10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT10 chuyên đề tổ hợp, xác suất bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

1.1.3 Tập con Error! Bookmark not defined 1.1.4 Tập hợp bằng nhau Error! Bookmark not defined 1.1.5 Giao của hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.6 Hợp của hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.7 Hiệu của hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.8 Phần bù của hai tập hợp Error! Bookmark not defined 1.1.9 Tích Đề - C{c Error! Bookmark not defined 1.1.10.Một số tính chất Error! Bookmark not defined

1.2 B|i tập Error! Bookmark not defined 1.2.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 1.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined

1.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 2 Phép đếm Error! Bookmark not defined

2.1 C{c nguyên lí cơ bản Error! Bookmark not defined

2.2 Tổ hợp – chỉnh hợp – ho{n vị Error! Bookmark not defined

2.3 B|i tập Error! Bookmark not defined

2.4 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 3 Nhị thức Newton Error! Bookmark not defined 3.1.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 3.1.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined

3.2 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 4 Nguyên tắc Dirichlet Error! Bookmark not defined

4.1 Nộ dung nguyên tắc Dirichlet Error! Bookmark not defined

4.2 B|i tập Error! Bookmark not defined 4.2.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 4.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined

4.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 5 Nguyên tắc cực hạn Error! Bookmark not defined

5.1 Nguyên tắc cực hạn Error! Bookmark not defined

5.2 B|i tập Error! Bookmark not defined 5.2.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 5.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined 5.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 6 Bất biến Error! Bookmark not defined

6.1 Thuật to{n Error! Bookmark not defined 6.1.1 Định nghĩa thuật to{n Error! Bookmark not defined 6.1.2 C{c b|i to{n về thuật to{n Error! Bookmark not defined

6.2.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined

6.3 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 7 Đơn biến và bài toán hội tụ Error! Bookmark not defined

7.1 H|m đơn biến Error! Bookmark not defined

7.2 B|i to{n hội tụ v| b|i to{n ph}n kì Error! Bookmark not defined

7.3 B|i tập Error! Bookmark not defined 7.3.1 B|i tập luyện tập Error! Bookmark not defined 7.3.2 B|i tập tự giải Error! Bookmark not defined

7.4 Hướng dẫn giải b|i tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 8 Một số phương pháp đếm nâng cao Error! Bookmark not defined

8.1 Phương ph{p truy hồi Error! Bookmark not defined

8.2 Phương ph{p sử dụng song {nh Error! Bookmark not defined 8.3 Phương pháp quỹ đạo Error! Bookmark not defined 8.4 Phương pháp sử dụng đa thức và số phức Error! Bookmark not defined 8.5 Bài tập Error! Bookmark not defined 8.5.1 Bài tập luyện tập Error! Bookmark not defined 8.5.2 Bài tập tự giải Error! Bookmark not defined

8.6 Hướng dẫn giải bài tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 9 Hàm sinh và tổ hợp Error! Bookmark not defined 9.1 Khái niệm hàm sinh Error! Bookmark not defined 9.2 Khai triển Taylor Error! Bookmark not defined 9.3 Hệ số nhị thức mở rộng Error! Bookmark not defined 9.4 Ứng dụng của hàm sinh Error! Bookmark not defined 9.5 Bài tập Error! Bookmark not defined 9.5.1 Bài tập luyện tập Error! Bookmark not defined 9.5.2 Bài tập tự giải Error! Bookmark not defined 9.6 Hướng dẫn giải bài tập Error! Bookmark not defined Chuyên đề 10 Hình lồi và định lí Helly Error! Bookmark not defined 10.1 Hình lồi Error! Bookmark not defined 10.2 Định lí Helly Error! Bookmark not defined 10.3 Bài tập Error! Bookmark not defined 10.3.1 Bài tập luyện tập Error! Bookmark not defined 10.3.2 Bài tập tự giải Error! Bookmark not defined 10.2 Hướng dẫn giải bài tập Error! Bookmark not defined Bài toán tổng hợp……… 7 Tài liệu tham khảo………7

Lời nói đầu

To{n học l| môn học quan trọng trong chương trình phổ thông ở nước ta cũng như c{c nước kh{c trên thế giới Việc giảng dạy v| học tập môn To{n trong chương trình phổ thông không chỉ trang bị cho học sinh những kiến thức cụ thể {p dụng trong cuộc sống v| trong c{c môn học kh{c m| quan trọng hơn l| rèn luyện cho c{c em phương ph{p tư duy loogic, c{c kĩ năng l|m việc hiệu quả, khả năng độc lập v| năng lực s{ng tạo Điều đó sẽ giúp ích cho c{c em trong cả

cuộc đời

Việc ph{t triển v| bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn To{n luôn l| mối quan hệ lớn của mỗi quốc gia Ở nước ta, ngay từ những năm 60 của thế kỉ XX,c{c lớp to{n đặc biệt đã được th|nh

lập nhằm bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu to{n học,phục vụ cho đất nước

