Anales de la Facultad de Ciencias de Zaragoza Vol 02 1907

Fácilmente podremos también deducir cual es elgausiano de un número cuando p = 2: basta recordar que el grupo / de los automorfismos de un grupo cíclicoG deordenpn, siendo p un nú-mero p

STJ3VEA.R.IO

Matemática.—Nota sobre fracciones racionales.

de una cónica AI Stuyvaert.—Sobre dos integrales

definidas C Pompeiu.— Cuestiones propuestas.

de centros de gravedad J Hatzidakis.

Física.— Sobre algunos fenómenos de

polarización-—B Terrados.

Química.—Influencia de la forma de las masas

li-quidas que fermentan, en la cantidad de alcohol

'

producido y en la duración del fenómeno A gorio Rocasolano.

Gre-Historia Natural—Ornitología de Aragón L.

Navas.S J.—Teruelitas del Museo de Historia

Na-tural de Zaragoza P Ferrando.

Zaragoza G Silván.— Observaciones

meteorológi-cas del 2.° trimestre / A Izquierdo.

Bibliografía. Publicaciones recibidas.

Crónica

La correspondencia administrativa á D. ANTONIO SANZ, D Alfonso I, 20, librería

ZARAGOZAESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO DE EMILIO CaSAÑAL, COSO, 100

1QOT

Anales de la Facultad de Ciencias

DIRECTOR

D PAULINO S A VIRÓN, Decano de la Facultad

D JOSÉ RIUS Y CASAS, Secretario de la Facultad

SEÑORES PROFESORES OE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE ZARAGOZA

ALVAREZ Y UDE (José Gabriel).—Catedrático de Geometría descriptiva y

ARÉVALO Y CARRETERO (Celso).—Auxiliar de Historia Natural.

BOZAL Y OBEJERO (Eduardo).—Auxiliar deFísica.

CALAMITA Y ALVAREZ (Gonzalo).—Catedrático de Química orgánica.

FERRANDO Y MÁS (Pedro).—Catedrático de Historia natural.

GALÁN Y RU1Z (Gabriel).—Catedrático de Astronomía y Cosmografía.

G. DE GALDEANO (ZOEL).-Catedrático de Cálculo infinitesimal.

GREGORIO Y ROCASOLANO (Antonio de).—Catedrático de Química general.

IZQUIERDO Y GÓMEZ (J. Antonio).—Catedrático de Física y Cristalografía.

LAFIGUERA Y LEZCANO (Luis).— Auxiliar de Geometría.

RIUS Y CASAS (José).—Catedrático de Análisis matemático, 1.° y 2.° curso.

SAVIRÓN Y CARAVANTES (Paulino).—Catedrático de Química inorgánica y

Análi-sis químico.

SILVÁN Y GONZÁLEZ (Graciano).—Catedrático de Geometría analítica y

TERRADAS É ILLA (Esteban).—Catedrático de Mecánicaracional.

YOLDI Y BEREAU (Francisco).—Auxiliar de Química.

DE ZARAGOZA ANO I AARZO DE 1907 NUrt 1

ÍJUESTR03 PROPÓSIT03

Hace tiempo, que los profesoresde la Facultad de Ciencias

de Zaragoza, unidos por estrechos lazos de amistad,

pensába-mos en la publicación de una Revista de carácter científico.

del lector, hicieron imposible por mucho tiempo que

llegáse-mos á dar forma y realidad áaquel pensamiento; mas paraque rompiéramos nuestrotemor y viésemos el nacimiento de nues-

han contribuido actualmente varias causas, entre las que

debe-mos mencionar el haber cesado en su publicación la RevistaTrimestral deMatemáticas, dirigida por D José Rius y Casas,

que prolongó por varios años los dignos propósitos iniciados

y mantenidos antes en dos diversas épocas, por el ProgresoMatemático, de que fué fundador D Zoel G de Galdeano

Al hacer nuestra Revista eco de la Facultad de Ciencias,

hemos creído conveniente no limitarsu campo de acción al de

laMatemática pura, sino dar en ella lugar á todas las Ciencias

queson objeto de enseñanza en nuestro centro, constituyendo

Química, Historia natural, Astronomía y Meteorología

A nadie ha de extrañar que nuestra labor, realizada con

es-casos medios de investigación, sea insuficiente para nutrir las

páginas de unos anales que constarán por término medio de

labor ajena será siempre para nosotros respetada y estimada,

en las columnas de nuestra publicación tendrán cabida, y con

ello nos honraremos, los trabajos de colaboración que posean

el carácter apropiado

de originalidad pues en estado

del campo de la Ciencia, por tantos ingenios cultivado, no se

te-rreno fértil siempre quedan algunas espigas por recoger

cuan-do la perseverancia las busca

La labor científica actual, á menos que esté encomendada

investiga-ción que corrobora, analiza, ¡perfecciona ó discutelo ya hecho;

para muchos, lleva á los espíritus ávidos, en forma siempre

funda-mentales de las ciencias exactas, y particularmente, los

dota-dos de carácter experimental

Este segundo modo, que podríamos llamardevulgarización,

ha sido y es adoptado ennumerosas revistas y periódicos rios, quehaciendo un paréntesis en las cuestiones de sus par-

al lector, informándole sobre cuestiones científicas ó sobre

El primer modo, el de investigación, comprendiendo en él

publicaciones quehacen honorá la cienciaespañola, y que recerán elparabién de los amantes del estudio

me-Seránnuestros Anales, ó por lo menos, así lo deseamos una

A todas ellas saludamos cordialmente al comenzar nuestras

tareas, que serán premiadas con exceso sillegamos á colaborar

en la obra del movimiento científico afortunadamente ya

ini-ciado enEspaña por unnúcleo numeroso de hombres

sec-ta ni escuela alguna, y mucho menosapasionados por otra que

no sea lalabor continua, ni guiados por másesperanzasde

La Redacción

Sobre el cuadrilátero plano inscriptible

I. Indicando con «, b, c, d los lados AB, BC, CD, DA y con

a, ¡3, y, S losángulosBAC, CBD, DCA y ADB(*) lasfórmulas

co-nocidas que dan lossenos de los semiángulos de un cuadrilátero

inscriptible,cuandosea también circunscriptible ó se tenga

de los cuatro lados por medio de uno de ellosy de los dos

ángu-los adyacentes, cuyos tres elementos determinan completamente

2. Indicando con r y R los radios de los círculos inscrito y

la-(*) Se ruega al lector que dibuje la figura.

deberá extender á losdemáselementos, por permutación circular entre a, b,c,d y

sen—(a-f-6) 4 eos -a eos - Ssen - (a-f 6)

delas que inmediatamente resulta

sen -(a+6)

= 2Rsen8 eos2—a= r cot- a 1 -|-sen a sen S.

Observación De la (13) se obtiene

e'-\-e"=2R sen6, /'+/* = 2R sen a, c'e"=/'/",

4 Siindicamos conPel centrodel círculocircunscrito y con

Oel del inscrito,y bajamos desdeellos la perpendicular sobre AB

cuyos pies sean Ma y Ka , tendremos

De donde sustituyendo y reduciendo resulta

OP" 1 — sena sen6

— 6 —

Observación De la (14) y de la (16) resulta

PE

6 Si de O y de E sebajan las perpendiculares sobre el lado

AB y son Ka , Sa sus pies, se tiene

OK = (OKn - ESnY + Ka Sa~ = (OK, - ESaf+ (R'aB-SaBf,

yde aquí por las [11], [12] y [13]

— —==( 1—2 eos—eos — eos—(a—6)) -4-4 eos" 2

(19) OC= OP sena. sen 6.

con-secuencias muy notables, de las que daremosalgunos ejemplos

y un caso deuna

se considera el diámetro OP del círculo circunscrito y se trazan

las tangentes desde sus extremidades (y de una misma parte) al

circuns-criptible, el punto deintersección de lasdiagonales internas está

en línearecta con los centros de losdos círculos.

La demostración de este nuevo teoremafué propuesta en la

R T.M. (96 c.) 3'enel Supplemento diMatemática(58 q. aconc);

en ambas revistas se publicó una demostración del Sr. Vercellin,

basada en elegantes consideraciones geométricas Habernos

im-portancia que parece tener la recta p encontrada, la cual, como

dia-gonal

Observación Se demuestra que si existe uncuadrilátero criptible á un círculo y circunscriptible á otro, existen otros en

ins-número infinito, y el formado por lascuatro tangentes antedichas

(7, III) es uno de ellos.

Todos esos cuadriláteros tienen común el punto de ción delas diagonales interiores (porque OE es función deR yr

La consideración del cuadrilátero de las tangentes muestra

diago-nal; y muestra también cómo se pueden trazar inmediatamente

uno é inscriptible en el otro.

Octubre de 1905.

Prof Giuseppe Pesci

della R.AccademiaNavale de Livorno.Porla traducción:G Silván.

- 8

Relaciones entre la teoría de los números

y la de los grupos de operaciones

1. Representaremos en esta nota con la letra p un númeio

primo impar, y con las notaciones II (m), II (rm), ,

respectiva-mente, los productos (1 2. 3 m), (r, r.

Sesabe que si » es unnúmero natural cualquieramenorquep,

los elementos de la serie

ya que si mft es un elemento de la primera serie, siendo ;//<p,

&<CP, rn§ es primo con p, y por tanto

lo que no es posible. Luego, como habíamos dicho, los números

de ambasseriescoinciden, prescindiendo del orden

Multiplicando miembro á miembro las congruencias del

Formemos ahora la serie de las potencias sucesivas de S-,

— 9 —

Puestoque, por la relación(a), existen potencias de 8-que son gruentes con la unidad según el módulo p, sea (3 el primer expo-nente que satisfaga lacongruencia

Todas las potenciasde 8- que preceden á 8-", dan restos diferentes

Los números de la serie {b), tomados respecto del módulop, se

reproducen periódicamente, ya que de las dos relaciones

frP= 1 (módp).

Tambiénse dice que ¡3 es el gausiano de 8 respecto del

módu-lop A locual podemos añadirque elgausiano del número 8

y elnúmero de estas no puede ser mayor que q (**); mas, como =

tomoVII, 1877, pag 185.

—

ex-ponente q por hipótesis. Sea 3 el máximo codivisor de ry q, yrq/osu mínimocomúltiplo,será s=q/% el menor número que cum-

expo-nente q/o. Luego, para que su gausiano sea q, es necesario y

números cuyo gausiano es q, representando con &(<?) el indicador

de Gauss, ó sea, el númerode números primos con qy no

mayo-res que q. Por lo tanto, si llamamos 'l(q) el número de enteros nores que p cuyo gausiano respecto del módulo p es el divisor q

me-dep — 1, ó será ty(q) =0, ó bien ty[q)=?(?)' Mas, evidentemente,

siempre ~\{q)= s(#).

¿( 1 = 1 númeroscuyo gausianoes 1 : el mismo 1

También, yde un modo más general, si el módulom es un entero

tales que, siendox uno cualquiera de ellos, se tiene (Teorema de

!*) M Marzal, loe- eit pág 281.=EulOGIO Jiménez, he cit pág 190.

, siendo p primo, será

También se puede repetir aquí el razonamiento hecho antes

para ver cuántos números tienen un gausiano dado Los números

xr= 1 (mód pn

),

las cuales, siendo ? uno de aquellos números, son á su vez, 1, p,

, incongruentes entre sí dos á dos respecto del

al exponente r, es necesario y suficiente que ¡j sea primo con r,

luego el número ^(r) de los números cuyo gausiano es r, ó es0, ó

entendiendo siempre que los símbolos sumatorios se extienden á

), luego debe ser siempre o(r) = ¿(r).

De donde se deduce que el grupoQ de los *(pn)números menoresque y primos con pn esun grupo cíclico.

Fácilmente podremos también deducir cual es elgausiano de

un número cuando p = 2: basta recordar que el grupo / de los

automorfismos de un grupo cíclicoG deordenpn, siendo p un

nú-mero primo cualquiera, es de orden -¿(pn); ya que se puede

corresponden á las operaciones de G de orden más elevado; que,

por lo tanto, el orden de 1 es 2n~l cuando p = 2, yen él está

, {m^>1), constituidopor

~-yunaoperación de segundo ordenque transforma cada operación

de G en su inversa, y puesto que en el subgrupo de orden 2n~2

cada operación de orden 2* es permutable con las operaciones de

- 12 —

gausiano buscado, está representado por el orden de la operacióncorrespondiente del grupo /. Por lo tanto, tienenporgausiano 2*,

(k^> 1), respecto del módulo 2", todos los números de la forma

menores que2* y primos conél.

El recíproco es cierto.

Pertenecen, por ejemplo, al exponente2" -, todos los

Supongamos que el número g =*i*a es e l orden del grupo

cíclico G: se sabe que este es el producto directo de los dos

sub-grupos cuyos órdenes respectivos son 8, y

9-2 Si multiplicamos de

obtendremos todas las operaciones de orden &,9-.2; luego, el

núme-ro de operaciones de orden más elevado en G, viene dadopor el

producto de los números que expresan cuántas son las nes de orden más elevado en los dos subgrupos, ó sea, por el pro-

operacio-ducto de los indicadores?(&,), 'f(<K 2 )-Es decir, que

producto directo delos subgrupos cuyos órdenes son &,,

respectivamente; y el número de operaciones de orden más

ele-vado en G, viene dado por el producto de los números quesan cuántas son las operaciones de orden más elevado en cada

ys¡ g =pn¡

p¡

íte) = i(pr/>,*') = fip:"> #,*) - />,'" (i - ¿) pr- (i

g, orden del grupo G\ y sea Suno de sus generadores: las

poten-cias enésimas [n=1,2, — g) de S contienen, como es sabidorf,

operaciones cuyos órdenes son divisores de d¡, y que constituyen

el único subgrupo cíclico de orden d

t que hay enG En este grupo

-f (rf,)operaciones de orden d¡. Por la misma

ra-zón en G hay solamente » (rfs ) operaciones de ordenrf2, que

, y así de los demás Así

resulta, por fin, que la totalidad de las operaciones de los

diferen-tesórdenes posibles en elgrupo G, está expresada por el número

*0) + *(<íi) + -fid,) + + *(¿m) + =?(#).

la sumade los númerosque expresan cuántas sonlasoperaciones

de cada uno de los órdenes posibles en el grupo G, coincidecon

la suma de los indicadores de todos los divisores del orden g, de

el grupo G de orden decimoquinto, habrá:

?(]-)= 1 operación de primer orden,

¿i3) == 2operaciones de tercer orden,

i.(5 ) = 4 operaciones de quinto orden,

4. El razonamientoque acabamosdehacer, puedeextenderse

- 14 —

indi-cador de orden k, el número de agrupaciones con repetición de

losnúmeros no mayores que g, tomados de k en k, de tal modo,que losk números de cada agrupación y el número gseanprimos

Sea, en efecto, k el número de generadores independientesdel

grupo abeliano G de orden g,

o| o2, o3 o.

toda operación Sdel grupo G, puede escribirse bajo la forma

ysiempre que el máximo codivisor de los números gy n. sea la

unidad, g será elorden de S. Recíprocamente, si g es el orden de

la operación S,los números gy n.son primos entre sí. El número

de las operaciones de orden g en G, se corresponde, pues, con el

indicador tk(g) deorden k del númerog

Cuando g no es potencia de un número primo, podemos en

genera-radores independientes de órdenes respectivos B-, y

*i*2 — g) Y ^í y *2 números primos entre sí. Al descomponer así

en dos factores cada uno de los generadores independientes del

grupo G, consideramos este grupo como el producto directo dedos subgrupos, tales que cada uno tiene k generadores indepen-

nú-meros de operaciones de ordenmás elevado en aquellos dos

sub-grupos; es decir, que

•^) = ?*(».) ?*(»)•

Síg =pn

, el número de operaciones de orden pnen G,es igual

al número total de sus operaciones pnh disminuido en el

Se puedeseguir casi análogo razonamiento para determinar el

grupo G es el producto de los los i subgrupos //,, H,, H.,

cuyos órdenes respectivos son p"\ p._n'\

gene-generadores independientes, y su orden es siempre potencia de

un cierto número primo: estos órdenes constituyen elmáximo

formada porfactorestomados sucesivamente en H„ en H2 , ,

respec-tivamente />,"', pi"

1

, ,

/>."'

Pero en Hl el número de operaciones de orden />,"' está

repre-sentado porsu orden disminuido en el orden del grupo cuyas

~

;en H„elnúmero de

operacio-nes de ordenpi

i

está representado por su orden disminuido en el

orden delgrupo que tiene sus kinvariantes iguales áp.,"' 2~

rresponderserecíprocamente Ungeneradora.debe, pues,

corres-ponderse con una de sus potencias, por ejemplo, cona.k , siendok

yg números primos entre sí. Un automorfismo de G puede

- 16 —

y puesto que cuando un elemento transforma una operación del

grupo en una potencia dada, transforma en las potencias deigual

exponente todas las restantes operaciones del grupo, puede

obte-nerse dicho automorfismo haciendo corresponder á cada

opera-ción su potencia deexponente k. Un automorfismo de G equivale,

r = (/«.) {m6dg)>

de G El complexo de estas substituciones constituye, de este

modo, elgrupo / de los automorfismos de G, y es ho'.omorfo con

el grupo j«tI a.

2 , . a \ de orden m, que hemos llamado Q Por

nú-meros enteros menores que g y primos con g (2), es grupo deautomorfismos del grupo cíclico G de orden g (*). El factormá- ximo de mno puede ser mayor, evidentemente, que elfactor má- ximo deg

Sig =p", siendop un númeroprimocualquiera,comoentonces

los números 9-., menores quepn

algún otro número

Los o(g) elementos de la serie (<?) forman un grupo relativo

(*) G A MlLLER —Annals o fMa¡hematíes, VOl II pág 78.

— 17 —

mínimos positivos respectodel módulo g, ya que dela relación

también divisor de a. ó de a., demodo que estos números no

se-rían primos con g, según se ha supuesto

Poniendo esto en relación con cuanto llevamos dicho hasta

aquí, se establece una correspondenciadirecta entre las des del grupo Q,y la proposición bien conocida de la teoríade los

propieda-números que se llama Teorema de Wilson generalizado, y que

núme-rosde la serie {e), que se tiene

cuando g tiene unade lasformas/)", 2p1

\ 2-, y

II(aj = + 1 (mód g)

del grupo Q corresponde á los números pn—1, 2p" —1, 2 a— 1,

respectivamente, y estos números son congruentes con — 1. La

operación idéntica corresponde al número -f- 1.

Además, sig noes múltiplo de p, se tiene (*).

II(/> — \)= ±g 2 (mód g);

tomando elsigno superior ó el inferior según que g sea norresto

II(p — 1) = — 1 (módp),

se tiene también

g 2 ee + 1 (módp),según quegsea resto ó norresto cuadrático dep; propiedades que

del teorema deDirichlet (**).

6 Si una operación del grupo / corresponde á un número

incongruentecon la unidad, debe transformar todas las

operacio-nes de G, de modo que si una potencia de tal operación es

per-mutable con una operación de orden p de G, debe ser tambiénpermutable con todas las demás operaciones de G, es decir que

de-(*) M Marzal, loe til pág 281 y 283— Eulooio Jiménez, loe til pág 25-1.

- 18

-cir que los números xquecorrespondenálasoperaciones del

sub-grupo de ordenp — 1, tienen el mismogausiano respecto del

mó-dulo p'\ ó sea, quesi r'es una raíz emésima propia respecto del

módulop, lo es también respectodel módulo^> re

; y puestoque Ies

un grupo cíclico, el númerode talesraíces debe ser el mismo

res-pecto de entrambosmódulos

Demostraremos ahora, en particular, que un resto cuadrático

de p lo es también de cualquier potencia pn de p, y

recíproca-mente

cí-clico G de orden g = p, puede asociarse un númeroque, respecto

del módulop, es congruente con elexponente de laspotencias en

complexo de talesnúmeros constituye un isomorfismo holoédricocon/ Si xesuno detalesnúmeros,la substitución correspondien-

de Legendre,

g =p>t; si asociamos á las substituciones del grupo cíclico deorden¡p {pn) los exponentes (mód pn

) de las potencias en que tales

Pero se sabe que todo número^) primo imparposee(p —l)/2 tos cuadráticos positivosmenores que p, porlo que delos núme-

res-ros naturales menores que p, la mitad son restos cuadráticos

dep, y la otramitad no loson;y porlo que hemos dicho antes, la

mitadde los primeros &(pn)números primos conpson restos

dep'\ y recíprocamente.Enotros términos, los <i¡(p n

) números

productos cuya disposición respecto del módulo pHrepresentauna

Se demuestra en la teoría delos números(**) que si/», yp»son

(*) P L Tchebichef, trad por J.MaSSARINL—Teoría delle congruente, 1895, p 62.=

(**) P Gazzaniga —Gli elementi della teoría dei numeri, Padova, 1903, p 98.— P L

TCHE-— 19 —

dos números primos impares ydiferentes, se tiene

P\—í vi—

(2) r

nú-meros^>, yp 2 uno por lo menos es de la forma \n + 1, el número

cuadrático de p ¿ ; mientras que si los dos números pK y p 2 son

ambosde la forma4« +3, el p 2 es ó no es resto cuadrático de pu

según quept no sea ó sea resto cuadrático de^>.

producto directo de dos grupos cíclicos cuyos órdenes respectivos

son j'ipi"'') y ?(A/

2

x ^ePi+Ps(mód p^prJ

es positiva, á noser quep¡ y p.2 sean ambos de la forma 4// -\- 3.

Evidentemente, las substituciones positivas de / corresponden á

losnúmeros que son restoscuadráticos de p¡ y de p.,, ó que no lo

lo son, ni depv ni de p.2; mientrasque las negativas corresponden

álos números que sóloson restos cuadráticos depv ósólo dep2.

Son, por ejemplo (*), substituciones negativas, las que

corres-ponden á losnúmeros 2, 3, 5, 6, 7, ya que:

7. Las operaciones de segundo orden del grupo abeliano G

engendran, como es sabido, un grupo H de orden 2", en el cual

hay n generadores independientes de segundo orden Sea r¡ uno

gru-— 20

-po ¡1, 7¡j por el subgrupo constituyen los demásgeneradores

. Luego r, es factor de unamitad de las operaciones que entran en H,y por esto, si n^> 1,no

de H Por lo tanto, si G contiene más de una operación de

producto continuo de todas sus operaciones

Si el grupo G es cíclico, y g = pn, (u^> 1), su grupo de

auto-morfismos /es elproducto directo del grupo cíclicode ordenp"—1

por el grupo de automorfismos delgrupo deorden/); luegoel

gru-po / del grupo G deorden/)", y por lo tanto también el del deorden 2pn

sabe que el grupo /del grupo cíclico de orden 2n contiene tres

operaciones desegundo ordensi n]>2; luegocuando contenga una

solaoperación de segundo orden, debe ser n = 2.

Si g = 2MII

(pl'1), el grupo Ide G es el grupo de

automorfis-mos de los grupos cíclicos cuyos órdenes respectivos sonlos meros 2", /)["', Pi" 1

nú-; y puesto que el orden de cada uno de

talesgrupos de automorfismos es un número par, excepto el del

grupo de orden 2", si u]>1; por estoI debe contener más de unaoperación de segundo orden, excepto en los casos en que el orden

del grupo G venga representado por alguno de losnúmeros2\pn

,

2pn. Luego, si el grupo / del grupo G deorden g, contiene una

sola operación de segundo orden, g ha de ser uno de estos tres

números

El recíproco se deduce muyfácilmente, recordando que la

automorfis-mos Ide un grupo cíclico G de orden g sea también cíclico, es

que g posea raíces primitivas; y recíprocamente Pero como se

{p^),no

pue-dehaber raíces primitivas, sino cuandogespotencia deun

núme-roprimo impar, ó el duplo de talpotencia, ó elnúmero 4; así en el

, pn, 2p".

También, si # =2", respecto del módulo 2", todo número

primiti-vade 4, sin =2; perosi n5^ 3, nohayraíces primitivas, es decir

que G no puede ser grupocíclico.

Evidentemente en p hay ¿(/) — 1) raíces primitivas; y en p"

hay

-1

como un grupo regular de substitucionescuyos elementos

corres-ponden á las operaciones de orden más elevado de G, y que G

primo impar,y de orden 2 n~2

, si p= 2; perotambién se sabe que

no todogrupo abeliano es grupo de automorfismos de algún

Un grupo abeliano que sea grupo de antomorñsmos de un

repre-sentado el grupo íi,de orden ;«, de los -¿(g) números enteros mos con gy menores que g (5), pertenece á una clase particular

pri-de grupos que cumplen ciertas condiciones (**).

Si tal grupo es cíclico, y n es un número entero cualquiera,

los dos números pares más pequeños que no son de esta formason los números 2 5 y2 6, estos son los dos números pares más

pequeños que no pueden tomarse para representar el orden de ungrupo cíclico que sea grupo de automorfismos de otros grupos

Sig =2" II (p"'), siendo los númerosp. todos diferentes,

sien-do G en este caso el producto directo de los subgrupos cuyosórdenes respectivos son los factores deg, y siendo también cícli-

co el grupo Ide todo grupo cíclico cuyo orden es potencia de un

número p; ü es el producto directo (***) de los grupos cíclicos

cuyos órdenes son <?(A'"), y(p™"2

), , respectivamente, cuando

cíclico de orden 2n~2

, cuando sea n]> 1.

Siendo íí el producto directo de varios grupos cuyos órdenes

(") G A MlLLER.— Annah of Malli., VOl II, p IR.

i"") G A MlLLER -Bull ofAmer Math 8oc, VOl V, p, 29U.

— 22 —

Si m es potencia de un número primo, este no puede ser sino

el 2, y g debe serde la forma2nII (/>

¿ ), donde los números p

¿

-)- 1

órdenes son respectivamente 2*', 2

re

",

, pero además de estos

grupos factores se debe tener en cuenta dos grupos cíclicos deórdenes2 y 2"_

, cuando «>1. Los números que representan

generadores independientes del grupo numérico Q, ó sea, sonlas

casos siguientes:

l'° «, = 1, «> 1; 2.° «,>1, «.=«— 2>1, 3.°» —2 = 1.

El grupo Q contiene tres invariantes iguales cuando y sólo

cuando se verifiquensimultáneamente las condiciones del

en el segundo caso de excepción

C. Alasia de Quesada

J. Rius y Casas.

Estudio de la acción del anhídrido una raza

del "Saccharomyces ellipsoideus,, (levadora de

Entre los diversos antisépticos de las levaduras, es elque más

la vinificación, el anhídrido sulfuroso (tufo de pajuela) por

tratamien-to de mostos y vinos

Mr Duclaux, en su Tratado de Microbiología (1), dice, queprobablemente las levaduras alcohólicas se habituarán al gas

Esta idea, fué el punto de partida de las investigaciones que

vamos á describir sin perdonardetalle práctico alguno, pero

pres-cindiendo en cuanto seaposible,de todo cuanto nose refiera

esen-cialmente ála práctica de la investigación

En un matrazPasteur de 500 c. c, pusimos 350 c c. de mosto

gra-mos por litro: en estecaldodecultivosembramos lalevadurapura

en que estudiamos la accióndel sulfuroso (2) y colocado el

en su fermentación alcohólica durante doce días, al cabo de los cuales, tomando como levadura la producida en estematraz,sem-

bramos en otro que contenía caldo análogo, adicionado dela

una riqueza en anhídridosulfuroso de 0,05gramos porlitro;

matraz cuyo líquido de cultivotenía una riqueza en anhídrido

fue-ron haciéndose siembras en matraces que contenían líquidos de

(1) TomoIII París, 1900.

(2) Esta levadura de vino fué aislada y seleccionada, partiendo de uva que se recolectó

- 24

0,125; 0,150, y hasta 0,180 gramos por litro.

En líquidos de este último valor en sulfuroso, no se realizó la

fermentación y pudimos comprobar que la levadura quedó

inacti-va, pero no muerta, porque no pudoobservarse almicroscopio la

completa granulación del protoplasma de la célula, y sobre todo,

porque sembrada después encaldo de cultivo apropiado, originó

fermentaciónalcohólica

hemos llegado á unalevadura quevive, aunque sin producir

fer-mentación, enlíquidos de riqueza0,180 gramos porlitro del

refe-rido antiséptico; esta resistencia sospechamos que podrá ser un

Saccharo-myces ellipsoideus, puessegún ha demostrado Wischin, no todas

son igualmente resistentes.

