Ôn thi đại học môn toán 30 đề luyện thi toán cấp tốc

Ôn thi đại học môn toán - 30 đề luyện thi toán cấp tốc Tài liệu ôn thi đại học dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi đại học, cao đẳng chuyên môn Toán - Ôn thi đại học môn toán 2011 - 30 đề luyện thi toán cấp tốc.

info@vnmath.com

Cac loai khác

Chuyên đề

"Toán

Luyện thi Đại học Đại học

Cho lang tru dttng ABC_A’B’C’ cé day 1a tam giac đêu Mặt phẳng A'B8C tạo

với đáy một góc 30” và tam giác A'8C có điện tích bằng 8 Tính thể tích

khối lăng trụ

Câu V ( 1,0 điểm )

Giá sử x, y là hai số đương thay đổi thỏa mãn điều kiện: x+y= 7"

Tìm giá trị nhỏ nhat cha biéu thite : § 4,1

Il PHAN RIENG (3,0 điểm )

Thi sinh chi duge lam m6t trong hai phần ( phần I hoặc phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn :

Câu VIa ( 2,0 điểm )

1 Viết phương trình đường thẳng (A) đi qua điểm A/(3; 1)và cắt truc Ox, Oy

lần lượt tại 8 và C sao cho tam giác ABC cân tại A với A(2; - 2)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4,0;0) và điểm |

B(x ;yo ¡Ô) (xe >0, yạ >0) sao cho OB =8 vA géc AOB=60" Xác định

tọa độ điểm C trên trục Óz để thể tích tứ diện OABC bing 8

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi

số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 37

¿ Theo chương trình nâng cao :

Câu VI.b ( 2,0 điểm )

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4; 1) và cdt cdc tia Ox, Oy lin

lượt tại A và Ø sao cho giá trị của tổng A+(@B nhỏ nhất

¿ Trong không gian với hệ tọa độ Oxy:, cho tứ diện ABSCD có ba đỉnh

A(2;1;-1),B(3;0;1), C{(2; 1: 3) còn đỉnh 2 nằm trên trục Óy Tìm tọa

độ đỉnh Ð nếu tứ diện có thể tích V = 5,

Câu VH b (1, 0 điểm )

Từ các số 0; I; 2; 3; 4; 5, Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có 3 chữ số

không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau

, Ve + 2 r

Cau l

| Khi m=2 thi yaa +207 44x

* Tậpxácđịnh: D=R

= Chiéu bién thién:

o_ Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y=—-o ; lim y=+œ

Hàm số đồng biến trên khoảng (—œ ;+œ}, hàm số không có cực trị

Ta thấy y"đổi dấu từ âm sang dương

khi x đi qua điểm x=-2, nên đồ thị của ' bt -§

ycbt ©@ y'=(m=1)+x° + 2mx + 3m -2>0,Vxe

se Khi m=] =y'=2x+1>0€ x> SE , Suy ra mứt = Ì không thỏa

Cau ID

1 Giải phương trình

(1)<> 2sin xcos x + 2cos” x ~(sin x + cos x) = Ï

<> sin2x + Ì + cos2x — (sin x + cosx) =

at 3

Saat

® secant

as

xe

wed Coot a’

Câu V Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S

Il PHAN RING

1 Theo chương trình Chuẩn :

Vậy có hai đường thẳng cần tìm:

2 Theo chương trình nâng cao:

Câu VỊ.b

1 Goi (A) JA du@ng thang cAn tim

Giá sử (A) cdt tia Ox tai Au ; O) va cat tia Oy tai BẢO; b), (a >.0 ,b> 0)

=a-4+ 4

Câu VH.b

Nếu gọi & là số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và N là số các số tự

thì số các số cần tìm sẽ là : AM - N

+ Trước hết ta tim M:

S6 can tim c6 dang a,a,a;

* Buéc 1: chon a, € A\{0}¢6 5 cách

* Bước 2: chọn 2 trong 5 số còn lai cia A\{a,} xép vao hai vi tri a,,a,

có 42 cách

Vậy M =5.A2 (số)

+ Tim N

S6 can tim c6 dang ajaya, , a, +a) +4433

Xót các tập con gồm 3 phần tử của tập A ={O;1;2;3;4;5Ì , ta thấy chí có

các tập sau thỏa điều kiện có tổng các số chia hết cho 3 là

B,={0;1;2}, By ={0;1;5}, B ={0;2:4} ,B,={H2:3)

