Phương pháp liao nghiên cứu sự ổn định của phương trình vi phân

Như ta đã biết, đối với hệ tuyến tính không ô-tô-nôm x0 = Atx, tính âmcủa số mũ Lyapunov không suy ra được tính ổn định của phương trình có nhiễu x0 = Atx + f t, x.. Trong chương 2 chúng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thanh Lam

PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thanh Lam

PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em có thểhoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia

Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viêntrong nhóm seminar Hệ động lực trường Khoa học tự nhiên đã có những góp

ý quý báu để em hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này

Hà Nội, ngày 05 tháng 10 năm 2017

Học viên

Vũ Thanh Lam

Mục lục

1.1 Các khái niệm ổn định 3

1.2 Số mũ Lyapunov và tính chính quy 7

1.3 Hàm Lyapunov 15

1.4 Kỹ thuật tam giác hóa Perron 20

Chương 2 Ổn định bằng phương pháp Liao 25 2.1 Các định lý ổn định của Bylov và Liao 25

2.2 Mở rộng định lý ổn định Liao 28

2.3 Chứng minh kết quả chính 33

2.3.1 Chứng minh Định lý 2.2.1 33

2.3.2 Chứng minh định lý 2.2.5 40

LỜI NÓI ĐẦU

Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân được nhiềungười quan tâm vì nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kinh

tế, sinh học, Có hai phương pháp chính nghiên cứu sự ổn định nghiệm làphương pháp hàm Lyapunov và phương pháp số mũ Lyapunov Để mở rộngphạm vi ứng dụng của nó, nhiều hướng nghiên cứu mới của lí thuyết ổn định

đã xuất hiện và nhận được nhiều kết quả thú vị về cả lý thuyết và ứng dụng.Luận văn này đề cập đến một hướng tiếp cận gần đây liên quan đến phươngpháp số mũ Lyapunov

Như ta đã biết, đối với hệ tuyến tính không ô-tô-nôm x0 = A(t)x, tính âmcủa số mũ Lyapunov không suy ra được tính ổn định của phương trình có nhiễu

x0 = A(t)x + f (t, x) Phản ví dụ cho điều này được gọi là Hiệu ứng Perron (xem[12]) Năm 1966, D Bylov (xem [4]) đưa ra thêm điều kiện tính chính quy của

hệ để đảm bảo cho tính ổn định của hệ với nhiễu Lipschitz đủ nhỏ Sau đó, cónhiều nỗ lực mới ra đời để tìm điều kiện đủ cho tính ổn định của phương trình

có nhiễu như của Ya Pesin [13], S.-T Liao [8],

Năm 2006, Xiongping Dai sử dụng kĩ thuật của Liao để đưa ra điều kiện

ổn định khác cho trường hợp nhiễu tuyến tính Điều kiện này của X Dai đượcxem như là yếu hơn điều kiện của trước đó của Bellman [3], điều kiện nhị phân

mũ và khác điều kiện đủ của Bylov và Pesin Mục đích chính của luận văn này

là trình bày lại một số khái niệm cơ bản về lí thuyết ổn định của phương trình

có nhiễu và kết quả của X Dai

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mụctài liệu tham khảo

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này được dành để trình bày

một vài khái niệm và các ví dụ trong phương trình vi phân và lí thuyết ổn địnhnhư số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, tam giác hóa Perron, .

Chương 2 Ổn định bằng phương pháp Liao Trong chương 2 chúngtôi đề cập tới kết quả chính về phương pháp của Liao và sự ổn định của phươngtrình với nhiễu tuyến tính

Luận văn là chi tiết hóa chứng minh của X Dai trong bài báo [6] được viếtnăm 2006

Hà Nội, ngày 05 tháng 9 năm 2017

Học viên

Vũ Thanh Lam

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết

ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính không ô-tô-nôm Trong đó trìnhbày một số khái niệm cơ sở của phương trình vi phân như các khái niệm ổnđịnh, số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, kỹ thuật tam giác hóa Perron, Nộidung chính của chương này được tham khảo trong sách của L Ya Adrianova[1], W A Coppel [5] và L Bareira và C Valls [2]