Bộ s{ch Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông gồm c{c chuyên đề tự

chọn đặc sắc theo chương trình d|nh cho chuyên To{n m| Bộ gi{o dục v| Đ|o tạo ban h|nh Bộ s{ch l| kết tinh từ kinh nghiệm giảng dạy v| bồi dưỡng học sinh năng khiếu của c{c Thầy Cô gi{o ở trường THPT Chuyên Đại học Sư Phạm H| Nội, Trường THPT Chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia H| Nội v| Trường THPT Chuyên Bắc Giang,nhằm cung cấp cho c{c em học sinh một số kiến thức bổ sung,giúp c{c em hiểu s}u hơn s{ch gi{o khoa, chuẩn

bị cho c{c kì thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh v|o đại học v| thi học sinh giỏi THPT Bộ s{ch

gồm năm cuốn :

Một số chuyên đề Hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ;

Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ;

Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ;

Một số chuyên đề Giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT ;

Một số chuyên đề Hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

Cuốn s{ch Một số chuyên đề Toán Tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi THPT gồm 10 chuyên đề để

giảng dạy v| ph}n B|i tập tổng hợp C{c chuyên đề được c{c t{c giả sử dụng để giảng dạy chuyên đề cho học sinh lớp 10 to{n v| bồi dưỡng cho đội tuyển to{n của Trường THPT Chuyên Đại học Sư Phạm hằng năm Trong mỗi chuyên đề, chúng tôi đều nhắc lại những phần lí thuyết thiết yếu, bổ sung những kiến thức không có hoặc được nhắc đến một c{ch sơ s|i trong c{c s{ch gi{o khoa phổ thông Tiếp theo l| l| c{c ví dụ minh họa cho phần lí thuyết Chúng tôi cố gắng chọn lọc c{c ví dụ điển hình, dễ hiểu v| đặc trưng nhất cho phần lí thuyết đó Phần b|i tập được chia th|nh hai phần : B|i tập luyện tập, có hướng dẫn giải hoặc có lời giải chi tiết để c{c bạn có thể so s{nh, đối chiếu, rút kinh nghiệm v| củng cố, đ|o s}u lí thuyết B|i tập tự giải, gồm

một số b|i to{n tương tự như trong phần ví dụ v| trong phần b|i tập luyện tập, ngo|i ra còn có những b|i to{n khó v| rất khó d|nh cho những bạn có khả năng có thể tìm hiểu s}u hơn v| có

điều kiện ph{t triển tốt nhất khả năng của mình;

Phần B|i tập tổng hợp gồm những b|i to{n hay được chọn lọc, đòi hỏi những thao t{c tư duy phức hợp , những quan s{t tinh tế, khả năng ph{n đo{n tốt v| kĩ năng xử lí vấn đề cao để c{c bạn thử sức Qua đó, chúng tôi hi vọng c{c bạn phần n|o có thể thấy đượ vẻ đẹp của To{n học v| những thú vị của việc chinh phục c{c b|i to{n khó, từ đó tăng thêm tình yêu với môn thể

thao trí tuệ bậc nhất n|y

Cuốn s{ch sẽ l| t|i liệu bổ ích cho c{c bạn học sinh yêu thích môn To{n, tự bồi dưỡng kiến thức môn to{n v| cho c{c bạn ôn luyện chuẩn bị cho c{c kì thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học v| c{c

kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, th|nh phố, quốc gia v| cả quốc tế nữa Cuốn s{ch cũng sẽ l| t|i

liệu bổ ích cho c{c thầy cô gi{o trong việc định hướng v| bồi dưỡng học sinh giỏi THPT

Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của độc giả để bộ s{ch được ho|n thiện hơn Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về Ban To{n – Tin Nh| xuất bản Gi{o dục Việt Nam ,187B Giảng

Võ,H| Nội

CÁC TÁC GIẢ

c{ch s{ng sủa, giúp cho việc tiếp cận c{c b|i to{n trở nên đơn giản hơn

Trong phần n|y chúng tôi nhắc lại một số kh{i niệm, tính chất v| quy tắc lí thuyết của tập hợp,đồng thởi đưa ra hệ thống b|i tập củng cố c{c kh{i niệm, tính chất v| c{c quy tắc đó

nhằm giúp ta tiếp c}n c{c chuyên đề sau hiệu quả, dễ d|ng

1.1 Các khái niệm cơ bản

Cho tập A Một đối tượng x được nói đến trong A gọi l| một phần tử của A Kí hiệu : xA

