Anales de la Facultad de Ciencias de Zaragoza Vol 06 1908

El primer punto A es el origen El origen de unvector no es atributo esencial del mismo, pu-diendo según las cuestiones, ser un punto determinado ó por el vector por su longitud ó módulo,

WNO IX «JUNIO Núm <3

sxj3vc>\.ií.io

R Guimaraes.— Lecciones elementales de

Química.—Una lección de Química mineral M.

Historia natural—Liqúenes de Aragón, por el

Resúmenes del año 1907 Estaciones de Zaragoza,

Congresos científicos.—Crónica —Bi»

recibidas

1 año 8 pesetas.

1 id ÍO Jrranoos.

ZARAGOZA

Establecimiento Tipográfico de Emilio Casañal, Coso, 100

l©OS

Anales de la Facultad de Ciencias

-:«-DIRECTOR

D PAULINO SAVIRÓN, Decano de la Facultad

D JOSÉ RIUS Y CASAS, Secretario de la Facultad

SEÑORES PROFESORES OE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE ZARAGOZA

ALVAREZ Y UDE (José Gabriel).—Catedrático de Geometría descriptiva y

ARÉVALO Y CARRETERO (Celso).—Auxiliar deHistoria Natural.

BOZAL Y OBEjERO (Eduardo).—Auxiliar deFísica.

CALAMITA Y ALVAREZ (Gonzalo).—Catedrático de Químicaorgánica.

FERRANDO Y MÁS (Pedro).—Catedrático de Historia natural.

GALÁN Y RUIZ (Gabriel).—Catedrático de Astronomía y Cosmografía

G DE GALDEANO (ZOEL).-Catedrático de Cálculo infinitesimal.

GREGORIO Y ROCASOLANO (Antonio de).—Catedrático de Química general.

IZQUIERDO Y GÓMEZ (J. Antonio).—Catedrático de Física y Cristalografía.

MARCO Y MONTÓN (Juan).—Auxiliar de Mecánica y Astronomía

RIUS Y CASAS (José).—Catedrático de Análisis matemático, 1.° y 2.° curso.

RUIZ TAPIADOR.—Auxiliar deAnálisis matemáticoy Catedráticodel Instituto.

SAVIRÓN Y CAR A VANTES (Paulino).—Catedrático de Química inorgánica y sis químico

Análi-SILVÁN Y GONZÁLEZ (Graciano).—Catedrático de Geometría analítica y

Geome-tría métrica.

YOLDI Y BEREAU (Francisco).—Auxiliar de Química

PUBLICACIONES RECIBIDAS

Annals of the New-York Academy of Sciences. Vol, V bis XV and

Vol XVII, Part IandII.

Proceedingsof theAcademyofPhiladelphia.VolLIX.Part IandII.

—

Explo-raciones botánicasen Talamanca, Ibid.

—

Lafumigana del cafeto, por Ibid.

Invertebrados de Costa-Rica, III. Lepidópteros heteróceros, porH Pittier

DE ZARAGOZA

ANO II JUNIO DE 1908 NUrt 6

El IV Congreso internacional de matemáticos

El acontecimiento más importante de este año ha sido el

IV Congreso internacionaldematemáticos deRoma, y lo ha sido,

halla-ban los matemáticos más eminentes del mundo, salvo algunaexcepción digna de sentirse, como la ausencia de los ilustres

su-perado al de los Congresos anteriores, pues asistieron cerca de

enseñanza media

Franciase hallaba representada por los ilustres miembrosdelInstituto, Darboux, Goursat* Jordán, Picard,Poincaré, porlos»sa-

puede asegurarse que nofaltóninguno de los máseminentes temáticositalianos;y en verdad, que ningunanacióndejó de estar

ma-temático

En cuantoá lassolemnidades que hantenido lugar, con motivodel Congreso, y que le han dado unrealce digno delaimportancia

del acontecimiento, su relación no cabe en los estrechos límites

con-gresistas, por el Rector de la Universidad, Sr Tonelli, la sesión

inaugural en la salade los Horaciosy Curacios, bajo la

mathe-matiche in Italianella seconda meta del secólo XIX.

En la primera sesión plenaria (6 de Abril), á propuesta del

Sres Cerruti, D'Ovidio, Forsyth, Gordan, Jordán, Lorentz,

nom-— 82 —

brados secretarios los Sres Castelnuovo, Fano, Reina, Barnes,Hadamard, Holgate, Krazer, Phragmen, Schlesinger

Severi por su trabajo acerca de la Geometría soprale superficiealgebriche

ofthesecond order as regards formal integration

Segunda sesión plenaria (7 de Abril), Mr Darboux leyó su

Tercera sesión plenaria (8 de Abril) Los profesores señores

Newcomb y Lorentz, leyeron sus trabajos respectivos: Lathéorie

Cuarta sesión plenaria (9 de Abril) Por no poder asistir

M. Poincaré, se encargó M Darboux de leersu trabajo: Lavenirdes mathématiques, y M. Picard leyó el suyo: L'Analyse dans

ses rapports avec la Physique mathématique.

La quinta sesión plenaria estaba ácargo de losilustres

méto-dode las variables independientes y la Geometría, no

arquimé-dea, no pudieron serleídasporgraves ocupacionesqueretuvieron

al primero en Gottinga y por enfermedad del segundo, con

gene-ralsentimiento de los congresistas

las cuatro secciones, nos limitaremos á unasimple exposición de

los nombres de los autores, pues dichos trabajos se publicarán en

el tomocorrespondiente á este Congreso

co-municacionespresentadas por los Sres Gordán, Zermelo, Borel,

Hadamard, Schlesinger, Remoundos, Pick, Saltykow, Lalesco,

Donder, Pascal, Stéphanos, Montessus, Pucciano, Capelli,

Bog-gio y Autonne.

