với toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0

ta có:

(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính;

(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A)

T (s)Axds nếu x ∈ D(A)

Định nghĩa 1.1.4 Cho (A, D(A)) là toán tử đóng trong không gian Banach

X Tập các giá trị chính quy (tập giải) của A là

ρ(A) = λ ∈ C | (λI − A) là song ánh .Khi đó

R(λ, A) := (λI − A)−1, λ ∈ ρ(A) là giải thức của A,σ(A) := C \ ρ(A) gọi là tập phổ của A

Định lý 1.1.5 Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gianBanach X, lấy hằng số ω ∈ R, M ≥ 1 sao cho kT (t)k ≤ M eωt, ∀t ≥ 0 Khi đóvới toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm (T (t))t≥0 ta có các tính chất sau:

(i) Nếu λ ∈ C sao cho R(λ)x :=

(ii) Nếu Reλ > ω thì λ ∈ ρ(A) và R(λ, A) = R(λ)

(iii) kR(λ, A)k ≤ Reλ−ωM , ∀Reλ > ω

Trước hết là khái niệm ổn định mũ đều:

Định nghĩa 1.1.6 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là ổn định mũ đều nếu tồn tại  > 0 sao cho

lim

t→∞etkT (t)k = 0

Tiếp theo là khái niệm nhị phân mũ của nửa nhóm

Định nghĩa 1.1.7 Nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi

là có nhị phân mũ (hoặc hyperbolic) nếu X có thể viết thành tổng trực tiếp

X = Xs ⊕ Xu, các không gian con đóng Xs, Xu bất biến đối với (T (t))t≥0sao cho hạn chế của (Ts(t))t≥0 trên Xs, và (Tu(t))t≥0 trên Xu thỏa mãn cácđiều kiện:

(i) Nửa nhóm (Ts(t))t≥0 là ổn định mũ đều trên Xs;

(ii) Nửa nhóm (Tu(t))t≥0 có nghịch đảo trên Xu và (Tu(t)−1)t≥0 ổn định mũđều trên Xu

Cuối cùng là một số đặc trưng phổ cho tính ổn định mũ đều và nhị phân

mũ của nửa nhóm Để xây dựng các đặc trưng này ta cần nhắc lại khái niệmcận phổ của toán tử đóng và cận tăng của nửa nhóm

Định nghĩa 1.1.8 Cho A : D(A) ⊂ X → X là toán tử đóng trên khônggian Banach X Khi đó,

s(A) := sup{Reλ : λ ∈ σ(A)},được gọi là cận phổ của A

Định nghĩa 1.1.9 Cho nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 với toán tửsinh (A, D(A)) Khi đó, số thực

Chú ý 1.1.10 Nửa nhóm (T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi ω0(A) < 0.Tuy nhiên, ta muốn đặc trưng tính ổn định mũ theo phổ của toán tử sinh

vì trong thực tế nửa nhóm rất khó xác định tường minh, còn toán tử sinh cóthể xác định cụ thể Để làm điều đó ta cần đến khái niệm "Định lý Ánh xạphổ (Spectral Mapping Theorem - SMT)" sau đây

Định nghĩa 1.1.11 Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh(A, D(A)) được gọi là thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) nếu:

σ(T (t))\{0} = etσ(A) với t ≥ 0 (SMT)

Lưu ý: trong trường hợp tổng quát điều kiện s(A) < 0 không kéo theotính ổn định mũ của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi A (xem [24,

Ví dụ 1.2.4]) Tuy nhiên, nếu (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ thì ta

có đặc trưng sau:

(T (t))t≥0 ổn định mũ đều khi và chỉ khi s(A) < 0

Để đặc trưng cho tính nhị phân mũ ta có định lý sau đây (xem [30]).Định lý 1.1.12 Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0, các mệnh đềsau là tương đương:

(i) (T (t))t≥0 có nhị phân mũ;

(ii) σ(T (t)) ∩ D = ∅ với một/ mọi t > 0, trong đó D là đường tròn đơn vị.Trường hợp (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh xạ phổ (SMT) và A là toán tửsinh của nó, thì ta có các mệnh đề trên tương đương với

