Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình, hệ thống mũ và logarit giúp trang bị và hệ thống cho các bạn kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho những kì thi học sinh giỏi, thi quốc gia và tuyển sinh đại học.Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b)
Trang 1| Ài 2
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT HE PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BAT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT
I KIEN THUC CAN NHO
O<a¥l log, f(x) 2 log, g(x) @ 4 f(x) > 0, g(x) >0
(a~1)[f«)~g(@]>0
A PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:
O<ax¥l f(x) >0
Đặt điều kiện cho logf(x) là:
O<aFl
1 Dạng cơbản: logf(x)=b<> b
f(x)=a
2 Đưa về cùng cơ số:
Biến đổi phương trình về dạng: log, f(x) = log, g(x) (*)
O<a¥l f(x) = g(x) >0
3 Đặt ẩn số phụ:
Đặt t = log x để đưa phương trình logarit về phương trình đại số
đối với t
4 Đoán nhận nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất
B BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với phương trình
logarit và sử dụng các công thức sau:
Nếu a > I thì: log, f(x) > log, ø(x) © f(x) > g(x) > 0
Ta có: (*) =|
log, f(x) 2 log, g(x) f(x) = g(x) >0 Nếu 0< a< 1 thì: log, f(x) > log, g(x) © 0< f(x) < g(x)
log, f(x) 2 log, g(x) @O<f(x) < g(x) Tổng quát ta có:
a>0 log, f(x) > log, ø(x) © + f(x) > 0,g(x) >0
(a-1)[f00) -g(x)] >0
195
II CAC VI DU:
Tìm tất cả m để phương trình: \\2 +x)" + V2 -x)" =24/2 là hệ quả của phương trình:
— 3
log,(9-x ) 3 (1) log, (3—x)
(ĐH Bách Khoa TPHCM năm 1994) Giải
9_-x”>0
3 Điều kiện J3—x >0 NI
Xx#2 xz2
()©9—-xŸ=(3-x) ©9x?—27x+18=0 ©x=l
Thế x = 1 vào phương trình: \J(J2+x)" +2 -x)" =242
ta được: V2 + x)”+ \(2- x)™ =2/2 (2)
(2 +2 -) =1)
t= J2 +1 t= 2-1
11
t=v2+1:(2 +0? =j2+1©<=l©m=2
Đặtt=(/2+102
@)©t++=22 © È =22t+1=0 c
t=42-1:@(2+Ð02 =J2-Ii= TL =@2+p'
V2 +1
oa le m=-2
Vay m=2vm=-2
196
Trang 2Vi du 2:
Giải bất phương trình:
log, (x? —9x +8)
<2 (*)
log, (3—x)
(PH Téng hop TPHCM nam 1964)
Giai
Diéu kién x FT S>0 “swe ©x<l
3-x>0 x <3
>3-x>2>1> log, (3-x)>0
1
@x° 9X48 < BX) 3K+1> 0 X>——
So với điều kién > ¬ <x<l
Vi du 3:
Giải bất phương trình: log, |: — 3] >2
(ĐH Huế năm 1998) Giải
0<xzI 1
Điểu kiện 1 c©
x-—>0
4 x #1
log, [s -z] >2c©log, [s -z] = log, x?
1
xX >—,x#l 1
4 xX >—,x#l
%=D[x=2—x? Jeo (x —1)(4x2 —4x +1) <0
4 X>—,x#l x >— 1
& 1 c© 4<€©—<x<l
197
Vi du 4:
Giải hệ phương trình:
logi,yI—2y+y “)+ logi y(+2x+ x?)=4 ()
logi,„ (+ 2y) + logi_y(I+ 2x) =2 (2)
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997)
Giải
<©
Điều kiện
O0<1+xl y<l
() © logi,y(1— y) + logi y(1+ x)” =4
© logi,„(L— y)+ logi_y(l+ x) =2 (3)
@)©t+~=2©~2L+I=0
©(t-D=0©t=l
© log¡.„(I—y)=lI«©©l-y=l+x«€x=-y(x>-]) Thay y = - x vào phương trình (2):
log,,,—2x) + log,,,1+2x) =2
© log), 1-4x*) = 1-4x* = (1+ x)*(x #0)
2 2
© 5x +2x=0©5x+2=0€©x==C=y=C
Vậy nghiệm của hệ:
198
Trang 3II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
2.1 Giải bất phương trình: log› (7.10 — 5.25) >2x +
(ĐH Thúy Sản 1999)
2.2 Giải hệ phương trình:
xy
4¥ * —32 log3(x—y) =1—log3(x+y) (Học Viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1999)
2.3 Giải hệ phương trình:
x—y=(ogạ y—log;x) (2+xy) (l)
L +y> =16 (2)
(ĐH Ngoại Thương năm 1999)
log.(35— x?)
>3 (a là tham số >0, khác l1) log, (5 — x)
2.4 Giải bất phương trình:
(ĐH Y DƯỢC TPHCM)
199
HUONG DẪV VÀ GIẢI TÓM TẮT 2.1
log, (7.10* —5.25*) >2x+1
& log, (7.10* —5.25*) > log, 27**!
& 7.10% —5.5°% > 27%4
& 5.5°% —7.2*,5* +2.2°% <0
o5{> —7 > +2<0 (1)
5 x
Dat t=} — | >O
2
(1) = 5t —7tr2<0@<t<l
©—<|—| <|—| ©|_—-| <|-| <|—
&-1<x<0 (a=2>1)
xy 2.2 (1)24*% * =32
log3;(x—y) =1—log3(x+y)
4ï *_~42
>
log3(x — y) = log; 3—log3(x + y) = log; x4
x y_ 5
yx 2 Xy¿*_Š(p
y *% y x 2
x4
"Ỷ lx»y — @
X>y
200
Trang 4Giải (A): Đặt t=Š
y
(Nett =26 20-5420
1 x |
t=—:>—=—-<cy=2x
2 y 2
t=2 > ~=26x=2y
y
y=l
y=-
x=2 >
Vay Ị là nghiệm của hệ
y =
x-y=(lo —log,x)(2+xy)
23 (D y 2y 82 y
x ` +y =l6
¬ x>0
(1) có điều kện: | > xy+2>0
y>0
>0
Nếu x >y: (1) > vt = (1) VN
y VP <0
Nếu x<y: =4 ` Tế P— VN
ỷ VP>O0
Vậy x= y (từ (1))
x=2
>
xX = —2 < (loai)
(1) (2)
Thế vào (2): 2xÌ =l6<>xÌ=8«©x=2—>y=2
x=2
=> (1D c6 nghiém |
201
4 log, 35-x°) log, (5—x) 35-x7 >0 x < 435 3,27 5-x>0
>3 (*) (0<a¥l)
x<5
1 35—xÌ)=5—x>l
"` x )>5-x>
logs_, a.log, (5—x)
& 35—x? >(5—x)?
& 35—x? >125-—75x +15x? -x?
©x?-5x+6<0<©>2<x<3<3/35
>2<x<3
202