Los conceptos predominantes fueron losde conjuntos,

ecuacio-nes diferenciales, singularidades,seriesygrupos

Sección II Geometría -Se leyeron 17 comunicaciones

presen-por Andrade, Varicak, Zeuthen, Montesano,

Se-— 83 —

veri, Bagnera De Franchis, Rados, Bianchi, Pannelli, Dingeldey,

lageometría algebraica, morfología de los poliedros, grupos,

et-cétera

comunicaciones presentadas por los Sres Darwin, Lamb,

Garbasso, Greenhill, Sommerfeld, Boggio, Brocardi, Genese,Macfarlane, Tedone, G H Bryan, Poynting and Barlow, Kolo-

soff y Marcolongo

Sección III B Ciencias delactuario Se leyeron 12

Bohlmann, Borel, March, De Helguero, Lembourg, Gini,

Daw-sony Castelli

presenta-das por losSres Luiggi, Canevazzi, D'Ocagne, Claxton-Fidlery

Swain

Sección IV. Enesta sección se leyeron 39comunicaciones

primera sección, feyeron sus comunicaciones los Sres Enriques,Hessenberg, Boutroux, Itelson, Simón, Bernstein, Pastore, Ga-

sus comunicacioneslos Sres G Loria, H G Zeuthen, Dav Eug.

Smith, P Duhem, Giacomelli, G Pitarelli, Emch, Marcolongo y

Amodeo En la tercera sección leyeron sus comunicaciones los

Archen-hold,Suppanschitsch,Beke,Vailati,Fehr, Stéphanos, Archenhold,

Andrade, Conti, Galdeano, E d' Amicis y Delitala

Al terminar la última sesión de la sección IV.a se acordó, en conformidad con una proposición presentada por Mr Smith, nom-brar una comisión internacional con el objeto de estudiar lasre-

formas de la enseñanza matemáticaenlosestablecimientos

secun-darios, formada por los Sres Klein, Greenhill y Fehr, y que

Ll

Ensei gnement mathématiqne, cuyo director es M. Fehr, sea el

órgano de dicha comisión

El nombramientode esta Comisión fué aprobado, con general

donde se tomaron importantes acuerdos tales como el de

unifica-ción de las notaciones vectoriales, propuesto por Mr Hadamard,que las matemáticas aplicadasy la ciencia del ingeniero seanob-

comisión internacional preparelos trabajos de dicha sección,

se-gún propuso M D'Ocagne;

- 84 —

cuyo fin, el Congreso dirigió unasúplica á la Asociación

Petersburgo para auxiliar dicha empresa

Finalmente, á propuesta del profesor Mr A R Forsyth, se

acordó por unanimidad, que el próximo Congreso internacional

del Congreso, de que el siguiente tenga lugar en Stockolmo,

se-gún propuso el profesor Mittag-Leffler; y conforme al deseo

ex-puesto por Mr Hadamard que se facilite la aproximación delosmatemáticos y físicos, porconvocaciones simultáneas de los pró-

ximos congresos

Mr Darboux terminó el acto expresando su gratitud áS. M. el

Z G de G

- 85

-Observación á una nota concerniente á la espiral de Poinsot

aditamento ao Instituto, 1908,en el error de que«la sub-normal

y lasub-tangente á la espiral de Poinsot, son iguales y de signo

2. Es además fácil, como lo observa M Wasteels, encontrar

lascurvas que gozan de lapropiedad expresada por

S = —r y S,= —r.

unas como las masas, trabajos, temperaturas, segmentos,

una cierta escala, y se denominan por eso escalares; en otras,

cono-cer para su determinación, [no solo el valor numérico y el signocorrespondiente á su sentido, sino también su dirección ú orien-

tación Estas cantidades dirigidas, se denominanvectoriales

En particular, se llama vector, á la diferencia de posición

determinado y limitado por ellos. El primer punto A es el origen

El origen de unvector no es atributo esencial del mismo,

pu-diendo según las cuestiones, ser un punto determinado ó por el

vector por su longitud ó módulo, la dirección y el sentido Dos

igua-les; si además están situados sobre la misma recta se suelen

de-nominar equivalentes; y cuando siendo iguales tienen el mismoorigen sonidénticos

2.— Para representarun vector seusan muyvarias notaciones,

ypodemos adoptar una letra minúscula del tipoabe. en

suponemos representados todosjos elementos

Cuando queramos á su longitud, denominada

por Hamilton tensor, por varios autores escalar y por otros

módulo, adoptaremos esta última palabra escribiendo mod a,

modb, ,3' á veces lo designaremos también con la misma

letra del tipo a, b, c

Conocidos el origen A y extremo B de un vector lo

la notaciónB — A usada porGrassmann y Hamilton, que tiene la

ventaja de obedecer en las operacionesá leyes formales

semejan-tes á las umversalmente conocidas del análisis algébrico, y que conduce á resultados conformes con sistemas mecánico-geométri-

cos másgenerales que elvectorial

opuestosó sea de igual módulo y dirección pero de sentidos

) formado

por los vectores iguales B — A y C — D Cambiando de signo á

los dos miembros, vemos que tampoco se altera la igualdad

mate-mática

Si aes unvector y ponemos

B — A = a será B = A + a;

y expresaremos de ese modo que B es el extremo del vector a

cuyo origen es A Un vector determina pues la posición de un

punto B respecto deotro punto dado A Se puede por

consiguien-te decir, enuncálculogeométrico deleyesanálogas á lasdel

algé-brico, que:

pun-toy un vector es otropunto

3. Suma de vectores.—-En cuanto cantidades, aunque

cálculo, con las diferencias que correspondan á su modo de ser

Así, de la suma de segmentos resulta la de vectores sin másque

tomar en cuenta dirección y sentido

Sumar vectores uno continuación cada

cual en su dirección y sentido; el vector que tiene por origen el

del primero y por extremo el del último sumando, es la sumade

geomé-trica de vectores, y entonces los sumandos reciben el nombre decomponentes

tomare-mos B — A = a, á partir de un origen cualquiera A y después

C— B = b, con lo que obtendremos el

punto C y elvector suma

C-A = (B-A) + {C-B) = a+b.

