Một số phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng để chứng minh tứ giác nội tiếp – hình học 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH DỄ VẬN DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP - HÌNH HỌC 9 Người thực hiện: Ng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH DỄ VẬN DỤNG

ĐỂ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP - HÌNH HỌC 9

Người thực hiện: Nguyễn Văn Hưng Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác:Trường PTDTBT THCS Giao Thiện SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 4

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Bộ môn Toán là một trong những môn học chủ lực nhất, được vận dụng

và phục vụ rộng rãi trong đời sống và khoa học

Học toán giúp hình thành ở học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, lôgic và tư duy cao…

Trong phân môn Hình học của Toán lớp 9, khi học về đường tròn thì chuyên đề tứ giác nội tiếp đóng vai trò quan trọng, là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm của phân môn này

Qua thời gian trực tiếp đứng lớp giảng dạy về nội dung tứ giác nội tiếp, tôi nhận thấy những vấn đề sau:

+ Sách giáo khoa đã liệt kê được bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp nhưng lại chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp cho học sinh

+ Học sinh chưa hiểu được cơ sở của các dấu hiệu nhận biết, nên còn lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Để giải quyết phần nào những vấn đề trên, tôi đã nghiên cứu, trao đổi để tìm ra những biện pháp khắc phục phù hợp, giúp các em dễ dàng hơn trong việc chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn Đó là lý do mà tôi chọn đề tài:

“Một số phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng để chứng minh tứ giác nội tiếp – Hình học 9”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Bài toán về chứng minh tứ giác nội tiếp căn đối với chương trình sách giáo khoa nhìn chung là không khó, nhưng đối với học sinh miền núi khi gặp bài tập dạng này phần đa các em không làm được Chính vì thế mà các em cần được trang bị thêm các kiến thức, phương pháp để giải từng dạng bài, nhằm giúp các

em có thể hiểu một cách sâu sắc hơn Vì vậy, qua sáng kiến kinh nghiệm này giúp học sinh trung học cơ sở hiểu và nắm được phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp giúp học sinh dễ vận dụng chứng minh tứ giác nội tiếp: Hình học lớp 9

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu và làm sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau đây:

a Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

Trong quá trình làm sáng kiến tôi có tham khảo các tài liệu bồi dưỡng và nâng cao Toán 9

b Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

Trong quá trình giảng dạy và tự bồi dưỡng kiến thức tôi nhận thấy có rất nhiều sách nâng cao, các bài tập có trong sách là các bài tập thuộc nhiều thể loại khác nhau nhưng lại không theo hệ thống, không phân loại rõ ràng Vì vậy tự nghiên cứu và giải các bài tập gặp rất nhiều khó khăn

Ngoài ra, việc tự bồi dưỡng nâng cao kiến thức của học sinh khi tham khảo sách cũng chưa đạt hiệu quả cao Do vậy tôi cho rằng cần phải có phương pháp

giải chung cho một loại toán, loại bài tập để giúp người dạy cũng như người học

có định hướng giải nhanh mà không phải tư duy nhiều

c Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

Với phương pháp này tôi có thể tiến hành dưới dạng kiểm tra với mục đích nắm bắt sự nhận thức kiến thức của học sinh và kỹ năng giải bài tập

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho nhiều ngành khác Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trường đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trường Đối với giáo viên dạy Toán là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn Để nâng cao chất lượng, toàn ngành giáo dục đã thực hiện dạy và học theo phương pháp đổi mới

Một trong những phương pháp để giúp học sinh học Toán tốt hơn (cụ thể

là phân môn Hình học 9) đó là khắc sâu sau khi học xong mỗi đơn vị kiến thức, tìm tòi những bài toán liên quan và sau đó phải hệ thống hóa các kiến thức đã học được

2.2 Thực trạng của vấn đề

a Thuận lợi:

Được sự quan tâm, chỉ đạo của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt là hoạt động chuyên môn Luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp dạy học đổi mới, sáng tạo nhất

Phần lớn là giáo viên trẻ, năng động, chịu tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu và chia sẻ kinh nghiệm lẫn nhau

