MỘT SỐ GỢI Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh phổ thông có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao vào các trường Cao đẳng, Đại học
Trang 1MOT Số GỢI Ý
KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
hitp://onthi.nolyn hitp://onthi.so lin
Mỗi để thì tuyển sinh vào Đại học thường có
một câu về phương trình lượng giác (PTLG)
Phương pháp thường gặp khi giải PTLG là thực
hiện một số phép biến đổi lượng giác hợp lí
đưa bài toán về PT tích, đặt ẩn số phụ để quy về
PT bac hai, bac ba, từ đó đưa về PT lượng giác
cơ bản Ta nói biến đổi hợp lí vì các đồng nhất
thức lượng giác thường rất đa đạng
Ví dụ, nếu cẩn biến đổi cos' x-sin*x, thì
tùy theo đầu bài cụ thể, chúng ta sử đụng một
trong các đồng nhất sau
cost x~sin* x = cos? x-sin? x = cos2x
= 2cos*x - 2sin*x
“Trong bài viết, xin được bỏ qua các phép biến
đổi đơn giản hoặc viết nghiệm của các PT cơ
bản
1! Biến đổi trực tiếp về phương trình cơ bản
Thí dụ 1 Giải phương trình
so9)xsinÖx+sin',,eos3x=C a
Lời giải Biến đổi vế trái của (12) ta có
cos'x(3sinx—dsin'x) + sin'x(4cos!x-3cosx)
= 3cost xsinx—3sin’ x.cosx
3sin.x.cos.x(cos? x—sin? x)
PT (1) trở thành sindx=y
Luưu ý Các đồng nhất lượng giác thường gặp
khi giải toần :
'osỲ x.sin3x-+sin? x cox3r=2sindr ,
cos) x.cos3x+sin? x.sin3x=cos*2x ;
1
2 _l£eos22x_3+cosáx
cost z+sin# x= I=-sin22x
NGUYEN ANH DUNG
(Ha Noi)
Ean cost x4sin’ x= LZ sin? 2x
_ l#3cos22
4
2/ Dat dn sé phu dé đưa về phương trình
bác hai, bậc ba, Thí dụ 2 Giải phương trình
1+sin? x+cosỶ Lời giải
(2) < I+(Sinx+eosx)(I~sin eosx)=3sinxcosx
2)
Đặt resinx+cosxthl = isin( Zs} =
ea Ins 2, lúc đó sinr.cosr = PT aa cho trở thành
P43 ~3~5=0 © (#l)(È +2 — 5) =0,
Chú ý đến ĐK : lrl < V2 ta nhận được f
Với
~l ta được sin| “+ 4 2
Luu ý Nếu đặt = sine + cose thi
25
sindx = P= Iysincose= TC” †
Nếu dat ¢= sinx ~ cosx thì sin2x
mm sincdsr= TT” 2
“Trong cả hai phép đạt trên, đều c6 DK r< V2
Thí dụ 3 Giải phương trình
sinx.sin2x+sin3x=6cos'x (3)
Loi gidi
(3) <9 2sin?x.cosx + 3sinx - Asin'x = 6cos's Nhận thấy nếu cosx = 0, (3) không thỏa mãn
Chia cả hai vế của (3) cho cos'x, ta được
2tg’x + 3tge.(1 + tg2x) — 4tg`x = 6
Trang 2
Dat r= tge thi
0-21? ~314+6=0¢9(t-2)(? -3)=0
'Từ đó, dễ dàng tìm được
tgr =2: ter=-V3; 0 tgr= V3
Lưu ý Nếu trong PT chỉ có các số hạng bậc
nhất và bậc ba đối với sinx và cosx, thì ta có thể
chia hai vế của PT cho cos"+ hoặc sin`x để đưa
PT đã cho về PT bậc ba của tgx hoặc cotgx
Thí dụ 4 Giải phương trình
tgx + 2sin2x = 3 4) Léi gidi DK cosx #0
Dat tgx = t, ta được PT
144 W397) Le —3 451-30
© (-I)(2-2:+3)=0
Vì /2~2/+3>0 nên ta được nghiệm:
t=l=tgr=lL
Lưu ý, Nếu PT có các số hạng : tgx, cotgr va
cos2x, sin2x, thì ta đặt tgr = t khi đố:
sindx=— yi cos2x= ai (E2XE TT
Sau d6 biến đổi vẻ một PT bac cao đối với t
3J Biến đổi về phương trình tích:
Thí đụ 5 Giải phương trình
2sin3z~—Ï_—=2eos3z+—L— (5)
gidi, DK sinx #0; cosx #0
2(eos3x-sin3x)+—L—+—E—=0 Sinx cosx
<< 2[4(cos* x+sin® x)~3(eosx+sinx)] +
cosx+sin.x
sin.x.cos.x
Nhân thấy các số hạng có thừa số chung
cosx + sinx
Dễ dàng biến đổi PT (5) thành
emreine|20-4em xsin3)+ Teen |
© (eosx+sinx)(2sin22x~sin2x~1)=0
Ta được:
Lưu ý Các số hạng có chứa thừa số
(cosx+sin) là: cos2x; cos*x + sin’x; cos‘x ~ sin‘x;
cos3x ~ sinâx; 1 + tgr; tgx — cotge,
'Cũng tương tự, các bạn tự viết các số hạng có
chứa thừa số (cosx — sinx)
Thí đụ 6 Giải phương trình cosx.cosŠ cos 5 — gin xin Š sin S5 =2 (6)
Lời giải (6) €3 cos.(Costtco24) + sinx(cos2x-cosx)
008 x.cos2x+sinx,cos2x-sin xreosx~sin2
€20082x.(cos.x+sin.x)-sin.x(cos x+sinx)=0
©(cosx +sin x)(cos2x~sin x)=0
Ta được : cosx+sinx=0; cos2x-sinx=0
Lưu ý Nếu trong PT có chứa các số hạng là
tích của nhiều thừa số đối với sin hoặc cosin thì
nói chung, ta phải sử dụng công thức biến tích
thành tổng sau đó tìm cách đưa vẻ PT tích hoặc
dat ẩn số phụ để được PT bậc 2, 3
4/ Cách đánh giá hai vế
“Thí dự 7 Gidi phương trình
(€os4x~cos2x)? =5+sin3x @
Lời giải Ta có 4sin23xsin? x=S+sin3x
Vì 0<sin23x < l; 0<sin?x<I; sin3x >—l;
nên 4sin23x.sin? x<4<5+sin3x
sin23xsin2 x=1 _ fsin3x=—1
lsin3x
Từ phương trinh sin? x=1=> sine= +1
+ sinx = 1 => sinÂx = ~1 (thỏa mẫn),
# sine = =1 = sin3x= 1 (loai)
Lita ý Các BĐT thường dùng để ước lượng:
kina<l: keosal<l; |asinx+beosx|< 22 +b2
Nếu m, n là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì sin” xtoos" x < sin? x+cos?
Bài tập Giải các phương trình sau:
1 sin23z=4cos4x+3;
2 cosr + COSÖx + cos'r + costr =
= sinx + sinÖx + sin’x + sinh
3, Simxtsin2x
— siN3x ,
A scons sin’ x+cost x