Quy ước : Tập rỗng  l| tập hợp không có phần tử n|o cả Tập  l| duy nhất

Khi tập A có hữu hạn phần tử thì số phần tử của A kí hiệu l| A hay cardA (cardinal)

1.1.2 Các cách xác định tập hợp

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp

Ví dụ Tập hợp c{c số tự nhiên nhỏ hơn 10 l| :

 

T= 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9

Quy ước,viết T a a1, 2, ,a n thì a i a j, i j

b) Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp

n i i



 Như vậy

AB C AC  BC

AB C AC  BC

(g) A A\  ; A\ A

(h) Công thức D’morgan:

xB v| xA ,i  i 1,n

hay

xB v|

1A

n i i

xB v|

1

n i i

Lời giải Để chứng minh công thức tên ta sửa dụng phương ph{p liệt kê, xuất ph{t từ phần giao

của hai tập hợp A v| B Giả sử A B c c1; 2; ;c p v|

k

k i i i n i

 ;

x y a b

Lời giải Do c{c đội tượng trong A v| B không x{c định nên không thể xét tính chất của c{c

phần tử của hai tập n|y Để giải b|i to{n n|y ta sử dụng phương ph{p phản chứng Với giả

thiết phản chứng v| điều kiện ban đầu n|o đó ta sẽ liệt kê c{c phần tử thuộc A v| B

Giả sử phản chứng, không tồn tai hai phần tử x , y n|o thuộc cùng một tập sao cho

 ;

x y a b

Giả sử được 1 A , ta có

1 a , 1 b B Suy ra

tr{i với giả thiết ,A B l| hai tập rời nhau

Ví dụ 4 (MOSP – 1997) Chia tập c{c số nguyên dương  th|nh hai tập rời nhau A v| B Chừng minh rằng với mọi số nguyên dương n, tồn tại c{c số nguyên dương a b, kh{c nhau, lớn hơn n sao cho

a b a b; ;   A hoặc a b a b; ;  B

Tương tự như ví dụ 3, để giải b|i to{n n|y ta sử dụng phương ph{p phản chứng

Lời giải 1 Nếu một trong hai tập A B, chứa ít hơn 2 phần tử lớn hơn n thì b|i to{n hiển nhiên đúng Giả sử mỗi tập đều chứa không ít hơn 2 phẩn tử lớn hơn n v| không có hai phần tử

,

a bn n|o thỏa mãn

a b a b; ;   A hoặc a b a b; ;  B Xét

,

a bA v| c d, B a b c d, , , n Khi đó

Trường hợp 1 A  : Gọi m l| phần tử lớn nhất của A thì

Do đó 2 ,m am a, 2mA, vô lí

Ví dụ 5 Cho tập X 1; 2;3; ;15 v| M l| tập con của X sao cho tích của ba phần tử kh{c

nhau bất kì của M đều không l| số chính phương

phần tử Khi đó, ta có 10 M Do đó, trong mỗi tập

3 Cho c{c tập A A1, 2, , An sao cho A i  A j, i j Chứng minh rằng có ít nhất một tập hợp

i

A không chứa tập n|o trong c{c tập còn lại

4 Cho tập hợp S thỏa mãn c{c tính chất sau:

n k n k

7 Chứng minh rằng, có thể chia tập c{c số tự nhiên th|nh hai tập con A B, có cùng lực

lượng sao cho mọi số n tồn tại duy nhất cặp số  a b,  A B n:  a b

8 (CHDC Đức, 1970) Cho tập M có 22222 phần tử Hỏi M có hay không 50 tập con , 1,50

i

M i thỏa mãn c{c điều kiện sau:

a) Mỗi phần tử của Mđều l| phần tử của ít nhất một trong c{c tập con M i

b) Mỗi tập M i đều có đúng 1111 phần tử

c) Với hai tập M i, M j bất kỳ i j, giao M iM j có đúng 22 phần tử

9 Xét tập X 1; 2;3; ;16  Tập con A của X gọi l| có tính chất T nếu A không chưa ba phần

tử n|o đôi một nguyên tố cùng nhau

a) Hãy chỉ ra một tập con A của X gồm 10 phần tử v| có tính chất T ?

b) Hãy tìm ra số phần tử lớn nhất của tập con A của X có tính chất T?

10 Cho n l| số nguyên dương, n  5 Tập X 1; 2;3; ; ngọi l| có tính chất T nếu có thể chia

X th|nh hai tập con rời nhau A, B kh{c rỗng sao cho với ba phần tử bất kì thuộc cùng một tập thì tích của hai phần tử trong ba phần tử đó kh{c phần tử trong ba phần tử đó kh{c phần tử còn lại Chẳng hạn, khi n6 thì X có tính chất T v| A1; 2;3 , B 4,5, 6 

a) Chứng minh rằng với mọi 7 n 41, tập X có tính chất T

b) Chứng minh rằng với mọi 42 n 47, tập X vẫn có tính chất T

c) Hãy x{c định n lớn nhất sao cho tập X có tính chất T ?

11 Cho tập hợp A1; 2;3; ;3n n2 

a) Hãy chỉ ra một tập con B của A có 2n

phần tử sao cho không có ba phần tử n|o của B lập th|nh một cấp số cộng khi n  2

b) Chứng minh rằng: với mọi n2, tồn tại tập con B của A có 2 n

phần tử sao cho không có ba phần tử n|o của tậpBlập th|nh cấp số cộng

12 Cho hai dãy tập hợp  A n v|  B n thỏa mãn:

13 Cho tập X 1; 2;3; ; 2009 v| hai tập con A, B có tổng số phần tử lớn hơn 2010 Chứng

minh rằng tồn tại ít nhất một phần tử của A v| một phần tử của B có tổng bằng 2010

14 Cho tập hữu hạn X Ta chọn ra 50 tập con A A1, 2, ,A50, mỗi tập đều chứa qu{ nửa số

phần tử của X Chứng minh rằng, tồn tại hai tập con A của X sao cho số phần tử của A

không vượt qu{ 5 v| A    A i , i 1,50

15 Một lớp học có số học sinh được xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50% Chứng minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loai Giỏi từ 2 môn trở lên (số học sinh của lớp không ít hơn 10 )

16 Cho n nguyên dương Xét tập

e Nếu a b a c   thì b c (luật giản ước)

Hãy x}y dựng phép to{n (*) khi n11 v| n12

18 (VMO-2005) Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học người ta thấy:

2 Cho tập X 1, 2,3, , 49  Tìm số k lớn nhất sao cho tồn tại tập con M của X có k phần tử v|

không chưa s{u số liền tiếp theo

3 Cho 2011 tập hợp A A1, 2, ,A2011 c{c số nguyên thỏa mãn c{c điều kiện sau:

5 Cho tập X gồm n phần tử Với mỗi cặp tập con A A1, 2 của X ta tính số phần tử của A1A2

Chứng minh rằng tổng của tất cả c{c số nhận được bằng 1

.4n

n 

6 Tìm tất cả c{c số tự nhiên n sao cho với mỗi tập hợp tùy ý có n phần tử, luôn tìm được 2004

tập con đôi một không rời nhau

7 Cho c{c số nguyên dương k v| n thỏa mãn 2

1

nk  k Xét n tập A A1, 2, ,A n thỏa mãn c{c điều kiện sau:

10 (MOSP-1999) Cho X l| tập gồm hữu hạn số dương v| A l| tập con của X Chứng minh

rằng tồn tại tập con B của X sao cho mỗi phần tử của A đều chia hết cho một số lẻ phần tử thuộc B

11 X{c định số nguyên dương k sao cho tập hợp

1990;1991; ;199 

có thể chia th|nh hai tập con rời nhau A v| B sao cho tổng c{c phần tử của A bằng tổng c{c phần tử của B

Đáp số: k 3(mod 4) hoặc k 0(mod 4)v| k 92.

12 (AIME 1989) Cho tập X 1, 2,3, ,1989  Xét tập SX thỏa mãn: không có hai phần tử n|o của S hơn kém nhau 4 hoặc 7 đơn vị Hỏi số phần tử lớn nhất của S l| bao nhiêu?

13 Cho n l| số nguyên dương Chia tập X 1; 2; ; 2n th|nh hai tập A, B rời nhau Giả sử c{c

Chứng minh rằng tồn tại tập con A của X sao cho A   2n v| A không chưa tập n|o trong

c{c tập A A1, 2, ,A m đã cho

16 Chứng minh rằng có thể chia tập c{c số nguyên dương *

th|nh hai tập rời nhau A v| B

sao cho A không chứa cấp số cộng gồm 3 phần tử n|o v| B không chứa cấp số cộng gồm vô hạn phần tử n|o

17 Cho n l| số nguyên dương Chia tập hợp X 1; 2; ;3n th|nh ba tập rời nhau A, B v| C, mỗi tập có n phần tử Chứng minh rằng có thể chọn ra từ mỗi tập một phần tử sao cho trong ba

của S có tổng vượt qu{ m

1.3 Hướng dẫn giải bài tập

1 a) Xét x A B A/ , ta có

Nếu xA thì x A B Nếu xB A\ thì xB nên x A B

Trong cả hai trường hơp ta đều có x A B Do đó

A B A  A B  1

Xét x A B, ta có

xA hoặc xB Nếu xA thì x A B A\  Nếu xA thì do xB nên xB A\ 

Suy ra, có nhiều hơn n tập hợp A i, vô lí

4 Ta có 2 3S nên  2

2 3  5 2 6S Suy ra 2 6S v| 2 6 2 34 36 2S

 Khi đó, xQ H, H H k Suy ra, không có k tập n|o cùng chứa X v| như

vậy có ít nhất nk1 tập không chứa x

  nêu HH*  Do đó, tồn tại i H H* hay X i  X

6 Giả sử phản chứng, không có tập n|o chứa ba số lập th|nh một cấp số cộng Giả sử được

tr{i với giả thiết M 22222

9 a) Để chỉ ra tập con A của X gồm 10 phần tử có tính chất T , đầu tiên ta chọn 8 phần tử chẵn: 2; 4;6; ;16 B}y giờ chỉ việc chọn hai phần tử lẻ sao cho chúng không nguyên tố cùng nhau (chẳng hạn 3 v| 9) ta được tập A thỏa mãn

b) Giả sử t}m A có tính chất X Để đ{nh gi{ số phần tử của A, trước tiên ta liệt kê c{c phần tử

của X đôi một nguyên tố cùng nhau:

2;3; 4;5;7

A , B6;8;9;10; ; 47 c) Xét n48 Giả sử được 2A Ta xét c{c trường hợp

Trường hợp 1 C{c phần tử 3; 4 thuộc A Khi đó: 6;8;12B Nếu n96 thì 48;72;96A Suy ra

2; 48;96A, vô lí Do đó, n95

Trường hợp 2 C{c phần tử 3; 4 thuộc B Khi đó: 12A v| 6B Do 4;6B nên 24A Suy ra

2;12; 24A, vô lí

Trường hợp 3 C{c phần tử 3A, 4B Khi đó: 6B, 24A, 48A Suy ra 2; 24; 48A, vô lí

Trường hợp 4 C{c phần tử 3B, 4A Khi đó: 8B, 24A, 6B, 48B Suy ra 6;8; 48B, vô

2k phần tử thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

 | ,  | .

kX  kx xX X k x k x X Bằng qui nạp ta chứng minh được với mọi n2 ta có:

V| 1B2n1 Từ đó suy ra điều phải chứng minh

13 Gỉa sử không có hai phần tử n|o thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Gỉa sử

14 Gỉa sử X n. Tổng số phần tử của 50 tập con A i lớn hơn 25n nên tồn tại một phần tử a

thuộc ít nhất 26 tập, chẳng hạn l| A1, ,A26 Xét 24 tập còn lại ta suy ra tồn tại một phần

tử b thuộc ít nhất 13 tập, chẳng hạn A27, ,A39 Xét 11 tập còn lại ta suy ra tồn tại một

phần tử c thuộc ít nhất 6 tập, chẳng hạn A40, ,A45 Xét 5 tập còn lại ta suy ra tồn tại một phần tử d thuộc ít nhất 3 tập, chẳng hạn A46, ,A48 Xét hai tập còn lại ta suy ra tồn

tại một phần tử e thuộc ít nhất hai tập, chẳng hạn l| A49 v| A50 Dễ d|ng thấy tập con

Trường hợp 1 Tập A1A2 có không ít hơn 3 phần tử, ta có đpcm

Trường hợp 2 Tập A1A2 chỉ có 1 phần tử A Số phần tử còn lại của A1A2 (không kể A ) l|:

ta có điều phải chứng minh

Trường hợp 3 Tập A1A2 có 2 phần tử Xét tương tự trường hợp trên

Do 1 a 12 v| 1 b 12 nên c0 Do đó 1 c 12 hay cS12 Dễ d|ng kiểm tra phép to{n

 * x{c định như trên thỏa mãn

Xét n11 Ta x}y dựng {nh xạ f từ tập S 1; 2; ;11 lên tập T 0;1; 2; ;10 như sau:

Dễ thấy phép to{n  * được x}y dựng như trên tồn tại v| thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

Bạn đọc hãy lí giải c{ch x}y dựng h|m f nói trên

18 Kí hiệu , , ,A B C D tương ứng l| tập hợp c{c học sinh giỏi To{n, Vật lí, Văn v| Lịch sử Ta

S S     A B B C C D  DA Hay

12

S S      A B B C C D DA  1 Gỉa sử không có học sinh n|o đạt điểm giởi ở cả bốn môn Khi đó

A  C hoặc B  D Không mất tính tổng qu{t ta có thể giả sử A  C Khi đó:

   

    Suy ra

S B  D

Để ý rằng

12

B  D  A    B B C C D  DA Hay

 

1

,2

S  A    B B C C D  DA Tr{i với  1

Chuyên đề 2

Phép đếm

Phép đếm có vai trò rất quan trọng trong đời sống cũng như trong khoa học Trong đời sống,

h|ng ng|y ta thường xuyên phải đếm c{c đối tượng n|o đó v| vì thế phép đếm dường như qu{ quen thuộc v| không có gì phải b|n đến Tuy nhiên, trong c{c kì thi đại học cũng như c{c kì thi học sinh giỏi, b|i to{n đếm g}y không ít khó khăn cho c{c thí sinh Ở đó, ta bắt gặp những b|i to{n đếm thiếu v| có cả những b|i to{n đếm thừa

Do đó, nếu công việc X có hai phương {n thực hiện l| , A B v| A có a c{ch thực hiện, B có b

c{ch thực hiện thì số c{ch thực hiện công việc X l| x a b

Tổng quát: Cho A A1, 2, ,A n l| c{c tập rời nhau Khi đó,

Do đó,nếu công việc X phải lần lượt thực hiện qua hai giai đoạn A v| B v| giai đoạn A có a

c{ch thực hiện, giai đoạn B có b c{ch thực hiện thì số c{ch thực hiện công việc X l| xab

Tổng quát: Cho n tập hợp A A1, 2, ,A n n 2  Khi đó

P X l| tập bao gồm tất cả c{c tập con của X , M l| tập c{c tập con B của X sao cho

B  A Khi đó, P X \M l| tập c{c tập con B của X m| B  A hay BX A\ Suy ra P X \M P X \ A  Do đó     2009 2009 70 2009 1939

Lời giải Kí hiệu A i 0;1; 2; ;i,i1, n Mỗi ước số a của A có dạng 1 2

1x 2x x n

n

a p p p , trong đó

1005 670 402 287 335 134 57 143 210 96 67 47 28 19 9

1542

Ví dụ 4 Trong một đề thi chọn đội tuyển to{n quốc gia có ba c}u: một c}u về số học, một c}u về

đại số v| một c}u về hình học Trong số 40 thí sinh dự thi có 25 thí sinh l|m được c}u số học,

30 thí sinh l|m được c}u đại số v| 15 thí sinh l|m được c}u hình học Ngo|i ta, số thí sinh l|m được cả hai c}u số học v| đại số l| 20, số thí sinh l|m được cả hai c}u số học v| hình học l| 5,

số thí sinh l|m được cả hai c}u đại số v| hình học l| 10 Biết rằng không có thí sinh không l|m được c}u n|o Hỏi có bao nhiêu thí sinh l|m được cả ba c}u?

Lời giải Gọi , , A B C tương ứng l| tập hợp c{c thí sinh l|m được c}u số học, đại số v| hình học Theo giả thiết ta có

Vậy có 5 học sinh l|m được cả ba c}u

n C

n A

n k





3 Hoán vị

Cho tập X gồm n phần tử n1  Mỗi c{ch sắp xếp n phần tử n|y theo một thứ tự n|o đó được gọi l| một ho{n vị của n phần tử Số c{c ho{n vị của n phần tử l| P n n!.

Ví dụ 1 Cho đa gi{c đều A A1 2 A2n nội tiếp đường tròn  O n2  Hỏi

a) Số tam gi{c có ba đỉnh l| ba trong số 2n đỉnh của đa gi{c đã cho?

b) Số hình chữ nhật có bốn đỉnh l| bốn trong số 2n đỉnh của đa gi{c đã cho?

Lời giải

a) Ba đỉnh bất kì của đa gi{c đã cho tạo th|nh một tam gi{c Mỗi bộ ba đỉnh của đa gi{c đã cho l| một tổ hợp chập 3 của 2n phần tử Số tam gi{c có 3 đỉnh l| 3 trong số 2n đỉnh của đa gi{c đã cho l|

 

    

3 2

b) Mỗi đường chéo của hình chữ nhật đi qua t}m O của đường tròn ta gọi l| đường chéo

lớn Có tất cả n đường chéo lớn Số hình chữu nhật có bốn đỉnh l| bốn trong số 2n đỉnh của đa gi{c đã cho bằng số cặp đường chéo lớn v| bằng

n



Ví dụ 2 Từ c{c chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6 ta lập c{c số, mỗi số có 5 chữ số kh{c nhau Hỏi

a) Lập được bao nhiêu số?

b) Lập được bao nhiêu số chẵn?

Lời giải

a) Gỉa sử lập được số Aa a a a a1 2 3 4 5 có 5 chữ số kh{c nhau Ta có hai c{ch đếm số A :

C{ch 1 Chọn a1 trước rồi chọn bộ a a a a2; 3; 4; 5 Số c{ch chọn a1 l| 6 Với mỗi c{ch chọn a1 thì

a a a a2; 3; 4; 5 l| một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số còn lại Do đó, số số lập được l|

Nếu a1 chẵn thì a10 nên a1 có 3 c{ch chọn Khi đó a5 có 4 c{ch chọn v| a a a2; 3; 4

Số c{ch sắp xếp cần tìm l|: P10 10! 3628800

b) Đầu tiên ta chọn ra 5 chỗ để xếp c{c học sinh nam: có hai c{ch

Với mỗi c{ch chọn 5 chỗ để xếp 5 học sinh nam có 5! c{ch xếp học sinh nam v| 5! c{ch xếp học sinh nữ

Vậy số c{ch xếp 10 học sinh thỏa mãn yêu cầu b|i to{n l|: 2.5!.5! 28800

Ví dụ 4: Cho n k, l| c{c số nguyên dương v| k n Xét tập X 1; 2;3; ; 2n Hỏi có bao nhiêu

ho{n vị x x1; 2; ;x2n của tập X sao cho trong đó hai phần tử k v| k n đứng ở hai

vị trí kề nhau?

Lời giải

Ta xem mỗi cặp hai phần tử k n k;   v| n k k ;  l| một phần tử

Đặt ak n k;  , bn k k ;  v| AX\k n k;    a , BX\k n k;    b Gọi S X  l| số ho{n vị của tập X trong đó hai phần tử k v| k n đứng kề nhau,

3 người cần cả nam v| nữ, cần có car nh| to{n học v| nh| vật lý Hỏi có bao nhiêu c{ch?

Bài 2: Một lớp có 10 học sinh nam v| 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 em đi dự trại hè, trong

đó ít nhất 1 học sinh nam v| ít nhất 1 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu c{ch?

chọn ra 4 viên bi từ hộp đó sao cho trong số 4 viên được chọn không có đủ cả ba m|u Hỏi có bao nhiêu c{ch?

sinh lớp A, 4 học sinh lớp B v| 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi l|m nhiệm

vụ sao cho 4 học sinh n|y thuộc không qu{ 2 trong 3 lớp nói trên Hỏi có bao nhiêu c{ch?

tổng của tất cả c{c số tự nhiên đó

nhau v| tổng c{c chữ số h|ng chục, h|ng tram, h|ng nghìn bằng 8 ?

chẵn n|o đứng cạnh nhau?

ngồi cho 6 hoc sinh trường A v| 6 học sinh trường B v|o b|n nói trên Hỏi có bao nhiêu c{ch xếp chỗ trong mỗi trường hợp sau:

a) Hai học sinh bất kì ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì kh{c trường với nhau? b) Hai học sinh bất kì ngồi đối diện nhau thì kh{c trường với nhau?

Bài 10: Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho: a b c d   e

Bài 11: Cho tập X 0;1; 2;3; 4;5 Hỏi từ tập X ta lập được bao nhiêu số tự nhiên abcdef

gồm 6 chữ số kh{c nhau thỏa mãn d     e f a b c 1?

a) Có bao nhiêu khả năng trong số 15 đại biểu đó có ít nhất một người ngồi không

đúng chỗ của mình như ban tổ chức đã sắp xếp?

b) Hỏi có bao nhiêu khả năng tròn số 15 đại biểu đó không có người n|o ngồi đúng

chỗ của mình như ban tổ chức đã sắp xếp?

học Trong số 60 thí sinh dự thi có 50 thí sinh giải được c}u về số học, 40 thí sinh giải được cầu đại số v| 30 thí sinh giải được c}u hình học Ngo|i ra, số thí sinh giải được ít nhất một trong hai c}u số học v| đại số l| 55 ; số thí sinh giải được ít nhất một trong hai c}u đại số v| hình học l| 50 , số thí sinh giải ddược ít nhất một trong hai c}u số học v| hình học l| 45 Biết rằng có 15 thí sinh giải được cả ba c}u Hỏi có bao nhiêu thí sinh không giải được c}u n|o?

Bài 15: Xét bảng ô vuông 4*4 Người ta điềm v|o mỗi ô của bảng một tỏng hai số 1 hoặc 1

sao cho tổng c{c số trong mỗi h|ng v| tổng c{c số trong mỗi cột bằng 0 Hỏi có bao nhiêu c{ch?