Công nghệ thông tin phát triển nên việc tìm tòi kiến thức trên mạng internet dễ dàng và tiện lợi

b Khó khăn:

Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:

+ Điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường quá thiếu thốn

+ Phòng thư viện còn nghèo nàn nên việc tìm tòi sách đọc là một vấn đề hạn chế

+ Đặc biệt, một số học sinh có hoàn cảnh khó khăn Phụ huynh chưa thực

sự quan tâm đến việc học của các em

+ Khả năng tiếp thu kiến thức của các em không đồng đều

+ Học sinh luôn có tâm lý là “sợ” phân môn Hình học

c Số liệu thống kê:

Qua các năm giảng dạy trực tiếp cho học sinh, qua trắc nghiệm kiểm tra việc chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn của học sinh trong năm học

2017 – 2018, tôi đã ghi nhận lại được số liệu sau:

Lớp

Tổng số học sinh

Tiếp thu và vận dụng được

Chưa tiếp thu và chưa vận dụng được

Số lượng Tỉ lệ Số lượng Tỉ lệ

9A 30 13 43,33% 17 56,67%

2.3 Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2.3.1 Biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.

- Nghiên cứu tài liệu: SGK, SBT, sách tham khảo, tạp chí toán học, mạng internet, …

- Điều tra, so sánh, thống kê

- Nghiên cứu, kết hợp, trao đổi với đồng nghiệp để trau dồi kiến thức, đưa

ra phương pháp dạy học tốt nhất

2.3.2 Kiến thức cơ bản.

a Khái niệm tứ giác nội tiếp:

- Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó

b Định lý:

+ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180O

+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180O thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn

c Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

+Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180O

+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện +Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

+Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

2.3.3 Một số phương pháp cơ bản chứng minh tứ giác nội tiếp.

a) Phương pháp 1 Chứng minh tổng của hai góc đối diện trong một tứ

giác bằng 180 O

Phương pháp này, đơn giản, học sinh chỉ cần dựa vào định nghĩa để rút ra cách chứng minh.

B

A

D

C A C 180O (hoặc B D   180O)

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

C

D A

B

Trong trường hợp đặc biệt nếu A C   90O

thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD

Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD chính là trung điểm của đoạn thẳng BD

b) Phương pháp 2 Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong

tại đỉnh đối diện.

x C

D A

B

 

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Giả sử đã có A DCx 

Mà DCx và DCB là hai góc kề bù nên DCx DCB    180O

Từ đó suy ra A DCB   180O Khi đó, ta dựa vào phương pháp 1 để kết luận

tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Qua đó ta rút ra được phương pháp chứng minh thứ hai Hiển nhiên ngoài cặp góc này ta cũng có thể chứng minh cặp góc khác tương tự

Ở trường hợp này, nếu A DCx   90O thì BD cũng chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

c) Phương pháp 3 Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm.

Dựa theo định nghĩa về đường tròn thì đường tròn là tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước Vì vậy để chứng minh một tứ giác nội tiếp được đường tròn, ta chỉ cần chứng minh bốn đỉnh của tứ giác đó cách đều một điểm nào đó cho trước (nghĩa là điểm cách đều đó phải xác định được) Điểm đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác, khoảng cách từ điểm đó đến các đỉnh chính là bán kính của đường tròn này.

O

B

A

D

C OA = OB = OC = OD (= R)

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

O, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp

d) Phương pháp 4 Chứng minh hai đỉnh kề nhau của tứ giác nhìn cạnh

chứa hai đỉnh còn lại bởi hai góc có số đo bằng nhau.

C

D A

B

 D  D

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Giả sử đã có ABD  ACD  Mà AD cố định

 B, C nằm trên cung chứa góc α dựng trên đoạn AD (xem bài toán quỹ tích cung chứa góc)

Khi đó kết luận bốn đỉnh của tứ giác cùng nằm trên một đường tròn Tức là

tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

B A

D

C

Trong trường hợp đặc biệt nếu

 D  D 90O

AB AC  thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD

Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD chính là trung điểm của đoạn thẳng AD

e) Phương pháp 5 Chứng minh tích hai đoạn thẳng từ giao điểm hai

cạnh đối (hoặc hai đường chéo) của tứ giác đến hai đỉnh của cạnh này bằng tích của hai đoạn thẳng từ giao điểm đó đến hai đỉnh của cạnh kia.