Bs ={lL3;5}, BH, ={2:3:4}, By ={3;4;, 5}

+ Khi a,;đ; ;a; € Ö, để lập được mộ số thỏa yêu cầu ta thực hiện theo 2 bước

° Chon a, € B,\{0} 06 2 cach

* Chon hai s6 con lai x€p vao 2 vi tri a,;đ, có 2! cách

Vậy trong trường hợp này có 2.2!= 4 số thỏa yêu cầu

+ Tuong ty khi a,5a) 34, € Ðy hoặc ø;a;;dy c Bị mỗ trường hợp cũng có 4

số thỏa yêu cầu

+ Khi a, 5a) ;4, € By; Bs ; By; By mdi số là một giao hoán của 3 phân tử

nên mỗi trường hợp có 3! số thỏa yêu cầu,

Vậy : NM=3.4+4.3!=12+24=36 số thỏa yêu cầu bài toán

Do đó số các số thỏa yêu cầu bài toán là: - N = 100 -36 = 64 (số)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của ham s6 d4 cho, v6i m=1

2 Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (—e ;l}

Câu II (2,0 điểm)

2

1 Giải phương trình : cos’ x—4sin? x —3cosxsin? x +sin x =0 (1)

C4u ITI (1,0 diém )

dx {} cos® x

Câu IV (1,0 điểm )

Cho lãng trụ đứng tứ giác đều ABCDA'B'C'D' có chiều cao bằng h Góc

giữa hai đường chéo của hai mặt bên kể nhau kẻ từ một đỉnh bằng

a (0° <a< 90° | Tính thể (ch khối lăng trụ đó

I PHAN RIENG (3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn: |

Cau Via ( 2,0 diém )

1 Cho tam giác APC có đỉnh A(2; -7) phương trình một đường cao và một trung

2 Trong khơng gian Oxyz cho tam giác A8C với A(1;2;—1), BQ; -l; 3),

C(-4; 7; 5) Tính độ dài đường phân giác trong kẻ từ đính 8

Câu VIH.a (1, 0 điểm )

Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cổ 4 chữ số, chia hết cho 4 tạo bởi các chữ số 1, 2,

3, 4 trong hai trường hợp sau :

a) Các chữ số cĩ thể trùng nhau; b) Các chữ số khác nhau

2 Theo chương trình nâng cao :

Câu VLb ( 2,0 điểm )

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(27 ; !) và cắt các tía Ĩx, Ĩy

lần lượt tại M và sao cho độ đài đoạn A# nhỏ nhất

2 Cho các véc tơ a =(3;~1;2), b =(1;1;~2) Tìm véc tơ đơn vị đồng phẳng

vi a, b và tạo với a gĩc 600,

Câu VH b (1, 0 điểm )

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho cĩ bao nhiêu cách lập ra

một số gồm 3 chữ số khác nhau sao cho số tạo thành là một số chấn bé hơn

se Chiều biến thiên :

ư_ Giới hạn vơ cực, giới hạn tại vơ cực và các đường tiệm cận :

+ Tacĩ: lim y=-òŠ lim y=+œ, do đĩ đường thẳng x=-—Ì

điểm /{-I,1) của hai đường

tiệm cận làm tâm đối xứng

1 - (1) <> cos x(1-sin” x)~4sin’ x-3cosxsin” x+sinx=0

<> (sin x + cosx)—4sin’ x(sinx + cosx)=0

© (sinx+ cosx)/(1 ~4sin? x| =0

© (sinx+ cosx)| L—2(1—cos2z) |=0

© (sin z + cos x)(2cos2x ~ 1) =0

Goi M (x 5¥3 z) là chân đường phân giác trong của góc 8

Theo tính chất của đường phân giác, ta có :

Vậy trường hợp này có 4.4 = lồ số

+ Tương tự khi ø;øs =24 hoặc a¿ø; =32 hoặc a;øs =44 mỗi trường hợp

+ Tương tự khi œ;¿s = 24 hoặc gs =32 mỗi trường hợp cũng có 2 số

aA a’ + aw ` ` ne

Vay so cdc s6 cantim 14: 24+24+2=6 sé

2 Theo chương trừnh nâng cao :

Câu VLb

1 Giả sử (A) cat tia Ox tai M(m ; 0} và cắt tia Oy tại (0; n), (m >0, n > 0)

Phương trình của (A) có dạng : S+3*xI,

=> min MN = 10, dat dude khi t=3 => m=30, n=10

Vậy phương trình của (A) là : -—=+ =l hay x+3y—30 =0

Hé 3

I PHAN CHUNG CHO TAT CA THf SINH (7 điểm )

Câu I ( 2,0 điểm )

Cho hàm số y= xỶ + 3x” — mx — 4, trong đó m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m=0

3, Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-©;0)

Cho khối ¡ hộp ABCP.A'B'C'P' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,

A'AB = BAD = A‘AD = 60° Hãy tính thể tích của khối hộp

I PHAN RIÊNG (3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)

1) Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a ( 2,0 điểm )

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ởxy, cho tam gidc ARC cd

đỉnh A(1;2) đường trung tuyến 8Ã:2x+y+l=0 và đường phân giác

trong CD:x+ y~l=0 Hay viết phương trình đường th nợ BC

2 Trong không gian Øxyz, cho hai điểm A(-1 6; 6) , B(3 ;-6;- 2) Tim

điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất ,

Câu VIH.a (1, 0 điểm )

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ

số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

2 Theo chương trình nâng cao :

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuơng géc Oxy, cho hai đường thẳng

(A,;):x-y+l=0 ,(A,):2x+y+1=0 và điểm M(2 : 1) Viết phương trình

đường thẳng (4đ) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng (A;), (As) lân lượt tại

2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vuơng gĩc Oxyz cho hinh hép chi¥

nhật ABCD.A'B'C'D' cĩ A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(O0;à :0),

A'(0;0; 6) (a>0,b>0) Goi M 1a trung điểm canh CC’ Tinh thể tích khối

tứ diện BDA'M theo ø và b và xác định tỉ số ; để hai mặt phẳng (A'BD) và

(ÄMBD) vuơng gốc với nhau

Câu VH b (1, 0 điểm )

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số cĩ

6 chữ số và thoả mãn điều kiện : Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong

mỗi số đĩ tổng của ba chữ số đâu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?

Cau LL

1 Khi m=0 thì hàm số là : y= xÌ+3x” —4

« Chiểu biến thiên :

o_ Giới hạn của hàm số tại vơ cực: lim y=—œ ; lim y=+o

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-œ;~2} và (0; +oo) , nghịch biến

Đồ thị của hầm số nhận điểm uốn

2 Hàm số y= x` +3xŸ -~ mx — 4 đông biến trên khoảng (~e;0)

x COS K COS 3

<> l= 4sin xcosx e2 sin2x =

<> logo(x — L) + logo(2x + 1) = 1 + logs(x + 2)

CâulH I=] cose

g COSX ale sin” x

Theo giả thiết suy ra các tam giác AABD,AA'AD,AA'AB là các t tam giác

đều.Nên nếu gọi H là trọng tâm AABD

=> A'H 1 (ABCD) (vi A'A=A'B=A'D)

= A'H? =A'A? _-AH?

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:

I

Đẳng thức xây ra khi: x = y =Z= ,

Il PHAN RIÊNG

1 Theo chương trình Chuẩn :

Ma XK là điểm đối xứng cla A qua CD ©

(trong d6 714 ung điểm của AK)

Néu K(x; y) thi AK =(x-1;y-2); (Ht, 12), Yop =(-1s1)

Ta có: MA + MB >AB (không đổi) |

= min(MA + MB) = AB, đạt được khi ba điểm A, B, M thẳng hàng

e Bước l:chọn œ€ A\{0} có 5 cách

e Bước 2: chọn 4 số trong 5 số còn lại của A \{a¡} xếp vào 4 vị trí 4; ;

a, Uys as, , C6 AS =120 cách Suy ra số các số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ A là : 5.120 = 600 (số)

Lập luận tương tự, ta cũng có tổng các số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn,

của 600 số trên đều bằng 1500

Riêng ở hàng vạn mỗi số 1,2,3,4.5 đứng 600: 5 =120 (lan)

(d) qua M va nhan ‘AB làm vectơ chỉ phương, có phương trình là:

Xa? Ya! 8, 5x ay-8 =0

=AMÍa as) | A'B,A"D |=(ab ; ab; a?) hea

* Thé tich ti dién BDA’M:

Hé 3

I PHAN CHUNG CHO TAT CA THf SINH (7 điểm )

Câu I ( 2,0 điểm )

Cho hàm số y= xỶ + 3x” — mx — 4, trong đó m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m=0

3, Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-©;0)

Cho khối ¡ hộp ABCP.A'B'C'P' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,

A'AB = BAD = A‘AD = 60° Hãy tính thể tích của khối hộp

I PHAN RIÊNG (3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)

1) Theo chương trình Chuẩn :

Câu VI.a ( 2,0 điểm )

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ởxy, cho tam gidc ARC cd

đỉnh A(1;2) đường trung tuyến 8Ã:2x+y+l=0 và đường phân giác

trong CD:x+ y~l=0 Hay viết phương trình đường th nợ BC

2 Trong không gian Øxyz, cho hai điểm A(-1 6; 6) , B(3 ;-6;- 2) Tim

điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất ,

Câu VIH.a (1, 0 điểm )

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ

số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

2 Theo chương trình nâng cao :

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuơng géc Oxy, cho hai đường thẳng

