DE ZARAGOZAApuntes para la teoría geométrica de las lito cíclicas de 4,° orden y pi-irxaej-a especieCONTINUACIÓN Estos cuatro apartados se presentan simultáneamente en un mismo haz de pl
Trang 1DE LA C"
SUMARIO
Matemática.—Apuntes para la teoría geométrica J
Pesci.
Química.—Proyecto de unificación de los
Ro-casolano.
Historia natural.—La enseñanza de la
Astronomta.— -La estrella variable SS Cigni, por Percy Ryves.
Meteorología.—Observaciones verificadas en
j Extranjero 1 id ÍO francos»
ZARAGOZA
Establecimiento Tipográfico de Emilio Casañal,Coso, ion
ÍOOS
( u
Trang 2Analss de la Facultad de Ciencias
D JOSÉ RIUS Y CASAS, Secretario de la Facultad
SEÑORES PROFESORES DE LA FACULTAD DE CIENCIAS DE ZARAGOZA
ALVAREZ Y UDE (José Gabriel).—Catedrático de Geometría descriptiva y
Geome-tría de la posición.
ARÉVALO Y CARRETERO (Celso).—Auxiliar deHistoria Natural.
BOZAL Y OBEJERO (Eduardo).—Auxiliarde Física.
CALAMITA Y ALVAREZ (Gonzalo) -Catedrático de Químicaorgánica.
FERRANDO Y MÁS (Pedro).—Catedrático de Historia natural.
GALÁN Y RU1Z (Gabriel).—Catedrático de Astronomía y Cosmografía
G DE GALDEANO (Zoel).—Catedrático de Cálculo infinitesimal.
GREGORIO Y RQCASOLANO (Antonio DE).-Catedrático de Química general.
IZQUIERDO Y GÓMEZ (J. Antonio).—Catedrático de Física y Cristalografía.
MARCO Y-MONTÓN (Juan).—Auxiliar de Mecánica y Astronomía
RIUS Y CASAS (JOSÉ).—Catedrático de Análisis matemático, 1.° y 2.° curso.
RU1Z TAPIADOR.—Auxiliar deAnálisis matemáticoy Catedráticodel
Instituto.-SAVIRÓN Y CARAVANTES (Paulino).—Catedrático de Química inorgánica y sis químico
Análi-SILVÁN Y GONZÁLEZ (Graciano).—Catedrático de Geometría analítica y
Geome-tría métrica.
YOLDI Y BEREAU (Francisco).—Auxiliar de Química
Trang 3DE ZARAGOZA
Apuntes para la teoría geométrica de las lito cíclicas de 4,° orden
y pi-irxaej-a especie(CONTINUACIÓN)
Estos cuatro apartados se presentan simultáneamente
en un mismo haz de planos
en una misma cíclica, cuando
se verifica uno de ellos para
un par de superficies cónicas
Enefecto, eltetraedro
autopo-larV", V.2V3V4 ,tendráunodesús
vérticesinteriorálasuperficie
esférica, de modo que, si
su-ponemos que dicho punto esel
V4 , el cono V4<?
4 contendrá en
susdoshojas ála cíclica,
generatrices cortan á la
esfe-ra La cíclica contendrá dos
ramas reales y distintas,
dán-doseleporeste motivoel
nom-bre debicursal
12. Cadacaradel tetraedro
cortará á la cíclica en cuatro
puntos todos reales ó todos
imaginarios conjugados dos a
dos; si son reales los
corres-pondientes á una de ellas
con-cuandose verificauno de ellos
para un par de cónicas Enefecto, el tetraedro autopolar
<r
i c2<J
3<74>tendráuna deestasras exterior ála superficie es-férica, demodo que, suponien-
ca-do que sea la s4, la cónica
-f' 4determinará conla esfera doshaces de planos tangentes co-
munes: uno tal que cada uno
de sus rayos dejará á un
mis-mo lado á laesferay la cónica
dejándoles á distinto los rayosdel otro, y componiéndose el
haz tangencial de dospartes ó
hacesparcialestalesque,cada uno podráconsiderarseengen-
drado de un modo continuopor un plano que ruede apo-
yándose sobre la esfera y la
cónica; por este motivo le
lla-maremosbicursal:en estecasotoda la cónica dada es útil.
Por cada vértice del
tetrae-dro pasarán cuatro rayos del
haztodos reales ó todos
imagi-narios,siendo-enestecaso
con-jugados dos á dos; si son
rea-les los correspondientes á un
Trang 4tendrá esta cara tres pares
de generatrices reales
relati-vas á los conos cuyos vértices
estén en la misma; si dichos
puntos son imaginarios, las
generatrices de uno delos
co-nos contenidas en dicho plano
seránreales, y las delos otros
dos imaginarias, siendo en
to-dos loscasoseltriángulo
defi-nido por los vértices,
autopo-lar respectodel hazde cónicas
producido en el hazde
cuádri-cas por aquella cara
Dos delas tres caras
concu-rrentesen Vacortaránelcono
Vi <p 4segúngeneratricesreales
y, por consiguiente, ála
cícli-ca, en puntos reales, cortando
la otra cara al cono y á la
cí-clica según elementos
imagi-narios Supongamos que esta
V2 <p 2 según imaginarias, ó
vi-ceversa; si suponemos lo
pri-mero la superficie V^
ten-dráparte parásita y este
mis-mo plano s
3 separará las dos
hojas de los conos Va ¡p s y
V4i4 así como también lasdos
ramasdelacíclica;luegocada
rama de esta también estará
en cada una de las hojas de
V2cp2 con la diferencia deestar
cada dos puntos de la curva
separados por V,, y no estarlo
porelvértice V3.
vértice, pasarán por él tres
pares de tangentes reales
rela-tivas á las cónicas contenidas
en lascaras del tetraedro que determinen dicho vértice; si
losplanos sonimaginarios, las
tangentes á una delascónicas
serán reales é imaginariaslas
de los otros dos pares, siendo
en todos los casos el ángulo
triedrodeterminadoporlostres
planos, autopolar respecto de
la serie de conos
determina-da por la serie de cuádricas
y cuyo vértice sea el citadopunto
Por dos de los tres vérticessituados en la cara exterior,pasarán cuatro planos reales
del hazcíclicosiendo
imagina-rios losque pasen porel tercervértice que será el interior á
la cónica ¿/ puesto que el
triángulo V,V.,V3, esautopolar
respecto de lamisma. Si
supo-nemos que este vértice es el
t tendrá parte
parási-ta. El punto V3 separará los
dos haces parciales de planos
de que se compone el total;
pues si consideramos una
tan-gente á la cónica s'
4 , varemos que desde uno de los
obser-planos tangentes ála esfera
trazados por dicha recta, no puedepasarsealotrosin pasarpor dicho punto V3.
Trang 5219 —
La arista V^Vi será interior
á Vs <p 2porser la polardel
dosgeneratrices realesy á las
otras dos V3 <b 3 y y,?, según
dos pares de imaginarias
Co-moconsecuenciadeesto
dedu-cimosque la superficie cónica
Va <p 2 contendrá parte útil y
parte parásita, puesto que en
ella existirángeneratrices sin
puntos reales de la cíclica.
13.—Veamosáqueapartado
pertenece el grupo de los dos
conos y2<p 2 y y4 cp
4 ; para ello
tracemos desde la recta V^Vf
los planos tangentes al cono
y¡tp
4que serán tangentes á la
cíclica en puntos reales,
pues-to que el cono y¡<¡>
4 sabemos
que no tiene parte parásita;
tracemos análogamente,
des-de lamisma recta, los planos
Este punto también será rior álacónica cp'
inte-2) puesto que
las tangentes trazadas desde
él á lamisma hemosdichoqueson imaginarias; pero existeuna diferencia entre los dosplanos tangentes á Strazadosporuna tangenteátp'
trazado porotratangente á<p'
a
y es, que aquellos están
sepa-rados porel plano <j. mientrasque estosno lo estánpor el ss.
El lado V¡Vi opuesto al
vér-tice y3 en el triángulo VaViy¡
y contenido en la cara <r
2seráexteriorála cónica i¡\ ; luego
por el vértice y4=ea a
3 t, que
seráinteriorálaesfera porser
opuesto á la cara *¡ exterior á
lamisma, pasarándos
puesto que por él no pasan
planos tangentesrealesáS;demodoquelastangentesá estas
curvas trazadas por aquelpunto serán imaginarias De-
dúcese de lo anterior, que la
cónica tp', tiene parte útil y
parte parásita, puesto que
existen tangentes á la misma quecortan á la esfera
Veamos áqueapartado
per-tenecen las cónicas <¡>'
en dos puntos pertenecientes á
dos planos realesdel haz
dos puntos que no podrán
con-fundirse con los anteriores ni
Trang 6— 220
tangentes á V2 <f 2 que tocarán
á lacíclicaenpuntos
no pueden confundirse con los
anteriores ni ser secantes ála
cíclica, porque en tal caso lo
serían al cono Va i>
2
doblemen-te proyectante de la misma;
resulta, por consiguiente, que
dichos planos no podrán
cor-tará la cíclica ni ser
tangen-tesá la misma en puntos
rea-les; luego dejarán á esta enel
interior del diedro que
deter-minen: de modo que los dos
conos V2cp
2y V4a4 estarán en
el caso b), es decir, el diedro
relativo al cono V4&4
conteni-do toconteni-do él en el interior del
relativo al cono V2 <f 2
Como el plano <j.¡ es exterior
álos conos V^?, y V3 <p 3 , las
aris-tas V,V4y V3Vi serán
interio-res á ellosy como esta última
recta también es interior al
cono V4?4 porserlapolar de g
3respecto deeste cono, deduci-
mos que, los V3tp
3 y V4 cp4
per-teneceránal apartadod),no
te-niendo ninguno de ellos parte
parásita; los V,?, y v4:p 4
esta-rán en el caso c).
Análogamente, como la
arista V2V3 es interior al V2cp2
y exterioral V3&3, también
es-tos estarán en el caso c).
Por ser la cara a
4= V,V2V3 ,
exterior á la esfera y
determi-maren los conos V, », y V3<y 3
generatrices imaginarias, es
decirpor separarlasdoshojas
de estos conos, deducimos que
perteneceral segmento
exte-rior determinado por la <?'
dicharecta, puesto que en tal
casola <s¡'
í tendría parte
seg-mentointerior de la »'a; luego
losdospuntosenque dichanica a'
có-2 corte á la recta ss?
4 se
rán interiores á la ep'
4 y sus
puntos interiores también
se-ráninteriores áésta; luego
di-chas cónicas estaránen el
ca-so b).
Como el vértice V4 lo
supo-nemos interior á la esferayá
las cónicas <o\ ytp'
3) las aristas
se-ránexteriores á dichas
cóni-cas, y como <j 3 <j 4= VjV2
tam-bién es exterior á tp'41 puesto
que V3 es interior, resulta que
las cónicas cp'
3 y<p'
4 rán alapartado d), noteniendo
pertenece-ningunade ellas parte
nos tangentes que componen
Trang 7- 221sólo una hoja de ellos conten-
está á un solo lado del plano
tr¡
, y como el V3 -f 3 tiene todas
sus generatrices útiles y el
V¡ <p, tiene parte parásita
re-sulta que estos están en el
caso b)
Para ver la posición
ocupa-da por los conos V, tp, y yá 'f 2
observemos: 1.° que la arista
V\ V2 es exterior á ambos y
queel haz dearista y^s^s,¡
formado por los planos
tan-gentesalV2 cp2ylos <r
3=y, y2V4
y J4syIF,ya como
conjuga-dos es armónico, siendo el <s
3
el que separa lasdosramas de
lacíclica; 2.° que el hazde la
misma arista formado por los
planostangentes al y,-¿
{ y los
ff
3 y 54 como conjugados,
tam-bién es armónico, y 3.° que
eldiedrodelosdos planos
tan-gentes al V, <p, quecontieneen
su interior á la cíclica ha de
contener también los dos
pla-nos tangentes al cono V2 cp2 ,
puesto que si estos planos
es-tuviesen fuera, la cíclica no
estaría contenida en el cono
V, es, por estarlo en cada una
de las dos hojas de y2 »s que
quedarían en el ángulo
exte-rioral y,tp
4 ; luego dichos
co-nos estarán en el caso a).
dos planos tangentesála
esfe-ra por una tangente á -f\ ó a'
3
exteriorá S,podrá irsede uno
de ellos al otro por un giro,sin pasar por ninguno de los
puntos interiores á la esfera,
luegolos dos haces parciales
no estarán separados por el
punto y,; además por ser la
recta c, <r 3= v 2VA secante de
la cónica ¡p'
de la cp'j que tiene parte
tendrá que estar dentro de la
tp'
3 ; deduciéndose de aquí que
se hallan en el caso b).
Para verla posición
ocupa-da por las cónicas ®\ y cp'
ob-servemos: 1.° que la arista
5, (i,= V3Vi es secante á
am-bas cónicas, puesto que V3 es
interior á cp'2 y y4 lo es ái',y
que la serie formada por los
dos puntos comunes á la <p s y
^4 Y^3es armónica, así como
ladeterminada por estos dospuntos y los comunes á »',; 2.°
queporser V3 interior á -¡¡\ y
exterior á <¡¡\ y Vi exterior á
:p', é interior <¡>\, deducimos queelsegmento exterior áuna
cónica contendrá todo el riorálaotrapuesto quesisolo
inte-contuviese una parte, los
pun-tos de intersección de la
pri-mera con la recta V3Vi rían separados por los dos
esta-puntos de la otra cónica, en
cuyocasolos dospuntosV3yVt
Trang 8— 222
Resumiendo lo anterior,
ve-mos que la cíclica puede
con-siderarse engendrada por seis
pares de conos que agrupados
los de cada par de aristas
opuestas serán los siguientes:
ex-V, v 2
conos que están
' en el caso a)
la arista V3V4es
in-v3v4
V& conos que están
14.— Los casos particulares
queesta clase de cíclicas
pue-den presentar son debidos al
númerodecilindros
doblemen-teproyectantes, óloque viene
áserlo mismo, al número de
vértices del tetraedro que se
que, todo el segmento interior
citado haz de planos puede
considerarse engendrado por
seispares de cónicasque
agru-padas lasrelativas á cada par
de aristas opuestas serán lassiguientes:
?2
V*
r3
la arista <t,c2 es
cóni-cas que están en el
la arista s3<<
4 es
cóni-cas que están en el
Las variedades que esta
es-pecie de haces de planos decuarta clase pueden presentarson debidas al número de ca-ras del tetraedro que pasan
por elcentro dela esfera;
ten-dremos por consiguiente tres
Trang 9sustituyen por direcciones;
tendremos, por consiguiente,
tresvariedades, según que
es-tos sean 1, 2 ó3.
Entodos los casos,
subsisti-rá el vértice interior que
he-mosdesignado porV4 yelcono
correspondiente que seguirá
conteniendo en sus dos hojas
la curva Cuando un vétice se
sustituye por una dirección, la,
involución cuyo centro es
di-cho puntoy cuyoplanocentral
eslacara opuesta, setransfor
ma en simetría respecto de
esta cara y aquélla dirección;
si son dos los vértices que se
sustituyen por direcciones, la
involución respecto de la
aris-taque determinan y la
opues-ta, se transforma en simetría
respecto de esta última arista
yaquella orientación, y si son
tres los vértices sustituidos, la
involución respecto del cuarto
vértice (que será el centro de
la esfera) y la cara opuesta
al mismo, se transforma en
simetría respecto de aquel
centro
Dentrode la primera
varie-dad pueden ocurrir dos casos,
segúnque elvértice sustituido
sea el V2ó uno de los V", ó V3,
es decir, según que el cilindro
sea hiperbólico ó elíptico y,
aun dentro de este último,
se-gún que el cilindro penetre ó
nó en la esfera Cuando hay
dos cilindros existirán tantos
casos como combinaciones
puedanformarse con V[Vsy V3
es decir tres.
Porúltimo, si los tres
vérti-variedades (además del caso
general) según que una, dos ó
tres caras pasen por el centro
de 2
Entodosloscasos, subsistirá
porconsiguiente,lacara
exte-rior que hemos designado por
t
4y la cónica correspondiente
tp'
4que en la tercera variedad
quedará reducida á un conodirector, y el plano de esta có-nicaseparará los dos haces deplanos de que se compone el
porel centro, la involución deque es plano central quedará
reducidaáunasimetría;si doscaras pasan por el centro,
cada una de ellasvendráá ser
plano de simetría del haz y su
rectade intersección un eje de
simetría, y si las tres caraspasasenpordicho centro, exis-
tirían tresplanos de simetría
del haz de cuarta clase, tresejes desimetría yuncentrodeídem, que será el centro de
la esfera
Dentro de la primera
varie-dad de estos haces, pueden
ocurrir dos casossegún que el
planoque pase por el centro
sea el s.
2 óuno de loso
1 ó ?3, esdecir, según que se trate de
las cónicas <¡>'
2 ,
3
Cuan-do los planos de dos cónicas,
pasen por el centro, existirántantas combinaciones como
puedenformarse con<j,, t
2ys
3
Por último silos tresplanos
Trang 10ees son lossustituidos por
di-recciones, las cíclicas reciben
el nombreespecial de cónicas
esféricas, pues, en este caso,
Cíclicas reales unicur'
sales.—R\ segundo género del
grupo20 corresponde al caso
en que los planos conjugados
comunes á dos cuádricas del
haz son imaginarios
su-perficies cónicas que nos
defi-nen la cíclica; At y A\, A2y
A'.2 los planos tangentes al
respecti-vamente, trazados porlarecta
V-, V2= <r 3 <j
4 , estando
separa-dos los dos primeros por los
otros dos; la parte de
superfi-cie cónica V,©, comprendida
en eldiedro AxA.2nocontendrá
puntos reales de la cíclica, de
modo queserá parte parásita;
una cosa análoga sucederá á
la V2 <f 2comprendida en el
die-dro A\A'.2; en cambio serán
útiles las partes de cada una
de aquéllas superficies
conte-nidas en el A.,A',
El planoAstangentealcono
V2 <p 2 ; tocará á este según una
generatriz y cortará al V,<p,
segúndos, quecon aquella
de-terminarán dos puntos de la
s pasasen porelcentro
obtendríamosloshaces de
pla-nos correlativosdelascónicas
esféricas
Has cíclico de planos decuarta clase unicursal.-El se-
gundo género delgrupo 20co
rresponde al caso en que los
dos puntos conjugados
comu-nes á dos cuádricas de ia serie
son imaginarios
Sean <p', y<p', las doscónicas
que nos definen el citado haz;
At y A\, A.2 y A\ los puntos
de intersecciónde las cónicas
f'iyf'sconla recta tr,<r
s= V3V4
de intersección de sus planos,
estando separados los dos meros porlosotros dosysien-
pri-do elsegmentoexteriorcomún
á las dos cónicas el A\A.2; la
parte de radiación de planostangentes á o\ que contenga
puntos del segmento Al A., no
contendrá planos reales del
haz, siendo parte parásita dedicha radiación;una cosa aná-loga sucederá á la de laradia-ción de planostangentes átp'
2
que corte al segmentoA'.2A\;
en cambioseránútiles las
par-tes de cada una de aquéllasradiaciones que corten el seg-mento A'
lAi exterior á lasdos
cónicas
Por elpuntoA.2 de la cp'
2
pa-sarán dos tangentes á la ip',
que serán generatrices de la
desarrollable envolvente del
haz cíclico de planos, siendo
su punto de contacto con esta
Trang 11- 225
de retroceso (LA núm. 166);
siendo aquellas generatrices
las tangentes en ellos.
Estos dos puntos de
contac-to del planoJ2bitangente á la
cíclicaperteneceránalplano<r,
polarde V, ; lasdemás
genera-trices de Vt <f, cortarán la
cí-clica en pares de puntos
ar-mónicamente separados por
y, y <j, resultando, como
con-secuencia, que dicha curva
estará formada por dos arcos
armónicamente separados por
el vértice V, y el plano <¡u
uniéndoseestos arcosen
aque-llos dos puntos de la cíclica
contenidos en el plano a,
, y
pudiéndo describirse la parte
real de un modo continuo por
un punto; esta curva que
pre-senta todos sus puntos
uni-atrsal por el motivo
anterior-mente citado; otro tanto de lo
dicho para el cono V, <p,
su-cedecon el V3 <p3.
Por ser dos carasdel
tetrae-dror autopolar imaginarias
conjugadas, tendrá éste reales
las otras dos caras, que nos
determinarán dosvértices
rea-lesen la arista real en que se
corten las dos caras
dos superficies cónicas reales
doblementeproyectantes,
sien-do las otras dos imaginarias
con vértice imaginario Hay,
en este caso, mordeduradeun
cono en otro y de ambos en la
esfera
Las variedades que pueden
cónica punto límite de la
có-tes deo', pasarán dos planos
armónicamente separadospor el plano o, y el punto V,
resultando, como
consecuen-cia, que dicho hazse
compon-drá de dos hacestales que, de
un modo continuo podremos
pasardelunoalbtro por
aque-llos dos planos que pasan por
V',; por cuyo motivo le mos el nombre de unicursal;
dare-siendo ordinarios todos susplanos
Como dos vértices del
te-traedro son imaginarios
con-jugados, tendrá éste reales los
otros dos vértices, que nos
de-terminarán una arista real,
siendo además realeslas caras
que pasan por la recta realdefinida por aquellos puntosimaginarios;existirán, portan-
to, solodoscónicas dobles
rea-les de la desarrollable
envol-ventedelcitado haz de planos;
las otras dos cónicas serán
imaginarias, asícomo sus
pla-nos
Las variedades
Trang 12correspon-presentarse, serán debidas al
número decilindros de
segun-do orden que sustituyan á los
conos
1.6— Cíclicas nodales.—
Co-rrespondenéstas al grupo21,
según ya hemos visto(8),
exis-tiendotres superficies cónicas
de segundo orden doblemente
proyectantes de las mismas,
dos de las cuales, las y2'f2 y
V3 <p
3 , son tangentes á un
mis-mo plano s, á lo largo de dos
generatrices que por ser
tan-gentesconjugadas respecto de
S (6), serán perpendiculares
También vimos queeste plano
^cortabaálasuperficiecónica
que eran tangentes de la
cuár-tica armónicamente
separa-das por aquellas dos de
con-tacto, siendoelvértice V,
pun-to doble de la línea, por lo
cual se da á ésta elnombre de
cuártica nodal alabeada
17.— Se distinguen en este
grupo tres géneros de
cuárti-cas.En el primero que
corres-ponde al caso en que uno de
losdiedros a
lAi , <^
lA3dearista
V2V3, en que están inscritos
los conos V2 <p.2ó V3 tp 3esté
con-tenido en el interior del otro,
cortará elplano u, alconoV,<p,
según dos generatrices reales
tangentes cada una de ellasá
cada uno delos dos arcos
rea-les de la curva que deben
pa-den alnúmero de cónicas blescuyos planos pasen por el
do-centro de la esfera
Hascíclico de planos nodal
de cuarta clase.—
Correspon-den al grupo 21, existiendosolotres cónicas dobles de su
desarrollable envolvente, dos
de las cuales las ¡p'
ay tp'
tie-nen un punto común V, con
un plano tangente común s
i
que es el determinado porlas
dos tangentes á cada una de
aquellas en V,, cuyas
tangen-tesserán perpendiculares por
ser conjugadas respecto de S
También vimosque por V";
pa-sabandos tangentes ála
cóni-caep'
t contenida en el plano n
i
tangente común á lasdos
pri-meras, armónicamente radas por lastangentes á <¡>'
pudiéndose designar con
el nombre de has cíclico deplanos nodal de cuarta
clase
Existenenestegrupo
tresgé-neros de haces de planos
co-rrespondientesá otras tantasdesarrollables de cuarta clase
En el primer género que
co-rrespondealcaso enque mentoexterioráuna delasdos
elseg-cónicas <p',ó o\determinadoen
la recta deintersección de susplanos, esté todo él contenidodentro del segmentoexteriorá
la otra, podrá engendrarse el
haz tangencial de planos deun
Trang 13227 —
sar por el punto V,, el cual
aparecerá como doble; por
cuyo motivo las de este
géne-ro que se componen de una
sola ramareciben elnombrede
ctiarticas crmtodales
el plano a, ; y siendo sus
gene-ratrices de contacto las
tan-gentes reales á <?', trazadasdesde V, (6)que serápuntoex-
terior de esta cónica; por estacausa, y por ser correlativo
de las cuárticas crunodales,
lo distinguiremos de losotros
con el nombre dehas de
pla-noscrunodal de cuarta clase
Enel segundo génerode
ha-ces deeste grupo quese
obtie-necuando los segmentos V,J2
y V,A3 de puntos exteriores á
las dos cónicas a>'
deter-minadosenlarectadeción de sus planos tienen una
intersec-parte común A,A:I , los planostangentes á las dos cónicas
trazados desde puntos de la
recta <r 2<r3 inmediatos al V, por
uno y otro lado del mismo,
se-rán imaginarios, y solo seráreal el a, determinado por las
tangentes á cp'
2 y cp'
3 en V,, demodo que este plano tangente
será aisladoysusgeneratrices
de contacto con la
desarrolla-ble envolvente imaginarias;luego el punto V, estaráen el
interior delacónicasp't. Todoslos planos reales de este haz
cortarán alsegmento A.2A3 de
lospuntos exteriorescomunes;
á este hazde planos le
llama-remos por analogía con las
Eduardo Torroja (458) designaremos también con este nombre á la parte imaginaria de una curva
El segundo género se
obtie-ne cuando los diedros a
lAi y
<s
iA3 en queestán inscritos los
conos Va ? ay V3 <p 3 tienen una
parte común exterior al
pla-no tangente », que separa las
dos hojas del cono, V,cp,
cor-tándole según dos
generatri-ces imaginarias que
sustitui-ránálas tangentes dela
cícli-ca en el punto aislado V,; y
lasporcionesde lasdos
super-ficies cónicas V2cp2 y v3 <f3
in-mediatas al punto V, que
que-dan á distinto ladodel planoa
l
determinarán cada una de
ellas enla otra una cadena O
de puntos que contendrá el
punto real V\ Alas cuárticas
deeste género las llamó
Sal-món acnodales
Trang 14228
-El tercer género
corres-ponde alcasoenquelos
ángu-losa
lAsy <¡
lA3 no tengan
par-te alguna común, siendo la
curva imaginaria y estando
contenida en dos conos reales
Va<?ayV3 <f 3 yenotro V,?,
ima-ginario cuyo vértice real V,
pertenece á la esfera5
En todos los géneros la
cí-clica está eninvolución
consi-go misma de tres modos
dis-tintos;unorespectodel vértice
V2 y el plano<j
2 , otra ción análoga respectodel vér-
involu-tice V3 y plano <¡ 3 y la tercera
respecto de las rectas V2 V3
y <r 2 a3.
Los vértices V2y V3 podrán
sustituirse por direcciones
dando origen á variedades de
estas cíclicas nodales
18.— Cíclicas cuspidales.—
Son las comprendidas en el
grupo22(8) quesehallarán se
gún dijimos (6) en dos
superfi-cies cónicas V,», y y2*2
tan-gentes entresí y á la esfera £
en el punto V, vértice de una
contacto del plano ¡r, tangente
común serán perpendiculares
por ser conjugadas respecto
de la esfera E Si
considera-mos una generatriz de la
su-perficieV2tp2moviéndose sobre
la misma cortará en dos
confundirse á la vez en el
vér-tice Vt ; luego dichageneratriz
vendrá á ser una tangente de
curvas correlativas, has
cícli-code planos acnodal
El tercer género se
obtie-ne cuando el segmento
exte-rior áuna cónica es interior á
la otra, siendo ladesarrollable
imaginaria; de modo que soloexiste un solo plano real del
haz, el c,, siendo todos los más imaginarios
de-En todos los casos está el
hazde involución consigo
mis-mo, de tres manerasdistintas;una respecto del plano <¡.
2 y su
polo V2,otrarespectodeu3y V3
y la tercera respecto de las
rectas V2V3 y <7
2 a3.
Los planos de lascónicas V2
y V3 podrán pasar por el
cen-tro de laesfera dandoorigen á
variedades de estos haces de
determina-comunes á dos cónicas o\ y<p'
2 en el punto V, común á las
dos cónicas es la recta de
in-tersección delos planos a, y<¡
¡
de ambas, siendo exterior áellas todo el segmento de la
expresada tangente exterior á
la -/,; el haz de planos realesestará formado por todos los
tangentes comunes que corten
al expresado segmento, de
Trang 15229 —
segunda especie de la cíclica
en el punto V,, comopor otra
parte, la generatrizde
contac-to de la V,*, con el plano
tan-gente <s¡ es tangente á la
cícli-caen el vértice, según se
des-prende de ladefinición
ordina-ria, {L.A núms. 1 y2), el
vér-tice V, tendráqueserde
retro-ceso de lacurva Por
presen-tar este punto de retroceso
suele darseá las cuárticas de
estegrupo, el nombre de
cus-pidales
Estas cíclicas estánen
invo-lución consigo mismas
respec-to del vértice V2y de su plano
polar <7 3respecto de S
El cono V2 podrá ser
susti-tuido poruncilindro;entonces
el plano diametral de laesfera
perpendicular á las
generatri-ces,serádesimetría, ylas
sec-cionesproducidas por este
pla-noenlaesfera, y enel cilindro
serán osculatrices; pues el
cír-culo y cónica obtenidos que
debenser tangentesno podrán
tener más que otro punto
co-mún sinser tangentes en él.
modo que este haz podrá ser
engendrado de un modo nuo porun plano tangentemó-
conti-vil. Por otra parte si en estemovimiento consideramos el
punto de intersección con una
recta perpendicularalplano<¡¡
en un punto de la tangente á
o\ é interior á ©', , se observaque al describir un rayo del
haz; la parte de éste próxima
al punto V, pasando porél, el
movimientodel puntode
inter-sección de este plano con
aquellarecta,se verifica enun
sentidoconstante,hastallegar
á confundirse el citado rayocon <r,, retrocediendo después;
luego el plano a, es de
retroce-so, (L A núm. 42) puesto que
la expresada perpendicularno
corta á ninguna generatriz de
la desarrollable envolvente en
laparteconsiderada;loshaces
de estegrupo soncorrelativos
de las cíclicas cuspidales sentanáoun planoderetrocesoEstoshaces de planos están
pre-en involución consigo mismosrespecto del plano <r
2 y de supolo V2respecto de S.
Seobtendrán dos variedades
de estos haces según que el
plano<r
2contengaónoelcentro
de S siendo este plano de
si-metríadelhaz,yel cilindro
largo de la misma.
Trang 16- 230 —
19.—El haz cíclico de planos circunscrito á la esfera S álo
lar-gode una cíclica (S)es de la misma naturaleza quela curva
Para demostrar estapropiedad, observaremos que á todo punto
A de (E) corresponde en «el haz el plano a tangente en él; áuña
cuerda A B su polar afJ; al haz radiado de segundo orden
doble-mente proyectante de (£) desde V, unhaz plano derectas de
se-gundoorden contenido en el plano <¡ polar de V; al haz de planosbitangentes V>, laserie ¡p' de puntos dobles de la desarrollable;
luego existen los mismos puntos conel mismo plano polar
respec-to delacurva (£)y del haz cíclico de planos circunscrito, y
cuan-do el vértice V nosea punto de £, la línea doble »' será polar de »respecto del círculo <s (L A núm. 239). Dedúcese de aquí que,
cuando existe un cono con su vértice interior á la esfera, la arrollable envolvente del haz cíclico de planos tendrá una línea
des-dobleen un plano exteriorá 2, siendo lalínea y el hazbicursales
Si ninguno de los conos doblementeproyectantes tiene su
vérti-ce interior ála esfera ni sobre la misma,los planos de las cónicas
dobles serán secantes de S; luego el haz y la línea serán
unicur-sales
Cuando uno de los conos doblemente proyectante tenga su
vér-tice sobre la superficie esférica, existirá también una cónica doble
de la desarrollable sobre el plano tangente á S en aquel punto,
puesto que según hemos visto esta línea doble ©' es lugar delos
polos de los planos del haz de bitangentes á{E), estando estas nicas »'situadas en los conos S-¡¡' conjugados de los haces de pla-
có-nos tangentes á V<p en el sistema polar absoluto Si el cono Vy
tiene dos generatricesreales en el plano <*, pasarán por el punto
Vdos rayos reales del haz de rectas tangentes á<?' siendo la línea
crunodal y el haz de planos de la misma especie Cuando las
ex-presadas generatrices sean imaginarias, sus polares también lo
serán, correspondiéndose las acnodales con los haces reales que
tienen un rayo aislado Si el cono V<p es imaginario, imaginariosseránlos polos de sus planos tangentes; luego la nodal imagina-
ria se corresponde con el hazimaginario de un solo plano real.Porútimo, si el cono V<? es tangente á a, la cónica <»'tiene portangente en V la perpendiculará aquella generatriz de contacto,siendo las cíclicas cnspidales y el has de planos con un rayo de
retroceso
III
20.— Proponémonos en
pri-mer lugarreducirla
construc-ción de una cíclica definida
Trataremos en primerlugar
de reducir la construcción de
una desarrollable circunscrita
Trang 17á una esferaS y otra cuádrica
2', á la determinada por doscónicasdobles delaexpresada
desarrollable cíclica,
obser-vando para elloque los planosnos deestascónicas doblesson
los que tienen el mismo polorespecto de cada una de las
cuádricas de la serie.
por unaesfera Syotra
cuádri-ca2', á la intersección de dos
superficies cónicas desegundo
orden, observando para ello
quelos vérticesdeestas
doblemen-teálacíclica(£)seránlos
pun-tos que tengan elmismo plano
polarrespecto delascuádricas
del haz cuya basees (2) {L.A
número 232).
21.— La esfera S y la cuádricaS'sondirectrices de dos sistemas
polares en el espacio, de tal modo que á una figura S,,den otras 22y E'2 polaresde £, y homográficas, por consiguiente,entre sí. Es evidente quelos puntos que tengan el mismo plano
correspon-polar respecto de las cuádricas S y £', serán dobles en las figuras
homográficas S2y £'
2 y también serán dobles los planos que
ten-gan el mismo polo
Para determinarestospuntos y planos dobles, observaremos que
al punto A¡ de la primera
co-rresponderá uno A2 dela
se-gunda, y á éste, como de la
primeraotroA3delasegunda,
y que siimaginamos definida
larelación de homografía
en-tre las dos figuras por las
ra-diaciones At y A* de la
prime-ra de aquellas, con sus
homo-logas respectivas A2 y A3 de
lasegunda,se cortaránen todo
punto doble V¡ no situado en
la recta AlA.2l las rectas ViAi
y VfA^ dela primera figura y
sus homologas VXA% y VtA3
de la segunda; pero como en
general, las rectas AlAi y'
A.2A3 serán distintas, los
pun-tos deintersección de las
rec-tas de la radiación Aí con sus
homologasdeA.¿formarán una
cúbica; los de intersección de
lasrectas deA.2 con sus
homo-logas de A3 constituirán otra
cúbica que cortará á la
prime-ai plano a, de la primera
co-rresponderá uno a
se-gunda y á este, como de la
primera, otro a3de lasegunda,
y que si imaginamos definida
larelación de homografía
en-tre las dos figurasporlas
3 a, serán distintas, los
planos determinados por las
rectas dejla^figura plana o^
con sus homólogos de la a2
constituirán unhaz de planos
deterceraclase; losplanos
de-terminados por las rectas de
la figura plana ¡x
3 con sus
ho-mologasdea, constituirán otro
Trang 18— 232 —
rá en puntos que tendrán el
mismoplanopolarrespecto de
todas las euádricas del haz,
siendo por este motivo vértice
de los conos desegundo orden
doblemente proyectantes dela
cíclica
Podríamos ya determinar
simultáneamente todos estos
conos por medio de cinco
elementos convenientemente
elegidos; por ejemplo, cinco
puntos tales que entreellos no
haya dos enlínea rectacon un
vértice del tetraedro, los
cua-les podrían hallarse cortando
la cíclica por un plano que no
pasase por ningún vértice y
añadiendo á los cuatro puntos
así obtenidos otro cualquiera
en general Si en particular
tomásemos uno de losdos
pla-nosparalelosá loscíclicos
tra-zados por el centrodeS, como
este plano cortará al haz de
euádricas según unhaz de
cir-cunferencias que tendrán
co-munes lospuntoscíclicos y los
del eje radical común,
podría-mos determinarfácilmente
so-bre el mismo las
circunferen-cias directrices de los conos
que pertenecerán al haz y
pa-sarán por las proyecciones de
unpunto real de la curva no
contenido en el plano
(Continuará.)
haz que tendrá común con el
primero varios planos con el
mismo polo respecto de la
se-rie siendo por este motivo los
planos de las cónicas dobles
de la desarrollable envolvente
Podrándeterminarse
simul-táneamente todas las cónicas
dobles pormedio decinco mentos convenientemente ele-
ele-gidos;porejemplo,cincoplanos
tales que entre ellos no haya
dos que se corten según una
recta contenida en una cara,
loscualespodrían hallarse
eli-giendo cuatro rayosque sen porun punto no contenido
pasa-enningunacaray ademásotro
cualquiera en general Si en
particular tomásemos elpunto
rectas focales reales del cono
circunscrito áS'desdeSenque
se cortan dos rayos isótropos
del haz, comoeste punto debe
ser vértice de una serie de perficies cilindricas que ten-ganpor planos tangentes co-munes dos reales y aquellos
su-dos isótropos tendrán una
rec-ta focalcomún,siendotes estos elementos con un nuevo plano tangente á cadacilindro para ladeterminación
suficien-de estos No obstante de ser
este el procedimiento
correla-tivo, creemos más sencillo
ele-gircomopunto del infinitoelde
una de las asíntotas de la
hi-pérbolafocaldeS' cuandoesta
tengacentro, pues enestecasoserán de revolución las super-
Sixto Cámara
Trang 19Las Tablas gráficas de Luyando
CONTRIBUCIÓN Á LA HISTORIA DE LA NOMOGRAFÍA
Por Giuseppe Pesci
De la R. AcademiaNaval de Livorno
§7.—El segundo abaco, que ocupala parte superiorde latabla
pri-mera, da los valores de es que sededucen numéricamente de la fórmula
[6]yaexpuesta
Para construirlo se ha formado sobre el eje de las x una escala
uni-forme parapponiendo, (excepción hecha siempre de un coeficiente
cons-tante),
eje delasy, trazada por el punto de cotap = 62', (dela escaladente), se hatrazado otra escala idénticaá la anterior, poniendo
prece-y = s 2 sen 60°.
Portanto paratrazarla línea de cotatí se procede del modo
si-guiente: De la [6] resulta inmediatamente que el segmento de la
pri-mera escalacomprendido entre el origen yel punto p —54', y el
seg-mento de lasegunda escala comprendido entre el eje de la re y el punto
e • 2 sen 60° pueden considerarse como los catetos de untriángulo
rec-tángulo en elcual el ángulo [i opuesto al segundo estará definido por
a ;
para trazartodas estas rectas, no es necesario calcular el ángulo ¡3; es
considerary calcularmediantela [6] los correspondientes valores de e ,
para conocerlospuntosde interseccióndelasrectastí conlaescala (sa ).
Los valores atribuidos á tí varían de 5 o en 5o entre o y 80°; y de
Trang 20rresponde á la [6] mediante el cual, dadas p ytí se calcula
inmediata-mente e con un error menor que2"5 (como paras,).
Es notabilísimo este abaco, por presentar un anamorfismo tico completo;noempíricocomoenel abacoprimero,niincompleto como
analí-en el cuarto Pertenece al tipo de los abacos radiados, (N § 27), de los
cuales el primer ejemplo se encuentra en el de «vidaprobable»
construí-do por Lalanne, (1 c. § 65).
§ 8.—Consideremos finalmente el abaco correspondiente ála [7],
úni-co que nos resta por examinar
Siendo en este abaco e¡ función de tres variables, no podía ser un
determina la fórmula [13], pero tomando un coeficiente constante
di-verso, pues en esta siendo el intervalo de0,9 cm solamente, queda
divi-dida de 15" en15". Sobre el ejedelas yse ha establecido otra escala y
uniforme paralosvaloresde s'
Hecho esto, atribuido un determinado valor, p.e 5 o á h se han
cal-culadolosvalores des'
3 (como ahora diremos),parap = 54' yp — 61';
se han marcado los puntos correspondientes, y se han unido mediante
un segmento rectilíneo; se tiene así obtenida la línea de cota h = 5o
,
"
y haciendo variar después h de grado en grado hasta80°y de cinco en
cinco grados entre 80°y 90°, seha obtenido el abaco que corresponde á
Trang 21— 235 —
hasustituidoestosarcospordos segmentosrectilíneosquehatrazado
cal-culando los valores de s'
3 (consignados en unatabla de la pág 6),
corres-pondientes á los dos valores indicados de py á todoslos indicados
a
-§9.—rObtenido así el abaco que define e'
3 , para obtener el des
de-terminado porla ecuación
s
3 = s' eos d
se ha adoptado un procedimiento análogo al seguido para el abaco de
la [6], y este nuevo abaco referido al mismo sistema de ejes cartesianosaparece sobre la mismalámina del abaco de la [15], con los mismos ejes cartesianos.
Porun punto O' del eje delasx colocado á corta distanciadel punto
al ejedelasyysobreestarectaseha colocadolaescala(^'
3 ).
prolongán-dose todas las rectas paralelas al eje de las x que pasan por los puntos
3 = 35' á
espacio correspondiente á1'ocupacercade 1,7 cm., estando fraccionada
de 5" en 5".
Ahora, para trazar la línea de cota rf obsérvese que por la [17], el
segmento comprendido entre 0'yelpunto de cotas'
3 , yel comprendido
entre P'y el puntode cota e'
3 pueden ser considerados, comocatetos de
un triángulo rectángulo del cual el ángulo y opuesto a segundo catetoestará definido por
a ;
trazar-las,bastaráponere' =35' enla [17]ycalcularlosvaloresde s dientes átodoslosvalores ded quesedeseeconsideraryque ennuestro
tan-totrazarse el sistema derectaspor los-puntos dela escala (s
3 ) y gar todas las que pasan por los puntos de la escala (s'
prolon-3) hasta
en-contrar ála rectad = 20° [la cual encuentra ála escala (s
3 enlas
pro-ximidades de su punto extremo 33', puesto que 35'cos20° •= 32' 53",];
se obtiene así un abaco completo de la [9| mediante el cual conociendo
Trang 22— 236 —
setiene evidentemente con un error menor de 2", 5, como paras, ys
)-Resta observar, que poreconomía de espacio unaparte del segundo
aba-co (desde s = 18'), ha sido trasportada á laporción de la lámina quedejabalibre laprimeraparte.
Este abaco,constade dosabacosconexos, (á échelles accolées,N §
117)-No es necesario, que la escala comúncontengalagraduación puesto que
puedeprescindirsedelvalordee'
3 siempreque seconozcaelpunto
corres-pondiente; (por esto se dice fundadamente en el prólogoque«la
numera-ción puede ser provisional»): y por esto también Lallemand llama al
principio en que tales abacos están fundados, «eliminación gráfica».
De este tipo de abacos, frecuentísimo en la práctica, W no presentaLalanne ejemplo alguno, y por ello consideramos el abaco tercero deLuyando como elmás notablede todos
§ 10.— En conclusión: Los abacos constituyen un punto
importantí-simo en la historia de la Nomografía, puesto que son notables, no sólo
por laépocaá que se refiere suconstrucción,sino porquepalpita en ellos
el fundamento de toda esta moderna parte de la ciencia.
De haber sido secundado el ejemplo de Luyando, ciertamente quehabrían podido introducirse ya, simplificaciones notables en los cálcu- los, referentes sobre todo á la Navegación astronómica, (los cuales, áser
posible deben consignarse gráficamente en cartas reducidas), y á todas
lasinmediatas aplicaciones de las Matemáticas
Sólo en los últimos años, especialmente después de la invención de
nuevos métodos se ha tratado de aplicar la Nomografía á la resolución
de los problemas principales de la Navegación astronómica, como lo
con-firma la enumeración siguiente de los abacos construidos hasta ahora,
yquejuzgamosdeutilidad ( 2>
.
1.° El cuadrante de reducción, que juzgamos como el primer abaco
construido, (bastante anterior al de Ponchet), descrito al jinal de 1692
el cuadrante de reducción ( 3
) Ignoramos por qué los cultivadores de la
Nomografía no lo han tenido en cuenta Consta de dos abacos
VOGLER —AnleitungzumEntwerfen graphiscer Tafeln (Berlín, Ed Ernest et Korn, 1877,
D'OCAGNE —Application genérale de la Nomographie, au calcul des profils de remblai et
dé-blai (Annales des Ponts et Chaussés 1896).
(2) Comohemos indicado en una nota al § 4.
(3) V.Cesáreo Fernández Duro,—Los ojos en el Cielo (Madrid Aribau, 1879).
Trang 234.° ElAbacodelashoras deortoy ocasodel Sol, deCollignon.
ra-diado, (N § 27), cuyalectura estáingeniosamente simplificada
5.° El Abacode la distancia esférica, (N § 123). 1891 Es una delas
primeras aplicaciones hechas por D,Ocagne en su genial principio delos
puntos alineados < 3 '
6.° El Abaco para la determinación delpunto en el mar, construido
por Fabé y Rollet de l'Isle (Annales hydrographiques, 1892): Este
MARYETT'S.—Longitude Tables for correcting the effect of paralax aud refraction on the
MAINOON.—Carte trigonométnque servant á réduire la distance apparente de la Lune au
BORDA(citados en una observación al § 4), se dice «queMARYETTESreduce á una simple opeía,
Nohemos podido adquirir ninguna de estas gráficas, por lo cual nos es imposible juzgar de
libro que sistematizase los diversos procedimientos adoptados.
(3) En una nota presentada á la Académie des Sciences (Comptes rendus, 1904) por el
pre-sentamos.
Trang 24- 238
-abaco resuelve el sistema
cuandosetomanpor incógnitas dos de lascuatro cantidades a, b, c, 3, y
re-ducción sirve para resolver completamente un triángulo rectángulo
pla-no. La analogía entre estos dos abacos es completa, aun cuando no se
comprenda fácilmente la razón O . Según los autores «este abaco sirve
para resolver sin cálculos, muy rápdamente y con suficiente
aproxi-mación todos losproblemas frecuentes de la Navegación,y sustituye por
ello á todas las tablas náuticas, excepto las efemérides. Sin embargo no
creemos que su uso sea de excelentes resultados, por sus dimensiones
sistemas superpuestos de líneas.
7.° El Abaco de la ecuación de la marea diurna y semidiurna de
D'Ocagne (Comptes rendus de l'Academiedes Sciences, 1896), del cual
dados los dos parámetros variables de lugary época se deduce la alturacomo función dela hora, yviceversa
8.° El Nomogramade las curvas dealtura, del prof. Molfino
(Rivis-taMarittima, 1899) Elprincipal de ellos, sirveparael cálculo delos
ele-mentos que permiten trazar unacurva de altura sobreuna carta
reduci-da. Consta de dos abacos cartesianos superpuestos, que resuelven dosecuaciones del tipo [19], ytienegran analogíaconlos de Fabé y Rollet
de l,Isle; mas para la práctica ambos presentan los mismos
inconveni-nientes.
9.° El Abaco para la distanciade un punto al horizontee, construido
por nosotros, (véase, Sul calcólo delle distanze inmare, Rivista
distan-cia corregida de la refracción, sin necesidad de calcular previamente un
valoraproximado de lamismadistancia, como seenseñaordinariamente
en Navegación(p e., Faye.1. c, pág 361) .
10.° El Abaco para el cálculo de la latitud mediante una altura
cir-cunmeridiana,construidotambiénpornosotros, (RivistaMarittima, 1898)
Se trata del cálculo notable y frecuente de un elemento de corrección;
abacos es importantísimo Sobre unalámina de 0, 45 por 0, 35 se
es sabido, la fórmula adoptada, lleva anejo un error que puede alcanzarcomo valor 1'.
11.° El Abacopara ladistanciade un puntoá otrodentrodel
Trang 25— 239 —
te, tamibén construido por nosotros mismos, (Cenni di Nomografía II
se considera constante é igual al valor medio frecuentemente adoptado,
da también la distancia de un punto colocado entre el observador y una
12.° El Nomograma de los azimutes del Sol, del prof. Molfino,
apro-ximación frecuentemente requerida en la resolución de los triángulos
su autor considera, sonsuficientes las dimensiones de 0, 45 por 0, 40 13.° El Nomogramapara la determinación del azimut, ypara prede-
quelques applications de la Nomographie, Annales hydrographiques,
profe-sor Molfino, aunque podemos afirmar que el autor desconocía esta
cir-cunstancia Parael caso de ser el azimut próximo á o ó 180°, la
aproxi-mación es escasa, más para esta excepción Perret acude á un artificio
ingenioso, que se hahecho corriente.
14.° El Nomograma para el cálculo de las alturas correspondientes, del mismo Sig. Perret(véase,Notesurlaconstruction d'unnomogram-
hablando del abaco 11.° y cuyo dibujo no se halla en la publicación
ci-tada(2)
(1) Comohemos expuesto, (véase sul calcólo delle rette d'altezza Rivista Marittima, 1903)
la-titud, mediante la observación de la estrella polar»; «Corrección de ángulo horario, para un error
de la latitud»; Podríamos haber construido también para la Navegación astronómica, un atlas,
—Azimut par l'heure; recherche d'un astre observé; navigation par are de grand cercle.
Comprende todo ello la labor á que hacíamos referencia en una nota, al hablar del abaco 11°, y
oficial el mejor éxito.
Trang 26- 240
-15.° El Abaco para hallar los límites entre los cuales puede hacerseuso delas rectasdealturadeM S. Hilarie, porelprofesorMolfino,(véa-
se, Circa le rette d, altezza, Rivista Maríttima 1906).
16.° A todosestos abacos podrían agregarselos dos Abacos
genera-les de la Trigonometría plana El primero fué construido por el profesor
D'Ocagne, Bulletin astronomique, 1894); el segundo por nosotros,
elemen-tal que no requiere conocimientos de Geometría analítica, (Suplemento
al Periódico di Matemática 1900). No creemos, sin embargo, que estos
abacos puedan ser prácticamente útiles; pero haremos ver en otra nota
cómo pueden remediarse, al menos en parte, los inconvenientes
Gabriel Galán
24 Mayo 1906
Trang 27— 241 —
Proyecto do unificación de los métodos de análisis de ios
Ponencia del Dr D Antonio de Gregorio Rocasolano en el Congreso de
Zaragozadela AsociaciónEspañola para elProgreso de las Ciencias
ENSAYOS PRELIMINARES
Examen microscópico.—Después de dejar reposar el vino durante
24horas,enlavasijaquelo contiene, se sacaráuna muestra
introducien-do enlamasalíquida unapipetade vidrio previamente calentadaá 120°
y cerrada detal modo, quepueda abrirsecuando el extremo de la
pipe-taintroducido en el líquido, toque las capas más profundas Depositada
la muestra en un frasco esterilizado y cerrado con tapón de algodón se
procedeal reconocimiento
Si se trata de un líquido claro, se observa al microscopio una gota
(20 en ce); sifueraturbio, se tomaráuna gotamás pequeña(40 ó 60por
ce.) diluida con otraú otras dos de agua esterilizada.
De la observación microscópica directa puede deducirse la fase de
elaboración enqueseencuentra,lascondiciones de conservación quemás
le convienen, las infecciones microbianas, si las hubiere, etc.
Se completa este reconocimiento cuando se trata de vinos que esténlargotiempo en reposo, observando una muestra tomadaconlasprecau-ciones indicadas, de la superficie del líquido (infeccionesproducidas pormicroorganismos aerobios)
vino, datos suficientes para juzgar de su calidad bajo el punto de vistacomercialy entreciertos límites, de su composiciónreferidaá alguno de
sus componentes
Es este un reconocimiento, para el que no pueden dictarse reglas, ni
sensibi-lidad en los sentidos del gusto y del olfato; la práctica desenvuelve estaaptitud y la constancia produce los más seguros resultados
ANÁLISIS QUÍMICODeterminación del alcohol.— Enuna probeta aforada hasta 200 ce,se
mide este volumen de vino, procurando que la temperatura sea lo más
próxima posible á 15°. Se vierte el vino en un matraz que forma parte
Trang 28— 242 —
deun aparato destilatorioycon treslavados de agua destilada, se
recu-pera el quehaya quedado adheridoá las paredes de laprobeta: estos
la-vados que en conjunto deben tener un volumen de 100 ce.
aproximada-mente, seincorporan alvino colocado enel matrazy se procedeála
Del líquido que destila, que debe recogerse en lamismaprobeta enque se midió el vino, se recogen aproximadamente 200 ce. que después
se completan exactamente con agua destilada; se agita por inversión,
se toma la temperatura y con un alcohometro bien comprobado se lee
el grado alcohólico, que debe someterse alacorrección quele
correspon-de segúnla temperatura del líquido, haciendo uso delas tablas que dan
elgrado real dealcohol á15°, enfuncióndelgradomarcadopor el
alcoho-metro yla temperatura(Gay Lusac)
Acidez total.— Debe referirse al ácido tartárico.
Para determinarla, se miden en unapipeta de dos trazos cinco tímetros cúbicosdevino, á ia temperatura más próxima posible á 15°:
cen-puesto el vino, enuna copa, se añaden30 ce. de aguadestiladaydos
go-tas de disolución alcohólica de fenoftaleina al 1 % procediendo á la
t se conozca: del número n de centímetros cúbicos gastados en la
referidaalácido tartárico,porlafórmula:
0,00409 ti — 0,000032 n t = AT
en laque el valor A encontrado, representala acidez total de 5 ce del
vino problema, referido al ácido tartárico: multiplicada por 20, mos laacidez por %
tendre-El conocer el momento de laneutralización cuando se trata de
mos-tos ó de vinos rosados ó blancos, no ofrece dificultad alguna, porque la
variación de color del líquido, cuando viraal rojo por lafenolftaleina
en-el momento delaneutralización ypersiste en rojocon dos gotas de agua
de cal añadida en exceso, es bien marcado, destaca perfectamente; si se
opera convinos tintos demuchocolor, estareacción final aparece
enmas-caraday debe observarse, que el color del líquido, rojo en el primer
mo-mento, se cambia por un color verdoso-violeta sucio yla aparición más
abundante ámedida que.seaproximala neutralizaciónde unos copos de
este mismo color; cuando se tiene gran costumbre de operar, estos
ca-racteres son suficientes para reconocer el final de laoperación,obrando
así la materia colorante delos vinos rojos,comoreactivo indicador Másfácilmente se aprecia la neutralización en este caso, disponiendo en unplato de porcelana unaspequeñas gotas de fenolftaleinay cuando el co- lor del vino comienza á variar del modo indicado, se tocacon la varilla
conque seagita ellíquidounade estas gotasquese teñiráen rojo cuando
la operacióntermine
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Del gasto de agua de cal acusado por la bureta, habrá que restar
pro-ducir en la fenolftaleina la reacción indicadora
Extracto al vacío.—Se" toman 5 ce. de vino,ypuestos enuna cápsula
de porcelana de fondo plano, se colocan debajo de una campana puesta
en comunicación con un aparato de vacío: dentro de esta campana debe
colocarse un vaso de vidrio de poca alturay ancha base, con ácido
sul-e
disposi-ción durante cuatro días. Al cabo de estetiempo, sepesa la cápsula con
el extracto yrestando la tara de lacápsula, deduciremos el peso del
ex-tracto.
Extracto á 100°.— En una cápsula de porcelana, tarada, se ponen 5
ce. devino ysecoloca en una estufa deagua Cuando el aguahierve, se
sostiene deestemodo durantetreshoras,se retira elfuego,sedejaenfriar
Si nose dispone deuna balanzamuyprecisa, se operará con 10 ce. de
vino
Acidez volátil.—Determinando la acidez total de un extracto seco
con relación al volumen de vino con que se obtuvo y restando este
diferen-cia será la acidez volátil con relación al ácido tartárico Si se opera con
vinos picados esta acidez debe expresarse en ácido acético.
Glucosa.—Setoman 100 ce. de vino ypuestos en un matraz aforado
á 150 ce se añade negro animal y la cantidad necesaria de agua hastacompletar este volumen: realizada la decoloración se filtra, y del líquido
mi-tad de suvolumen delíquido de Feheling
Puesto en una bureta el líquido problema, se coloca en unapinza de
mano,un matrazElenmeyercon 10ce. delicordeFeheling, quese diluye
un poco, sehaceherviry si el reactivo queda perfectamente
transparen-tedespués de la ebullición, se va añadiendo del líquido problema, y
ca-lentando hasta que la reducción se verifique. Se llega al final de la
re-ducción, cuando el precipitado rojo de óxido cuproso, se deposita
fácil-mente separando el matraz del fuegoyel colorazuldellíquidoobservadoporrefracción desaparecesiendo sustituidoporunligeromatizamarillen-
to, cuando lareacciónhaterminado Si el color amarillo se acentúa,
in-dica que se ha pasado el momento de lareducción total yla operación
está mal terminada
Por elvolumen de líquido problema gastado y el valor del licor deFeheling secalcula el azúcar reductor referido á glucosa, y como to-
mamos 50 ce. de los 150 ce. en que convertimos al descolorar los 100
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ce. de vino de que se parte, multiplicando el número obtenido por 3,
tendremos lacantidad por 100 deglucosacontenida en el vino.
Sulfato potásico.—Esta determinación, solo tiene interés, cuando se
trata devinosenyesadosó sesospecha quelo hayansido.
La cantidad de sulfatos contenida enlos vinos normales, varía según
el terreno de que procedela vid, entre 0,18 y0,46por 1.000: si elvinoha
sufrido varios trasiegos, llega hasta 0,70por 1.000 efecto de laoxidación
del anhídrido sulfuroso con que se desinfectan las vasijas vinarias: nodebe considerarse como enyesado un vino sino cuando contiene más de
1 por 1.000 de sulfato potásico
El fundamento del método de determinación, es la eliminación de
una disolución valorada de cloruro de bario y la filtración del líquido,
hastaqueesteno seenturbiepornuevasadiciones desal solubledebario.
Ellíquido valorado, se hace disolviendo en agua destilada 14,02 mos de cloruro de bariopurocristalizado yseco, añadiendo 50 ce. de áci-
Para practicar la determinación, se ponen 10 ce. de vino en untubo
de ensayos se calienta hasta ebullición y se añade 1 ce del líquido lorado que producirá un enturbiamiento debido alsulfato de bario que
fil-tradose añaden unas gotas dedisolución de cloruro de bario y si se
pro-duce nuevo enturbiamiento, es prueba de que en elvinoproblema existe
más de 1 por 1.000 de sulfato potásico, ó seaqueel vino fué enyesado
Conotros10 ce. devino,se repite laoperación pero añadiendo2 ce. de
la disolución valorada de cloruro de bario, y si después de la filtración
precipitaconelmismoreactivo,demuestraqueelvinotienemás de2 po-r
1.000 de sulfatopotásico
4 ó 5 ce. deladisoluciónvalorada,parareconocer si tienemás de 3,4 ó 5
gramos de sulfato potásicoporlitro.
Trang 31- 245
-La enseñanza de la Geología en España
las Universidades de provincias Su enseñanza hay quedarlaenla
asig-natura de Mineralogía y Botánica, de lo cual resulta que, de no
tiempo parala exposiciónde la Geología propiamente dicha, que debe
ser además ampliación de la que se explicaenlos Institutos. Haciendoenormecontraste con la heterogeneidady excesiva extensión de dichaasignatura, está la otra de Historia Natural del preparatorio, que te-
niendo el mismo número de clases comprende solamente el estudio de
la Zoología general, resultando así, que mientras en Mineralogía falta
tiempo para la explicaciónde la Geología, en Zoología hay que repetir
muchos de los conocimientos de Biología expuestos en Botánica
Dedúcese por tanto que la actual división dela Historia Naturaldel
preparatorio en las dos asignaturas de Mineralogíay Botánica y
entender, comprendiendo una de ellas la enseñanza dela Mineralogía y
Geología yla otra la Biologíaanimal yvegetal De este modo podría
explicarse bien la Geología, dando así á la Mineralogía el verdadero
fundamento histórico natural que debe tener; pues si en el estudio de
los minerales se prescindede sus caracteres deyacimiento se
desnatura-lizadicho estudio llevándole al campo delaquímica mineral
Además, esta reforma no creo queperjudicase á laenseñanza de la
Botánica y Zoología general; muy al contrario, haciendo su estudio en
la misma asignatura podría dársele un carácter más científico y
prácti-co, empezando el cursopor unas lecciones de Biología general y
si-guiendo después con el examen detenido de los principales tipos de
or-ganización animal yvegetal
Si porlareforma propuesta seconsiguiera el tiempo necesario parapoder dar debidamente enlas Facultades de Cienciasla enseñanza dela
Geología, las ramas de esta que habrían de ser objeto de un estudiomás completo serían la Geognosiayla Geología histórica, ya que tanto
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la Geología fisio gráfica como la dinámica pueden exponerse con toda
la extensión necesaria enlos Institutos.
Ahora bien, si se quiere comoes indispensableque á dicha
enseñan-za se le dé el carácter práctico, sin el cual es completamente estéril,
precisa que cada profesor, numerario ó auxiliar, no tenga más alumnos
delos que puedanhacer bajo su dirección las observaciones ó
experien-cias sobre las cuales verse la explicación Hora esya de que terminen
observación en igual ó parecida forma á como se enseña elDerecho ó
la Historialiteraria.
Para conseguiresto, creo yo, que el claustro de la Facultad, al
re-unirse para organizar el curso, deberíafijar el número de alumnos quehubiesen de recibir la enseñanza teniendo en cuenta el personal cientí-
profe-sor no tuviese bajo su inmediata dirección más de veinte escolares Sí
el número de solicitudes de matrículafueramayor del fijado, sepodían
eliminarlos sobrantes por medio de un examen de ingreso. El
catedrá-tico numerario estableceríael programa y plan de curso que habría de
seguirse y los profesores auxiliares que hubiesen le desarrollarían, como
el catedrático, al frentede su respectiva sección.
De este modo los alumnos, rodeando la mesa del profesor, podríanobservar los ejemplares, preparaciones,láminas óexperiencias quecons-tituyeran el objeto y fundamento de la explicación; así esta sería ver-
daderamente fructuosa y quedaríaparalas clasesprácticas lo que
real-mente debieraconstituir el asunto delas mismas, que es el manejo por
los alumnos delos instrumentos, reactivosylibros de laboratorio para
que manipulando ellos, resuelvan los problemas que se les propongan
de carácter general como son las delpreparatorio, podría también
cla-ses semanales, tresteóricas y una práctica, establecer una sola clase
se-manal teórica á la que habrían de concurrir todos losalumnos y enque
la conferencia que en ella se diera versasesobre las observaciones ó periencias que previamente hubiesen hecho los alumnos en las clases
ex-prácticas convenientemente distribuidos en secciones. Estasclases
de todolo que se hubiese visto enlas clases prácticas con las
La implantación de cualquiera de las dos reformas expuestas duciría á un grandísimo adelanto enla enseñanza de la Geología, cual
con-es el de conseguir queel profesor tuviese que preocuparse más de
pre-parar una serie gradual y metódica de observaciones y experiencias,
Trang 33- 247
-que de redactarlas cuartillas de suexplicación oral, pues sabido es que
cuando esta no tiene por base las observaciones quehagan los alumnos
resulta completamente inútil si no perjudicial.
Respecto ála enseñanza de Geología litológica creo que se incurre
en un grave error científico ypedagógico alprescindir ó relegar por lo
menos á segundo término enla clasificaciónde las rocas los caracteres
deducidos de las condiciones de su yacimiento Esto ha sido una rración resultantede la importancia que ha adquirido el estudiomicros-
abe-cópico delas rocas eruptivas Han sido tales los nuevos horizontes que
respectoal origeny formación delas mismas, ha abierto su examen
mi-crográfico que los caracteresde la composición mineralógica y
estruc-tura que proporciona dicho examen, sehan considerado como principal
yhasta único criteriode distinción de grupos Y el resultadode ello es
laformación de unainfinidad de especies de rocas distribuidas en merosas secciones, muchas de ellas, enteramente artificiales. Se ha re-
nu-accionado sinembargocontra dicha tendencia enlos últimos veinte años,
Rosen-busch lasrocas eruptivas: rocas profundas, enfilones y solidificadasen
es-cuela americana (Cross, Iddings, Pirssons y "Washington) encaminados
estructura
Comprendo que varíen los grupos secundarios según el criterio que
las grandes divisiones fundadas enlas condiciones en que se encuentran
las rocas en la cortezaterrestre, pues estos son grupos verdaderamente
naturales 7 quepor tanto no deben desmembrarse Y los caracteres
se-cundarios que se empleen para distinguir los sub-grupos no debieran
como en aquellas es preciso tener en cuenta los caracteres de su
estruc-tura y composición mineralógica
Enla enseñanza de la Geología históricaó extratigráfica hay que
geológica del de la parte descriptiva Aquella hay que explicarla
nece-sariamente en lacátedra y en el gabinete, exponiendo á grandes rasgos
los caracteres principales de laseras y períodos geológicos siguiendo el
orden cronológico de su formación, más la parte descriptiva no debería
de ninguna manera estudiarse, comogeneralmente se hace en España,
describiendo en clase las diversas formaciones y obligando al alumno áhacer esfuerzos de memoriaé imaginación quele desvían delverdadero
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camino que debe seguir para ser un geólogo, cual es el estudiar los
te-rrenos enelcampo, no en las descripcionesque de ellos se hacen en los
El profesor ámi entender debiera prepararla explicación delas
lec-ciones de extratigrafía descriptiva, escogiendo un cierto número de
lo-calidades típicas para el estudio detenido delos terrenos yeste estudiodetallado deberíanhacerlo los alumnos, siguiendo el orden inverso al
que generalmente se sigue, es decir, empezando por las formaciones
modernas y terminando por las antiguas
Así se evitaría el grave inconveniente de empezar el trabajo por lo
más desconocido ydifícil de comprender cuales la formación delos
te-rrenos pizarroso-cristalinos ylas fuerzas orogénicas quehan obrado
dis-posición en que actualmentese encuentran Además tambiénla flora y
fauna de la época primaria es la más distinta de la actual, resultando
de todo ello que los alumnos se desorientan y llegan á creer que la
Geología histórica esuna serie de hipótesis y conjeturas muy
difícil-mente coordinables
Todo lo contrario sucede sien la observación de los terrenos se
si-gue el orden cronológico inverso. Empezando por las formaciones
y disposiciónylos fósiles que en ellas seencuentran son así mismo
per-fectamente comprensibles por su completaanalogía con las especies
localidades, Zaragoza por ejemplo, aparecen inmediatamente debajo,
bordeandoal cuaternario La disposición de sus extractos es también
generalmente horizontal y la naturaleza marina ólacustre de, los
mis-mos, fácilmente reconocible Las especies fósiles son ya algo distintas
de las que viven actualmente, pero la relación entre unas y otras se
establececon suma facilidad. Y así sucesivamente debe irse arcediendo
en el estudio delo bien conocidoy fácilde comprender, cual son los
te-rrenos modernos á lo menos conocidoy difícilde interpretar como son
las formaciones más antiguas De este modo se aplica mejor á la
geolo-gía extratigráfica el criterio general de Lyell sobrela acción delas
cau-sas actuales en los fenómenos geológicos y que como es sabido tanto
ha influido en la constitución de la moderna geología.
Resumiendo en breves frases todolo expuesto diré para terminar
que si sequiere quela enseñanza dela Geología de las asignaturas de
Historia Natural del preparatorio sea verdadera ampliación de la que
se explica en los Institutos es precisoimplantarlas reformas siguientes:
1.a Unir la enseñanza de la Botánica á la de la Zoología general
en la misma asignatura, constituyendo la otra con la MineralogíayGeología
Trang 35— 249 —
2.a Reducir todo lo posible las clases numerosas ya dividiéndolas
entantas seccionescomo permita el personal científico auxiliar de que
se disponga ó haciendo que sedé una sola clase semanal con todos los
alumnos y cuatro ó más decarácter práctico con pocos alumnos según
sea el número de estos.
3 a Que el profesor prepare la explicación de laslecciones de
así organizar una serie de excursiones á localidades típicas cuya
obser-vación sirviese de base álos alumnos para sus estudios.
Pedro Ferrando Mas
Trang 36Talo membranáceo, en suconjuntoorbicular, lobado ó
lacinia-do, dorsiventral, ó sea con corteza superior é inferior, ambasconstituidas por hifas perpendiculares á la superficie; envés de
color algo distinto del haz, sin venas, con ricinas esparcidas por
igual, ó sin ellas. Apotecios parmelinos, ó sea en formade discos
levantados sobre el talo, con reborde talino, dispersos porla
su-perficie Paráfisis articuladas Esporas hialinas ysimples Con espermogonios dispersos ó marginales (fig 13).
Crecen en lasrocas y en las cortezas, á las que están dos; se desprenden con facilidad estando mojados
adheri-7. Género PflRMELIH Ach
Talo más ó menos orbicular, adherido al soporte en toda su
extensión, lobado ó laciniado, de color muy vario; envés con
rici-nas esparcidas por igual
Sección I. xaXTH©PHRMELIH Wainio
Talo amarillo ó pajizo en elhaz; envés con ricinas hasta cerca
del borde
19. Parmelia caperata L.—Talo grande (á veces de algunos
decímetros), de unamarillo
con lóbulos sinuoso-liciniados,
redondeados ó festonados en el
margen Envésnegro,más pálido
y lampiño enla periferia
Apote-cios bayo-rojizos, con margen
festonado K + A . CaCl =.
Abundantísimo en todas
par-tes.Troncos delos bosques
Fig.
-13
Asea—b rigma.—cEspermacios.—d Corte del talocondos espermogonios
Trang 37Este-— 251 —
20. Parmelia sinuosaSm.—Talo amarillento, liso, orbicular,lobado, con lacinias estrechas, pinatífidas, dilatadas y con fre-
cuenciasoredíferas en el ápice, en la basecon seno ancho,
circu-lar. Envés negro, con ricinas negras, pálido en la periferia terios pardos, con margen delgado y entero
Apo-No lahe visto deAragón.
21. Parmelia conspersa Ehrh (centrifuga Huds.).— Talo
or-bicular, amarillo, brillante, salpicadode puntos negros; contorno
laciniado-dividido, festonado en el margen; envés pardo, con
ri-cinasdelmismo color K + ¿ y después rojo, Ca Cl =.Apotecios
bayosó parduscos, con margen entero é inñexo
Frecuentísima en las piedrassilíceas.
Var latior Schasr Lóbulos del contorno anchos, planos, no
hendidos, sino redondeados, festonados
Frecuente A esta forma tal vez deban referirse las lusitana,
vemtcigera é ¿sidiotyla de Nylander
22. Parmelia Mougeoti Schaer.— Talo pequeño de 1—2 ctm y
amarillo, verdoso, en su conjunto orbicular, laciniado, con
laci-nias estrechas, planas, adherentes, salpicado de soredios
Piedras silíceas. No la tengo de Aragón, peroparéceme
haber-lavisto en varios sitios.
23. Parmelia ambiguaWulf (diffusa Web.)— Talo pequeño,
amarillo de azufre, orbicular, estrellado, con lacinias estrechas,planas, aplicadas, multífidas, con abundantes soredios amarillos;
envés pardo negruzco, con pocasricinas Apoteciosrojizos
Espo-ras algo encorvadas
Enlos troncos,sobre todo enlos pinos Sallent, etc.
Sección II. MELZEN0PARMELI» Hue
Talo con elhaz verde obscuro, pardo verdoso, pardo-negruzco
ó negro; envés con ricinas dispersas
24. Parmelia acetabulum Neck.— Talo ancho, hasta de un
decímetro ó más, orbicular, con lóbulos anchos, doblados, de