- Trường hợp 1: M là giao điểm hai cạnh (kéo dài) của tứ giác:

M

B

D

MA MB = MC MD

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

Giả sử AB cắt CD tại M (như hình vẽ)

MA MB = MC MD

D

  (xem phần tỉ lệ thức – lớp 7) Xét hai tam giác MAC và MDB, có:

M là góc chung

D

M MB (cmt)

Suy ra MAC MDB (c.g.c) (xem phần chứng minh hai tam giác đồng dạng – lớp 8)

 D 

  (hai góc tương ứng)

Từ đó dựa vào phương pháp 4 ta kết luận được tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn Và qua đó ta đã chứng minh được phương pháp 5

- Trường hợp 2: M là giao điểm hai đường chéo của tứ giác:

1M

A

C

MA MC = MB MD

 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

MA MC = MB MD

D

1 2

M M (đối đỉnh)

 MAB MDC (c.g.c)

MAB MDC

  (hai góc tương ứng) Hay  BAC BDC 

Ta cũng kết luận được tứ giác ABCD nội tiếp

Trên đây tôi đã hệ thống lại một số phương pháp cơ bản dựa trên các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác nội tiếp

2.3.4 Một số ví dụ minh họa.

Trong các ví dụ này, tôi chỉ trình bày sơ đồ phân tích Phần chứng minh dựa trên sơ đồ này nên cho phép tôi không trình bày ở đây

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A Đường vuông góc với AB tại A cắt

đường thẳng BC tại D Kẻ DE  AC Gọi M là trung điểm của BC Hai đường thẳng AM và DE cắt nhau tại F Chứng minh các tứ giác MCEF và AMED nội tiếp được đường tròn Xác định tâm các đường tròn này

+ Chứng minh tứ giác MCEF là tứ giác nội tiếp.

O F

E

D

B

 Ở đây ta có M là trung điểm BC nên

AM chính là đường trung tuyến của tam giác ABC, mà tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AM cũng chính là đường cao của tam giác này

 Khi đó ta sẽ có AMC 90O hay

 90O

CMF 

M là trung điểm của BC

AM: đường trung tuyến của ABC ABC cân tại A

AM: đường cao của ABC

 90O

Tứ giácMCEF nội tiếp đường tròn ;

2

CF O

  (phương pháp 1)

+ Chứng minh tứ giác AMED là tứ giác nội tiếp.

O'

F

E

D M

C B

 Chứng minh như trên ta có

AM là đường cao của tam giác ABC

AM D 90O

AM: đường cao của ABC

 D 90O

 D  ED 90O

Tứ giác AMED nội tiếp đường tròn ' ; D

2

A O

  (phương pháp 4)

Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O Kẻ hai đường kính AB và CD vuông góc

với nhau Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC AM cắt CD tại E, DM cắt AB tại F Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

F

E

M

D

C

O

Lưu ý:

 Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau ta sẽ có bốn cung nhỏ AC, BC, AD và BD bằng nhau

  ; D  

2

(góc có đỉnh ở bên trong đường tròn)

 1s  s BD  

2

s 2

s 2

(góc nội tiếp)

tương tự

MB = MC = ME = MF

Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M (phương pháp 3)

Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O, dây cung BC Một điểm P nằm trên

đường tròn (P khác B và C) sao cho tiếp tuyến tại P của đường tròn cắt BC tại

A Kẻ PH vuông góc với AO (H thuộc AO) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp

m

H A

O

C B

P

Lưu ý:

 Ta nhận thấy rằng góc APB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BmP

s 2

Góc ACP là góc nội tiếp cũng chắn cung BmP

s 2

Vậy APB ACP 

 Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao cho tam giác AOP vuông tại P, đường cao PH ta được:

AP2 = AH AO

Tứ giác BCHO nội tiếp (phương pháp 5)