(iii) σ(A) ∩ iR = ∅

Trong định lý trên, lưu ý rằng giả thiết (T (t))t≥0 thỏa mãn Định lý Ánh

xạ phổ có thể thay bằng giả thiết nhẹ hơn, đó là: σ(A) và σ(T (t)) thỏa mãn

σ(T (t)) ⊂ D.etσ(A) := {z.etλ : λ ∈ σ(A), |z| = 1}, ∀t ≥ 0

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được

và không gian giảm nhớ

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian hàmchấp nhận được (xem [34])

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian vector E gồm các hàm thực đo đượcBorel trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+, B, λ), trong đó

B là đại số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+, nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau:

(1) E là dàn Banach với chuẩnk · kE, tức là, (E, k · kE) là không gian Banach,nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|, λ-hầukhắp nơi thì ψ ∈ E, kψkE ≤ kϕkE;

(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và

Tτ+ϕ(t) =

(ϕ(t − τ ) nếu t ≥ τ ≥ 0,

0 nếu 0 ≤ t < τ ,

Tτ−ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0

Hơn nữa tồn tại N1, N2 > 0 sao cho kTτ+kE ≤ N1, kTτ−kE ≤ N2 với mọi

τ ∈ R+

Ví dụ 1.2.3 Không gian Lp(R+), 1 ≤ p ≤ ∞, và không gian

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(R+) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ E Với mọi σ > 0 ta xácđịnh Λ0σϕ và Λ00σϕ như sau:

(b) Với mọi α > 0, e−αt ∈ E

Không gian

M:= {f : R+ → X | kf (·)k ∈ M} (1.5)với chuẩn kf kM := kkf (·)kkM Dễ thấy rằng M là không gian Banach

1.2.2 Không gian giảm nhớ (fading memory space)

Định nghĩa 1.2.6 Cho X là không gian Banach Không gian giảm nhớ làkhông gian Banach (Γ; k · kΓ) gồm tập các hàm từ (−∞, 0] vào X thỏa mãncác tiên đề sau (xem [9, 10, 14, 58]):

A1) Tồn tại hằng số dương H, các hàm liên tục không âm bị chặn địaphương K(·) và M (·) trên [0, ∞) và hàm u : (−∞, a) → X liên tụcthỏa mãn σ < a, uσ ∈ Γ Khi đó, với mọi t ∈ [σ, a) ta có

(i) ut ∈ Γ,

(ii) ut liên tục theo t (đối với chuẩn k · kΓ),

(iii) Hku(t)k ≤ kutkΓ ≤ K(t − σ) supσ≤s≤tku(s)k + M (t − σ)kuσkΓ.A2) Nếu {φk}, φk ∈ Γ, hội tụ đều đến hàm φ trên tập compact thuộc(−∞, 0], {φk} là dãy Cauchy trong Γ, thì φ ∈ Γ và φk → φ trong Γ,khi k → ∞

Ví dụ 1.2.7 (xem [10, Chương 5]) Với hàm h : (−∞, 0] → (0, ∞), Xét khônggian

Ch := nφ : φ ∈ CR− và lim

s→−∞

kφ(s)kh(s) = 0

o,với chuẩn

kφkh := sup

−∞<s≤0

kφ(s)kh(s) .Khi đó, Ch là không gian giảm nhớ

Trong trường hợp đặc biệt h(s) = e−νs, chúng ta có ví dụ sau

thỏa mãn các tiên đề trên với K(t) = 1, M (t) = e−νt, t ≥ 0 Vậy Cν là khônggian giảm nhớ.

Chú ý 1.2.9 Xét x(·) là hàm xác định và liên tục trên R lấy giá trị trong Xsao cho x(·)|R+ ∈ Cb(R+, X) và xt ∈ Cν với mọi t ≥ 0 Khi đó, ta có

Định nghĩa 1.2.10 Một tập đóng K trong không gian Banach W được gọi

là nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,

(ii) x1, x2 ∈ K thì x1 + x2 ∈ K,

(iii) ±x ∈ K thì x = 0

Cho nón K trong không gian Banach W Với x, y ∈ W ta xác định quan

hệ x ≤ y nếu y − x ∈ K Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W Định lý 1.2.11 (Bất đẳng thức nón) Cho nón K trong không gian Banach

W sao cho K là bất biến với toán tử A ∈ L(W ), A có bán kính phổ rA < 1.Giả sử x, z ∈ W thoả mãn x ≤ Ax + z Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm củaphương trình y = Ay + z và thoả mãn x ≤ y

