CHUYÊN ĐỀ VECTO CHO TOÁN HỌC VÀ ỨNG DỤNG

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu uuur AB.. Tính độ dài của các vectơ AB AD uuur uuur , uuur uuur AB AC , AB AD uuur uuur.. VẤN ĐỀ 2: Ch

Vec tơ và các phép toán

CHƯƠNG I VECTƠ

I VECTƠ

1 Các định nghĩa

 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB uuur

 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu uuur AB.

 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0r.

 Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

 Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu a b, ,

r r

để biểu diễn vectơ.

+ Qui ước: Vectơ 0r cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Mọi vectơ 0r đều bằng nhau.

2 Các phép toán trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB BC AC uuur uuur uuur 

 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB AD AC uuur uuur uuur 

 Tính chất: a b b a r  r r r; a b r    r c a r r b c r r; a r 0r a r

b) Hiệu của hai vectơ

 Vectơ đối của a r là vectơ b r

sao cho a b 0 r r r Kí hiệu vectơ đối của a r là ar.

 Vectơ đối của 0r là 0r.

 a b a r   r r  b r .

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB OA AB uuur uuur uuur 

c) Tích của một vectơ với một số

 Cho vectơ a r và số k  R ka r là một vectơ được xác định như sau:

+ ka r

cùng hướng với a r

nếu k  0, ka r ngược hướng với a r

nếu k < 0.

+ ka r  k a.r .

 Tính chất: k a brr ka kb r r; (k l a ka la )r r r; k la r ( )kl a r

ka 0 rr  k = 0 hoặc a 0r r.

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a va� r b a r r�0rcu� ng ph��ng�k R b ka� :r  r

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB kACuuur uuur

 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng

phương a b r,r và x r tuỳ ý Khi đó ! m, n  R: x ma nbr r r

Chú ý:

 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA MB 0uuur uuur r   OA OBuuur uuur 2OM uuur (O tuỳ ý).

Vectơ và các phép tốn

 Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm ABC  GA GB GC 0uuur uuur uuur r  

 OA OB OCuuur uuur uuur  3OG uuur (O tuỳ ý)

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ

Bài 1.Cho tứ giác ABCD Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0r) cĩ điểm đầu và

điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

Bài 2.Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,

BC Chứng minh: MP QN MQ PN uuur uuur uuur uuur ;  .

Bài 3.Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh:

a) AC BA AD uuur uur uuur  ; uuur uuur AB AD AC.

b) Nếu AB AD uuur uuur  CB CD uuur uuur thì ABCD là hình chữ nhật.

Bài 4 Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HC, ,

uuur uuur uuur

Bài 5.Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ AB AD uuur uuur , uuur uuur AB AC ,

AB AD

uuur uuur

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ

Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất của các hình.

Bài 1.Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

a) AB DC AC DB uuur uuur uuur uuur   b) AD BE CF uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AE BF CD  .

Bài 2.Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh:

a) Nếu AB CD uuur uuur thì AC BD uuur uuur b) AC BD AD BC uuur uuur uuur uuur   2IJ uur.

c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0 uuur uuur uuur uuur r   

d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và

BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm

Bài 3.Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:

AB AI J A DA DB

2(uuur uur uur uuur   ) 3 uuur.

Bài 4.Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuyến I là trung điểm của AM.

a) Chứng minh: IA IB IC2uur uur uur r  0.

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA OB OC2uuur uuur uuur  4OI uur.

Bài 5.Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G

a) Chứng minh AA uuur uuur uuuur�BB CC� �3GG uuuur�.

b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm

Bài 6.Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh:

AM 1AB 2AC

uuur uuur uuur

Vec tơ và các phép tốn

Bài 7.Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm

thuộc AC sao cho CN uuur2NA uuur K là trung điểm của MN Chứng minh:

a) AK 1AB 1AC

uuur uuur uuur

b) KD 1AB 1AC

uuur uuur uuur

Bài 8.Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng:

a) AM 1OB OA

2

uuur uuur uuur

b) BN 1OC OB

2

uuur uuur uuur

c) MN 1OC OB

2

uuuur uuur uuur

Bài 9.Cho hình bình hành ABCD, đặt AB a AD b uuurr,uuur r Gọi I là trung điểm của CD, G là

trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG uur uuur, theo a b r, r.

Bài 10. Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI Gọi F là

điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB=2FC

a, Tính AI, AF

uur uuur

theo AB AC,

uuur uuur

b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính uuurAG

theo uurAI

và uuurAF

Bài 11. Cho ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B

a) Chứng minh: HA uuur5HB HC uuur uuur r 0

b) Đặt AG a AH b uuur r,uuur r Tính uuur uuur AB AC, theo a va� r b r.

VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a uuur r

, trong đĩ O và a r

đã được xác định Ta thường sử dụng các tính chất về:

– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.

– Hình bình hành.

– Trung điểm của đoạn thẳng.

– Trọng tâm tam giác, …

Bài 1 Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0 uuur uuur uuur r  

Bài 2 Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng

AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI

a) Chứng minh: BN BA MB uuur uur uuur  .

b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI uuur uur uuur ND ; uuur uuur uuur NM BN NC  .

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD.

a) Chứng minh rằng: AB AC AD uuur uuur uuur  2AC uuur.

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM3uuur uuur uuur uuurAB AC AD  .

Bài 4.Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh: MN 1(AB DC)

2

uuuur uuur uuur

b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0 uuur uuur uuur uuur r    .

Bài 5.Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IB2uur3IC uur r0 b) J A J C J B CA2uur uur uur uur  

c) KA KB KC uuur uuur uuur  2BC uuur d) LA LB3uur uur 2LC uuur r0 .

Vectơ và các phép tốn

Bài 6 Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng

thức sau:

a) IA IB IC uur uur uur  4ID uur b) FA2uur2FB uuur3FC FD uuur uuur

c) KA4uuur3KB uuur2KC KD uuur uuur r 0

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau

 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức AB kAC uuur uuur , với k  0.

 Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức

OM ON uuur uuur , với O là một điểm nào đĩ hoặc MN 0 uuuur r

.

Bài 1.Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA uuur2OB uuur3OC uuur r0 Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng

hàng

Bài 2.Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB2IC

uur uur

, J C 1J A

2

 

uur uur

,

KA KB

uuur uuur

a) Tính IJ IK theo AB va� uur uur, uuur uuur AC

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB)

Bài 3 Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P

sao cho MB uuur3MC uuur , NA uuur3CN uuur , PA PB 0 uur uuur r 

a) Tính PM PN uuur uuur, theo AB AC uuur uuur, .

b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:

BH 1BC BK, 1BD

uuur uuur uuur uuur

Chứng minh: A, K, H thẳng hàng

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD

=

1

2 AF, AB =

1

2 AE Chứng minh:

a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng

b) Các tứ giác BDFC, DBEC là hình bình hành

Bài 6 Cho tam giác ABC Hai điểm I,J được xác định bởi IAuur3uur rIC0, uurJA2uurJB3uuur rJC0 Chứng minh ba điểm I,J,B thẳng hàng

Bài 7 Cho tam giác ABC, A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua C, C là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chung trọng tâm

Bài 8 Cho ABC Gọi A, B, C là các điểm định bởi: AB2 �3A C�0

uuur uuur r

, B C2uuur�3B A uuur r�0

,

C A C B

2uuur�3uuur r�0

Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ cùng trọng tâm

Bài 9 Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A, B, C sao cho:

AA BB CC

AB BC AC

Chứng minh các tam giác ABC và ABC cĩ chung trọng tâm

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Vec tơ và các phép tốn

Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đĩ để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết Chẳng hạn:

– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ.

– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi đường trịn cĩ tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng khơng đổi.

Bài 1.Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) uuur uuur MA MB  MA MB uuur uuur b) MA MB MC MB MC

3 2

uuur uuur uuur uuur uuur

c, MA BC uuur uuur  MA MB uuur uuur

Bài 2.Cho ABC

a) Xác định điểm I sao cho: IA3uur2IB IC uur uur r 0

b) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: HA3uuur2HB HC uuur uuur  HA HB uuur uuur .

c) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: KA KB KC2uuur uuur uuur  3KB KC uuur uuur

Bài 3.Cho ABC

a) Xác định điểm I sao cho: IA uur3IB uur2IC uur r0

b) Xác định điểm D sao cho: DB3uuur2DC uuur r0

c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA uuur3MB uuur2MC uuur  2MA MB MC uuur uuur uuur  .

II TOẠ ĐỘ

1 Trục toạ độ

 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ

đơn vị e r

Kí hiệu O e;r.

 Toạ độ của vectơ trên trục: u r( )a �u ae r .r

 Toạ độ của điểm trên trục: M k( )�OM k e uuur .r.

 Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a �AB ae uuur .r

Chú ý: + Nếu AB cu� uuur ng h��� ng v�� i e r thì AB AB .

Nếu AB ng��� uuur c h��� ng v�� i e r thì AB AB + Nếu A(a), B(b) thì AB b a  

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC  .

