FILE WORD ĐỒ ÁN : PHƯƠNG PHÁP CHO NỬA NHÓM CAUCHY ĐAI HỌC TỰ NHIÊN

MỞ ĐẦUBài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyếntính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng.. Phương pháp nửa nhóm đã được phát tri

2.2 Bài toán Cauchy (n,ω)− đặt chỉnh

2.3 Nửa nhóm n− lần tích hợp địa phương

30

30374050

58

59

MỞ ĐẦU

Bài toán Cauchy trừu tượng của các phương trình đạo hàm riêng tuyếntính là bài toán có lịch sử lâu đời trong chuyên ngành Giải tích ứng dụng Nóđược áp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực khoa học như vật lý học, sinh học,

kỹ thuật, tài chính

Khi xét bài toán này ta thường gặp các khả năng khác nhau về nghiệm

của nó Theo định nghĩa của Hadamard, bài toán Cauchy được gọi là đặt

chỉnh đều nếu nó tồn tại nghiệm, nghiệm này là duy nhất và nghiệm phụ thuộc

liên tục vào các dữ kiện của bài toán

Phương pháp nửa nhóm đã được phát triển mạnh mẽ và có vai trò quantrọng trong việc giải quyết bài toán Cauchy cho các phương trình vi phântuyến tính trong không gian Banach với toán tử không bị chặn

Luận văn nghiên cứu bài toán Cauchy trừu tượng dạng thuần nhất

u '(t ) = Au (t ), u (0) = x, t ≥ 0, (CP)trong đó A: X→X là toán tử tuyến tính, đóng, không bị chặn trên khônggian Banach X và u : + → X Mục tiêu chính của luận văn nhằm trìnhbày việc ứng dụng phương pháp C0 − nửa nhóm và phương pháp nửa nhóm n −

lần tích hợp trên không gian Banach X để nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toánCauchy trên

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 - Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của C0 − nửanhóm Đây là loại nửa nhóm đơn giản nhất trong số lớp các toán tử không bịchặn và bài toán Cauchy tương ứng được đặt chỉnh đều Từ đó đưa ra một số

ví dụ minh họa

Chương 2 - Trình bày lớp nửa nhóm mở rộng của lớp nửa nhóm C0 đó lànửa nhóm n − lần tích hợp và nửa nhóm n− lần tích hợp địa phương bị chặn

mũ, không suy biến Áp dụng phương pháp này để nghiên cứu tính

(n,ω)− đặt chỉnh của bài toán Cauchy cho nhiều lớp phương trình Trong

chương này chúng tôi cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa dựa trên cácphương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Hà

Tiến Ngoạn Trước tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thời gian

qua thầy đã dành nhiều thời gian và công sức, tận tình giúp đỡ em trong suốtquá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy phản biện, các thành viên Xêminathuộc tổ Giải tích trường ĐHKHTN đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báucho em để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường ĐHKHTN, các thầy Viện Toán học Việt Nam cùng các giáo sư nướcngoài đã từng tham gia giảng dạy tại trường Trong những năm qua thầy cô đãtâm huyết truyền đạt những kiến thức vô cùng quý báu cho chúng em, giúp

em có thêm nhiều kiến thức đặc biệt là kiến thức chuyên ngành cần thiết đểứng dụng khi thực hiện luận văn

Cuối cùng là lời cảm ơn đến cơ quan, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiệncho tác giả được đi học, động viên khích lệ và giúp đỡ về mọi mặt để tác giả

có thêm động lực học tập và hoàn thiện luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2011

ρ ( A).