Trước tiên, ta tìm hiểu các loại ổn định của phương trình vi phân Xétphương trình không ô-tô-nôm

˙x(t) = f (t, x), t ≥ t0, (1.1)trong đó, hàm f : [t0, +∞) × Rn → Rn là hàm thỏa mãn các điều kiện cầnthiết để (1.1) có nghiệm Hàm vectơ x : [t0, +∞) → Rn được gọi là nghiệmcủa phương trình (1.1) trên miền [t0, +∞) nếu nó là hàm khả vi và thỏa mãn

xét những tính chất định tính trong các hệ thống phi tuyến bằng lý thuyết ổnđịnh của hệ tuyến tính dựa trên việc tuyến tính hóa gần một điểm cân bằng.Công trình của ông ban đầu được xuất bản bằng tiếng Nga và sau đó đượcdịch sang tiếng Pháp và ít nhận được sự chú ý trong nhiều năm Sự quan tâmđến nó đột ngột bắt đầu trong thời kỳ chiến tranh lạnh sau khi phương phápthứ hai của Lyapunov có thể áp dụng đối với sự ổn định của các hệ thống dẫnđường hàng không vũ trụ thường chứa các yếu tố phi tuyến mà không có thể

xử lý bằng các phương pháp khác Một số lượng lớn các các bài báo đã xuấthiện sau đó ở trong các tạp chí chuyên ngành điều khiển và hệ động lực (xem[11, 7, 10])

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn địnhtrên khoảng [t0, ∞) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho bất kỳnghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn bất đẳng thức

kx(t0) − x(t0)k < δ

và tồn tại trên [t0, ∞) thì thỏa mãn

kx(t) − x(t)k < ε, với mọi t > t0.Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định, nếu các nghiệm x(t) khá gần với nó

ở thời điểm ban đầu t0 bất kì sẽ hoàn nằm trong ống ε nhỏ tùy ý được đựngquanh nghiệm x(t) (xem Hình 1.1)

Hình 1.1: Nghiệm x(t) ổn định Hình 1.2: Nghiệm x(t) ổn định tiệm cận

Nếu ngoài ra nghiệm x(t) thỏa mãn

lim

t→∞kx(t) − x(t)k = 0thì ta nói x(t) ổn định tiệm cận (xem Hình (1.2))

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn định

mũ (hay còn gọi là co không đều) nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho với mọi

t0, tồn tại số N = N (t0) sao cho

kx(t) − x(t)k ≤ N e−α(t−t0 )kx(t0) − x(t0)ktrong đó x(t) là nghiệm phương trình sao cho

x(t0) = x0.Nếu trong định nghĩa trên số N được chọn độc lập với t0, thì ta gọi x(t) là

ổn định mũ đều (hay gọi là co đều)

Ví dụ 1.1.3 Xét phương trình ˙x = 0 Khi đó, ta có nghiệm tổng quát x(t) ≡ cvới c là hằng số thực tùy ý Rõ ràng nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định(xem Hình 1.3) vì với mọi ε > 0, với cách chọn δ = ε, khi đó nếu với bất kìnghiệm x(t) thỏa mãn |x(t0) − x(t0)| ≤ δ thì

|x(t) − x(t)| = |x(t0) − x(t0)| ≤ δ = ε

Hình 1.3: Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của Ví dụ 1.1.3 là ổn định nhưng không ổn định tiệm cận

Tuy nhiên, nghiệm tầm thường không ổn định tiệm cận bởi nếu chọn y(t) ≡ δ/2thì

lim

t→∞|x(t) − x(t)| = lim

t→∞x(t0)e−t = 0

Do đó, nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận

Hình 1.4: Nghiệm tầm thường của Ví dụ 1.1.4 là ổn định tiệm cận

sin log(t + 1) + cos log(t + 1) = √

2 sinlog(t + 1) + π

4



≤ √2

Trong phần này, ta đưa ra định nghĩa số mũ Lyapunov, là số biểu diễn tốc

độ tăng trưởng mũ cho hàm bất kì x = x(t) Cụ thể, xét hệ phương trình tuyếntính không ô-tô-nôm

là số mũ Lyapunov trên của hàm x : [t0, +∞) → R với quy ước log 0 = −∞

Số mũ Lyapunov trên (hoặc số mũ Lyapunov dưới) của phương trình (1.2)tại v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức

λ+(v, A) = lim sup

t→+∞

1

t log kxA(t, v)k,

hoặc λ−(v, A) = lim inf

t→+∞

1

t log kxA(t, v)k,trong đó xA(t, v) là nghiệm của phương trình (1.2) với điều kiện ban đầux(0) = v Nếu không muốn nhấn mạnh đến số mũ Lyapunov trên hay dưới,

ta sẽ dùng kí hiệu λ(v, A) cho ngắn gọn Các tính chất dưới đây của số mũLyapunov được tham khảo trong sách của L Y Adrianova [1] sẽ được sử dụngtrong Chương 2

log |x(t)| = log |c1cos t + c2sin t|

Tồn tại dãy tk = 2kπ → +∞ sao cho

Nhận xét 1.2.3 Mọi hàm bị chặn có số mũ Lyapunov bằng không

Tập hợp các số mũ Lyapunov của hệ (1.2) được gọi là phổ Lyapunov của hệ.Như ta đã biết, tập hợp tất cả các nghiệm của của hệ (1.2) lập thành khônggian tuyến tính n chiều (không gian nghiệm) Giả sử ma trận nghiệm cơ bản

với hai ma trận nghiệm cơ bản là

Do đó, phổ Lyapunov của X(t) là {(λ1 = −1, n1 = 1), (λ2 = 1, n2 = 1)} Khi

Ví dụ 1.2.7 Ta xét hệ phương trình

˙x = 12





−2 + 3 cos2t 2 − 3 sin t cos t

−2 − 3 sin t cos t −2 + 3 sin2t

Khi đó, ta có vế trái của (1.5) là

Y (t) =





et/2cos t e−tsin t + et/2cos t

−et/2sin t e−tcos t − et/2sin t



với phổ là

với tổng Pm

i=1λini = 1 6= −1/2 Điều này dẫn đến hệ không là chính quy tiến

Ví dụ vừa rồi cho ta thấy rằng, kể cả đối với hệ tuần hoàn cũng chưa chắcthỏa mãn điều kiện chính quy tiến Trong ví dụ dưới đây, ta đưa ra hệ đơn giảnthỏa mãn điều kiện chính quy tiến

X(t) =



cos t sin tsin t − cos t





Khi đó, ta có số mũ Lyapunov của hai nghiệm (vectơ cột) trong ma trận trênlà

Do đó, phổ Lyapunov của X(t) là {(λ = 0, n = 2)} Khi đó, vế trái của (1.5)

c11cos t + c21sin t c12cos t + c22sin t

c11sin t − c21cos t c12sin t − c22cos t

t log |det X(t) det C| = 0.

và phổ Lyapunov của Y (t) là {(λ = 0, n = 2)} Do đó, (1.5) đúng cho Y (t).Vậy hệ trên là chính quy tiến

1.3 Hàm Lyapunov

Trong lý thuyết phương trình vi phân, hàm Lyapunov là các hàm vô hướng

có thể được sử dụng để chứng minh sự ổn định của một trạng thái cân bằngcủa một phương trình Hàm Lyapunov (còn gọi là Phương pháp thứ hai củaLyapunov dành cho ổn định) rất quan trọng đối với lý thuyết ổn định của các

hệ thống động học và lý thuyết điều khiển Định lí dưới đây là kết quả cổ điển

về phương pháp thứ 2 này Chứng minh chi tiết có thể tham khảo trong sáchcủa L Bareira và C Valls [2]

Xét phương trình

˙x = f (t, x), t ≥ t0, x ∈ U (1.6)Định nghĩa 1.3.1 Các hàm số thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) trongđịnh lý dưới đây được gọi là các hàm Lyapunov