1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá

Một trong những mối quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa phương trình vi phân tuyến tính

dx

dt = A(t)x, t ∈ [0, ∞), x ∈ X, (1.6)trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trên không gian Banach X với mỗi t cốđịnh, là tìm điều kiện để nghiệm của phương trình ổn định hoặc có nhị phân

mũ Trong trường hợp A(t) là hàm nhận giá trị ma trận và liên tục, Perron

đã tìm được sự liên hệ giữa dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình(1.6) và các tính chất của toán tử vi phân dtd − A(t) xác định trên không gian

Cb(R+, Rn) Kết quả này là sự khởi đầu cho nhiều công trình về lý thuyếtđịnh tính của phương trình vi phân Trong các chuyên khảo của Massera vàSch¨affer (xem [17, 18, 19], Daleckii và Krein (xem [27]) đã chỉ ra tính nhịphân mũ của nghiệm bởi điều kiện toàn ánh của toán tử vi phân dtd − A(t)trong trường hợp A(t) bị chặn Levitan và Zhikov [3] đã mở rộng kết quảcho trường hợp vô hạn chiều với lớp phương trình xác định trên toàn đườngthẳng Với phương trình xác định trên nửa đường thẳng, để đảm bảo tínhnhị phân mũ ngoài điều kiện toàn ánh của toán tử vi phân dtd − A(t) chúng tacần thêm điều kiện là tính đủ của không gian con ổn định (xem [27, 45, 47]).Trong [34] N.T Huy đã đặc trưng tính nhị phân mũ của nghiệm dựa vào

không gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng trong trường hợpA(t) không bị chặn.

Xét bài toán Cauchy

(

˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ s ≥ 0,x(s) = x,

(i) Yt ⊂ D(A(t)) là các không gian con trù mật trong X,

(ii) mỗi x ∈ Ys thì bài toán Cauchy (1.7) có duy nhất nghiệm u(·, s, x),(iii) nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu sn → s

và Ysn 3 xn → x ∈ Ys thì ˜u(t, sn, xn) → ˜u(t, s, x) đều theo t trên mọiđoạn compact trong R+, trong đó ˜u(t, s, x) := u(t, s, x) với t ≥ s và

˜

u(t, s, x) := x với t < s

Khi bài toán Cauchy đặt chỉnh, chúng ta xây dựng được một họ các toán

tử giải biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) Họ các toán tử này đượcgọi là họ tiến hoá

Định nghĩa 1.3.2 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0 trênkhông gian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ)nếu

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,

(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,

(iii) tồn tại các hằng số K, α ≥ 0 sao cho kU (t, s)xk ≤ Keα(t−s)kxk với mọi

t ≥ s và x ∈ X

Nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) qua họ tiến hoá được cho bởi côngthức u(t) = U (t, s)u(s) Khi A(t) ≡ A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xácđịnh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 sinh bởi toán tử A, khi đó chúng ta

có họ tiến hoá U (t, s) = T (t − s) Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnhhay sự tồn tại của họ tiến hoá, chúng ta có thể tham khảo trong Pazy [1],Nagel và Nickel [53]

Trong luận án này, chúng tôi sẽ xét những họ tiến hóa có nhị phân mũ,được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.3.3 Cho U := (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hóa trên không gian X.(1) Họ tiến hoá U được gọi là có nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán

tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0sao cho

(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s ≥ 0;

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0, là đẳng cấu,chúng ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)|)−1, 0 ≤ s ≤ t;(c) kU (t, s)xk ≤ N e−ν(t−s)kxk với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0;

Ta có tính chất sau của các toán tử chiếu nhị phân P (t).