2 Hệ trục toạ độ

 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là

i j r r, O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.

 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u r( ; )x y �u xi y j r  .r .r

Vectơ và các phép tốn

 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y( ; )�OM xi y j uuur .r .r.

 Tính chất: Cho a r ( ; ),x y b r( ; ),x y k R� � � , A x y( ; ), ( ; ), ( ; )A A B x y B B C x y C C

:

+

x x

a b

y y

�



�

r r

+ a b r�r (x x y y��; ��) + ka r ( ; )kx ky + b r

cùng phương với a 0 r�r  k  R: x kx va�� y� ky



� �



(nếu x  0, y  0).

+ uuur AB(x Bx y A; By A).

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1:

( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA kMB uuur uuur)

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục

Bài 1.Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là 2 và 5

a) Tìm tọa độ của AB

uuur

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho MA2uuur5MB uuur r0.

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA2 3NB  1

Bài 2.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2), B(4), C(1), D(6)

a) Chứng minh rằng: AC AD AB

b) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh: IC ID IA  2.

c) Gọi J là trung điểm của CD Chứng minh: AC AD AB AJ  .

Bài 3.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý

a) Chứng minh: AB CD AC DB DA BC    0

b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL cĩ chung trung điểm

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục Bài 1.Viết tọa độ của các vectơ sau:

a) a 2i 3 ;j b 1i 5 ;j c 3 ;i d 2j

3

 r r r  r r  r r   r

Vec tơ và các phép tốn

b) a i 3 ;j b 1i j c; i 3j d; 4 ;j e 3i

 r r r  r r   r r r  r  r

Bài 2 Viết dưới dạng u xi r ryj r khi biết toạ độ của vectơ u r là:

a) u r (2; 3); u r  ( 1;4);u r (2;0);u r(0; 1) .

b) u r (1;3);u r(4; 1); u r (1;0);u r(0;0).

Bài 3 Cho a r (1; 2),b r (0;3) Tìm toạ độ của các vectơ sau:

a) x a b y a b z r r r; r r r;r 2a r3b r. b) u3a2 ;b v 2 b w; 4a12b

Bài 4 Cho a (2;0),b 1;1 ,c (4; 6)

2

r

a) Tìm toạ độ của vectơ d r 2a r3b r5c r.

b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc 0 r r rr.

c) Biểu diễn vectơ c r theo ,a b r r.

Bài 5 Cho hai điểm A(3; 5), (1;0) B .

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC uuur 3uuur AB.

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.

Bài 6 Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB

Bài 7 Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2)

a) Tìm toạ độ các vectơ AB AC BC uuur uuur uuur, , .

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM uuur2AB uuur3uuur AC.

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN uuur2BN uuur4CN uuur r0

Bài 8 Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2)

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C

b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành cĩ 3 đỉnh là A, B, C

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài 1 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường

trịn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH va� B C AB va��; � HC

uuur uuur

Bài 2.Cho ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuuur uuur uuur

Bài 3.Cho ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G

a) Chứng minh: AH 2AC 1AB

uuur uuur uuur

và CH 1AB AC

3

uuur uuur uuur

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB

uuuur uuur uuur

Vectơ và các phép tốn

Bài 4 Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh: AC BD AD BC uuur uuur uuur uuur   2uur IJ .

b) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0 uuur uuur uuur uuur r   

c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN cĩ chung trung điểm

Bài 5 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB uuuur uuur uuur  , ME MA BC uuur uuur uuur  ,

MF MB CA 

uuur uuur uur

Chứng minh các điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M

b) So sánh hai tổng vectơ: MA MB MC uuur uuur uuur  và MD ME MF uuuur uuur uuur 

Bài 6 Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM

a) Chứng minh: IA IB IC2uur uur uur r  0

b) Với điểm O bất kì, chứng minh: OA OB OC2uuur uuur uuur  4OI uur.

Bài 7 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC

Chứng minh:

a) AI2uur2uuur uuur AO AB . b) DG DA DB DC3uuur uuur uuur uuur   .

Bài 8 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.

a) Chứng minh: AI 1AD 2AB

2

uur uuur uuur

b) Chứng minh: OA OI OJ uuur uur uur r  0

c) Tìm điểm M thoả mãn: MA MB MC 0 uuur uuur uuur r  

Bài 9 Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD uuur2uuur AB,

AE 2AC

5



uuur uuur

a) Tính AG DE DG theo AB va�AC uuur uuur uuur, , uuur uuur.

b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng

2 5



uuur uuur

và M là trung điểm đoạn BD

a) Tính AM

uuur

theo AB va� uuur AC uuur.

b) AM cắt BC tại I Tính và

Bài 11. Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:

a) MA MB uuur uuur b) MA MB MC 0 uuur uuur uuur r  

c) MA MB uuur uuur  MA MB uuur uuur d) uuur uuur MA MB  uuur MA MB uuur

e) MA MB uuur uuur  MA MC uuur uuur

Bài 12.Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC va� uuur BD uuur theo các vectơ AB va� uuur AF uuur.

Bài 13 Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ

AM

uuur

theo các vectơ OA OB OC, ,

uuur uuur uuur

Bài 14 Cho ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

MB3MC NA, 3CN PA PB,  0

uuur uuur uuur uuur uur uuur r

a) Tính PM PN uuur uuur, theo uuur uuur AB AC, b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.

Bài 15 Cho ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Vec tơ và các phép toán

a) Chứng minh: uuur uuur uuuur r AA BB CC1 1 10

b) Đặt BB uuur1u CC r,uuuur1v r Tính BC CA AB uuur uur uuur, , theo u va� r v r.

Bài 16 Cho ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh

BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC

a) Tính AI AF theo AB va�AC uur uuur, uuur uuur.

b) Gọi G là trọng tâm ABC Tính AG theo AI va�AF

uuur uur uuur

Bài 17 Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 18 Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

Bài 19 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:

a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh

b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh

Bài 20 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung

điểm của MN Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA SB SC SD uur uur uur uuur   4SO uuur.

Bài 21 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB uuuur uuur uuur  , ME MA BC uuur uuur uuur  ,

MF MB CA 

uuur uuur uur

Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC va� uuur uuur uuur  MD ME MF uuuur uuur uuur  .

Bài 22 Cho tứ giác ABCD.

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0 uuur uuur uuur uuur r   

(G đgl trọng tâm của

tứ giác ABCD).

b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có: OG 1OA OB OC OD

4

uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 23 Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A, B, C, D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:

a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA, BB, CC, DD

b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác ABCD

Bài 24 Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao

cho các vectơ v r

đều bằng k MI.uuur với mọi điểm M:

a) v MA MB ruuur uuur 2MC uuur b) v MA MB ruuur uuur 2MC uuur

c) v MA MB MC MD ruuur uuur uuur uuuur   d) v r2MA uuur2MB MC uuur uuur 3MD uuuur.

Bài 25 Cho ABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IA IC uur3uur r0

,

J A2J B3J C0

uur uur uur r

Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng

Bài 26 Cho ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: MA3uuur4MB uuur r0, NB uuur3NC uuur r0

Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC

Bài 27 Cho ABC Lấy các điểm M N, P: MB uuur2uuur uuur MC NA 2uuur uur uuur r NC PA PB  0

a) Tính PM PN theo AB va� uuur uuur, uuur uuur AC. b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Vectơ và các phép toán

Bài 28 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: MA3uuur4MB uuur r0,

CN 1BC

2



uuur uuur

Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC

Bài 29 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho

BD DE EC 

uuur uuur uuur

a) Chứng minh AB AC AD AE uuur uuur uuur uuur   .

b) Tính AS AB AD AC AE theo AI uur uuur uuur uuur uuur    uur Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.

Bài 30 Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BC uuur uuur 2uuur AB,

CN xAC BC uuur uuur uuur .

a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.

b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính

IM

IN

Bài 31 Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0  �

a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0 uuur uuur uuur r

b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMC uuur uuur uuur uuur Chứng minh ba điểm

G, M, P thẳng hàng

Bài 32 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN uuuur2MA uuur3MB MC uuur uuur .

a) Tìm điểm I thoả mãn IA2uur3IB IC uur uur r 0

b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 33 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN uuuur2MA MB MC uuur uuur uuur  .

a) Tìm điểm I sao cho IA IB IC2uur uur uur r  0

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định

Bài 34 Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IA2uur3IB uur3BC uuur b) J A J B uur uur 2J C uur r0

c) KA KB KC BC uuur uuur uuur uuur   d) LA uur2LC AB uuur uuur 2uuur AC.

Bài 35 Cho ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IA IB IC BC uur uur uuur b) FA FB FC uur uuur uuur uuur uuur  AB AC

c) KA KB KC3uuur uuur uuur r  0

d) LA3uuuur2LB LC uur uuur r 0

Bài 36 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA3 2MB 1

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA3NB AB .

Bài 37 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC 0 uuur uuur uuur r  

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA2uuur3NB NC uuur uuur .