Tratando ahora de hacerunestudio comparativo entrenuestralevadura habituada al gas sulfuroso, y la misma levadura, pero

y muy próximamente en igual cantidad, en mosto deuva

esterili-zado ysin sulfatar, cuya riqueza en glucosa era 24 por 100, y0,52

matraces que contenían estos caldos enuna estufa á temperatura

24-26°,pasados doce días analizamos loslíquidosfermentados,

pe-samos después de lavada y seca la levaduraobtenida,

Gramos por 100 Gramos por ]00

Deducimos de esta experiencia, que la levadura habituada al

algo menor que la no habituada y que el alcohol que cadauna de

ellas produce, desdoblando igual peso de azúcar en distinto

tiem-po, es el mismo (1).

(1) Enlas condiciones de la experiencia, 1 gramo de glucosa produce 0575° de alcohol

- 25

-Practicamos después siembras de la misma levadura

habitua-da y no habituahabitua-da al gas sulfuroso, enmostos de uva esterilizados

ysulfitados por la adición de 0,150 gramos de sulfito sódico por

fermenta-ción, y analizado el líquido fermentado encontramos: que la

fer-mentación del caldo sembrado con levadura habituada, comenzó

dos días después que en la experiencia anterior, en que mos la siembra en mosto no sulfitado; que la fermentación del

hici-mosto sulfitado sembrado con levadura no habituada, comenzó

tiempo en los dos líquidos, es mayor en elsembrado con levadura

próxima-mente 4 días después de haber terminado la fase de fermentacióntumultuosa, quedaba en el caldo sulfitado y sembrado con leva-

dura habituada 1,2 por 100 de azúcar sin desdoblar, y en el brado con levadura sin habituar 4,1 por 100 (valor medio de cua-

buenos servicios, una levadura habituada al gassulfuroso

De unmodogeneral puedeafirmarse,que cuandopor las malascondiciones en que hayasido hecha la vendimia, sea muy difícil

lo conservacióndel vino, puede convenir lafermentación de

mos-tos sulfitados, y para concretar, nos referiremos á un caso

par-ticular.

Cuandoes muylluvioso el mesqueprecede al de larecolección

que sobre el fruto que se recolecta, se haya desarrollado el trytiscinérea productor deuna oxidasa denominada cFiioxidasa,

Bo-que actuando sobre la materia colorante del vino, da lugar á la

formación de productos de oxidación insolubles que comunican al

vino tales propiedades, que le hacen imposible para la venta: esta

variedades se denomina en Francia casse y en España, alguna

más que los medios preventivos, pues el llevar á un estado

dados losconocimientos actuales, imposible

(1) En estas denominaciones se incluyen también varios casos en que por defectos de constitución (no por infección microbiana) aparecen los vinos turbios ó revueltos y resis-

— 26

-Los medios preventivosque con mejor éxito pueden

practicar-se son, la esterilización ó en su defecto la sulfitación de los

mostos

60-65°, pero la práctica de la esterilización de los mostos, está

llena dedificultades por lo costoso de la instalación que se hacenecesaria y por el mal resultado práctico que se obtiene al ser

adoptados para la esterilización de mostos, varios tipos de lizadores; de aquíresulta queeste medio es impracticable para la

esteri-mayoríade los vinicultores.

La sulfitación de los mostos, por adición de la cantidad

fer-mentación de los mostos sulfitados tiene lugar de un modo

alco-hólica, retardando notablemente el trabajo de la levadura:

des-ciende la temperatura de lasbodegas no muchos días después de

la vendimia, cesa la fermentación, y se habrá llegado á obtener

resistir otras infecciones que le inutilizan, tales como diversas

formas develos que aparecen en la superficie, algunos micos precursores de infecciones acéticas, etc.

mycodér-Si se utilizase para la fermentación de los mostos sulfitados,

levadura habituada algas sulfuroso, sembrada en buenas

con desdoblamiento total de la glucosa del mosto, mucho más si

se variabala raza de levadura sembrando una, la más apropiada

almosto que fermentay se obtendráunvino en el que lacasse no

preventi-vo, y en el que no era fácil que aparecieran nuevas infecciones,

porque desdoblada totalmente la glucosa, se obtendría un vino

accio-nesmicrobianas

Antonio Gregorio Rocasolano

— 27 —

Sabidas son las dificultades que en muchos casos puede

pre-sentar la determinación del azúcar en la orina, unas veces porcontener ésta azúcares de diversas naturalezas y otras por la

sen-tidoque el azúcar sobre los medios de observación ó tambiéncontrariando lasindicaciones de aquél

exclu-sivamente, ni muchas veces ambos medios, bastan para

acti-vas y que no sean azúcares,siempre que no se investiguela

dos procedimientos ya indicados ymás en uso

Ejemplo de lo dicho lo da el análisis de la orina de un

diabéti-co que heverificado recientemente y en la que he encontrado la

El primerindicioque tuve para entrar en sospecha de que la

anormal que experimentaba el líquido Fehling El precipitado noera rojo, denso y bien aglomerado, sino amarillento sucio, y el

tér-mino de lareducción total del reactivo

Examinada entonces la orinaal polarímetro acusaba una

de lasincertidumbres del límite, había dado el método de

reduc-ción, sino que erabastanteinferior al calculado

La reacción común á la glucosa, rafinosa ysacarosa con el

volúmenes igualesde orina y ácido clorhídrico diluido, y

adicio-nando á esta mezclacaliente un volumen igual al suyo de

- 28 —

de-terminaciones que se especifican á continuación:

Reducción del líquido Feliling

Valor del líquido Fehling.—10 cor.=0,045 de glucosa

Primer ensayo.— Con la orina filtrada. En estas condiciones

es verde amarillento sucio y el líquido queda turbioy también de

no cambiaba ya de aspecto, se encontró como valor medio para

10 ce. deFehling un gasto de 3,9cm3

Segundo ensayo.—Con la orina filtrada y diluida al tercióse

cambio aparente por la adición de una gota de líquido reductor,

los 10 cms

de Fehling han gastado 10 cm3

para unlitro de la mismasin diluir acusa una riqueza de

0,045X1000X3 10 , ,

Tercerensayo.—La misma orina se defecó con disoluciónde

dilui-da al tercio, como en el caso anterior. De las varias

limpieza el fin de la reducción; en las restantes se perturbó por

losmismosfenómenos, notan marcados,que en loscasos

anterio-res. El gasto de orina diluida fuéde 9,8 cm3

que correspondeá

una cantidad de azúcar reductor por litro de

0,045X1000X3 „„„

%8 = 13 '//g

encontra-das en ellosdeben atribuirse en primer término á la mala

obser-vación del límite, mucho peorcon la orinaconcentrada, que en la

reduc-ción, mejoraspecto del precipitado y mayor concordancia de los

— 29

representa en glucosa 13,77 g.

acusa ellíquidoFehling

Pero además, si procedemos á la inversión, nos encontramos

Poder rotatorio (en grados sacarimétricos) .

Azúcar reductor con el líquido Fehling 15,588.Luego es indudable queen laorina existe lasacarosa

Como el total de azúcar reductor después de la inversión esde

15,59 g y antes habíamos hallado para la orina sin invertir

13,77 g, la reducción debidaá la inversión será

Esta cantidad deazúcar reductor proviene de la inversión de

1,727 g. desacarosa, existente en la orina, cuya sacarosa

produ-ce una desviación polarimétrica de

1,727 X 1,62= + 2°,

Si restamos de la rotación producida por la orina la que

co-rresponde á la sacarosa, tendremos la polarización que hubiera

4,29° — 2,8 = I o

,49

que representa en glucosa

13,77 g. de azúcar reductor, tiene que haber en laorina además

de lasacarosa una mezcla de glucosa y levulosa

tendremos según los datos anteriores:

Desviación de laorina al polarímetro

o

,49

Total deglucosa -f- levulosa .' 13,77 g.

Suma de

- 30 —

com-pensada por otra de levulosa La relación en peso de estos

Solonosfalta hacer observar que la cantidad de sacarosa

Valor obtenido anteriormente = 1,727 g.

Si elpoder reductor del azúcar invertido es algo inferior al de

la glucosa (Bourquelot y Grimbert), el primer número es más

exacto que elsegundo

En resumen: la naturaleza y cantidades delos azúcares deesta

orina, son como sigue:

15,518gPaulino Savirón

ornitología de apagón

PO^ ED í^ P. EiONGINO^ NAYÁjá, jí. J.

INTRQOüeeiON

Título.— Por hacerlosencillo y breve resulta acaso

pretencio-so el título que encabeza este trabajo. Este no es ni puede ser un

Fuentes.—Desde el insigne naturalista Asso hasta nuestros

días poco se ha hecho en la Ornitología deAragón Por estoserá

obra Introductio in Oryctographíam et Zoologiam Aragonicc el

laUniversidad de Cambridge(Estados Unidos),juzgabaútil la

re-impresión de la obra 0). Al transcribir los nombres de Asso, queson los de Linneo, habrá que dar, en cuanto sea posibledefinirlos,

su correspondencia con los modernos

El catálogo de Avesde España publicado por D José Arévalo

y Baca en 1887 (Madrid) ( 2> dará abundancia de datos, al menosindirectos, porlo que á Aragónse refiere, dignos de ser tenidos

en cuenta en esta enumeración

Pero sobre todo prestará materialesy el orden mismo conqueprocederemos laobra de Ernesto Hartet, Las Aves de la Fauna

Ademásnos valdremos del estudio de ejemplaresexistentes en

el Museo de la Facultad de Ciencias de esta Universidad, en el del Colegio del Salvador, en el del instituto, de la Escuela de Ve-

comu-nicado laspersonas que en su propio lugar se citen.

Índole.— Para quitar el carácter de descarnado catálogo á tos apuntesy hacerlo más útil para todos, añadiremos algunoscuadrossinópticos y sucintas descripciones, así como algún gra-bado que contribuya almás claro conocimiento de géneros ó es- pecies.

es-(1) Soc En tora, de Bélgica, sesión del 5 de Noviembre de 1887.