1.1 C0− nửa nhóm

Cho X là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh)

Họ các toán tử tuyến tính, bị chặn {T (t),t ≥0} trên không gian Banach

X được gọi là C0 − nửa nhóm (nửa nhóm liên tục mạnh) nếu

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh T (t ), t≥ 0

Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tập giải, tập phổ, giải thức)

(A, D ( A) )là toán tử đóng trong không gian Banach X , tập các giá trị

λ∈ sao cho ( λI − A) là song ánh (tức là ( λI − A)−1

là toán tử tuyến tính bị

chặn trên X ), được gọi là tập các giá trị chính quy của A (tập giải của toán

tử A ), ký hiệu Tập σ ( A ) = \ ρ ( A) được gọi làtập phổcủa toán tử

4

-A Khi đó ( λ I − A )−1 := R A(λ ) = R (λ, A) với λ ∈ρ ( A)được gọi làgiải

6

7

ta có

T (t ) = T (n + τ ) = T (n )T (τ )và

T ( t ) = T ( n ) T (τ ) = T (1)n T (τ ) ≤ T (τ ) T (1)n ≤ K n+

1

= Ke n ln K ≤ Ke ωt , ω = ln K , ∀t.

3 {T (t ), t ≥ 0} là C0 − nửa nhóm và toán tử sinh A của nó là toán

tử tuyến tính Ta phải chứng minh:

8

Từ (1.1.7) T ( t ) bị chặn mũ suy ra tích phân vế phải luôn tồn tại với ∀x∈X,

∀λ ∈ , Reλ > ω Với ∀x ∈D ( A)và do A là toán tử đóng ta có

Thác triển liên tục trên toàn không gian X=D (A) ta được

∞

( λI−A ) ∫e −λt T ( t ) xdt=x, x∈ X. (1.1.9)

0Mặt khác lại có

Đối với toán tử

sau là tương đương

Định lý Hille-Yosida: (Đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục)

( A, D ( A) ) trên không gian Banach X , các tính chất

a ( A, D ( A) ) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh

-1.2 Bài toán Cauchy

Xét bài toán Cauchy

u '(t ) = Au (t ), u (0) = x, t ≥ 0, (CP)trong đó A là toán tử tuyến tính, đóng với miền xác định D( A)⊆X,X

là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1

Hàm u ( • ) ∈ C 1 {

0,∞ ) , X }

∩ C { 0,∞), D (A)}

được gọi là nghiệm

của bài toán Cauchy (CP) nếu u (t ) thỏa mãn phương trình với ∀t≥ 0 và thỏamãn điều kiện ban đầu với t= 0

Nghiệm là duy nhất với ∀t ∈0, Τ , Τ > 0,

3 Nghiệm ổn định đều đối với điều kiện ban đầu u (0) =x, với

T( • ) : D ( A ) → C { 0,Τ, D ( A) } là toán tử nghiệm với mọi Τ > 0 ,

U

D ( A) là không gian Banach:

{D ( A ), x A = x + Ax} ,

ta phải chứng minh T ( t ) là toán tử đóng.

Thật vậy, giả sử xn → x trong D ( A) và T (t ) x n = u n(t ) → y (t )trong

với ∀t∈0, Τ , tức là (CP) đặt chỉnh đều trên không gian

Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn cơ bản xét tính đặt chỉnh của (CP))

Giả sử A là toán tửtuyến tính đóng, xác định trù mật trên X Khi đócác điều kiện sau là tương đương:

(I) Bài toán Cauchy đặt chỉnh đều trên D (A);

(II) A là toán tử sinh của C0 − nửa nhóm {T (t),t ≥ 0};

(III) Điều kiện Miyadera-Feller-Phillips-Hille-Yosida (MFPHY) đối vớigiải thức của toán tử A: tồn tại K >0,ω∈ sao cho

( k ) ( λ ) Kk!

R

( Reλ −ω )k +1với mọi ∀λ ∈ : Reλ> ω, ∀k =0,1,

Trong trường hợp này nghiệm của (CP) có dạng

nghiệm là T ( •) x Do đó với mọi ∀t∈0,Τ , Τ > 0, Τ∈ , nghiệm này ổn

định đều đối với điều kiện ban đầu Suy ra toán tử T ( t ) bị chặn đều với

Lại có điều kiện ban đầu T(0 )T (h ) x = T (h ) x với ∀x∈ X suy ra T (0 ) =

I

và do vậy (T2) được thỏa mãn

Mặt khác do T ( t ) bị chặn đều với mọi Τ> 0,Τ∈ ,∀t∈0,Τ và T (t )

− I x = T '

Cứ tiếp tục như vậy, lấy đạo hàm đến cấp k ta có

Sử dụng công thức nghịch đảo Widder-Post của phép biến đổi Laplace, ta có:

Xét (1.2.6), ta có thể thác triển T ( •) x và đẳng thức (1.2.4) trên toàn không

gian X, do vậy T ( •) thác triển được là liên tục mạnh với mọi t ≥0 và

T (0)u (t ) = T (t )u (0) = u (t ), t ≥ 0 .