Sidesde el mismo origen A tomamos

pri-mero D — A = b y después C — D = a,

obtendríamos el mismo punto C y el

mis-mo vector suma, diagonal del

paraleló-gramo ABCD. Por consiguiente,

de donde resulta, como en la figura, que cada vector ó lado del

dos, y que lasuma geométrica de los tres es idénticamente nula

La suma

(A-B) + (B-A) = 0,

á lasuma de los dos primeros el tercero,

sucesi-vamente; ó lo que es lo mismo formar

la línea poligonal (plana ó no plana)

cualquiera A, y sus lados consecutivos

componentes La sumaeselvectorF— A

Fig a.a

que une origen y extremo de esa línea

y del mismo modo podríamos escribirlos en unorden cualquiera.

Sucesivamente iríamos viendo lo mismo para cualquier número

cualquierade vectores esconmutativa

(a +b) + c = a + (b+ c) = b + (a+c),

Y lo mismo para cualquier número de vectores, ó sea que: la

tomarse los sumandos en unorden cualquiera y substituir grupos

desumandos por su suma.

(B-A) + (C-B) + +(F-E) + (A.-F) = 0,

esto es, que en todo polígono (plano ó no plano), lasuma trica de sus lados considerados como vectores es idénticamente

geomé-nula

Si consideramos tres vectoresnocoplanarios, se ve

inmedia-tamente que su suma es diagonal del paralelepípedo construidosobre tresvectores coinicialesiguales á los sumandos (fig 3.a).

5. Producto deunvectorpor un número. Vectores paralelos

solo habremos de atender á su valor y signo, que en la operaciónafectarán respectivamente al módulo y sentido del vector

Se llama producto de un vector a por un número real m\ á

un vector de igual dirección que a, de sentido igualó contrario,

según que m sea positivo ó negativo y de módulo igual á m por

mod a La operación podremos indicarla en la forma ordinaria

porla igualdad

la cual supone: dirección a' = dirección a; moda' = m (mod a),

Resulta así que: el vector a/ será un vector de módulo

—

los sumandos.

Multiplicando un vector por un número se obtiene, pues, otro

de la mismadirección Recíprocamente, dados dos vectores de la

misma direcciónaya' existe un solo número m tal que

número queserá m = "° a

, con el signo + ó — según que los

eluno es múltiplo del otro

6. Descomposición de vectores.—Como operación inversa de

óladescomposición de los mismos.

dela suma, se propone obtener uno de dos sumandos conocida la

suma y el otro sumando Para obtener el resultado ó diferencia,

{B — A) — (D - A) = (B- A) + {A —-D) = B — D.

El vector diferencia será la diagonal DB del paralelógramo

ABCD construido sobre los dos vectores(fig 1 a

).

Si tenemos un vector cualquiera de origen O y extremo P,

considerando una línea poligonal cualquiera (plana ó no plana),

P-0 = (A-0)+(B-A)-+(C-B) + 4-(P_jV),

y aparecerá dicho vector descompuesto en sumandos, que pueden

lle-gar áP.

En particular, si nos dan tresdirecciones ó ejesno coplanarios

modo tínicoy determinado enlos vectores A — O, B — O, C — O

según proyectando P cada uno de

paralelamente al plano de los otros dos Estas componentes,

proyec-ción del vector sobre cada una de

plano delasotrasdos, y para evitar

ambigüedades se eligen sobre cada

positi-vos

Cuando el vector esté enel plano

de dosdeesas direccionesla

compo-nente correspondiente á la tercera

dos componentes A — O, B — O, que se obtienen proyectando el

vector sobrecada uno de los ejes paralelamente al otro

Recípro-camente dos componentes A — O y B — O,

nos determinan un vector único en su

pla-no, que será diagonal del paralelógramo

construido sobre esas componentes; y tres

A — O, B — O, C — O nos dan un vector

único de origen O, diagonal del

paralelepí-pedo construido sobre ellas.

7. Expresión deun vector.—Si p es el

vector y a, b, Csus vectores componentes será evidentemente

p = a + b + o.

podemosrepresentar respectivamente con /, y, k,llamandoa,b, c,

á los módulos delos vectores a, b, c, será

Las cantidades escalares a, b, c se llaman coordenadas del

recíprocamente á cada terno de números considerados como

coordenadas deun vector corresponde un vector único en dicho

sistema

vectoresI, flacoordenada c será nula, y

«1 4 bj

— 93 —

Es de evidencia inmediata, en virtud de todo lo dicho hasta

p = ai+bf-j- ck, p = a'i+b'g+ c'k

son dos vectoresserá

P +p = (a + «') /+ (b + b')i+ (c+ c') Ir;

y también para varios vectores, tendremos

Del mismo modo

mp = mal-{- mbj-\- mck;

estoes: las coordenadas de un vector suma son la suma de lascoordenadas; ylas delproduelode un vector por un número,el

producto delas coordenadas por ese número.

for-ma: las proyecciones de la resultante, son sumasde las

corres-pondientes proyecciones de las componentes Por tanto, si la

y tendremos

£« = 0, 16 = 0, Sc = 0;

y recíprocamente si eso se verifica para tres ejes no coplanarios,

po-lígono, el teorema general de las proyecciones se enuncia

nocoplanariosson nulas, el contorno será cerrado

8. Consecuencias Vectores coplanarios Puntosen línea

direc-ción h tendrán por expresión, según hemos visto ai-\-bj, de

modo que

li-\- mf + nh = 0,será la condición para que tres vectores no nulos ni paralelossean coplanarios, puesto que cada uno de los vectores /#, mf, nh

tomado con sentido contrario puede expresarse como suma de los

toman como vectores axiales

tenga-mos /#+'«/= , será necesariamente l= , m = ; pues//+ w /

representa el vector suma de los no nulos ni paralelos//, my, y

para que esta suma sea nula habrán deserlo los sumandos ó biensus módulos /y m Por siguiente, l¡+ mi= 0, supone ó / = 0,

Cuando sea

li+mf = l'i+m'J,

m = m', como consecuencia inmediata de lo antedicho Si los tres

vectores coplanarios#, /, h ligados por larelación

están en línea recta

En efecto, eliminando nserá

ni -h) + m(f-h)=0,

y no siendo /, m nulos, habrán de ser de la misma dirección los

dos vectores i— h, f —h, que por tener común el extremo deh

estarán en la misma recta, demostrándonos el teorema

Ejemplos.—1.° Si los lados opuestos de un cuadrilátero

En efecto, tendremos

(B - A) + (C-B) = (D-A) +(C B),

pero{B-A) = m(C- D)y(C—B)=n {D—A)porser paralelos,luego

m (C - B) + n (D - A) = (C— D) + (B - A),

loque exige m = 1, n — 1, según queríamos demostrar

2.° Bas diagonales de un paralelógramo ABCDse bisecan

- 95 —

Pero E - B = m(E — D) y E - A = n (E— C) por ser de las

mismasdirecciones, luego

(m + l)(E— £>) + («+ 1)(C- E) =Q,

lo que exige m = — 1, n = — 1 por no ser E — D y C — Eni

nu-los ni paralelos

9. Si/,/, #rson tres vectores no paralelos, ni nulos, ni

copla-narios, ai-\- b j + ck sabemosque representa un vector no

cero Si consideramos un cuarto vector hse podrá expresar pues

U+mJ+nk + ph = 0.

Las cantidades escalares /, m, n, p, son en general no nulas

cuando los vectores dichos no están de tres en tres en un plano;y uno cualquiera de los vectoresli, mj, uk, phpodrá considerarsecomo suma de los otros tres tomados con signos contrarios Así

coordenadas serán—/, — m, n,y las del vector h serían

P '

'

Sili-f m¡ -\-nk= 0, no siendo /, /, k ni paralelos, ni nulos,

//+ »*/+ n k = l'i+ m'j +«'k,

Si cuatro vectorescoiniciales no nulos ligadospor la relación

//+ mj+nto +ph =0,

locual, pornoser /, m, nnulos,nospruebaque losvectores i—h,

/ — h, k — h son de la misma orientación, pero como tienen

común, el extremo de h estarán en plano, según queríamos

de-mostrar

10. Formaciones geométricas de primera especie

Baricen-tros.— Vimos en otro lugar (2), lo que podía entenderse por suma

deun punto conun vector, que no es otra cosa que aplicar á ese

punto translación representada por vector Con eso y

B = A + (C- D).

estable-cerse, gocen de todas las propiedades de la igualdad algébrica,

por producto deun punto porun número, interpretaciónque dará

á conocer la ventaja de lanotación vectorialB — A

Todo eso tieneun significadogeométricopreciso enlas

importancia deambas teorías pruebacuanoportunoresulta

exten-der el algoritmo estudiado, de modo que, por puntos y vectores,

con las operaciones deadición, substracción y productonumérico

seobtenga un cálculo geométricoidéntico al algébrico

Si x son números reales y A puntos (i= 1, 2. 3 n) la

suma

2x. A =x, A, -f- x2 A2 + x3 A3 + + xnA

n ,

se llamaformación geométrica de primera especie, según

deno-minación de Grassmann Una formación se dice nula cuando

siendo O un punto cualquiera se tenga

S*.U._O) = 0;

y dos formaciones se llaman iguales, si análogamente

Ex.{A - O) = Sx' (A'.— O).

Una formación esno nula, si hay algún punto O tal que

Sx.U.-O)>0.

De ese modo quedandefinidaslasformaciones geométricas por

mediode los vectores Asíla formación

A + B

(A - O) + (B - O),

querepresenta precisamente el doble del vector que va de O al

punto / medio de B — A; luego cualquiera que sea O tendremos

(A - O) + (B- O) = 2(1- O),

— 97

-ó escrito deotro modo

A+B = 21;

ó bien: lasuma de dospinitos esel doble del pinito medio

Todo punto es una formación de primera especie Si Ai es un

punto existeal menosotro distinto deAy \ siAt , A^son dos puntos

distintosexistiráal menos unofuera dela rectaA¡A2; si At ,A.2 , A3

son tres puestosno colineares, existe almenos un punto no

situa-do en el plano AiAiA3. Las formaciones xiAll x¡A¡-\-xiA.2,

xiAl -\- x.2A.2-\- x3A3 áe los puntos antedichos no serán nulas,

siAl} A2 , A3 son puntos de una recta, óAt , A<¡, A3,A4puntos de

necesariamentenulas;luego, tambiénexisten formaciones nulas

estudiado acerca delos vectores

A las formacionesse les puede aplicar las operaciones de

adi-ción, substracción y producto por un número, ya directamente,

ya por el intermedio de los vectores De modo que podremos

Por extensión de lo dicho para los vectores,resultará que esa

suma y productogozará de las propiedades de la suma y del

pro-ducto algébrico ordinarios

11. Toda formación geométrica

Lx.A.

cuando se refieraá un origen O, equivaldráá unvector nulo ó no

nulog, y podremosescribir

Zx.(A.-0)=g.

Pero Zx.(A.— O) = Zx.A — xO, llamando x ála cantidad

— ^x.A = + — a = G,

x l l x a

cuando x ^0. Esto nosdice que — ^x.A representa un punto,

denominado por Mobius baricentro del sistema de puntos A

lo que nos dice que lasuma delosvectoresqueunenel baricentro

conlospuntosdel sistema, multiplicado cadavector porsu pesocorrespondiente,es nula, ó también de otro modo, que existe un

polígono de lados paralelos á esos vectores

Si x = 0, podrán separarse los pesos en dos grupos x',x",

y portanto,

—, 1.x'.A'.- 4 I,x".A".= G' - G";

x l l x l l

es decir, que entonces la formación equivale áun vector

Cuando todos los pesos son iguales

ZxA = x2A., y por tanto, I*A = nG,

(A

Í -G) + (A1 -G) + +(A

n-G) = 0,

medias con lospuntosdelsistemaes nula, ó bien existe un

Si son dos los puntos, la formación

cuyosparéntesis representan elpunto dela recta AB que divide

distin-n

tosigno,alvectorB — Aen larasón —inversa deladelospesos

m

Cuando m = n, ese punto será el punto medio / de A y B, y

ya vimos que teníamos A -\- B = 21

Para laformación de trespuntos

x A -\-x A + x A = (x, +x )6, x A = (x, +x^+ x )G,

— 99 —

yluego este punto (?, de masa (x,+ xt quedivide á A2—

vemos que el punto G está en elplano AlA1A3) como también

baricen-tro del sistema de los otros dos

De un modo análogo podríamos construirel baricentrode una

formación cualquiera, hallando el Gí de masa xi -f-x.2

sucesivamente hasta considerar todos los elementos de la

forma-ción Como vemos que la suma de formaciones es conmutativa y

indiferen-te, y también se podrán substituiralgunos de ellospor sutro.

baricen-Cuando los puntos de laformación están en una recta ó plano,

la formación equivale á un vector paralelo á esa recta ó plano,

porque llamando G albaricentro de n — 1 puntos, será

: Ex.A =¿(ar, +'Xt+ + X )G + x A =x (A - G)

l l vil -¡i i n—V '

tí » n v n

Para elcaso de ser la formación nula y Ex = 0, uno cualquiera

de los puntosserá baricentro del sistema formado por los demás

lados de un triángulo ABCes paralela al tercero é igual d su

pun-tocomún á sus medianas

Sea G ese centro y será

A + B + C=3G,

son los puntos mediosde los lados opuestos á A, B, C. Se ve

porser

B+C

el mismo baricentro

3.° Las bisectricesde un triángulo dividen al lado opuesto

en partes proporcionales á las longitudes de los lados centes

B —A, de los lados del triángulo La suma ó diferencia de los

representa los puntos de esasbisectrices Esepunto se encontrará

en el ladoBC, cuando el coeficiente de A es nulo, es decir,

cuan-do sea

(b+c)xK = bc ó bien — B + ^- C= — — [bB + cC)

~ . c _ ~ b b ±c K

-Esto nosprueba que los puntos de los bisectricesdel ángulo A

si-tuadas en el ladoBC,sonbaricentrosdelasformacionesbB±cC,

es decir, dividen á eselado en las razones + -r, según queríamos

demostrar

Llamando A' B' C los puntos en que las bisectrices interiores

encuentran álos lados opuestos, será

{b +c)A' = bB +cC\ {c+ a)B' = cC+aA; (fl+6) C'= aA+bB,

aA + bB+cC = aA+(b +c)A' = bB + (c+a)B' = cC+(a +b) C";

lo que nos prueba que lasbisectrices interiores se encuentran en

aA-\- bB Del mismo modo

- 101 —

veríamosque los centros deloscírculos ex-inscritos, son

baricen-tros dela formación que resultade cambiar en la anteriorel

sig-no deuna de las cantidadesescalares a, b, c.

opuestos y de lasdiagonales de un cuadrilátero (plano ó no

Enefecto, llamemos G el centro de distanciasmedias, ósea

que biseca las rectasque unen los puntos medios de losparesde

5. Si en los lados de un polígono A

los polígonos AlAiA3 A y B,B¿B3 B tienen el

En efecto, se verificará que

B-Ai= k{A-Al),Bi-A, = k(A3 -A.2 ) B-A=li{A-A¿,

ó bien

B-A =k{B -A¿, B -A =k(B -A B- A=k{B -A,);

- 102 —

de donde resultan por suma

£-B = ká y (l-*)2B.;=(l-*)-2-4

según queríamos demostrar

12. Aplicando albaricentro G de una formación, que mos suponerdefinido por laidentidad

podre-x.(A - G) = 0,

el teorema general de las proyecciones (7), suponiendo el plano

XO^Y pasando por G, será

Ex c.= 0,

siendo c.'(i = 1, 2, 3 «)el valor algébrico de las proyecciones

delosvectores {A.— G) sobre el eje OZ, ó también las

proyectan-tesde los puntos A sobre el planoXO Fque pasa porG Por

una formación á un plano que pase porsu baricentro,

multipli-cada cada una porsu peso correspondiente, es nula, cualquiera

Recíprocamente, si la suma delasdistanciasdelospuntos A.

de una formación á un plano, multiplicada cada distancia por

eseplano, pues siA', es laproyección de A será por hipótesis

2x.{A - A') = 0, ó bien, Zx. A = 2x. A'.,

locual nos prueba que el baricentro dela formación dicha, es el

de laformación proyectada Sx.A'., y está por tanto en el plano

deésta

Para el centro de distancias mediasserá nula la suma

geno, se distingue de ellos por un gran número de puntos no

separece á lafamilia del Nitrógeno,sinoporsu trivalencia »

Vamos á tratar de demostrarlo contrario: que elboro, bajo el

punto de vista de sus caracteres químicos, puede y debe

No es éste el criterio generalmente seguido por los autores:

Dumasy Fremy, lo clasifican con el carbono y el silicio. En lasclasificaciones de Mendeléef y Wendt si es cierto que lo ponen

con el fósforo, arsénico y antimonio), también lo ponen junto al

carbono;la serie 2 a

de Mendeléef, Li, Gl,Bo, C,N, O, Fl, es

pró-ximamenteigualá la serie 1 a de Wendt, H, Li, Gl, Bo, C, N, O,

pero el grupoIIIde Mendeléef,Bo,Al, Se, Ga, It, In,Di, Er, TI,

ya noes tanparecidoálafamilia4.a deWendt, dondeseagrupan:

En la curva de Lotario Meyer, N, Pli,As y Sb, están en las

ramas ascendentes de la curva y Bo está próximo al N, en la

misma depresión de la curva que representa el II período de la

clasificación de Mendeléef, en su mínimo No ocupan, pues, lugarsemejante comoocurre con loselementos semejantes

Únicamente en las clasificaciones por la valencia, estájunto á

los elementos nitrogenoideos y esto esjusto y razonable, no

pu-diendoser de otro modo, por ser el Bo un elemento, netamentetrivalente

- 104 —

En la clasificación de Moissan, que dice agrupar los cuerpossimples por familias naturales conforme al conjunto de sus pro-

piedadesfísicasyquímicas, se estudia el Bo después del N, Ph,

As, Sb,Bi, Va, Nb y Ta, separado de éstos, aunque antesdel C,

que á su vez está separado del Si y congéneres Justifica estoMoissan con la opinión de Dumas.