Định lý 1.3.2 Giả sử x0 ∈ U là một điểm cân bằng của trường véctơ f (x),tức là f (x0) = 0 Giả sử tiếp theo V : U → R là hàm liên tục trên lân cận Bcủa x0 và khả vi trên B\{x0} sao cho:

(i) V (t, x0) = 0 và V (t, x) > 0 với mọi x 6= x0 ∈ B,

(ii) ˙V (t, x) ≤ −W (x) ≤ 0 với x ∈ B\{x0}

Khi đó x(t) ≡ x0 là nghiệm ổn định của (1.6)

Ngoài ra, nếu

(iii) W (x) > 0 với mọi x ∈ B\{x0} thì x(t) ≡ x0 là điểm cân bằng ổn địnhtiệm cận

Vậy phương trình chỉ có một điểm cân bằng là (0, 0).

Tiếp theo, ta xét phiếm hàm V (x, y) = x2+ y2 Rõ ràng

(i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x2+ y2 > 0 với mọi (x, y) 6= (0, 0)

(ii) ˙V (x, y)2x · ˙x + 2y · ˙y = 2x(−x + y) + 2y(−x − y3) = −2(x2+ y4) ≤ 0.Vậy điểm cân bằng (0, 0) là ổn định (xem Hình 1.6)

Hình 1.6: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.3.

(ii) ˙V (x, y) = 4x3x0+ 4yy0 = 4x3(y − xy2) + 4y(−x3) = −4x2y2 ≤ 0.

Vậy điểm cân bằng (0, 0) là ổn định (xem Hình 1.7) 

Hình 1.7: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.4.

(i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x +y2
2+ 3y42 > 0 với mọi (x, y) 6= (0, 0)

Điều này suy ra được ˙V (x, y) > 0 với mọi (x, y) thuộc lân cận đủ nhỏ của(0, 0).

(ii) Với mọi lân cận của (0, 0) luôn tồn tại điểm (x, y) sao cho V (x, y) =

x2− y2 > 0

Do đó, nghiệm tầm thường không là điểm ổn định (xem Hình 1.9)

Hình 1.9: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.6.

Nhận xét 1.3.7 Đối với các lớp nhất định của phương trình vi phân thường,

sự tồn tại của các hàm Lyapunov là một điều kiện đủ cho sự ổn định Trong khi

đó, không có kỹ thuật tổng quát để xây dựng các hàm Lyapunov cho phươngtrình vi phân thường, trong nhiều trường hợp cụ thể, việc xây dựng các hàmLyapunov được biết đến Ví dụ, các hàm bậc hai đủ cho các hệ thống với một

trạng thái; lời giải của một bất đẳng thức ma trận tuyến tính đặc biệt cungcấp các hàm Lyapunov cho các hệ thống tuyến tính; và các định luật bảo toànthường có thể được sử dụng để xây dựng các hàm Lyapunov cho các hệ thốngvật lý.

Trước khi đi vào kĩ thuật tam giác hóa Perron, ta nhắc lại khái niệm cơ bảncủa đại số tuyến tính dưới đây

Định nghĩa 1.4.1 Ma trận vuông giá trị thực U (cấp n) được gọi là ma trậntrực giao nếu ma trận chuyển vị UT của nó cũng là ma trận nghịch đảo, nghĩalà

UTU = U UT = I

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của ma trận trực giao

Tính chất 1.4.2 Cho U là ma trận trực giao cỡ n × n Khi đó, các khẳngđịnh dưới đây là đúng

i) Với x, y ∈ Rn thì U bảo toàn tích vô hướng của chúng, tức là

hU x, U yi = hx, yi

ii) U là ma trận trực chuẩn

iii) U là chéo hóa được (tức là U đồng dạng với ma trận đường chéo) Như là

hệ quả của định lí phổ (spectral theorem), U có thể phân tích thành dạng

U = V DVTtrong đó V là ma trận trực giao và D là ma trận đường chéo

iv) U có định thức bằng ±1

v) Các không gian con riêng ứng với các giá trị riêng của U là trực giao vớinhau.

Tập hợp các ma trận trực giao cỡ n × n cùng với phép toán nhân ma trậnlập thành một nhóm và được gọi là nhóm trực giao Ta kí hiệu nhóm trực giao

là O(n) là nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GL(n)

Ví dụ 1.4.3 Xét ma trận

U =



cos α sin α

số tuyến tính Cụ thể, ta có quy trình dưới đây để tam giác hóa phương trìnhtuyến tính

Cho A(t) là hàm ma trận cỡ n × n liên tục trên nửa đường thẳng [t0, +∞)

và ký hiệu X(t) = {x1(t) | · · · | xn(t)} là ma trận nghiệm của phương trình viphân tuyến tính

Rõ ràng, (ei, ej) = δij, nghĩa là ta thu được ma trận

U (t) = {e1 | · · · | en}

là ma trận trực giao do UTU = E Giải ngược hệ trên ta thu được

x1 = ||ξ1||e1,

x2 = (x2, e1)e1+ ||ξ2||e2,





−2 + 3 cos2t 2 − 3 sin t cos t

−2 − 3 sin t cos t −2 + 3 sin2t



Bằng tính toán trực tiếp, ta có hệ nghiệm cơ bản của phương trình là

(et/2cos t)2+ (−et/2sin t)2, −et/2sin t

p(et/2cos t)2+ (−et/2sin t)2

−tcos tp(e−tsin t)2+ (e−tcos t)2

− sin t cos t



thì phương trình (1.10) trở thành phương trình

˙

y = B(t)y

với B(t) là ma trận tam giác trên có dạng

0 −1





Chương 2

Ổn định bằng phương pháp Liao

Phương pháp của Liao năm 1973 [8] đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổnđịnh của phương trình có nhiễu mà không cần dùng tính chính quy của Bylov[4] trước đó Sau này, X Dai [6] sử dụng lại phương pháp của Liao để đưa ramột điều kiện yếu hơn cho tính ổn định nhưng chỉ cho nhiễu tuyến tính Vì tachỉ xét ổn định mũ (nói chung không đều) nên để đơn giản, giả sử t0 = 0.Trước tiên, ta nêu lại các kết quả trước của Bylov và Liao cho tính ổn định

Mục này được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [8] và [4]

Xét phương trình vi phân tuyến tính

dx

dt = A(t)x ((t, x) ∈ R+× Rn), (A)trong đó A(t) là một hàm giá trị ma trận cỡ n × n, liên tục và bị chặn đều trên

R+

Xét phương trình (A) có nhiễu

dx

dt = A(t)x + f (t, x) ((t, x) ∈ R+× Rn), (A + f )trong đó f (t, x) là một hàm liên tục giá trị véctơ thực n-chiều, phi tuyến hoặctuyến tính theo biến x ∈ Rn, với f (t, 0) = 0 Một trong những bài toán chính

được nghiên cứu rộng rãi trong lý thuyết ổn định Lyapunov là điều kiện

sao cho với bất kỳ t ∈ R+ điều kiện (C2) đúng với x ∈ Bζn(0), thì nghiệm

xf(t) = 0 của phương trình (A + f ) ổn định mũ theo nghĩa của Lyapunov.Định nghĩa 2.1.2 Cho tập A ⊂ R+ Ta gọi bán kính phủ r (covering radius)của tập A là infimum tất cả các số r0 sao cho mọi điểm y ∈ R+, tồn tại x ∈ Asao cho y ∈ B(x, r) Tập A được gọi là tập trù mật tương đối trong R+ nếubán kính phủ của A là hữu hạn

Ví dụ 2.1.3 Tập số tự nhiên N là trù mật tương đối trong R+

Theo kỹ thuật tam giác hóa Perron, không mất tính tổng quát, ta giả sửrằng A(t) là ma trận tam giác trên Để thuận tiện, bây giờ chúng ta liệt kê một

số giả thiết cơ bản sẽ dùng trong phần tiếp theo