Bổ đề 1.3.4 [45, Bổ đề 4.2] Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũvới các toán tử chiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ các toán tử chiếu (P (t))t≥0

là bị chặn đều và liên tục mạnh

Kí hiệu H := sup

t≥0

kP (t)k < ∞

Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với họ toán tử chiếu

P (t), t ≥ 0 Chúng ta định nghĩa hàm Green như sau

G(t, τ ) =

(

P (t)U (t, τ ) nếu t > τ ≥ 0,

−U (t, τ )|(I − P (τ )) nếu 0 ≤ t < τ (1.8)Khi đó, ta có đánh giá

kG(t, τ )k ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với t 6= τ ≥ 0 (1.9)

1.4 Đa tạp ổn định địa phương đối với

phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Trong phần này, ta xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u + g(t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (1.10)trong đó, A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t

cố định và g : R+ × X → X là toán tử phi tuyến Giả sử rằng, họ các toán

tử A(t), t ∈ R+, sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ Dựa vàokhông gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳng, N.T Huy đã chỉ rađiều kiện của hàm g để phương trình (1.10) tồn tại đa tạp ổn định (xem[35]) Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay vì xét phương trình (1.10)chúng ta xét phương trình tích phân:

Nghiệm của phương trình (1.11) còn được gọi là nghiệm đủ tốt của phươngtrình (1.10).

Giả sử Br là hình cầu tâm 0, bán kính r trong X, tức là,

Br := {x ∈ X : kxk 6 r}

Định nghĩa 1.4.1 (Hàm ϕ-Lipschitz địa phương) Cho E là không gian hàmBanach chấp nhận được, ϕ ∈ E là hàm không âm Hàm g : [0, ∞) × Bρ → Xđược gọi là thuộc lớp (L, ϕ, ρ) với các hằng số dương L, ρ nếu g thỏa mãn:(i) kg(t, x)k 6 Lϕ(t) hầu khắp nơi với t ∈ R+ và x ∈ Bρ,

(ii) kg(t, x1) − g(t, x2)k 6 ϕ(t)kx1− x2k hầu khắp nơi với t ∈ R+ và với mọi

t ≥ 0

(iii) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.11)trên [t0, ∞) thoả mãn u(t0) = x0 và esssupt≥t0ku(t)k 6 ρ.

Chú ý rằng, nếu đồng nhất X0(t) ⊕ X1(t) với X0(t) × X1(t) thì St = graph(ht)(trong đó graph(ht) là đồ thị của ánh xạ ht)

Định lý 1.4.4 [35, Định lý 3.8] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân

mũ với các toán tử chiếu P (t), t ≥ 0, với các hằng số nhị phân N, ν > 0.Giả sử rằng, g thuộc lớp hàm (L, ϕ, ρ) với hàm ϕ ∈ E là một hàm không âmthỏa mãn

(1 + H)N (N1kΛ1T1+ϕk∞+ N2kΛ1ϕk∞)



1, ρ2L,

1

1 + N



Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định địa phương S đối với các nghiệm của phươngtrình (1.11) Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u1(t), u2(t) trên đa tạp S hút cấp

mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t−t0 )kP (t0)u1(t0) − P (t0)u2(t0)k với mọi t ≥ t0

Kết luận Chương 1

Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức đã biết trong nhiều tàiliệu tham khảo khác nhau Đó là những kiến thức được sử dụng làm cơ sởnghiên cứu cho các chương sau của luận án

Chương 2

SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CÓ ĐIỀU KIỆN

CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA NỬA TUYẾN TÍNH

Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tạiduy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính Sau đó, ápdụng kết quả này kết hợp với Nguyên lý ánh xạ co, bất đẳng thức Gronwallchỉ ra sự tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hoàn đốivới phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình

tiến hóa tuyến tính

Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuầnhoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất với hàm đầuvào f lấy giá trị trong không gian Banach X, trong đó X là không gian đốingẫu của không gian khả ly Y (tức là, X = Y0 với Y là không gian Banachkhả ly) Xét bài toán tuyến tính không thuần nhất với hàm u(t) chưa biết

du

dt = A(t)u(t) + f (t), t ∈ R+, (2.1)trong đó họ các toán tử (A(t))t≥0 được xét sao cho bài toán Cauchy thuần nhất

(2.2)

là đặt chỉnh Tức là tồn tại họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 sao cho nghiệm của bàitoán Cauchy (2.2) có dạng u(t) = U (t, s)u(s) và nghiệm đủ tốt của phươngtrình (2.1) với điều kiên đầu u(0) = u0 ∈ X là hàm u liên tục thỏa mãnphương trình tích phân

Giả thiết 2.1.2 Không gian Y xem như là không gian con của không gian

Y00 (qua phép nhúng chính tắc) bất biến dưới tác động của toán tử U0(T, 0),với toán tử U0(T, 0) là đối ngẫu của U (T, 0)

Định lý sau cho chúng ta kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuầnhoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất thông qua sựtồn tại nghiệm bị chặn

Định lý 2.1.3 Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y 0, f ∈

Cb(R+, X) Giả sử tồn tại u0 ∈ X sao cho nghiệm đủ tốt u của phươngtrình (2.1) với u(0) = u0 thỏa mãn u ∈ Cb(R+, X) và

kukCb(R+,X) 6 M kf kCb(R + ,X) (2.5)Giả sử các Giả thiết 2.1.1, Giả thiết 2.1.2 thỏa mãn và f là tuần hoàn vớichu kì T Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoàn với chu

kì T thỏa mãn:

kˆukCb(R+,X) 6 (M + T )KeαTkf kCb(R+,X) (2.6)

với α, K xác định trong Định nghĩa 1.3.2.

Hơn nữa, nếu họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:

lim

t→∞kU (t, 0)xk = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+ (2.7)thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T của phương trình (2.1) là duy nhất.Chứng minh Việc chứng minh tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì

T của phương trình (2.1) tương đương với việc chứng minh tồn tại ˆx ∈ Xsao cho

là nghiệm của phương trình (2.1) và với t = T ta có

y(T ) = u((k + 1)T ) = U (T, 0)u(kT ) +

u(0) = ˆx là nghiệm tuần hoàn với chu kì T

Tiếp theo, chúng ta chứng minh bất đẳng thức (2.6) Vì nghiệm đủ tốtˆ

u(t) của phương trình (2.1) là tuần hoàn với chu kì T nên

Cuối cùng, chúng ta chứng minh nếu họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 thỏa mãn(2.7) thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T là duy nhất Thật vậy, với ˆu1

và ˆu2 là hai nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T của phương trình (2.1).Đặt v := ˆu1− ˆu2 thì v cũng tuần hoàn với chu kì T , từ công thức (2.3) chúng

2.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình

tiến hóa nửa tuyến tính

Sau khi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn củaphương trình tiến hóa không thuần nhất (2.1), đến phần này, chúng tôi ápdụng kết quả đó để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuầnhoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với phần phi tuyến là toán

(1) kg(0)kCb(R+,X) ≤ γ, γ là hằng số không âm;

(2) g là ánh xạ biến hàm tuần hoàn với chu kì T thành một hàm

tuần hoàn với chu kì T ;

(3) tồn tại các hằng số dương ρ và L sao cho

U (t, τ )g(u)(τ )dτ với mọi t ≥ 0 (2.19)

Định lý 2.2.1 Giả sử tồn tại hằng số M sao cho với mỗi f ∈ Cb(R+, X)phương trình (2.1) có nghiệm đủ tốt u với điều kiện đầu u0 ∈ X thỏa mãn

u ∈ Cb(R+, X),

kukCb(R+,X) ≤ M kf kCb(R+,X),

và họ tiến hóa U (t, s)t≥s≥0 thỏa mãn:

lim

t→∞kU (t, 0)xk = 0 với x ∈ X sao cho U (t, 0)x bị chặn trong R+

Xét hàm g thỏa mãn điều kiện (2.18) Khi đó, nếu L và γ là đủ nhỏ (xem(2.21)) thì phương trình (2.17) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt ˆu tuần hoànvới chu kì T trong hình cầu thuộc Cb(R+, X)

Chứng minh Xét tập đóng BρT ⊂ Cb(R+, X) xác định như sau

BρT := {v ∈ Cb(R+, X) : v là tuần hoàn với chu kì T và kvkCb(R+,X) 6 ρ}.Chúng ta xác định phép biển đổi Φ như sau: Xét phương trình

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng

Tính chất nghiệm tuần hồn dáng điệu tiệm cận nghiệm s? ?lớp phương trình vi phân

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, sử dụng phương. ..

về lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,

Các kết ý tưởng luận án sử dụng nghiên cứudáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân, phương trình? ?ạo hàm riêng... phương pháp Ergodic nghiệm tuầnhồn phương trình Navier-Stokes Phương pháp này, Zubelevich

mở rộng (xem [51]) vào năm 2006 từ mối liên hệ nghiệm bị chặn v? ?nghiệm tuần hồn phương trình vi