Định lý 1.2.2

Giả sử A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trên X thỏa mãn

các điều kiện sau

19

0 Tiếp theo lấy đạo hàm dưới dấu tích phân ta có

tích phân này cũng hội tụ tuyệt đối và đều theo t ≥0

Dễ dàng kiểm tra được J ( t ) thỏa mãn (CP) khi t >0

Thật vậy do sự tồn tại của limt→0

tức là J ( t ) là nghiệm của bài

toán Bây giờ ta phải chứng minh

nghiệm của (CP), vì u ( •) khả vi

= R A

( μ ) γ + x =

1Cauchy (CP) tínhduy nhất của liên tục với

x ,

nghiệm Giả sử u (•) là lấy tích phân từng phần

(1.2.8) suy ra u (τ ) = 0 trên 0,t, suy ra nghiệm là duy nhất.

Xét không gian Banach X = L2( )

Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng trừu tượng

Sử dụng phép biến đổi Fourier, ta phải kiểm tra được R A ( λ ) thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida

L λ L

22

≠ X (vì lấy u ∈ X sao cho u (0) > 0 khi đó không tồn tại dãy bất kỳ

D (A)

x n∈ D ( A), x n ( 0 ) = 0 và x n → u ), dođó A không sinh ra C0 −nửa nhóm

0,∞) Từ (1.1.8) suy ra A sinh ra C0 − nửa nhóm

trên không gian X= C

0,∞)(không gian các hàm liên tục trên 0,∞) và

trên không gian X=C0

triệt tiêu tại 0) và toán tử nửa nhóm xác định bởi:

Ví dụ 1.3.2 (lớp các toán tử sinh của C0 − nửa nhóm)

Xét bài toán Cauchy

- Xét trường hợp γ ∈(0,1, khi đó ta chứng minh được A sinh ra

C0 − nửa nhóm trên X và toán tử nửa nhóm được xácđịnh bởi:

Bây giờ ta chứng minh toán tử (λ I −A)−1 ,λ >0 là giải thức của A và thỏamãn điều kiện MFPHY

p1 +∞

khi đó bài toán (1.3.3) đặt chỉnh đều trên D(A)

Trong trường hợp tổng quát ta có:

( λI−A )−1u = ( λ+ g ) u

2( λ + g ) 0 ( λ + g )

Ví dụ 1.3.3 (phương pháp nửa nhóm cho phương trình truyền nhiệt)

Cho Ω = 0,1 , trong trường hợp tổng quát Ω là một tập mở trong n

27

-Với mỗi t ≥0, toán tử tuyến tính trên L2 (Ω) xác định bởi:

Bây giờ ta chứng minh T 0 thỏa mãn tính chất nửa nhóm:

Cho v∈X , sử dụng phép biến đổi tự liên hợp của T (t ) ta có

tồn tại và liên tục với ∀t≥ 0.

Chương 2 - BÀI TOÁN CAUCHY VÀ NỬA NHÓM

2.1 Nửa nhóm n− lần tích hợp bị chặn mũ

Định nghĩa 2.1.1

Cho n∈ , X là không gian Banach Họ các toán tử tuyến tính bị chặn {V

( t ), t ≥ 0} được gọi là nửa nhóm n − lần tích hợp nếu các điều kiện sauđược thỏa mãn:

(V1) V ( t ) V ( s ) = 1 ∞∫ ( s − r )n−1 V ( t + r ) − ( t + s − r )n−1V ( r ) dr, s,t≥0;

( n−1)! 0(V2) V ( t ) liên tục mạnh với∀t ≥ 0 ;

(V3) ∃K > 0, ω ∈ , ∀t ≥ 0 : V ( t ) ≤ Keωt

;Nửa nhóm {V(t ),t≥ 0}được gọi là không suy biến nếu

R A( λ ) ∞λ n e −λt

= ∫ V n( t )dt

0

Từ đẳng thức trên ta nhận thấy C0− nửa nhóm là nửa nhóm 0 -lần tích hợp

Ta nhận thấy toán tử thỏa mãn phương trình giải thức khi và chỉ khi

Vn thỏa mãn (V1),điều này thể hiện trong mệnh đềsau

Mệnh đề 2.1.1

Cho n∈ và V là toán tử liên tục mạnh sao cho

∃K > 0, ω ∈ , ∀t ≥ 0 , V ( t ) ≤ Keωt ,đặt

∞

R ( λ ) = ∫ λ n e −λt V ( t )dt, Reλ > ω .

0Khi đó R( λ) thỏa mãn phương trình giải thức

( μ − λ ) R (λ ) R (μ ) = R (λ ) − R (μ ), (2.1.1)

∀λ , μ ∈ với Reλ, Re μ > ω , λ ≠ μ , nếu và chỉ nếu V thỏa mãn (V1)

Chứng minh

R A( λ )

32

2 Cho x∈ D ( A), t ≥0 ta có:

0và

AV ( t ) = V (t ) A , V (t ) x ∈ D ( A) , x ∈D(A)

Cho x ∈D(A), khi đó với Reλ > ω, ta có

Cho a ≥ 0 và r :(a ,∞) → X là một hàm khả vi vô hạn Cho

K > 0, ω ∈ ( −∞,a] các điều kiện sau là tương đương:

0

D( A )⊂ F1 , suy ra

Cho A là toán tử tuyến tính xác định trù mật với (a,∞ ) ⊂ρ( A), trong

đó a ≥ 0, K > 0, ω ∈ ( −∞,a] Khi đó điều kiện (2.1.8) tương đương với: A làtoán tử sinh của nửa nhóm n− lần tích hợp {V(t ),t≥ 0} sao cho

2.2 Bài toán Cauchy ( n,ω)− đặt chỉnh

Xét bài toán Cauchy

37

-với ∀x ∈D( A n+1) tồn tại một nghiệm duy nhất sao cho

và v( •) =V n( •) x

(II⇒I)

Cho x∈D(A n+1 ), n∈N, khi đó tồn tại một nghiệm duy nhất u(•) của

(CP) sao cho u ( t ) ≤ Keωt x A n .Cho μ ∈ρ(A), hàm

Cho t≥ 0 , ta định nghĩa hàm toán tử V ( t ): D (A n+1)→ X , biểu diễn

V ( t ) x = un( t ) ,trong đóu n(t) là nghiệm n− lần tích hợp duy nhất của (CP)với giá trị ban đầu u n(0) =V(0)x= x , x∈D (A n+1),n ∈N.

Vì D (A ) = D (A n+1) = X do đó ta có thể thác triển {V(t ),t ≥0} lên toànkhông gian X

39

-Hàm toán tử {V(t),t≥ 0} bị chặn mũ với mọi

liên tục theo t Do vậy V ( •) liên tục mạnh

Hơn nữa, dễ dàng chứng minh toán tử

Vì vậy, {V(t ),t ≥ 0} là nửa nhóm n − lần tích hợp với toán tử sinh

A 2.3 Nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương Định nghĩa 2.3.1

Cho n∈ , Τ∈ ( 0,∞).Họ các toán tử tuyến tính bị chặn{V ( t ), 0 ≤ t < Τ} được gọi là nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương trên X ,nếu điều kiện (V1) trong Định nghĩa 2.1.1 được thỏa mãn với ∀t,s∈0,Τ)sao cho t+s∈0,Τ )và điều kiện (V2) thỏa mãn với ∀t∈0,Τ )

Nếu {V(t),t≥ 0} là nửa nhóm n − lần tích hợp thì toán tử sinh của nó được định nghĩa từ đẳng thức:

∞

( λ I −A ) −1 x= ∫ λ n e −λt V (t) xdt, x∈X, λ > ω (2.3.1)

0Đối với một nửa nhóm n − lần tích hợp địa phương {V(t), 0 ≤t < Τ} thìtích phân (2.3.1) có thể không tồn tại Do vậy toán tử sinh A0của nửa nhóm

địa phương {V (t ), 0≤ t< Τ} được định nghĩa như sau:

Ta có A0 là toán tử khả đóng, vì vậy ta có thể gọi A là toán tử sinh của nửa

0

nhóm n− lần tích hợp địa phương {V(t), 0 ≤t< Τ}

Mệnh đề 2.3.1 (tính chất của nửa nhóm n− lần tích hợp địa phương)

Cho n∈ và A là toán tử sinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa

Bổ đề 2.3.1

Nếu với ∀x∈ D (A n+1),n ∈N, tồn tại một nghiệm duy nhất của bài

toán Cauchy địa phương (LCP) và ρ (A)≠ φ thì nghiệm này thỏa mãn (2.3.4).

Chứng minh

Cho k∈N với 1≤k ≤n Khi đó, từ (2.3.2) ta có

42

Bây giờ cho x ∈ D ta định nghĩa u (t ):= V n(t )x, t ∈ 0,

(2.3.2) ta dễ dàng chứng minh được u (•) là nghiệm của (LCP) địa phương.Theo định lý 2.2.1 đã chứng minh được mọi nghiệm của bài toán này có dạng

C

Λ = λ ∈ Reλ > τ log (1+ λ ) +τ logγ ⊂ ρ ( A),

τ ∈(0,T), C >0, 0 < γ <1,sao cho

xdt

Ngoài ra G( λ) giao hoán với R(λ, A) trên X và với A trên D( A).

Sử dụng ước lượng trên cho G (λ ) , ta tìm được miền Λ ⊂ sao cho

G ( λ ) <1 với mọi λ ∈Λ

44

Kết hợp với điều kiện (2.3.6) ta suy ra (2.3.5).

Ngược lại, nếu (2.3.5) được thỏa mãn đối với toán tử A, khi đó

T ( t ) x := lim I − t A −k x, t ∈ 0,Τ ) , Τ∈

k

k→∞

xác định với mọi x ∈D(A n). Cho x ∈D(A n+1),u(•)=T(•) x là nghiệm duy

nhất của bài toán Cauchy địa phương ổn định theo (2.3.6), khi đó A là toán tử sinh của nửa nhóm n− lần tích hợp địa phương {V(t), 0 ≤ t< Τ}

D ( A ) = D := x ∈ X ∃ y : V ( t ) x = x +∫ V ( s ) yds , t ∈ 0,T ) ,

n!

0

trong đó y=Ax. Thật vậy cho x ∈D( A), thì x ∈D và

Ngược lại, nếu x ∈D , λ ∈ρ( A)

47

-Hơn nữa, nếu H ∈C1 { } , khi đó với

Theo Định nghĩa 2.3.4 ta có

A t ( H • V ) ( s xds

Cho τ>0 và A là toán tửsinh của nửa nhóm n − lần tích hợp địa

phương V(t ),t∈0,τ) như được định nghĩa ở Định nghĩa 2.3.4

= w ( t ) − F ( t ) V ( s ) x, ∀x ∈ X ,

trong đó

Ví dụ 2.4.1 (Nửa nhóm tích hợp với toán tử sinh không xác định trù mật)

Xét bài toán Cauchy

∂ u ∂ ( x , t ) + ∂ u∂ ( x , t ) = 0,

u ( x,0) = f ( x)

trên không gian Banach

Dạng trừu tượng của (2.4.1):

50

-(R A( λ )

f ) ( x ) =x e −λ(x −s) f ( s )ds , λ > 0, x ∈ 0,∞)

∫

0

Trường hợp này R A( λ ) thỏa mãn điều kiện Hille- Yosida Vì D( A)≠ X nên

A không sinh ra C − nửa nhóm trên không gian X = C 0, ∞)

0,∞) và triệt tiêu tại 0) Từ(1.1.8) ta tìm đượcgian các hàm liên tục trên

( x ) := f (x −t ), x ≥ t(T (t)

Ví dụ 2.4.2 (Lớp các toán tử sinh của nửa nhóm tích hợp)

Xét bài toán Cauchy

V ( t )u = 1 1 − e −ht tfe −ht

+ ( e −ht −1) f / h u, với u∈ X

1− e −ht

- Nếu 1<γ≤2 , thì họ các toán tử tuyến tính bị chặn {V( t), t≥0} thỏa

mãn các điều kiện (V1)-(V4) nên là nửa nhóm 1− lần tích hợp nhận A là toán

tử sinh vì:

λ I − R ( λ ) −1 = λ I −∞

λe −λtV ( t ) dt−1

∫ 0

Ví dụ 2.4.3 (Nửa nhóm tích hợp liên quan đến bài toán Cauchy cho

Khi đó nghiệm duy nhất của bài toán (2.4.4) có dạng

u (t ) = C (t ) x + S (t ) y,

trong đó T ( t ) không xác định mọi nơi trên X × X với mọi t ≥ 0 , do hàm

C ( •)không khả vi trên X Do vậy T (t ) không là C0 − nửa nhóm trên X

Trên không gian L2(Ω)× L2 (Ω) ta xét toán tử:

Toán tử này bị chặn và liên tục mạnh thỏa mãn các điều kiện (V1) - (V4)trong Định nghĩa 2.1.1 Do đó {V (t ), t ≥ 0} tạo nên nửa nhóm tích hợp sinhbởi toán tử Φ .

Ví dụ 2.4.4 (Nửa nhóm tích hợp cho toán tử không bị chặn mũ)

∞Cho X = l2 là không gian các dãy số {a m} ⊂ sao cho ∑ a m 2 < +∞

Khi đó {V (t ), t ≥ 0} tạo thành một nửa nhóm tích hợp không bị chặn mũ

Ví dụ 2.4.5 (Nửa nhóm tích hợp n − lần địa phương)

∞Cho X = l2 là không gian các dãy số {a m } ⊂ sao cho ∑ a m 2 < +∞

Reλ > ω Khiđó toán tử T ( t ) x := {e a m t

x m }∞ tạo nên một nửa nhóm không

m=1

bị chặn Lấy tích phân ea m t ta thu được nhân tử me −m , cứ tiếp tục như vậy

n − lần ta thu được hàm bị chặn với t≤ nΤ Từ đó ta thuđược nửa nhóm

n − lần tích hợp địa phương V n (t) với A là toán tử sinh:

KẾT LUẬN

Luận văn bao gồm những vấn đề sau:

Trình bày phương pháp C0 − nửa nhóm, ứng dụng để nghiên cứu tính đặtchỉnh của bài toán Cauchy trừu tượng (CP) Trong đó điều kiện (MFPHY) cơbản được sử dụng là tiêu chuẩn để xét tính đặt chỉnh của bài toán trên

Trình bày lớp nửa nhóm n − lần tích hợp là mở rộng của lớp nửa nhóm

C0 , ứng dụng để nghiên cứu tính (n,ω ) − đặt chỉnh của bài toán Cauchy

trừu tượng (CP) và phương pháp nửa nhóm tích hợp địa phương bị chặn mũ,

không suy biến để nghiên cứu tính n − đặt chỉnh của bài toán Cauchy địaphương (LCP)

Luận văn đã lấy được các ví dụ cụ thể minh họa dựa trên các phươngtrình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu như phương trình truyền nhiệt vàphương trình truyền sóng

Bài toán Cauchy trừu tượng còn có thể được nghiên cứu mở rộng hơn trong không gian trừu tượng cùng nhiều phương pháp tiếp cận ứng dụng để nghiên cứu tính đặt chỉnh của bài toán này