— En nuestro entender, el Bo tiene grandes analogías con los

elementos nitrogenoideos.Comienzanestaspor su trivalencia,

clara-mente tetravalentes

El hidruro de boro, tiene fórmulaBoH3 completamente

análo-ga álas del amoniaco, Nfí3, fosfamina,PhHs , arsenamina, AsH3

hidruros diversamente condensadoslíquido y sólidos yhasta talino el Ph.2H3 , no lo es menos que los autores admiten hasta

cris-siete hidruros deboro con diversos modos de condensación ycatenación

con-H

H Bo — BoH HBo = BoH ^

H,Bo-BoR-BoH, H2Ro - Bo-=BoH HBo _ BoR

H

Bo

X \

Bo = Bo

(No saturado cíclico)

saturado cíclico.

Todavíalas analogías son mayores con la arsenamina y

esti-bamina, pues si éstas dan manchas y anillos en el aparato de

Marhs, el BoH3 arde en sucombustión completacon llama verde,

mientras que cuando la combustión se incompleta cortando la

llama con la porcelana, deja mancha parda sobre ella, según

Pero las mayores analogías, se notan en la composición y

fosfo-roso Ph03H3, pero también hay un ácido metabóricoBo02H cuya

fórmula es en untodo semejante á las del ácido nitroso ydel monioso yá la del hidrato As.2 3 . H.20, que Walden admite en la

— 105 —

Todos los elementos del grupo, presentan completa ó

incom-pleta, ¡a serie orto-, piro-,meta-, de losácidos terminados en oso

El N, da NO.H y además nitritos correspondientes á las mulas N2 5Hí y N03H3 de ácidos desconocidos

El Sb, además de SbO.¿H, da el Sbfi.H, (dudoso) y el Sb03H3

Al anhidridobórico corresponden teóricamentelos ácidosorto,

piroy meta, conociéndose de hecho elmeta y el orto

Tenemos en resumen:

N0.2H — As0.2H Sb0.2H BoO.H

N03H3 Ph03H3 As03H3 SbOsH3 Bo03H3

nítrico

Se conocen perboratos cuya fórmula corresponde á la de un

Es cierto que la serie de los perbóricos no presenta más que

un término y aún éste desconocido, pero tampoco es completa

estaserie en todos los nitrogenoideos

Del N, se conoce bien el7V03//metanítrico yseadmitela

El Ph, presenta completa la serie de ácidos bien

no admiten quesean tres ácidos distintos

La falta de existencia real del ácido perbórico aislable no es

un argumento en contra de nuestra tesis, pues la existencia deperboratos correspondientes á esa fórmula demuestrala existen-

cia del edificio molecular, que eslo principal, y lo restante esuna

simple substitución de metal por hidrógeno

Ademásdel oxicloruro BoOCl, correspondiente al ácido

bóri-co, se conoce el oxicloruro BoOCl3 y si sustituímos Cl por OH,

tendremos BoO(OH)3ó seael ácido teórico ortoperbóricoy camentetambién, tendríamos lareacción:

teóri-BoOCl3 -f ZH.fi = BoO,tH3 + 3HCI.

— 106

-la formación deácidos polibóricos, pero los ácidos piro-son di- y además, también el Ph forma ácidos polimetafosfóricos

Respecto de la valencia del boro, hay que ver que el ácido

Bo 3Hcorresponde al anhídrido Bo.2 5 y siendo su composiciónsemejante á la del Ph^O^ su constitución también será semejante

Nótese nuevamente que los ácidos bóricos corresponden á los

terminados en osoy el perbórico al nítrico

Resumiendo: En virtud de las analogías vistas, el ácido

nitro-genoideos y másbien junto al arsénico y al antimonio

El conjunto de sus propiedades físicas, lo separa un poco,

porque en virtud de su peso atómico = 11, debiera colocarse á la

cabeza de la serie N, Ph, As, St, separándose del St y del As

sus más semejantes y rompiendo así la gradación existente de

comenzar porungasy acabar por los sólidos, pero este

Salamanca, Febrero, 1908

- 107

-DIQUENES DE ARAGÓN

J?OÍ\ ED í^. P DONGINOjá NAYÁ^, $ J.

INTRODUCCIÓN

1. Pin deestetrabajo.—Mejor que uncatálogodescriptivode

media-namente nuestravegetaciónliquénica; mas para conseguirlo hacefalta alguna obra que facilitesu estudio, y esto es lo que preten-

princi-piantes, poco impuestos en estos estudios, en gracia de los cuales

expondréalgunas nociones previasy en las mismas descripciones

procuraré, en cuanto sea dable, la facilidad y sencillez,

ahorran-do de tecnicismo ysutiles investigaciones

2. Puentes.— Por lo mismo no me detendré en citar los resclásicos, antiguosy modernos, que me han servido de guía en

debido casi exclusivamente al quehe recogido en mis diferentes

Debo sin embargo advertir que algunos liqúenes incluiré en

este catálogo que no los he visto de Aragón, ni los he leído

cita-dos de esta comarca, pero que segura ó muy probablemente se

conve-niente De este modo podrá serútil este mi trabajo para

Algunas formas ó muy difíciles de distinguir ó poco definidas

las suprimiré de intento por no arredtar á mis lectores y por

aguardaránuevas y más ciertas investigaciones

3. Qué son losliqúenes.—Si atendemosá su estructura

obser-varemos en los liqúenes dos clases de elementos: uno de la serie

y hongos que viven en simbiosis Aunque sea los liqúenes

— 108 —

Fig 1 a

Liquenfruticuloso Vladina

noson propiamente ni hongosni algas, sino que constituyenuna

4. Cómo se conocen.—Suponiendo ante todo que leerán estas

co-nocen ningún liquen, les daré

algu-nas nociones generales

similares

algunos ya es imposible

los musgos ó de las algas, ómedia entre estos vegetales Jamás

los musgos yhepáticas, conlos

5. Sus formas.—Preséntanseya

); ya de

sopor-tey fácilmente separables,

liqúe-nes foliáceos (fig 2.a); ya

final-mente á manera de costras, á

veces cual manchas,

incorpora-das al mismo soporte en que

liqúe-nes cructáceos (fig 3.a).

6. Dóndese encuentran —No

hay que buscar los liqúenes en

constantemente en el agua, que

algas Perosí en las cercanías de

quebradas de los barrancos, las

frondosas selvas, son la habitación

sombralos más,paraconservar

me-jor la humedad, perono obscuridad

y cierta cantidad de luz. Así es quebosquesmuy sombríos, suelos tapi-

— 109 —

ahogan toda vegetación liquénica Sus soportes son muy

va-riados: el suelo de cualquiera naturaleza mineralógica que sea,

final-mentelas cortezasde árboles y arbustos

7. Cómo se recogen.— Larecolección de los liqúenes no

pasan-do al rededor y por debajo lo haga desprender entero; ysi están

desmenuza-rían, pero se arrancarán enteros humedeciéndolos previamente

obte-nerlos Sison cortícolas, una buena y fuerte navaja los separarácon la misma corteza ó con una lámina de ella en que se encuen-

tran Sisaxícolas, serámenester más trabajo, mediante un cincel

ya de corte,el cual se aplicará á un canto de la piedra que

Muchas veces sucede que losliqúenes saxícolas vegetan en los

cantos mismos de las pizarras, y en tal caso hácese poco menosque imposible obtenerlos enteros Pero aun entonces,si seexami-

na bien, se encontrarán acaso las mismas especies y bellos

gran manera su arranque

posible, ejemplares enteros, grandes y adultos, provistos de

apo-tecios ó fructificaciones, pequeños discos, líneas ó esférulas de

implantadosya en la lámina, yaen lasramificaciones (fig 3.a).

En toda época del año se pueden recoger los liqúenes, pero

porla mayorfacilidad conque se desprenden sin quebrarse, sino

también porque se encuentran entonces en plena vegetación, lacual durante la sequía está aletargada ó en suspenso Por loque

escasean ó no existen plantas en florson los más indicados parahacer esta recolección;con lo cual se ve que los botánicos en todaépoca del año tendrán ocasión de emplearbien sus diligencias en

sus excursiones científicas por el campo.

8. Surotulación.—A fin de no confundir unaslocalidades con

— 110 —

quiebren y desmenucen.

8. Su preparación.— Para quien desee formar colección de

nes como complemento de lodicho

Si bien nofalta quien coloquelos liqúenes tal como se

encuen-tran en la naturaleza en sus correspondientes cajas y cajitas ála

manera de los minerales; pero este sistema es poco seguido á

causa del considerableespacio que exige

Lo más cómodo es pegarlos en papeles como en un herbario

Los crustáceos que están en soporte lapídeo ó leñoso se pegansin

más preparación, con goma en un papel recio Los demás con vendrá prensarlos previamente, como se hace con las plantas

fanerógamas, cargando encima un peso suficiente, que loserá de

car-tulina del tamaño acomodado al ejemplar, ó bien en hojas todas

en medio, sino en las esquinas y en el centro, á fin de que al

partes

fecha yotras circunstancias quese estimen convenientes

10. Su organización.— Enlos liqúenes hay que considerar los

aparatos de vegetacióny de reproducción

11. Órganos de vegetación.—El aparato general de

''/e

En el talo estratificado puede distinguirse

cortical, exterior, otra inferior

á ésta, gonidial, rica en elementos globososque pueden ser de dos clases: gonidios, con

y gonimios, concubierta muy fina ycontenido

tmcado.a capacortí- azulado ó amarillento; finalmente otra

— 111 —

Atendiendo al contorno sobre todo en los liqúenes crustáceos,

el talo se llama determinado si está bien limitado por una línea

capa primera por la que comenzó el crecimiento del liquen, é

indeterminado cuando su contorno se confunde insensiblemente

hipo-talo Esta en los liqúenes foliáceos lleva unos apéndices cortos

radiciformes llamados ricinas, quefijan el talo al soporte

Son órganos accesorios del talo las cijelas, los cefalodios, el

isidio y los soredios

ordina-riamente de color más pálido que el talo. Se hallan en muchos

Forma elisidio unas prolongacionescilindricas, á veces

rami-ficadas, de la cara superior del talo y del mismo color que ella.

Frecuente en elgénero Parmelia, etc.

Llámanse soredios unas masasdiformes, pulverulentas,

pro-pagación del liquen, álamanera delo que hacenlos acodos,

Evernia

12. Órganos de reproducción.— Los liqúenes se reproducen

normalmente por medio de apoteciosy con menos frecuencia por

espermogonios y picnidios

encerrar el himenio Enel himenioó tecio se hallan las aseas,queson unos saquitos más ó menos ovales ó elipsoidales que encie-

órganos similares pero mucho

más delgadosy sinesporas

(figu-ra 5 a). A vecesseencuentran en

el himenio gonidios himeniales,

á veces faltan las parálisis La

madapor el extremodelas aseas paratecio h hipotecio c corteza «. r

ta-y parálisis, se llama epitecio lino t tecio óhimenio a aseas, p/

Las formas de los apotecios "

forma alargada con ramosa, apotecios

seadelmismocolordel himenio(figura

lecano-rino,cóncavoóplanoalpricipio,se

tor-na convexo en la madurez, ocultando

Lasesporas están encerradas enlas

aseasen númerodeterminado, de ocho

.en muchos casos Pueden ser simples,

dimensio-nes se expresan por mieras, variando

desdela globosa hasta lafiliforme

Los espermogonios son cavidades

por lo común sumergidasen el tejido

del talo y solamente visibles al

está tapizada de unas células alarga- b.

dasllamadas esterigmas, en cuya

ex-tremidad se produce un órgano muy pequeño á manera de célula,

pero de células más gruesas que los esterigmas, y siempre

sim-ples Á suvez dan origen á las estilosporas, que germinan en el

agua lo mismo que las esporas propias

13. Estudio de los liqúenes.—Para distinguir las especies

Veces una buena lente y un reactivo, pero si se quiere estudiar

micró-metro y además de la cámara clara si se pretende sacar dibujos,

y el uso continuo de varios reactivos

14. Reactivos.— Los más frecuentes son tres: potasa, ó seael

calcico y lasolución de yodo

menester renovarlo confrecuencia, cada mes ó cada quince días

— 113

parie-tina, que se tiñe derojo de sangreá su contacto

Para abreviar se expresan las reacciones, mediante una

fór-mula K + indicaque el epitalo ó corteza es sensible á lapotasa

y no lo esla médula al mismo reactivo Para aplicar éste á la

mé-dula se rasca la corteza con un escalpelo M + K = A expresaque lamédula por laacción de potasa se torna amarilla i?expre-

'

A veces da resultado emplear un reactivo en pos de otro

TK{CaC) -\- indicará que hemos obtenido efecto positivo

apli-cando al talo el hipoclorito calcico á continuación de la potasa

15. Examen microscópico — Inspeccionar simplemente las

esporas es cosa muy fácil. Basta tomar un ejemplar bienmaduro,

impregnarlo en agua y dejándolo sobre la mesa, aplicar encima una lámina de cristal. Al cabo de algún tiempo, si se pasa esta

lámina á la platina del microscopio, se la verá llena de las

sobre las tecas las paráfisis y gelatina himenial al hincharse

(Olivier)

Con másrapidez aún se observarán rasgando con un alfiler ó

16. Técnicadel abate Hue.— Para el estudio más atento deltejido de los apotecios,tecas, paráfisis, etc., expondré brevemente

etseq.)

Además de un buen microscopio hace falta un micrótomo, que

puede ser el Lelong, médula de saúco ó de Ferdinaiicla eminens, una navaja bien afilada, escalpelos, agujas, etc.Antes de emplear

elsaúcosele tienecortadoencubitos sumergidosen alcoholde90°

mantenido durante meses en él, á fin de que todas las células

Se abre la médula para depositar en la rendija un trozo del

Antes decomenzar los cortes se pasa la navaja por la correa ó

piedray mientras funciona semoja con agua Los cortesse sacan

dela médula conunas pinzas finas y se depositan en agua, ó bienlosunos se ponenen agua glicerinada W para que conserven suaspectonatural y los otros en agua destilada para tratarlos con

- 114

-Se observa una preparación con débil aumento Luego se mina con la potasa W, depositando unagotaallado dela prepara-

exa-ción y haciéndola pasar por capilaridad entrela lámina y la

atraerá el líquido allado opuesto

pa-pel chupón por el otro

Luego por el mismo procedimiento se aplica el ácido nítrico,

que devuelve el colornatural y aclara Se quita con agua porun

lado y papel chupónpor el otro que se arroja

El mejor colorante esel astil que llaman de algodón (bleu

Se pone un poco de esta solución y menos de ácido láctico fuera

de la laminilla, se hace pasar por capilaridad y se observa Se

Las esporas se miden en estado natural, antes de teñirlas y

Si los liqúenes son caldcólasseráconvenientedescalcificarlos,

alte-ralos tejidos Su composiciónes lasiguiente:

Acido nítrico, 10 por 100 4 vol

Acido crómico, 05por 100 3vol

Lospreparaciones podrán conservarse en aguaglicerinada; se

cerraráncon bálsamo del Canadá ó del Markenlack, que es

— 115

CLASE DÍQUENEjg

Plantascelulares, con gonidios é hifas en el talo, aseasó tecas

Su formaesmembranácea, fruticulosaó filamentosa,crustácea

Plantas terrestres ó que no viven constantemente sumergidas

en el agua

PRIMERA SUBCLASE

HETERÓMEROS (HeteromericiW allr.

Talo formadopor tresó cuatro capasmás ó menosdistintas: la

cortical, superior ó epitalina (fig 4 a

com-puesta principalmente de gonidios, losque dan el colorverdosoal

liquen, másvisible ordinariamente cuando se le moja; la medular

ó médula (fig 4.a c), de tejido flojo formado por hifas; y

fru-ticulosos y en muchos crustáceos Forma una capa celular ó

fila-mentosa, que se prolonga inferiormente en lasricinas

Apotecios manifiestosen lasuperficie del talo (gimnocarpos) ó

hundidos en sumasa (pirenocarpos)

Al ser mojadosse hacen más flexibles y blandos, pero no tanto

que parezcan una masagelatinosa y transparente

1. Orden DISCOCARPALES W

superficie óbordes del talo. Dicho disco puede ser cóncavo, plano

ó convexo, sobre todoen la maduración, llegando á ser

(l) Por ajustarme alas recomendacionesdel Congreso botánico de Vlena de

1905 (Reglas deNomenclaturabotánica, Recora III)adoptola desinencia ales para los órdenes, diciendo, v gr Discocarpales , Graficarpales etc.;envez de Discocarpos, Gra-