AB AC = AH AO





ABP APC

Ví dụ 4: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm

A và B Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt (O) và (O’) lần lượt tại các điểm C và D Lấy điểm M trên cung nhỏ BC Đường thẳng BM cắt (O’) tại

N, CM cắt DN tại P Chứng minh tứ giác ACPD nội tiếp

Lưu ý: do hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên các cung và các dây bằng nhau được xét trên cả hai đường tròn

Cách 1 Sử dụng phương pháp 2

m n

P

N D

O' O

A

M

Tứ giác ACPD nội tiếp (phương pháp 2)





AM AN (xét các cung nhỏ)



AM = AN



AMN cân tại A





 Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau Cách 2 Sử dụng phương pháp 4

n m

P

N D

A

M

Lưu ý:

 Góc AMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

 AMC 90O  AMP 90O

 Góc AND là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’)

 AND 90O

Tứ giác ACPD nội tiếp (phương pháp 4)



s 2

APCANM đ AM

s 2

ADCANM đ AnB



Tứ giác AMPN nội tiếp đường tròn đường kính AP (phương pháp 1)



AMP ANP   180O

 90O

ANP 

Cách 3 Sử dụng phương pháp 1

m n

P

N

D

O' O

A

M

Lưu ý:

Chứng minh như cách 2 để có tứ giác AMPN nội tiếp đường tròn đường kính AP

Ta cũng lưu ý rằng hai tam giác

có hai cặp góc bằng nhau thì cặp góc còn lại cũng bằng nhau

Tứ giác ACPD nội tiếp (phương pháp 1)



 D  D 180O

 D  180O



 1 s 2

CAB AMB

đ AmB





 1 s 2

ADB ANB

đ AnB





2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

Sau khi áp dụng nội dung kinh nghiệm nghiệm “Một số phương pháp giúp học

sinh dễ vận dụng để chứng minh tứ giác nội tiếp – Hình học 9”, học sinh biết

cách làm bài và trình bày bài tốt hơn, ít bị sai sót nhầm lẫn hơn mà trước đó học sinh không làm được hoặc làm được nhưng không được điểm tối đa của bài Mặt khác thông qua dạng toán này các em còn có kĩ năng làm các bài tập ở nội dung khác, thậm trí môn học khác, các em cũng có cái nhìn đầy đủ hơn, hoàn thiện hơn

Tôi đã áp dụng đề tài này ở khối lớp 9 trong năm học 2017 – 2018 Sau khi thực hiện giải pháp của đề tài, tôi thu được kết quả khá khả quan và đã thống

kê lại trong bảng sau:

Lớp

Tổng

số

học

sinh

Trước khi áp dụng Sau khi áp dụng Chứng minh

được tứ giác nội tiếp

Chưa chứng minh được tứ giác nội tiếp

Chứng minh được tứ giác nội tiếp

Chưa chứng minh được tứ giác nội tiếp

Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về các bài tập chứa căn bậc hai trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập

Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một

số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1.Kết luận.

- Cơ sở của từng phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã được nêu một cách rõ ràng Bên cạnh đó tôi cũng đã đưa ra các trường hợp đặc biệt trong mỗi phương pháp giúp học sinh có cách nhìn bao quát nhất về tứ giác nội tiếp

- Học sinh nhận biết và chứng minh tứ giác nội tiếp tốt hơn nhờ các phương pháp để chứng minh đã được liệt kê cụ thể và sắp xếp có hệ thống

- Để chứng minh một tứ giác nội tiếp không chỉ đơn thuần chứng minh được ngay nhờ những phương pháp trên Có những bài cần chứng minh tứ giác khác nội tiếp rồi khai thác kết quả đó để giải quyết yêu cầu của đề bài

- Cùng một bài tập, các em có thể chứng minh bằng nhiều cách khác nhau, và lựa chọn cách tối ưu nhất để giải quyết

3.2.Kiến nghị.

Để thực hiện tốt các giải pháp của đề tài này, tôi mạnh dạn đưa ra một số khuyến nghị như sau:

- Đối với giáo viên: