Luận văn các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei ejγ trong mô hình seesaw và inverse seesaw

Tuy nhiên nó vẫn có một số hạnchế nhất định, đầu tiên là vấn đề về dữ liệu thực nghiệm neutrino.Trong mô hình chuẩn, các lepton được phân làm ba thế hệ, mỗi thế hệ bao gồm một trong các

LÝ THỊ MAI PHƯƠNG

CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM

SỐ LEPTON THẾ HỆ e i → e j γ

TRONG MÔ HÌNH SEESAWEESAW VÀ INVERSE

SEESAW

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8 44 01 03Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỌ HUỆ

HÀ NỘI, 2018

Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS Lê Thọ Huệ, người thầyluôn nghiêm khắc trong chuyên môn, thân thiện trong đời sống, đã hướngdẫn tôi tận tình, hiệu quả trong suốt quá trình làm luận văn Thầy làcầu nối đưa tôi đến với Lý thuyết trường, một lĩnh vực khó của Vật lýnhưng cũng rất nhiều thú vị.

Tôi xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 20 tại Khoa Vật lýTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trongquá trình học tập Tôi xin cảm ơn bạn Nguyễn Thị Quỳnh Lâm đã cónhững thảo luận hữu ích trong khi hoàn thiện luận văn

Tôi xin cảm ơn các đồng chí lãnh đạo và các đồng nghiệp tại KhoaVật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và động viêntôi trong thời gian tôi học tập và làm luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn sự hỗ trợ của chủ nhiệm và các thànhviên thực hiện đề tài mã số 103.01-2017.29 do NAFOSTED tài trợ.Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì đãluôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi

Hà Nội, tháng 06 - 2018

Học viên

Lý Thị Mai Phương

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các luận văn đã có Tôi cũng xincam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ

rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 2018

Học viên

Lý Thị Mai Phương

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

1.1 Mô hình Seesaw tổng quát 4

1.1.1 Giới thiệu mô hình 4

1.1.2 Đỉnh tương tác 6

1.1.3 Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino 8 1.2 Mô hình inverse Seesaw 9

2 Biểu thức giải tích cho biên độ và tỉ lệ rã nhánh ei → ejγ 13 2.1 Bề rộng rã riêng phần và tỉ lệ rã nhánh 13

2.2 Các ký hiệu và định nghĩa các hàm Passarino-Veltman 16 2.2.1 Biểu thức tính hàm B1(i) 18

2.2.2 Biểu thức tính hàm Ci 19

2.2.3 Biểu thức tính hàm Ci,00,ij 20

2.3 Biểu thức tính biên độ rã 22

2.3.1 Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh 22 2.4 Kiểm tra đồng nhất thức Ward 38

2.5 So sánh với các kết quả đã biết 40

Seesaw 42

3 Kết quả khảo sát và thảo luận 433.1 Xác định vùng không gian tham số 433.2 Kết quả tính số và thảo luận 44

Danh mục các công trình 48

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết mô hình chuẩn (standard model-SM) là một

mô hình vật lý hạt thành công nhất khi dự đoán khá chính xác đượchầu hết các kết quả thực nghiệm Tuy nhiên nó vẫn có một số hạnchế nhất định, đầu tiên là vấn đề về dữ liệu thực nghiệm neutrino.Trong mô hình chuẩn, các lepton được phân làm ba thế hệ, mỗi thế

hệ bao gồm một trong các lepton mang điện e, µ, τ và một neutrinophân cực trái tương ứng Các neutrino đều có khối lượng bằng không

và không có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các thế hệ lepton (sự daođộng neutrino) Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khốilượng khác không dù rất nhỏ và tồn tại sự dao động neutrino Sựdao động này chính là bằng chứng cho sự vi phạm số lepton thế hệtrong thế giới hạt cơ bản, nhưng vượt ngoài dự đoán của mô hìnhchuẩn Chính vì vậy, cơ chế và nguồn gốc sinh khối lượng và daođộng neutrino luôn được xét đến trong các mô hình mở rộng của

mô hình chuẩn (BSM-beyond the SM) Mô hình đơn giản nhất giảiquyết được các vấn đề về neutrino là các mô hình Seesaw, cụ thể là