Bài 16: (IMO 1989) Cho n l| số nguyên dương Một ho{n vị x x1; 2; ;x2n của tập

1; 2;3 ; 2n được gọi l| có tính chất T nếu tồn tại i1;2; ;2n1 sao cho x i x i1 n

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, số c{c ho{n vị có tính chất T lớn hơn số ho{n vị không có tính chất T

2.3.2 Bài tập tự giải

Bài 1: Cho hai đường thẳng song song d1 v| d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm ph}n biệt,

trên đường thẳng d có n điểm ph}n biệt n2 Biết rằng có 2800 tam gi{c có c{c

đỉnh l| c{c điểm đã cho Tìm n?

Đáp số: n20

sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu c{ch?

Đáp số: 462 c{ch

c{ch ph}n công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam v| 1 nữ?

Đáp số: 207900 c{ch

nhóm đồng ca gồm 8 người, trong đó phải có ít nhất 3 nữ?

Đáp số: 3690 c{ch

Bài 5: Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ Cần chia lớp th|nh 3 tổ, tổ 1 có 10 học

sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh

nữ Hỏi có bao nhiêu c{ch?

Đáp số: 43068078553500 c{ch

khối 11 v| 5 em khối 10 Hỏi có ao nhiêu c{ch cử 8 em đi dự trại hè sao cho mỗi khối

có ít nhất 1 học sinh được chọn?

Đáp số: 41811 c{ch

Bài 7: Có 30 c}u hỏi kh{c nhau, trong đó có 5 c}u hỏi khó, 10 c}u hỏi trung bình v| 15 c}u

hỏi dễ Cần lập một đề kiểm tra gồm 5 c}u hỏi thuộc đủ ba loại v| số c}u hỏi dễ không

ít hơn 2 Hỏi có bao nhiêu c{ch?

Bài 11: Từ c{c số 0;1; 2;3; 4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số kh{c

nhau trong đó có 2 chữ số lẻ v| hai chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau?

Đáp số: 108 số

Bài 12: Từ c{c số 1; 2;3; 4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số kh{c

nhau v| tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối 1 đơn vị

Đáp số: 108 số

Đáp số: 321 số

Bài 14: Cho tập A gồm n phần tử n4 Biết số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần

số tập con gồm 2 phần tử của A Hãy x{c định k1; 2; ;n sao cho số tập con gồm

Phương {n thứ hai l| chọn 2 nh| to{n học nữ v| 1 nh| vật lý nam

Phương {n thứ ba l| chọn 1 nh| to{n học nữ v| 2 nh| vật lý nam

Cách 1 Giả sử lập được số Aa a a a a1 2 3 4 5 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

Vì a10 nên a1 có 4 c{ch chọn Với mỗi c{ch chọn a1 thì có 4 c{ch chọn a2

Bài 6: Giả sử lập được số A abcef thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Ta có: c d  e 8 nên chỉ có

thể xảy ra hai khả năng: c d e, , 1; 2;5 hoặc c d e, , 1;3; 4

Trường hợp 1: c d e, , 1; 2;5 thì a b f, , 3; 4;6;7;8;9 Số c{c số lập được trong trường hợp n|y l|: 3

Vậy số c{c số thỏa mãn yêu cầu b|i to{n l|: S  S1 S2 1440

Bài 7: Giả sử lập được số Aa a a a a1 2 3 4 5 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n

Chú ý: Có thể sử dụng đa thức, xem chuyên đề 7

Bài 8: Giả sử lập được số Aa a1 2 a10 thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: C{c chữ số chẵn v| lẻ đứng xen kẽ nhau:

Nếu chữ số a1 lẻ thì a a a a a1, 3, 5, 7, 9 l| một ho{n vị của bộ 1;3;5;7;9 v|

a a a a a2; 4; 6; 8; 10 l| một ho{n vị của bộ 0; 2; 4;6;8 Do đó lập được: 5!.5! 14400 số Nếu chữ số a1 chẵn thì a a a a a1, 3, 5, 7, 9 l| một ho{n vị của bộ 0; 2; 4;6;8, trong đó

1 0

a  v| a a a a a2; 4; 6; 8; 10 l| một ho{n vị của bộ 1;3;5;7;9 Do đó lập được: 4.4!.5! 11520 số

Như vậy, trong trường hợp 1, ta lập được tổng cộng: 14400 11520 25920  số

Trường hợp 2: Có hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau Dễ thấy, trong trường hợp n|y cặp

hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau l| duy nhất Nếu ta chập hai vị trí chứa hai chữ số lẻ đó l|m một thì ta được một số có 9 chữ số m| c{c chữ số chẵn, lẻ đứng xen kẽ nhau v| có