(A,;):x-y+l=0 ,(A,):2x+y+1=0 và điểm M(2 : 1) Viết phương trình

đường thẳng (4đ) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng (A;), (As) lân lượt tại

2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vuơng gĩc Oxyz cho hinh hép chi¥

nhật ABCD.A'B'C'D' cĩ A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(O0;à :0),

A'(0;0; 6) (a>0,b>0) Goi M 1a trung điểm canh CC’ Tinh thể tích khối

tứ diện BDA'M theo ø và b và xác định tỉ số ; để hai mặt phẳng (A'BD) và

(ÄMBD) vuơng gốc với nhau

Câu VH b (1, 0 điểm )

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số cĩ

6 chữ số và thoả mãn điều kiện : Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong

mỗi số đĩ tổng của ba chữ số đâu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?

Cau LL

1 Khi m=0 thì hàm số là : y= xÌ+3x” —4

« Chiểu biến thiên :

o_ Giới hạn của hàm số tại vơ cực: lim y=—œ ; lim y=+o

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-œ;~2} và (0; +oo) , nghịch biến

Đồ thị của hầm số nhận điểm uốn

2 Hàm số y= x` +3xŸ -~ mx — 4 đông biến trên khoảng (~e;0)

x COS K COS 3

<> l= 4sin xcosx e2 sin2x =

<> logo(x — L) + logo(2x + 1) = 1 + logs(x + 2)

CâulH I=] cose

g COSX ale sin” x

Theo giả thiết suy ra các tam giác AABD,AA'AD,AA'AB là các t tam giác

đều.Nên nếu gọi H là trọng tâm AABD

=> A'H 1 (ABCD) (vi A'A=A'B=A'D)

= A'H? =A'A? _-AH?

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:

I

Đẳng thức xây ra khi: x = y =Z= ,

Il PHAN RIÊNG

1 Theo chương trình Chuẩn :

Ma XK là điểm đối xứng cla A qua CD ©

(trong d6 714 ung điểm của AK)

Néu K(x; y) thi AK =(x-1;y-2); (Ht, 12), Yop =(-1s1)

Ta có: MA + MB >AB (không đổi) |

= min(MA + MB) = AB, đạt được khi ba điểm A, B, M thẳng hàng

e Bước l:chọn œ€ A\{0} có 5 cách

e Bước 2: chọn 4 số trong 5 số còn lại của A \{a¡} xếp vào 4 vị trí 4; ;

a, Uys as, , C6 AS =120 cách Suy ra số các số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ A là : 5.120 = 600 (số)

Lập luận tương tự, ta cũng có tổng các số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn,

của 600 số trên đều bằng 1500

Riêng ở hàng vạn mỗi số 1,2,3,4.5 đứng 600: 5 =120 (lan)

(d) qua M va nhan ‘AB làm vectơ chỉ phương, có phương trình là:

Xa? Ya! 8, 5x ay-8 =0

=AMÍa as) | A'B,A"D |=(ab ; ab; a?) hea

* Thé tich ti dién BDA’M:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thi cha ham số đã cho, với m =1

2 Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai

Cho lãng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh ø và

đỉnh A' cách đều các đỉnh A, Ø, C Cạnh bên AA' tạo với đầy góc 60” Tính

thể tích của khối lăng trụ

Khi nào đẳng thức xây ra ?

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm )

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phân ( phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn :

Cau Via ( 2,0 điểm )

1 Lập phương trình đường thẳng (A) đi qua diém M(2 ; /) va tạo đường thẳng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường

thẳng: (4)::=——== ; — (d;ạ}:‡y=—l-2t

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, déng thdi song song véi (d,) va

(4;) Tìm tọa độ các điểm M trén (d,), N trén (d,) sao cho 3 diém A, M,N

thang hang

Câu VHL.a (1, 0 điểm )

Xét một số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là : 2, 3,

4,5 Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu :

a) 5 chữ số l được xếp kế nhau ? b) Các chữ số được sắp xếp tùy ý 2?

2 Theo chương trình nâng cao :

Câu VLb ( 2,0 điểm )

1 Cho hai đường thẳng (4,) :2x—y+i=0, (d,):x+2y- 7=0 Lập phương

trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ Ó và tạo với (đ;), (đ›) một tam giác cân

có đỉnh là giao điểm A cia (d,) va (do)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng :

a) Có bao nhiêu tập con X của A thỏa điều kiện X chứa 1 và không chứa 2 ?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chấn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập

A và không bắt đâu bởi 123 ?

"® Chiều biến thiên :

o- Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim y=+œ ; im y=—œ

Ta thấy y” đổi dấu từ dương sang

âm khi x đi qua điểm x = 0, nên đồ

thi cia ham số có điểm uốn