cơ chế Seesaw được đưa ra để giải thích vấn đề này Mô hình Seesaw

mở rộng từ SM bằng cách thêm vào các đơn tuyến neutrion phân

cực phải, dẫn đến sự xuất hiện của số hạng tương tác Yukawa mới

và số hạng khối lượng vi phạm số lepton, chính là nguồn gốc sinhkhối lượng cho tất cả các neutrino trong mô hình Cơ chế Seesawgiúp giải thích hợp lý tại sao neutrino hoạt động (active neutrino)

có khối lượng nhỏ như đã được thực nghiệm phát hiện, đồng thờicác neutrino mới có khối lượng lớn, thoát khỏi tầm phát hiện củacác thiết bị dò hiện nay Sự xuất hiện của các neutrino mới dẫnđến sự xuất hiện các đỉnh tương tác mới, vi phạm số lepton, làmxuất hiện các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ (LFV) của cáclepton mang điện (cLFV) ei → ejγ (j 6= j) khi tính đến các đónggớp nhiễu loạn bậc cao Theo đó, tuy ở trong Lagrangian khôngxuất hiện đỉnh tương tác eiejAµ+ h.c nhưng bổ đính bậc một vòngcho số hạng hiệu dụng dạng eAµej [qνσµν(σLPL + σRPR)] ej + h.c

Số hạng này dẫn đến quá trình rã nhánh mới ei → ejγ không cótrong giới hạn dự đoán của SM Các thừa số σµν và toán tử chiếutrái-phải PL,R được xây dựng theo ma trận chiral γ5 Các hệ số vôhướngσL,R được tính từ các giản đồ đóng góp bậc cao Các tính toán

và nghiên cứu cho các quá trình rã này trong hai mô hình Seesawtối thiểu (minimal Seesaw-MSS) và inverse Seesaw (ISS) đã đượcnghiên cứu trong nhiều công bố, sử dụng các hệ thức giải tích gầnđúng khi khối lượng các lepton mang điện bằng không ngay cả khikhối lượng neutrino rất nhỏ Hiện nay các hệ thức gần đúng này cóthể được thiết lập theo các hàm giải tích chính xác áp dụng đượcvào giải số Mô hình Seesaw là mô hình đơn giản nhất có thể dùng

để kiểm tra sự thống nhất giữa kết quả gần đúng và kết quả giảitích chính xác Vì vậy tôi chọn đề tài:

Quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ejγ trong mô

hình Seesaw và Inverse Seesaw

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về mô hình Seesaw và inverse Seesaw

• Tính biên độ và kiểm tra sự khử phân kỳ trong biên độ của quátrình rã ei → eiγ trong chuẩn unitary

• Khảo sát số để so sánh các đặc điểm giống và khác nhau của tỉ

lệ rã nhánh dự đoán bởi hai mô hình

4 Đối tượng nghiên cứu

• Quá trình rã ei → eiγ trong hai mô hình Seesaw MSS và ISS

5 Phương pháp nghiên cứu

• Quy tắc Feynman

• Lý thuyết trường lượng tử

• Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số

Chương 1

Giới thiệu mô hình

1.1 Mô hình Seesaw tổng quát

1.1.1 Giới thiệu mô hình

Phổ hạt của mô hình này khác với mô hình chuẩn (SM) là có thêm Kneutrino phân cực phải NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, , K [6] Lagrangianmới thoả mãn điều kiện bất biến nhóm chuẩn SU (2)L ⊗ U (1)Y là:

−∆L = Yν,aIψL,aφNe R,I + 1

2(NR,I)

cMN,IJNR,J + h.c., (1.1)trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ của fermion; I, J = 1, 2, , K làchỉ số neutrino mới thêm vào; ψL,a = (νL,a, eL,a)T là các lưỡng tuyếnlepton và (NR,I)c = CNR,IT à Lưỡng tuyến Higgs boson SM ký hiệu

là φ = (φ+, φ0)T = G+W, (h + iGz + v)/√

2
T, còn có dạng tương đươnge

φ = iσ2φ∗ = (φ0∗, −φ−)T Phổ Higgs trong SM gồm một Higgs trung hoàCP-chẵn h và ba Goldstone boson của các boson W± và Z Giá trị trungbình chân không (VEV) của thành phần Higgs trung hoà là: hφi = √v

174 GeV (tương đương v = 246 GeV) Các trạng thái ban đầu của cácneutrino hoạt động được viết như sau: νL = (νL,1, νL,2, νL,3)T, (νL)c ≡((νL,1)c, (νL,2)c, (νL,3)c)T, NR = (NR,1, NR,2, , NR,K)T, (NR)c =((NR,1)c, (NR,2)c, , (NR,K)c)T Trong cơ sở ban đầu νL0 ≡ (νL, (NR)c)T

và (νL0)c = ((νL)c, NR)T, Lagrangian (1.1) cho số hạng khối lượng

0 MD

MDT MN

!(νL0 )c + h.c., (1.2)

trong đó MN là ma trận bậc (K × K) đối xứng và không kỳ dị, và MD là

ma trận bậc (3 × K) thỏa mãn (MD)aI = Yν,aIhφi Do tính chất đối xứng

Mν được chéo hóa bằng một ma trận unitary Uν bậc (K + 3) × (K + 3),

Uν†Uν = I Khối lượng các neutrino lúc này được xác định là:

UνTMνUν = ˆMν = diag(mn1, mn2, mn3, mn4, , mn(K+3)), (1.3)

trong đó mni (i = 1, 2, , K + 3) là các giá trị riêng khối lượng của(K + 3) trạng thái riêng khối lượng (vật lý) neutrino nL,i Ba neutrinohoạt động là nL,a với a = 1, 2, 3 Các liên hệ giữa trạng thái vị và vật lý:

νL0 = Uν∗nL, (νL0)c = Uν(nL)c, (1.4)

trong đó nL ≡ (nL,1, nL,2, , nL,(K+3))T

Kí hiệu spinor bốn thành phần (Dirac spinor) là ni (i = 1, 2, , K + 3)cho tất cả các neutrino trong mô hình được dùng để tính toán trong luậnvăn này Các trường fermion Majorana ni là ni ≡ (nL,i, (nL,i)c)T = nci =(ni)c Thành phần phân cực trái, phải là nL(R),i ≡ PL(R)ni có PL,R = 1±γ5

1.1.2 Đỉnh tương tác

Đạo hàm hiệp biến sử dụng trong luận văn là

Dµ = ∂µ− igTaWa− ig0Y Bµ, (1.6)trong đó Wa và Ta ký hiệu các boson chuẩn và vi tử tương ứng của nhóm

SU (2)L; Y là siêu tích nhóm U (1)Y Các boson chuẩn vật lý hoàn toàngiống như trong SM, bao gồm 1 photon Aµ, một boson chuẩn trung hòa

Zµ và boson chuẩn mang điện W± Liên hệ giữa trạng thái ban đầu vàtrạng thái sau của các boson chuẩn là

Llepkin = iψL,aγµDµψL,a+ eaRγµDµeaR

LAW+ W − ∈ −1

4FµνaF

µνa, (1.9)

mô hình Seesaw, xét trong chuẩn unitary Qui ước các xung lượng của photon và W±tương ứng là các xung lượng p0, p ± có chiều đi vào đỉnh tương tác, Γµαβ(p0, p+, p − ) ≡ (p0− p+)βgµα+ (p+− p−)µgαβ+ (p−− p0)αgβµ.

Các giản đồ Feynman bậc một vòng tương ứng với rã cLFV cho tronghình 1.1

Hình 1.1: Đóng góp bậc một vòng vào biên độ rã ei → ejγ trong mô hình Seesaw tổng quát xét trong chuẩn unitary.

Nhận xét: Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa theo các tài liệu [8, 9],các đỉnh tương tác liệt kê trong bảng 1.1 đều phù hợp

1.1.3 Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino

Biểu thức tổng quát cho ma trận trộn neutrino Uν là [6],

trong đó R là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử có giá trịtuyệt đối nhỏ hơn 1 Ma trận unitary UPMNS được gọi là ma trận trộnPontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS), hoàn toàn xác định được

từ thực nghiệm về dao động neutrino

Các ma trận khối lượng của các neutrino là:

Cơ chế Seesaw sinh khối lượng các neutrino thế hệ đòi hỏi |MD| 

|MN| Các hệ thức liên hệ quan trọng đã biết là [6],

ξTξ = I3 [6], cụ thể là:

MDT = iUN∗ MNd
1/2ξ ( ˆmν)1/2UPMNS† , (1.16)trong đó UN là ma trận chéo hóa MN, UNTMNUN = MNd = diag(M1, , MK).Cách tham số hoá này gọi là tham số hoá Casas-Ibarra [7]

1.2 Mô hình inverse Seesaw

Lagrangian tương tác đặc trưng cho ISS có dạng sau:

LISS = −YνaILaφνe RI − MRIJ(νRI)cXJ − 1

2µ

IJ

X XIcXJ + h.c., (1.17)trong đó MR là ma trận (3 × 3) bảo toàn số lepton, µX là ma trận (3 × 3)

vi phạm số lepton nên nhận giá trị nhỏ Các chỉ số I, J = 1, 2, K Khácvới MSS, mô hình ISS tách các đơn tuyến neutrino mới thành 2 loại Thứnhất là các νRI có số lepton L(νR) = 1 chỉ xuất hiện trong các số hạngbảo toàn số lepton Ngược lại XI phân cực phải và có L(X) = −1, chophép xuất hiện số hạng khối lượng nhỏ vi phạm số lepton Chúng tôi xét

K = 3 để so sánh với các kết quả khảo sát gần đây [13]

Số hạng khối lượng liên hệ với neutrino hoạt động là:

−YνaILaφνe RI → −YνaI(νaL, eaL)

v

√ 2

0

!

νRI

= −(νaLmDaIνRI) = −(νLmDνR),

trong đó mDaI = √v

2YνaI Tương tự cho các số hạng khối lượng còn lại,

số hạng khối lượng neutrino là

có MISS là ma trận khối lượng neutrino thoả mãn

O là ma trận không bậc (3 × 3)

Các tham số trong mô hình ISS liên hệ với các định nghĩa MD và MN

phần thảo luận chung theo các hệ thức

MD = (mD, O), MN = O MR

MRT µX

! (1.19)

Định nghĩa ma trận nghịch đảo, MN−1MN = MNMN−1 = I6 dẫn đến

MN−1 = −M−1 MRT
−1

MR−1 0

!, (1.20)

trong đó M = MRµ−1X MRT [13] PT (1.15) cho kết quả [6]

R∗ = MDMN−1 =



−mDM−1, mD MRT
−1

,

mν = −MDMN−1MDT = mD MRT
−1µXMR−1mTD = mDM−1mTD,

(1.21)

trùng kết quả trong [13, 7] Ma trận mD được tham số hoá Casas-Ibarranhư sau:

mTD = UM∗ diag(pM1, pM2, pM3)ξ0pmˆνUP M N S† , (1.22)trong đó UM thỏa mãn M = UM∗ diag(M1, M2, M3)UM† và ξ0 là một matrận trực giao phức thỏa mãn ξ0ξ0T = I3

Để so sánh và xây dựng liên hệ giữa các quá trình rã cLFV trong các

mô hình MSS và ISS, chúng tôi chỉ xét các trường hợp đơn giản Cụ thể

là ξ = UN = I3 trong MSS, các biểu thức đơn giản của các phương trìnhtrong (1.15) là

MNd = MN, R = −iUPMNSmˆ1/2ν MNd
−1/2, V = I3, ˆMN = MNd + ˆmν

(1.23)Trong mô hình ISS, từ (1.22) ta thấy rằng mD được tham số hóa theonhiều tham số tự do, nên chúng tôi có thể chọn µX = µXI3 Tham sốnày phân biệt các đặc điểm quan trong của hai mô hình MSS và ISS.Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ xét trường hợp đơn giản MR = ˆMR =diag(MR1, MR2, MR3) và ξ0 = I3 Điều kiện |µX|  |MR| dẫn đến

UM = I3, MNd =

ˆMR 0

0 MˆR

!, V ' √1

2

−iI3 I3

iI3 I3

! (1.24)

Nhận xét: hai ma trận ˆMR (ISS) và ˆMN (SS) đều có vai trò là thangkhối lượng của neutrino mới Vì vậy, chúng tôi đồng nhất chúng là khốilượng của các neutrino trong cả hai mô hình Sự khác nhau của hai môhình lúc này là ma trận trộn V trong (1.24) và µX chỉ đặc trưng choISS Tham số µX xuất hiện ở ma trận con thứ hai của ma trận trộn Rđược cho trong (1.21) Từ đây chúng tôi tìm được hệ thức liên hệ đơngiản giữa các phần tử lớn nhất của các ma trân R trong hai mô hìnhSeesaw đang xét là:

RISS ∼r mn6

µX R

MSS, (1.25)

trong đó mn6 lúc này được xem là khối lượng đặc trưng cho neutrinomới, mn4 ≤ mn5 ≤ mn6 Liên hệ (1.25) là lý do chính để giải thích tạisao tỉ lệ rã nhánh rã cLFV được dự đoán bởi mô hình ISS có giá trị lớnhơn rất nhiều so với các giá trị dự đoán bởi MSS.

Trong chương tiếp theo chúng tôi thiết lập các biểu thức cụ thể tínhbiên độ quá trình rã cLFV trong chuẩn ’t unitary, từ đó so sánh với cáckết quả gần đúng đã được công bố

trong đó µ là vector phân cực phô tôn; CL,Rij và DL,Rij là các hệ số vôhướng được tính từ các đóng góp nhiễu loạn bậc cao (bổ đính); ui,j và

pi,j tương ứng là spinor Dirac và xung lượng của các lepton Điều kiệnbất biến chuẩn hay đồng nhất thức Ward (Ward identity) dẫn đến hệthức,

DijL = −miCRij − mjCLij and DRij = −miCLij − mjCRij, (2.2)

với mi,j là khối lượng các lepton tương ứng p2i,j = m2i,j Hệ thức đượcchứng minh như sau Biên độ Mij = Mijµµ thỏa mãn đồng nhất thứcWard nghĩa là nếu thay vector phân cực photon µ bằng xung lượng

photon q = pi − pj thì hệ thức thu được là

Các hệ thức biến đổi nói trên tiếp tục được sử dụng trong các tính toántiếp theo

Thay kết quả trong biểu thức (2.4) vào đẳng thức (2.3), chúng tôi thuđược hai hệ thức độc lập

Khi đó biên độ rã (2.1) viết được theo CL,Rij Kết quả là bề rộng rã

ei → ejγ tính được theo công thức:

√ 2

m2 i

Nhận xét: Trong phần này chúng tôi đã chỉ ra được biểu thức tính tỉ

lệ rã nhánh chỉ phụ thuộc các hệ số vô hướng CL,Rij Khi tính đến bậc gầnđúng một vòng, chỉ các giản đồ ba điểm như giản đồ 1 hình 1.1 Tất cảcác giản đồ hai điểm chỉ cho đóng góp vào DL,Rij Vì vậy trong các tínhtoán theo biểu thức (2.8) người ta có thể bỏ qua các giản đồ hai điểm.Kết luận này đúng cho tất cả các mô hình mở rộng khác

Trong phần tiêp theo chúng tôi tính trực tiếp các biểu thức của CL,Rij

và DL,Rij ở gần đúng bậc 1 vòng trong giới hạn mô hình Seesaw tổng quát.Các biểu thức này được biểu diễn theo hàm Passarino-Veltman (PV)

2.2 Các ký hiệu và định nghĩa các hàm

Passarino-Veltman

Trong phần này chúng tôi liệt kê các định nghĩa và biểu thức giải tíchcho các tích phân một vòng sử dụng trong luận văn này Qui ước cácxung lượng cho trên giản đồ 1 hình 1.1, bao gồm xung lượng ngoài p1,2

và q của các lepton và phô tôn

Các xung lượng thỏa mãn p21,2 = m21,2, q2 = 0 với q = p1− p2 do địnhluật bảo toàn xung lượng Mẫu số hàm truyền của 1 hạt khối lượng Mi(i = 1, 2) tương ứng với xung lượng k hoặc (k + pi) được ký hiệu là

D0 = k2 − M2

1 + iδ, Di = (k + pi)2 − M2

2 + iδ (0 < δ  1) Dạng tổngquát cho các tích phân một vòng được định nghĩa như sau:

Tương tự như trên, các giản đồ một vòng ba điểm liên quan đến cáctính phân sau

Tất cả các tích phân 1 vòng trên đều viết được theo dạng sau [3, 4]

B(i)µ = B1(i)pµi,

Cµ = C1pµ1 + C2pµ2,

Cµν = C00gµν + C11pµ1pν1 + C12(pµ1pν2 + pν1pµ2) + C22pµ2pν2, (2.11)

với các hệ số vô hướng B1, B00, B11, C0, C1, C2, C00, C11, C12 và C22

là các hệ số vô hướng gọi là các hàm Passarino-Veltman (PV) Chúng cóthể được tính số theo nhiều gói phần mềm đã có hiện nay như LoopTools.Các hệ số C0, C1, C2, C11, C12, và C22 đều hữu hạn, các hàm còn lạiđều chứa phân kỳ Biểu thức giải tích cho các hàm PV liên quan đến rã

ei → ejγ đã được liệt kê chi tiết trong tài liệu [5], biểu thức cụ thể nhưsau

Trước tiên ta xét hàm B đơn giản nhất

Áp dụng phương pháp tham số hóa Feynman được trình bày chi tiếttrong tài liệu [9], một số hàm PV một điểm A và hai điểm B trong biểuthức (2.9) viết được ở dạng cụ thể sau:

2B

(12)

0 (pµ1 + pµ2), (2.14)

B(12)µν = g

µν

2 M

2 2

h

B0(12)+ 1

i+ 1

6B

(12)

(2.15)Các hàm B0(i) và C0 được tính theo tài liệu [5],

B0(i) = B0(12)+ lnM

2 2

h

A0(M1) − A0(M2) − fiB0(i)

i,trong đó fi = M12 − M2

2 + m2i Thay p2i = m2i chúng tôi thu được biểuthức cần thiết

Kết hợp 2p1.p2 = p21 + p22 = m21+ m22 từ hệ quả (p1 − p2)2 = 0, chúng tôitính được

(m21 + m22)C22pµ2 Đồng nhất các thừa số với các hệ số tương ứng pµ1 và

pµ2 chúng tôi thu được hai phương trình

2C00 + 2m21C11+ (m21 + m22)C12 = 1

2B

(12)

0 − f1C1, (2.27)2m21C12+ (m21 + m22)C22 = 1

2B

(12)

0 + B1(2)− f1C2 (2.28)Thực hiện các bước tính tương tự đối với tích p2νCµ, chúng tôi thu đượcthêm hai phương trình

2C00 + (m21 + m22)C12 + 2m22C22 = 1

2B

(12)

0 − f2C2, (2.29)(m21 + m22)C11 + 2m22C12 = 1

2B

(12)

0 + B1(1)− f2C1 (2.30)

PT (2.27) chỉ có các số hạng chứa phân kỳ là C00 và B0(12) Định nghĩaphần phân kỳ tương ứng là Div(C00) và Div(B0(12)) = ∆, thì chúngtôi có liên hệ tương ứng là Div(C00) = 14∆ Vì vậy trong PT (2.25)chứa d = 4 − 2 và C00 = 41 + (phần hữa hạn) sẽ cho kết quả dC00 =4C00 − 1/2 + O() PT (2.25) lúc này viết được như sau:

4C00+ p21C11 + (p21 + p22)C12 + p22C22 = B0(12)+ M12C0 + 1

2. (2.31)Cộng hai PT (2.28) và (2.30) chúng tôi tìm được:

C11+ 2C12+ C22 = B

(12)

m21 + m22 (2.32)Tương tự tổ hợp (2.27)+(2.29)-(2.31) cho kết quả:

m21C11 + (m21 + m22)C12+ m22C22 = −f1C1 − f2C2 − M12C0 − 1

2 (2.33)Thay PT (2.33) vào (2.31) chúng tôi tìm được biểu thức C00 cho bởi

PT (2.34)

Các hàm C11,12,21,22 tính được theo các hệ PT (2.27), (2.30); và (2.28),(2.29) Các kết quả cuối cùng là

−2m22 B

(12) 0

2.3.1 Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh

Xét trong chuẩn unitary, giản đồ 1 vòng cho đóng góp vào rã ei → ejγđược cho trong hình 1.1 Để phù hợp với qui ước hàm PV, chúng tôiđịnh nghĩa các xung lượng p1 ≡ pi và p2 ≡ pj, tương ứng với p21,2 = m21,2.Các qui ước viết gọn khác được hiểu như sau: M ≡ Mij, CL,R ≡ CL,Rij ,

DL,R ≡ DijL,R Biểu thức biên độ được tính theo đóng góp 3 giản đồ nhưsau:

Mij = M = M1 + M2 + M3 (2.39)Đóng góp vào biên độ tán xạ tương ứng với giản đồ 1 là:

ρ(k + p1)β(k + p2)α(k + p2)ν

m4 w

1

D0D1D2uj 6 k2PLui

D1D2uj 6 PLui+

+m1m2(2C1 + C2)uj 6 PRui+ m1(−2C1 − C2)(2p1.)ujPRui

o.Kết quả cuối cùng được viết theo hàm PV đã được định nghĩa trongphần trên

Nhận xét Tất cả các số hạng chứa mẫu số không có D0 đều không phụthuộc vào khối lượng các neutrino Khi đó tích phân tương ứng khôngphụ thuộc khối lượng neutrino Vì vậy các tích phần nằm ngoài tổng và

kµkν

D0D1D22(d − 2)[ujγµPLui]ν